专题20 典型应用题（讲义）（知识梳理＋核心考点精讲＋真题演练）-2024-2025小升初数学核心考点精编讲义 通用版（原卷版＋解析版）

专题20 典型应用题 知识梳理＋核心考点精讲＋真题演练 2024-2025小升初数学通用版 知识梳理 一、典型应用题分类解析 类型1：归一问题与归总问题 核心定义 关键特征 数量关系公式 解题步骤 归一 先求“单一量”（如单价、工效），再以单一量求结果。 单一量不变，常见“照这样计算” “同样”等表述。 - 正归一：单一量=总数量÷份数，新总数量=单一量×新份数 - 反归一：单一量=总数量÷份数，新份数=新总数量÷单一量 1. 求单一量； 2. 按比例计算新量。 归总 先求“总数量”（如总量、总时间），再重新分配求未知量。 总数量不变，先“总”后“分”。 总数量=单一量×份数，新单一量=总数量÷新份数，新份数=总数量÷新单一量 1. 求总数量； 2. 按新条件分配。 示例 5辆车运75吨，8辆车运多少吨？（正归一） 每天烧3吨煤烧96天，每天烧2.4吨烧几天？（归总） 类型2：和倍问题与差倍问题 问题模型 核心公式 线段图关键 典型条件 和倍问题 已知两数和及倍数，求两数（如甲+乙=60，甲=3乙）。 1倍量=和÷（倍数+1） 几倍数=1倍量×倍数 或 和-1倍量 画线段：1倍量为1段，几倍数为n段，总和对应（n+1）段。 “和”与“倍数+1”对应，如“甲乙和80，甲是乙的7倍”。 差倍问题 已知两数差及倍数，求两数（如甲-乙=60，甲=7乙）。 1倍量=差÷（倍数-1） 几倍数=1倍量×倍数 或 1倍量+差 画线段：两数差对应（倍数-1）段。 “差”与“倍数-1”对应，如“甲比乙多60，甲是乙的7倍”。 类型3：年龄问题 核心规律 基本类型 关键公式 解题关键 1. 年龄差永不变； 2. 年龄同增同减； 3. 倍数随时间变化。 1. 求几年前/后年龄：  年龄差÷（倍数-1）=成倍时小年龄 2. 已知未来年龄和：  未来小年龄=未来和÷（倍数+1） 几年前/后=现年龄-成倍时小年龄（或反之） 现在年龄=未来小年龄-年数 抓住年龄差不变，转化为和倍/差倍问题，用线段图表示年龄关系。 示例 爸爸36岁，妙妙12岁，几年前爸爸年龄是妙妙的5倍？ （年龄差24岁，24÷(5-1)=6岁，12-6=6年前） 类型4：工程问题 定义 常用公式 类型细分 解题技巧 工作总量 任务总量（常设为“1”）。 单人：工作效率=1÷单独时间 合作：效率和=甲效率+乙效率 总工作量=效率×时间 1. 组合工程（效率和×时间）； 2. 周期工程（求整周期+剩余量）； 3. 做做停停（分段计算）。 设总量为“1”，效率用分数表示，合作问题先求效率和。 示例 甲10天完成，乙15天完成，合作几天？ 效率和=1/10+1/15=1/6，时间=1÷1/6=6天。 类型5：行程问题 运动方式 核心公式 关键路程 特殊情况 相遇问题 相向/相背而行，求相遇时间或距离。 路程和=速度和×相遇时间 相遇时间=路程和÷速度和 相向：路程和=两地距离； 相背：路程和=初始距离+速度和×时间。 出发时间是否相同，是否中途停留。 追及问题 同向而行，快追慢，求追及时间或距离。 路程差=速度差×追及时间 追及时间=路程差÷速度差 路程差=初始距离（同时不同地）或慢者先走路程（同地不同时）。 速度差必须为正（快者速度＞慢者）。 过桥问题 列车过桥梁，路程=桥长+车长。 过桥时间=（桥长+车长）÷速度 车长不可忽略，“通过”指车头进至车尾出。 多列火车相遇/追及：总路程=两车长之和。 流水行船 船受水流影响，分顺水、逆水。 顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速 船速=（顺水+逆水）÷2 顺水速度＞逆水速度，水速=（顺水-逆水）÷2。 往返路程相同，速度与时间成反比。 类型6：浓度问题 核心概念 关系公式 常见类型 解题关键 示例 溶质+溶剂=溶液 浓度=溶质÷溶液×100% 溶质质量=溶液×浓度 溶液=溶质÷浓度 溶剂=溶液-溶质 1. 溶质不变（加水稀释）； 2. 溶剂不变（加溶质浓缩）； 3. 混合配比（溶质总和不变）。 抓住“不变量”列方程，如加水时溶质不变： 原溶液×原浓度=新溶液×新浓度。 10%糖水600克，加多少糖成40%？ 水不变：600×90%=540克，新溶液=540÷60%=900克，加糖300克。 类型7：盈亏问题 类型 分配条件 核心公式 口诀 示例 一盈一亏 一次余（盈），一次不足（亏）。 份数=（盈+亏）÷两次分配差 盈加亏，除以差，份数出来快。 买3斤余4.5元，买5斤亏1.5元，单价=（4.5+1.5）÷(5-3)=3元。 双盈/双亏 两次余（大盈/小盈）或两次不足（大亏/小亏）。 份数=（大盈-小盈）÷差 或 （大亏-小亏）÷差 同相减，异相加，除以差数得份数。 分苹果，每人8个余15，每人11个余3，人数=（15-3）÷(11-8)=4人。 类型8：植树问题 示意图 棵数与间隔数关系 公式 典型场景 不封闭路线 两端都栽：〇—〇—〇 两端不栽：□—〇—〇—□ 只栽一端：〇—〇—〇—□ 两端栽：棵数=间隔数+1 两端不栽：棵数=间隔数-1 只栽一端：棵数=间隔数 间隔数=路长÷间隔距离 路长=间隔距离×间隔数 公路植树、锯木（锯的次数=段数-1）、爬楼（楼层差=间隔数）。 封闭路线 环形、方形：〇—〇—〇—〇（首尾相连） 棵数=间隔数 同“只栽一端”公式 花坛、跑道插旗。 类型9：鸡兔同笼问题 核心思路 公式推导 变形问题 示例 假设法 假设全是鸡/兔，算脚数差，求实际数量。 兔数=（总脚数-2×总头数）÷2 鸡数=（4×总头数-总脚数）÷2 龟鹤问题（龟4脚，鹤2脚）、得分问题（对加错扣）。 头8个，脚28条，兔=（28-16）÷2=6只，鸡=2只。 抬脚法 所有动物抬一半脚，兔数=半脚数-头数。 半脚数=总脚数÷2，兔数=半脚数-头数，鸡数=头数-兔数。 简化计算，适合低年级。 同上，半脚数=14，兔=14-8=6只。 类型10：抽屉原理（鸽巢问题） 数学表达 至少数计算 应用场景 解题步骤 原理一 m个物体放n个抽屉（m>n），至少1抽屉有≥2物体。 若m÷n=k…r（r≥1），至少数=k+1；若整除，至少数=k。 保证至少n个同色球、同生日、同类型物品。 1. 确定“抽屉”数（如颜色数、月份数）； 2. 用公式计算至少数。 示例 4种水果拿2个，至少11人才能保证2人相同（10种组合+1）。 二、解题通用策略 模型匹配：快速判断问题类型（如“和倍” “追及”），调用对应公式。 不变量分析： 归一归总：单一量/总数量不变； 年龄问题：年龄差不变； 浓度问题：溶质或溶剂不变； 行程问题：路程和/差、速度和/差不变。 图示辅助： 线段图（和倍差倍、年龄问题）； 示意图（行程相遇、植树路线）； 韦恩图（集合问题）。 方程应用：复杂问题设未知数，根据等量关系列方程（如工程合作、盈亏分配）。 三、知识架构表 问题类型 核心公式/关系 关键思想 易错点 归一问题 单一量=总数量÷份数 先求“单一量”再扩展 区分正归一（求总量）与反归一（求份数）。 和倍差倍 和÷（倍数±1）=1倍量 线段图表示“和” “差”与份数对应 倍数关系中的“1倍量”找准，避免混淆“和”与“差”。 行程相遇/追及 路程和=速度和×时间，路程差=速度差×时间 相对运动的速度和/差计算 相遇问题注意“同时出发”与“路程和”，追及问题注意“初始距离”。 工程合作 效率和×时间=总工作量 设总量为“1”，效率用分数表示 合作效率是各效率相加，非时间相加。 浓度配比 溶质=溶液×浓度 抓住“不变量”列方程 混合时溶质质量守恒，避免混淆“浓度”与“溶质质量”。 抽屉原理 至少数=商+1（有余数） 构造“抽屉”与“物体” 抽屉数计算错误（如拿2个水果的组合数）。 核心考点精讲 核心考点一：归一、归总问题 【典型例题】 三年级开展体操表演，同学们积极设计编队方案。王勇同学编队方案是：每排站8人，站15排；李涛同学编队方案是：每排站5人，要站多少排？你还可以怎样编队？ 【通关练习】 1．现在广场舞已经成为非常流行的健身舞，舞蹈元素多种多样。在小区广场上，阿姨们站成了14列，每列人数相等。如果再增加4列，那么需要再增加52人。增加之前的队伍共有多少人？ 2．迎十四运，创文明城。某校为喜迎十四运，准备画460幅以喜迎十四运为主题的儿童画，把任务分配给了23个班，每个班有4个小组，平均每个小组要画多少幅？ 3．泰山为“五岳”之首，杜甫曾感叹“会当凌绝顶，一览众山小。”小芳跟随旅斿团一起去爬泰山，住宿时发现如果每间房住3人，需要8间房。如果每间房住4人，那么需要多少间房？ 核心考点二：和差倍问题 【典型例题】 小华和小明共有存款2805元，其中小华的存款数个位数字是0，如果把0去掉，就和小明的存款同样多。小华、小明各有存款多少元？ 【通关练习】 1．周大伯把一块长方形菜地分成两部分，分别种植黄瓜和番茄（如图）。种番茄的面积比种黄瓜的面积多180平方米，黄瓜和番茄各种了多少平方米？ 2．在比例尺是1∶5000000的地图上，量得甲、乙两地相距22.05厘米，A，B两列火车同时从甲，乙两地相对开出，经过3.5小时相遇。A，B两列火车的速度分别是多少？ 核心考点三：年龄问题 【典型例题】 2022年11月29日，神舟十五号载人飞船发射成功，飞行乘组由费俊龙、邓清明、张陆组成。下面是三位航天员今年年龄关系的线段图。    三位航天员分别是多少岁？这样的问题可以用“假设”策略解决。（先完成下面的填空，再解答） 假设三位航天员的年龄同样大，那么三人的年龄总和是（     ）岁。请分别算出他们的年龄。 【通关练习】 1．今年弟弟6岁，哥哥15岁，当两人的年龄和为65时，弟弟( )岁。 2．世界上最长寿的灵长动物——黑猩猩珈玛活到了59岁，世界上最长寿的狗鱼的年龄比黑猩猩珈玛的4倍还多31岁，这条狗鱼的年龄是多少岁？ 核心考点四：工程问题 【典型例题】 师徒两人加工一批零件，由师傅独做需37小时，徒弟每小时能加工30个零件，现由师徒两人同时加工，完成任务时，徒弟加工的个数是师傅的。这批零件共有多少个？ 【通关练习】 1．在新农村建设中，为建设美丽乡村，要实现村村通公路。幸福村规划修建一条公路，甲队单独修需要12天，乙队单独修需要18天，现在两队合作施工，多少天能完成？ 2．安装一条长3600米的天然气管道，前三天平均每天安装500米。余下的要求4天完成，平均每天要安装多少米？ 核心考点五：行程问题 【典型例题】 在1∶8000000的地图上，量得A、B两地间的距离为10cm，甲乙两列火车同时从A、B两地相对开出，5小时后相遇。已知甲乙两车速度比是11∶9，两车相遇时，甲车行了多少千米？ 【通关练习】 1．小明早上以每分钟50米的速度从家向学校出发，12分钟后，小明的爸爸发现小明没有带文具盒，骑自行车以每分钟110米的速度去追小明，请问爸爸多少分钟后能追上小明？ 2．一艘轮船，在A、B两个码头之间匀速航行，顺水航行时需要5小时，逆水航行时需要8小时，已知水流速度是6千米/时，两个码头之间的距离是多少千米？ 3．为践行“绿色出行”，李老师每天骑单车上下班。他每分钟骑单车行235米，放学后他从学校出发回家，骑了23分钟后距家还有210米。从学校到李老师家共有多少米？ 核心考点六：浓度问题 【典型例题】 有甲、乙两个瓶子，甲瓶里装了200毫升清水，乙瓶里装了200毫升纯酒精。第一次把20毫升纯酒精由乙瓶倒入甲瓶，第二次把甲瓶中20毫升溶液倒回乙瓶，此时甲瓶里含纯酒精多，还是乙瓶里含水多？ 【通关练习】 1．甲容器中有纯酒精45升，乙容器中有水16升。第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器使酒精与水混合；第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器，这时甲容器中酒精浓度为88%，乙容器中酒精浓度为60%。第二次从乙容器倒入甲容器的混合液有多少升？ 2．现有64%浓度的盐水1170克，由于要将盐水浓度调低至48%，所以将一些清水倒入瓶中，但不小心倒了过多的水，结果盐水浓度降至45%，那么要加多少克盐，才可将盐水浓度调高至48%？ 核心考点七：盈亏问题 【典型例题】 小东从家出发去学校，如果每分走70米，能在上课前5分到校；如果每分走45米，就要迟到5分。那么小东家到学校的路程是多少米？ 【通关练习】 1．商场购进一批羽绒服，按定价的80%出售，可获利120元；现在夏季是销售淡季，商场为了回笼资金，打定价的六折出售，则亏损96元。这款羽绒服进价是每件多少元？ 2．用绳子测量一口井的深度，把绳子三折来量，井外每折余16米，把绳子四折来量，井外每折余4米，井深和绳长各是多少？ 核心考点八：植树问题 【典型例题】 在一条马路的两边种树，一共种了900棵（两端都种），每两棵树之间都相距5米，这条路长多少米？ 【通关练习】 1．36名学生做游戏。大家围成一个正方形，每边人数相等，四个顶点都有人，每边各有( )名学生；如果这36名学生围成一个圆，每两名同学之间插一面红旗，一共要插( )面红旗。 2．研学时，220名师生排成人数相等的四列并排前行，前后相邻两人间隔0.4米，这支队伍有多长？ 核心考点九：鸡兔同笼问题 【典型例题】 2025年是新中国成立76周年，儋州市某小学举行了以“礼赞新中国，放歌新时代”为主题的歌咏比赛。比赛分单人独唱和双人合唱，共有18组，30名学生参加比赛，单人独唱和双人合唱各有多少组？ 【通关练习】 1．某超市需要购进甲、乙两种商品共160件。其进价和售价如下表，该超市计划售完这批商品获利1200元。 （1）售出一件甲商品获利（    ）元；售出一件乙商品获利（    ）元。 （2）甲、乙两种商品应分别购进多少件？ 甲 乙 进价（元/件） 15 35 售价（元/件） 20 45 2．张帅是校篮球队的得分高手，在一次跟兄弟学校的篮球联谊赛上张帅一个人就赢得了28分，队友帮他数了，他一共投进12个球，有2分球，也有3分球，你能算出张帅投进几个2分球，几个3分球吗？ 核心考点十：鸽巢问题（抽屉原理） 【典型例题】 有49名学生共同参加体操表演，其中最小的8岁，最大的11岁，在参加体操表演的学生中至少有几名学生是同年同月出生？ 【通关练习】 1．实验小学篮球队同学去借篮球，向管理员借30个，管理员说：“你们一次都拿走的话，一定会有一个人至少要拿4个。”篮球队最多有( )名队员。 2．盒子里有同样大小的红球7个、蓝球5个、黄球6个。从盒子里至少摸出( )个球，才能保证一定有2个同色的；至少摸出( )个球，才能保证有2个不同色的球。 3．端午节是中国首个入选世界非遗的节日，各地都有包粽子的习俗。小明、倩倩两家制作了三种口味粽子的数量如表。从小明家的粽子里任意拿一个吃，吃到( )口味的可能性最大。从倩倩家粽子里至少从中拿出( )个才能保证有2个粽子的口味是相同的。 种类 小明 倩倩 豆沙 15个 15个 红枣 10个 15个 花生 5个 15个 真题演练 一、填空题 1．（2024·四川内江·小升初真题）如表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等。若取最左端3个格子中的后两个记作x、y，那么x－y＝( )。 8 x y 7 4 … 2．（2024·四川成都·小升初真题）甲、乙、丙、丁四人各有一个作业本混放在一起，4个人看也不看就随便各拿了1本，那么至少有一人拿错的可能有( )种。 3．（2024·四川巴中·小升初真题）如图，3个杯子叠起来高16cm，5个杯子叠起来高22cm，照这样计算，10个杯子叠起来高( )cm，( )个杯子叠起来高55cm。 4．（2024·四川成都·小升初真题）小王家的WiFi密码是一个六位数，其中左边三个数字是由小到大的3个连续自然数，右边三个数字都相同，6个号码的数字之和恰好等于末尾的两位数，这个WiFi密码是( )。 5．（2024·四川成都·小升初真题）甲、乙两地是电车发车站，每隔一定时间两地同时发出一辆电车。小王骑自行车每隔12分钟就被一辆后面开来的电车追上；每隔8分钟就与一辆迎面开来的电车相遇。那么相邻两辆电车的发车时间相差( )分钟。 6．（2024·四川成都·小升初真题）开始时，王老师的积分券有120张，小明的积分券数量是小李的两倍。后来，王老师给小明和小李发了相同数量的积分券，现在三人的积分券数量之比为。现在王老师还剩积分券( )张。 7．（2024·四川成都·小升初真题）甲队原有96人，现调出16人到乙队，调出人数后，甲队人数比乙队人数的k（是不等于1的正整数）倍还多6人，乙队原有( )人。 8．（2024·四川成都·小升初真题）小张乘船沿河逆流而上，途中不慎将水壶掉进河中，水壶沿河漂走，10s后小张才发现水壶失落，他立即调转船头顺流行驶，小张调转船头顺流行驶( )s可以追上水壶。 9．（2024·重庆沙坪坝·小升初真题）蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管。要灌满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时。要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时。现在池内有池水，如果按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1小时，则( )小时后水开始溢出水池。 10．（2024·山西太原·小升初真题）一个研学团共有65人，在实践基地租住了双人间和三人间共25间，正好全部住满。算一算，双人间租住了( )间，三人间租住了( )间。 二、选择题 11．（2015·四川绵阳·小升初真题）有一批同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐6人，如果减少一条船，正好每条船坐9人，则该班有（    ）名同学。 A．32 B．36 C．40 D．48 12．（2024·陕西西安·小升初真题）用小棒摆图形，如图，第1个图用6根小棒，第2个图用10根小棒，第3个图用14根小棒，……，按这样的规律摆下去，第（    ）个图用146根小棒。 A．36 B．37 C．38 D．39 13．（2024·四川绵阳·小升初真题）某段公路长为440米，在公路两旁每隔8米种一颗樟树，两端都裁，共种（    ）棵。 A．56 B．110 C．112 D．220 14．（2024·四川绵阳·小升初真题）甲、乙两人各走一段路，他们的速度比是，路程比是，那么他们所需时间比是（    ）。 A． B． C． D． 15．（2024·浙江湖州·小升初真题）盒子里装有1个红球，3个黄球和4个白球（这些球除颜色外完全相同）。至少摸出（    ）个球，才能保证取到两个颜色相同的球。 A．3 B．4 C．5 D．6 16．（2024·四川巴中·小升初真题）某地出租车的收费标准如下，3km以内8元，超过3km的部分每千米1.5元（不足1km按1km计算）。笑笑坐车去博物馆，行了7.8km，需付多少钱？下面符合坐车总费用的数量关系图是（    ）。 A． B． C． D． 17．（2024·四川绵阳·小升初真题）甲乙两车分别从A、B两地同时相向而行，已知A、B两地相距300千米且甲比乙快些，4小时后，甲、乙在距离中点30千米处相遇，那么甲、乙两车的速度比是（    ）。 A．3∶2 B．2∶3 C．5∶4 D．5∶1 18．（2024·四川成都·小升初真题）王老师去买书，买4本故事书和8本漫画书共需136元，买同样的3本故事书和10本漫画书共需150元。8本故事书和4本漫画书共（    ）元。 A．80 B．50 C．96 D．128 19．（2024·四川成都·小升初真题）从甲地到乙地，小明的平均速度是每分钟120米，已知他往返的平均速度是每分钟90米，那么他返回的平均速度是每分钟（    ）米。 A．60 B．72 C．75 D．105 20．（2024·四川成都·小升初真题）有关部门要连续审核30个科研课题方案，如果要求每天安排审核的课题个数互不相等且不为零，则审核完这些课题最多需要（    ）。 A．7天 B．8天 C．9天 D．10天 三、解答题 21．（2024·江西赣州·小升初真题）张老师在实验室里把4.8升药水全部倒入如图的两个容器中，正好倒完也刚好都倒满。已知圆柱和圆锥容器的底面积相等，圆柱和圆锥容器的容积各是多少升？ 22．（2024·四川巴中·小升初真题）工程队抢修一条长200米的公路，预计3天修完，第一天修了56米，第二天修的长度和第三天的比是4∶5，第二天修了多少米？ 23．（2024·四川绵阳·小升初真题）张先生向商店订购了每件定价为100元的某种商品80件，张先生对商店经理说：“如果你肯降价，那么每降价1元，我就多订购4件。”商店经理算了下，若减价5%，则由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多100元，这种商品的成本是多少元？ 24．（2024·四川成都·小升初真题）科技节中有四个孩子合买了一艘价值120元的船模，已知第一个孩子付的钱是其他孩子付的总钱数的，第二个孩子付的钱是其他孩子付的总钱数的，第三个孩子付的钱是其他孩子付的总钱数的。那么第四个孩子实际付了多少元？ 25．（2024·四川成都·小升初真题）甲、乙、丙三人承包一项任务，发给他们的工资是180元，三人完成这项任务的情况是：甲、乙两人合作6天完成了这项任务的；因甲有事，乙、丙合作2天完成了余下任务的；以后3人合作5天完成了这项任务。按完成工作量的多少付酬，甲、乙、丙各应得多少元？ 26．（2024·四川成都·小升初真题）某人从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟，若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在此人打算在火车开车前10分钟到达火车站，求此人此时摩托车的速度应该是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题20 典型应用题 知识梳理＋核心考点精讲＋真题演练 2024-2025小升初数学通用版 知识梳理 一、典型应用题分类解析 类型1：归一问题与归总问题 核心定义 关键特征 数量关系公式 解题步骤 归一 先求“单一量”（如单价、工效），再以单一量求结果。 单一量不变，常见“照这样计算” “同样”等表述。 - 正归一：单一量=总数量÷份数，新总数量=单一量×新份数 - 反归一：单一量=总数量÷份数，新份数=新总数量÷单一量 1. 求单一量； 2. 按比例计算新量。 归总 先求“总数量”（如总量、总时间），再重新分配求未知量。 总数量不变，先“总”后“分”。 总数量=单一量×份数，新单一量=总数量÷新份数，新份数=总数量÷新单一量 1. 求总数量； 2. 按新条件分配。 示例 5辆车运75吨，8辆车运多少吨？（正归一） 每天烧3吨煤烧96天，每天烧2.4吨烧几天？（归总） 类型2：和倍问题与差倍问题 问题模型 核心公式 线段图关键 典型条件 和倍问题 已知两数和及倍数，求两数（如甲+乙=60，甲=3乙）。 1倍量=和÷（倍数+1） 几倍数=1倍量×倍数 或 和-1倍量 画线段：1倍量为1段，几倍数为n段，总和对应（n+1）段。 “和”与“倍数+1”对应，如“甲乙和80，甲是乙的7倍”。 差倍问题 已知两数差及倍数，求两数（如甲-乙=60，甲=7乙）。 1倍量=差÷（倍数-1） 几倍数=1倍量×倍数 或 1倍量+差 画线段：两数差对应（倍数-1）段。 “差”与“倍数-1”对应，如“甲比乙多60，甲是乙的7倍”。 类型3：年龄问题 核心规律 基本类型 关键公式 解题关键 1. 年龄差永不变； 2. 年龄同增同减； 3. 倍数随时间变化。 1. 求几年前/后年龄：  年龄差÷（倍数-1）=成倍时小年龄 2. 已知未来年龄和：  未来小年龄=未来和÷（倍数+1） 几年前/后=现年龄-成倍时小年龄（或反之） 现在年龄=未来小年龄-年数 抓住年龄差不变，转化为和倍/差倍问题，用线段图表示年龄关系。 示例 爸爸36岁，妙妙12岁，几年前爸爸年龄是妙妙的5倍？ （年龄差24岁，24÷(5-1)=6岁，12-6=6年前） 类型4：工程问题 定义 常用公式 类型细分 解题技巧 工作总量 任务总量（常设为“1”）。 单人：工作效率=1÷单独时间 合作：效率和=甲效率+乙效率 总工作量=效率×时间 1. 组合工程（效率和×时间）； 2. 周期工程（求整周期+剩余量）； 3. 做做停停（分段计算）。 设总量为“1”，效率用分数表示，合作问题先求效率和。 示例 甲10天完成，乙15天完成，合作几天？ 效率和=1/10+1/15=1/6，时间=1÷1/6=6天。 类型5：行程问题 运动方式 核心公式 关键路程 特殊情况 相遇问题 相向/相背而行，求相遇时间或距离。 路程和=速度和×相遇时间 相遇时间=路程和÷速度和 相向：路程和=两地距离； 相背：路程和=初始距离+速度和×时间。 出发时间是否相同，是否中途停留。 追及问题 同向而行，快追慢，求追及时间或距离。 路程差=速度差×追及时间 追及时间=路程差÷速度差 路程差=初始距离（同时不同地）或慢者先走路程（同地不同时）。 速度差必须为正（快者速度＞慢者）。 过桥问题 列车过桥梁，路程=桥长+车长。 过桥时间=（桥长+车长）÷速度 车长不可忽略，“通过”指车头进至车尾出。 多列火车相遇/追及：总路程=两车长之和。 流水行船 船受水流影响，分顺水、逆水。 顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速 船速=（顺水+逆水）÷2 顺水速度＞逆水速度，水速=（顺水-逆水）÷2。 往返路程相同，速度与时间成反比。 类型6：浓度问题 核心概念 关系公式 常见类型 解题关键 示例 溶质+溶剂=溶液 浓度=溶质÷溶液×100% 溶质质量=溶液×浓度 溶液=溶质÷浓度 溶剂=溶液-溶质 1. 溶质不变（加水稀释）； 2. 溶剂不变（加溶质浓缩）； 3. 混合配比（溶质总和不变）。 抓住“不变量”列方程，如加水时溶质不变： 原溶液×原浓度=新溶液×新浓度。 10%糖水600克，加多少糖成40%？ 水不变：600×90%=540克，新溶液=540÷60%=900克，加糖300克。 类型7：盈亏问题 类型 分配条件 核心公式 口诀 示例 一盈一亏 一次余（盈），一次不足（亏）。 份数=（盈+亏）÷两次分配差 盈加亏，除以差，份数出来快。 买3斤余4.5元，买5斤亏1.5元，单价=（4.5+1.5）÷(5-3)=3元。 双盈/双亏 两次余（大盈/小盈）或两次不足（大亏/小亏）。 份数=（大盈-小盈）÷差 或 （大亏-小亏）÷差 同相减，异相加，除以差数得份数。 分苹果，每人8个余15，每人11个余3，人数=（15-3）÷(11-8)=4人。 类型8：植树问题 示意图 棵数与间隔数关系 公式 典型场景 不封闭路线 两端都栽：〇—〇—〇 两端不栽：□—〇—〇—□ 只栽一端：〇—〇—〇—□ 两端栽：棵数=间隔数+1 两端不栽：棵数=间隔数-1 只栽一端：棵数=间隔数 间隔数=路长÷间隔距离 路长=间隔距离×间隔数 公路植树、锯木（锯的次数=段数-1）、爬楼（楼层差=间隔数）。 封闭路线 环形、方形：〇—〇—〇—〇（首尾相连） 棵数=间隔数 同“只栽一端”公式 花坛、跑道插旗。 类型9：鸡兔同笼问题 核心思路 公式推导 变形问题 示例 假设法 假设全是鸡/兔，算脚数差，求实际数量。 兔数=（总脚数-2×总头数）÷2 鸡数=（4×总头数-总脚数）÷2 龟鹤问题（龟4脚，鹤2脚）、得分问题（对加错扣）。 头8个，脚28条，兔=（28-16）÷2=6只，鸡=2只。 抬脚法 所有动物抬一半脚，兔数=半脚数-头数。 半脚数=总脚数÷2，兔数=半脚数-头数，鸡数=头数-兔数。 简化计算，适合低年级。 同上，半脚数=14，兔=14-8=6只。 类型10：抽屉原理（鸽巢问题） 数学表达 至少数计算 应用场景 解题步骤 原理一 m个物体放n个抽屉（m>n），至少1抽屉有≥2物体。 若m÷n=k…r（r≥1），至少数=k+1；若整除，至少数=k。 保证至少n个同色球、同生日、同类型物品。 1. 确定“抽屉”数（如颜色数、月份数）； 2. 用公式计算至少数。 示例 4种水果拿2个，至少11人才能保证2人相同（10种组合+1）。 二、解题通用策略 模型匹配：快速判断问题类型（如“和倍” “追及”），调用对应公式。 不变量分析： 归一归总：单一量/总数量不变； 年龄问题：年龄差不变； 浓度问题：溶质或溶剂不变； 行程问题：路程和/差、速度和/差不变。 图示辅助： 线段图（和倍差倍、年龄问题）； 示意图（行程相遇、植树路线）； 韦恩图（集合问题）。 方程应用：复杂问题设未知数，根据等量关系列方程（如工程合作、盈亏分配）。 三、知识架构表 问题类型 核心公式/关系 关键思想 易错点 归一问题 单一量=总数量÷份数 先求“单一量”再扩展 区分正归一（求总量）与反归一（求份数）。 和倍差倍 和÷（倍数±1）=1倍量 线段图表示“和” “差”与份数对应 倍数关系中的“1倍量”找准，避免混淆“和”与“差”。 行程相遇/追及 路程和=速度和×时间，路程差=速度差×时间 相对运动的速度和/差计算 相遇问题注意“同时出发”与“路程和”，追及问题注意“初始距离”。 工程合作 效率和×时间=总工作量 设总量为“1”，效率用分数表示 合作效率是各效率相加，非时间相加。 浓度配比 溶质=溶液×浓度 抓住“不变量”列方程 混合时溶质质量守恒，避免混淆“浓度”与“溶质质量”。 抽屉原理 至少数=商+1（有余数） 构造“抽屉”与“物体” 抽屉数计算错误（如拿2个水果的组合数）。 核心考点精讲 核心考点一：归一、归总问题 【典型例题】 三年级开展体操表演，同学们积极设计编队方案。王勇同学编队方案是：每排站8人，站15排；李涛同学编队方案是：每排站5人，要站多少排？你还可以怎样编队？ 【答案】24排；每排站6人，站20排（编队答案不唯一） 【分析】用8乘15可以计算出总人数，再除以5可以计算出每排站5人的话，要站多少排；还可以每排站6人，用总人数除以6可以计算出每排站6人的话，要站多少排，编队合理，且没有多余的人数即可；据此解答。 【解析】8×15＝120（人） 120÷5＝24（排） 每排站6人，站的排数为：120÷6＝20（排） 答：每排站5人，要站24排，还可以每排站6人，站20排。（编队答案不唯一） 【通关练习】 1．现在广场舞已经成为非常流行的健身舞，舞蹈元素多种多样。在小区广场上，阿姨们站成了14列，每列人数相等。如果再增加4列，那么需要再增加52人。增加之前的队伍共有多少人？ 【答案】182人 【分析】根据题意，增加4列需要增加52人，那么每列增加的人数就是52÷4＝13（人），原来站成了14列，每列人数相等，所以增加之前的队伍共有13×14＝182（人）；据此解答即可。 【解析】52÷4×14 ＝13×14 ＝182（人） 答：增加之前的队伍共有182人。 2．迎十四运，创文明城。某校为喜迎十四运，准备画460幅以喜迎十四运为主题的儿童画，把任务分配给了23个班，每个班有4个小组，平均每个小组要画多少幅？ 【答案】5幅 【分析】根据题意，用准备儿童画的数量除以分配给的班数，求出平均每个班要画多少幅，再除以每个班小组数量，即可求出平均每个小组要画多少幅，据此解答。 【解析】460÷23÷4 ＝20÷4 ＝5（幅） 答：平均每个小组要画5幅。 【总结】本题主要应用整数的除法或乘除混合法来解答问题 3．泰山为“五岳”之首，杜甫曾感叹“会当凌绝顶，一览众山小。”小芳跟随旅斿团一起去爬泰山，住宿时发现如果每间房住3人，需要8间房。如果每间房住4人，那么需要多少间房？ 【答案】6间 【分析】由题意得，小芳跟随旅斿团一起去爬泰山，住宿时发现如果每间房住3人，需要8间房，可以先用3乘8算出一共有多少人。如果每间房住4人，直接用前面的得数除以4即可算出需要多少间房。 【解析】3×8÷4 ＝24÷4 ＝6（间） 答：如果每间房住4人，那么需要6间房。 核心考点二：和差倍问题 【典型例题】 小华和小明共有存款2805元，其中小华的存款数个位数字是0，如果把0去掉，就和小明的存款同样多。小华、小明各有存款多少元？ 【答案】小华2550元；小明255元 【分析】根据题意，小华的存款数个位数字是0，如果把0去掉，就和小明的存款同样多，说明小华的存款是小明存款的10倍；把小明的存款看作1份，小华的存款看作10份，一共是（1＋10）份； 已知小华和小明共有存款2805元，用两人的总存款除以总份数，求出一份数，即是小明的存款；再用小明的存款乘10，求出小华的存款。 【解析】小明： 2805÷（1＋10） ＝2805÷11 ＝255（元） 小华：255×10＝2550（元） 答：小华有存款2550元，小明有存款255元。 【通关练习】 1．周大伯把一块长方形菜地分成两部分，分别种植黄瓜和番茄（如图）。种番茄的面积比种黄瓜的面积多180平方米，黄瓜和番茄各种了多少平方米？ 【答案】黄瓜种了210平方米；番茄种了390平方米 【分析】黄瓜的面积加上番茄的面积是长方形的面积，长方形的面积＝长×宽，也就是600平方米。种番茄的面积比种黄瓜的面积多180平方米，也就是两个数的和是600，两个数的差是180，根据公式：大数＝（和＋差）÷2，小数＝（和－差）÷2。将数据带入计算即可。 【解析】20×30＝600（平方米） （600＋180）÷2 ＝780÷2 ＝390（平方米） （600－180）÷2 ＝420÷2 ＝210（平方米） 答：黄瓜种了210平方米；番茄种了390平方米。 2．在比例尺是1∶5000000的地图上，量得甲、乙两地相距22.05厘米，A，B两列火车同时从甲，乙两地相对开出，经过3.5小时相遇。A，B两列火车的速度分别是多少？ 【答案】A火车126千米/小时；B火车189千米/小时 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据求出实际距离；再根据路程和÷时间＝速度和，代入数据求出速度和；最后根据和倍问题的解题方法求出两车的速度即可。 【解析】22.05÷ ＝22.05×5000000 ＝110250000（厘米） 110250000厘米＝1102.5千米 1102.5÷3.5＝315（千米/小时） 315÷（1＋1.5） ＝315÷2.5 ＝126（千米/小时） 126×1.5＝189（千米/小时） 答：A火车的速度是126千米/小时，B火车的速度是189千米/小时。 【总结】本题考查比例尺与路程问题、和倍问题的综合应用。 核心考点三：年龄问题 【典型例题】 2022年11月29日，神舟十五号载人飞船发射成功，飞行乘组由费俊龙、邓清明、张陆组成。下面是三位航天员今年年龄关系的线段图。    三位航天员分别是多少岁？这样的问题可以用“假设”策略解决。（先完成下面的填空，再解答） 假设三位航天员的年龄同样大，那么三人的年龄总和是（    ）岁。请分别算出他们的年龄。 【答案】张陆46岁，邓清明56岁，费俊龙57岁 【分析】假设三位航天员的年龄同样大，都与张陆的年龄相同，则三人的年龄和是159－10－11＝138岁，根据除法的意义，用这个年龄和（138岁）÷3求出张陆的年龄，进而得出费俊龙、邓清明的年龄。 【解析】假设三位航天员的年龄同样大，那么三人的年龄总和是159－10－11＝138岁 张陆：138÷3＝46（岁） 邓清明：46＋10＝56（岁） 费俊龙：46＋11＝57（岁） 答：张陆46岁，邓清明56岁，费俊龙57岁。 【总结】本题考查用假设法解决问题的能力，理解图示是解题的关键。 【通关练习】 1．今年弟弟6岁，哥哥15岁，当两人的年龄和为65时，弟弟( )岁。 【答案】28 【分析】根据年龄差不变，先计算年龄差15－6＝9（岁），再用后来的年龄和减差，得到弟弟年龄的两倍，再除以2得弟弟的年龄。 【解析】15－6＝9（岁） （65－9）÷2 ＝56÷2 ＝28（岁） 弟弟的年龄是28岁。 2．世界上最长寿的灵长动物——黑猩猩珈玛活到了59岁，世界上最长寿的狗鱼的年龄比黑猩猩珈玛的4倍还多31岁，这条狗鱼的年龄是多少岁？ 【答案】267岁 【分析】先找出有效信息：黑猩猩珈玛活到了59岁，狗鱼的年龄比黑猩猩珈玛的4倍还多31岁。再根据“求一个数的几倍是多少用乘法”列式求解。 【解析】 答：这条狗鱼的年龄是267岁。 【总结】本题重点考查倍数的相关知识以及学生分析问题的能力。因为题干较长，所以看题时要有耐心，标记出有效信息即可。 核心考点四：工程问题 【典型例题】 师徒两人加工一批零件，由师傅独做需37小时，徒弟每小时能加工30个零件，现由师徒两人同时加工，完成任务时，徒弟加工的个数是师傅的。这批零件共有多少个？ 【答案】1998个 【分析】师徒两人同时开始加工到完成任务所花的时间相同。因为工作时间一定，工作效率和工作总量成正比例所以徒弟的工作效率与师傅的比值还是，把师傅的工作效率看作单位“1”，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，可求出师傅的工作效率，再根据，代入数据计算即可得解。 【解析】 （个） 答：这批零件共有1998个。 【通关练习】 1．在新农村建设中，为建设美丽乡村，要实现村村通公路。幸福村规划修建一条公路，甲队单独修需要12天，乙队单独修需要18天，现在两队合作施工，多少天能完成？ 【答案】7.2天 【分析】将总工程量当作单位“1”，工作效率＝工作总量÷工作时间，则甲队工作效率是，乙队工作效率是。甲乙合作每天共完成全部的（＋），根据工作时间＝工作总量÷工作效率，用1除以两队效率和，即可求出两队合作共需要天数。 【解析】1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝7.2（天） 答：7.2天能完成。 2．安装一条长3600米的天然气管道，前三天平均每天安装500米。余下的要求4天完成，平均每天要安装多少米？ 【答案】525米 【分析】用天然气管道的总长度减去前三天已经安装的长度，求出剩余未安装的长度，再用剩余未安装的长度除以4，所得商即为平均每天要安装多少米。 【解析】（3600－500×3）÷4 ＝（3600－1500）÷4 ＝2100÷4 ＝525（米） 答：平均每天要安装525米。 核心考点五：行程问题 【典型例题】 在1∶8000000的地图上，量得A、B两地间的距离为10cm，甲乙两列火车同时从A、B两地相对开出，5小时后相遇。已知甲乙两车速度比是11∶9，两车相遇时，甲车行了多少千米？ 【答案】440千米 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出实际距离，再根据速度和＝路程÷时间，求出速度和，再把速度和按11∶9进行分配，求出甲车速度，再根据路程＝速度×时间，即可解答。 【解析】10÷＝80000000（厘米） 80000000厘米＝800千米 800÷5＝160（千米/小时） 160× ＝160× ＝88（千米/小时） 88×5＝440（千米） 答：甲车行了440千米。 【通关练习】 1．小明早上以每分钟50米的速度从家向学校出发，12分钟后，小明的爸爸发现小明没有带文具盒，骑自行车以每分钟110米的速度去追小明，请问爸爸多少分钟后能追上小明？ 【答案】10分钟 【分析】爸爸与小明相距（12×50）米，每分钟爸爸追小明（110－50）米。用相距路程除以速度差等于追上的时间。 【解析】12×50÷（110－50） ＝600÷60 ＝10（分钟） 答：爸爸10分钟后能追上小明。 【总结】明确追及问题数量间的关系是解决本题的关键。 2．一艘轮船，在A、B两个码头之间匀速航行，顺水航行时需要5小时，逆水航行时需要8小时，已知水流速度是6千米/时，两个码头之间的距离是多少千米？ 【答案】160千米 【分析】顺水速度＝轮船自身速度＋水流速度，逆水速度＝轮船自身速度－水流速度，已知A、B两个码头之间的总路程是不变的，所以（轮船自身速度＋水流速度）×顺水时间＝（轮船自身速度－水流速度）×逆水时间，可以设轮船自身速度为x，据此列出方程为：（x＋6）×5＝（x－6）×8，求出方程的解是轮船自身速度，进而可以求出两个码头之间的距离。 【解析】解：设轮船自身速度为x （x＋6）×5＝（x－6）×8 5x＋30＝8x－48 3x＝48＋30 3x＝78 x＝26 （26＋6）×5 ＝32×5 ＝160（千米） 答：两个码头之间的距离是160千米。 【总结】找准等量关系式，并根据等量关系式设知数列出方程是解决此题的关键，注意顺水速度、逆水速度与轮船自身速度的关系。 3．为践行“绿色出行”，李老师每天骑单车上下班。他每分钟骑单车行235米，放学后他从学校出发回家，骑了23分钟后距家还有210米。从学校到李老师家共有多少米？ 【答案】5615米 【分析】路程＝速度×时间，据此求出李老师骑车23分钟的路程，再用求得的路程加上210米，即为从学校到李老师家的距离。 【解析】235×23＋210 ＝5405＋210 ＝5615（米） 答：从学校到李老师家共有5615米。 核心考点六：浓度问题 【典型例题】 有甲、乙两个瓶子，甲瓶里装了200毫升清水，乙瓶里装了200毫升纯酒精。第一次把20毫升纯酒精由乙瓶倒入甲瓶，第二次把甲瓶中20毫升溶液倒回乙瓶，此时甲瓶里含纯酒精多，还是乙瓶里含水多？ 【答案】一样多 【分析】求出第一次把乙瓶酒精倒入甲瓶后，甲瓶的浓度，再求出把甲瓶20毫升溶液倒回乙瓶后甲瓶中酒精的重量，和此时乙瓶中水的重量，再进行比较。 【解析】第一次把20毫升的纯酒精倒入甲瓶，则甲瓶的浓度为： 20÷（200＋20） ＝20÷220 ＝ 第二次把甲瓶中20毫升溶液倒回乙瓶，此时甲瓶中含酒精：200×（毫升）， 此时乙瓶中含水：20×（1－）＝（毫升）， 所以两者相等。 答：此时甲瓶里含纯酒精和乙瓶里含水一样多。 【通关练习】 1．甲容器中有纯酒精45升，乙容器中有水16升。第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器使酒精与水混合；第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器，这时甲容器中酒精浓度为88%，乙容器中酒精浓度为60%。第二次从乙容器倒入甲容器的混合液有多少升？ 【答案】9升 【分析】由题意可得，第一次甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器使酒精与水混合，乙容器中酒精浓度为60%，第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器，乙容器中酒精浓度还是为为60%，然后根据酒精溶液中酒精的量作为等量关系列方程即可解决问题。 【解析】解：设第一次甲容器倒入乙容器x升酒精。 （16＋x）60%＝x 9.6＋0.6x＝x 9.6＝x－0.6x 9.6＝0.4x x＝24 此时甲容器有酒精45－24＝21（升） 乙容器有浓度为60%的酒精溶液24＋16＝40（升） 解：设第二次从乙容器倒入甲容器的混合液有m升。 （21＋m）88%＝21＋60%m 21×88%＋88%m＝21＋60%m 88%m－60%m＝21－21×88% 28%m＝2.52 m＝9 答：第二次从乙容器倒入甲容器的混合液有9升。 2．现有64%浓度的盐水1170克，由于要将盐水浓度调低至48%，所以将一些清水倒入瓶中，但不小心倒了过多的水，结果盐水浓度降至45%，那么要加多少克盐，才可将盐水浓度调高至48%？ 【答案】96克 【分析】根据题意，我们可先求出64%浓度的盐水含盐量为1170×64%＝748.8（克），把浓度降至45%时，盐水中含水量为748.8÷45%×（1－45%）＝915.2（克），若把浓度再调为48%时，此时盐水中含盐量为915.2÷52×48＝844.8（克），可见需要加盐844.8－748.8＝96（克）。 【解析】1170×64%＝748.8（克） 748.8÷45%×（1－45%）＝915.2（克） 915.2÷52×48＝844.8（克） 844.8－748.8＝96（克） 答：要加96克盐，才可将盐水浓度调高至48%。 核心考点七：盈亏问题 【典型例题】 小东从家出发去学校，如果每分走70米，能在上课前5分到校；如果每分走45米，就要迟到5分。那么小东家到学校的路程是多少米？ 【答案】1260米 【分析】题中有速度和时间两种相关联的量，小东走路的速度×时间＝家到学校的路程（一定），乘积一定，则小东走路的速度和时间成反比例。设小东准时到达需x分钟，根据比例关系列方程解答。求出准时到达的时间后，再减去5分钟求出每分走70米时所用的时间，最后乘70即可求出小东家到学校的路程是多少米。 【解析】解：设准时到达需x分钟。 70×（x－5）＝45×（x＋5） 70x－350＝45x＋225 70x－45x＝225＋350 25x＝575 x＝23 70×（23－5） ＝70×18 ＝1260（米） 答：小东家到学校的路程是1260米。 【总结】本题总路程不变，用比例知识来解时，明确小东走路的速度和时间成反比例是解题的关键。 【通关练习】 1．商场购进一批羽绒服，按定价的80%出售，可获利120元；现在夏季是销售淡季，商场为了回笼资金，打定价的六折出售，则亏损96元。这款羽绒服进价是每件多少元？ 【答案】744元 【分析】把商品定价看作单位“1”，以定价的80%出售，则为定价的80%，打六折出售，即以定价的60%出售，则为定价的60%，两次相差定价的（80%－60%））卖出的价格之差为（120＋96）元。也就是说，每多卖定价的（80%−60%），就要多卖（120＋96）元，因此，定价为（120＋96）÷（80%－60%），再进一步求出进价即可。 【解析】（120＋96）÷（80%－60%） ＝216÷0.2 ＝1080（元） 1080×80%－120 ＝864－120 ＝744（元） 答：这款羽绒服进价是每件744元。 【总结】本题主要考查百分数的应用，此题在解答时运用了盈亏问题的解法。 2．用绳子测量一口井的深度，把绳子三折来量，井外每折余16米，把绳子四折来量，井外每折余4米，井深和绳长各是多少？ 【答案】144米；32米 【分析】把绳子三折来量，井外余16米，也就是绳长比井深的3倍还多16×3＝48米；把绳子四折来量，井外余4米，也就是绳长比井深的4倍还多4×4＝16米。根据盈亏问题公式可知，井深为（48－16）÷（4－3）＝32米，则绳长为（32＋16）×3＝144米。 【解析】井深为： （48－16）÷（4－3） ＝32÷1 ＝32（米） 绳长为： （32＋16）×3 ＝48×3 ＝144（米） 答：绳长为144米，井深为32米。 【总结】本题为两次都有余的盈亏问题，公式为：（大盈－小盈）÷（两次分配的差）＝分配数量。 核心考点八：植树问题 【典型例题】 在一条马路的两边种树，一共种了900棵（两端都种），每两棵树之间都相距5米，这条路长多少米？ 【答案】2245米 【分析】根据题意，马路的两边共种了900棵树，则马路一边种了900÷2＝450棵树； 根据两端都栽的植树问题，则棵数－1＝间隔数；再根据“间距×间隔数＝全长”，求出这条路的长度。 【解析】900÷2＝450（棵） 5×（450－1） ＝5×449 ＝2245（米） 答：这条路长2245米。 【通关练习】 1．36名学生做游戏。大家围成一个正方形，每边人数相等，四个顶点都有人，每边各有( )名学生；如果这36名学生围成一个圆，每两名同学之间插一面红旗，一共要插( )面红旗。 【答案】 10 36 【分析】（1）由于四个顶点都有人，根据方阵问题中“每边的人数＝四周的人数÷4＋1”求解。 （2）因为圆形是封闭图形，则间隔数＝棵数；这36名学生围成一个圆，即有36个间隔，每两名同学之间插一面红旗，即在每个间隔里插一面红旗，36个间隔要插36面红旗。 【解析】（1）36÷4＋1 ＝9＋1 ＝10（名） 每边各有10名学生。 （2）如果这36名学生围成一个圆，有36个间隔，每两名同学之间插一面红旗，一共要插36面红旗。 2．研学时，220名师生排成人数相等的四列并排前行，前后相邻两人间隔0.4米，这支队伍有多长？ 【答案】21.6米 【分析】从题意可知：用220÷4＝55人，即求出1列的人数；根据“直线型”植树问题，两端都栽，那么“棵数＝段数＋1＝全长÷间隔＋1”。所以55人把这支队伍全长分成的段数为55－1＝54（段），根据全长＝段数×间隔，代入数据，即可求出队伍的长度。 【解析】（220÷4－1）×0.4 ＝（55－1）×0.4 ＝54×0.4 ＝21.6（米） 答：这支队伍有长21.6米。 核心考点九：鸡兔同笼问题 【典型例题】 2025年是新中国成立76周年，儋州市某小学举行了以“礼赞新中国，放歌新时代”为主题的歌咏比赛。比赛分单人独唱和双人合唱，共有18组，30名学生参加比赛，单人独唱和双人合唱各有多少组？ 【答案】单人独唱：6组；双人合唱：12组 【分析】分析题目，单人独唱组组数＋双人合唱组组数＝18，单人独唱组的组数×1＋双人合唱组的组数×2＝总人数，据此列出表格，找出总人数为30的方法即为所求。 【解析】 单人独唱组/组 9 8 7 6 双人合唱组/组 9 10 11 12 总人数/人 27 28 29 30 答：单人独唱有6组，双人合唱有12组。 【通关练习】 1．某超市需要购进甲、乙两种商品共160件。其进价和售价如下表，该超市计划售完这批商品获利1200元。 （1）售出一件甲商品获利（    ）元；售出一件乙商品获利（    ）元。 （2）甲、乙两种商品应分别购进多少件？ 甲 乙 进价（元/件） 15 35 售价（元/件） 20 45 【答案】（1）5；10 （2）甲80件；乙80件 【分析】（1）根据“获利＝售价－进价”，分别求出售出一件甲、乙商品的获利。 （2）根据“购进甲、乙两种商品共160件”可以设乙种商品购进件，则甲种商品购进（160－）件； 根据“该超市计划售完这批商品获利1200元”可得出等量关系：每件甲种商品的获利×甲种商品的件数＋每件乙种商品的获利×乙种商品的件数＝两种商品售完后的总获利，据此列出方程，并求解。 【解析】（1）20－15＝5（元） 45－35＝10（元） 售出一件甲商品获利（5）元；售出一件乙商品获利（10）元。 （2）解：设乙种商品购进件，则甲种商品购进（160－）件。 10＋5（160－）＝1200 10＋800－5＝1200 5＋800＝1200 5＝1200－800 5＝400 ＝400÷5 ＝80 甲：160－80＝80（件） 答：甲、乙两种商品应分别购进80件。 2．张帅是校篮球队的得分高手，在一次跟兄弟学校的篮球联谊赛上张帅一个人就赢得了28分，队友帮他数了，他一共投进12个球，有2分球，也有3分球，你能算出张帅投进几个2分球，几个3分球吗？ 【答案】8个2分球，4个3分球。 【分析】假设张帅投进的12个球全是2分球，则共计24分，而实际得分是28分，少算了4分，这时因为张帅投进的12个球中，有些是3分球，而我们算成了2分球，投进1个3分球，就少算了1分，现在总共少算了4分，即可算出3分球的个数。 【解析】12×2＝24（分） 28－24＝4（分） 3－2＝1（分） 4÷1＝4（个） 12－4＝8（个） 答：张帅投进8个2分球，4个3分球。 【总结】本题主要考查鸡兔同笼问题，我们可以用假设法解答，解答中假设的全是2分，也可以假设全是3分。或者本题也可以用方程作答。 核心考点十：鸽巢问题（抽屉原理） 【典型例题】 有49名学生共同参加体操表演，其中最小的8岁，最大的11岁，在参加体操表演的学生中至少有几名学生是同年同月出生？ 【答案】2名 【分析】抽屉问题的解题思路为：至少数等于物体数除以抽屉数的商，如果有余数，则结果再加1；根据抽屉原理可知，当每个月出生的人数相等时，同一个月出生的人数最少，先求出8岁到11岁共有多少个月份，即抽屉的个数，再分析是否一定有两个人在同一月出生。 【解析】从8岁到11岁，出生的月份共有： （11－8＋1）×12＝4×12＝48（个） 假设每个月出生的人数相同，则： 49÷48＝1……1（个） 1＋1＝2（人） 所以至少有两个人在同一月份出生。 答：一定有两个同学是同年同月生。 【总结】本题属于抽屉原理类型的问题，解答的关键是构建合适的抽屉。 【通关练习】 1．实验小学篮球队同学去借篮球，向管理员借30个，管理员说：“你们一次都拿走的话，一定会有一个人至少要拿4个。”篮球队最多有( )名队员。 【答案】9 【分析】一定有一个人至少拿4个，那么其他人至少少拿1个，也就是每人拿3个；当每个人拿3个时，10个人刚好拿完30个球，不存在一定有一个人需要多拿，则人数应该比10个人少，据此解答即可。 【解析】当篮球队有10名队员时，30÷10＝ 3（个），此时每个队员拿3个可一次抱走； 当篮球队有9名队员时，30÷ 9＝3（个）……3（个），此时需要有队员拿3＋1＝4（个）可一次抱走； 所以篮球队最多有9名队员。 2．盒子里有同样大小的红球7个、蓝球5个、黄球6个。从盒子里至少摸出( )个球，才能保证一定有2个同色的；至少摸出( )个球，才能保证有2个不同色的球。 【答案】 4 8 【分析】最不利的情况是摸到红、蓝、黄球各1个（共3个），此时仍无同色。再摸1个，无论是什么颜色，必然与之前的某一颜色重复； 最不利的情况是连续摸出数量最多的红球（7个），此时全部为同色。再摸1个，必为蓝或黄，出现不同颜色，据此解答。 【解析】3＋1＝4（个） 7＋1＝8（个） 盒子里有同样大小的红球7个、蓝球5个、黄球6个。从盒子里至少摸出4个球，才能保证一定有2个同色的；至少摸出8个球，才能保证有2个不同色的球。 3．端午节是中国首个入选世界非遗的节日，各地都有包粽子的习俗。小明、倩倩两家制作了三种口味粽子的数量如表。从小明家的粽子里任意拿一个吃，吃到( )口味的可能性最大。从倩倩家粽子里至少从中拿出( )个才能保证有2个粽子的口味是相同的。 种类 小明 倩倩 豆沙 15个 15个 红枣 10个 15个 花生 5个 15个 【答案】 豆沙 4 【分析】根据小明家里粽子的种类和数量进行判断，数量多，吃到的可能性就越大；倩倩家粽子的种类数量相同，所以每一种都拿出一次，再拿一次就会出现口味相同的，据此解答。 【解析】从小明家的粽子里任意拿一个吃，吃到豆沙口味的可能性最大。3＋1＝4（个），因此从倩倩家粽子里至少从中拿出4个才能保证有2个粽子的口味是相同的。 真题演练 一、填空题 1．（2024·四川内江·小升初真题）如表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等。若取最左端3个格子中的后两个记作x、y，那么x－y＝( )。 8 x y 7 4 … 【答案】3 【分析】根据任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则从左向右8＋x＋y＝第2个数＋第3个数＋第4个数＝x＋y＋第4个数，据此可知第4个数为8，即可找出格子数按照8、7、4的规律依次排列，据此求解。 【解析】从左向右前3个数是8、x、y，则从左向右第4个数为8，结合从左向右第5个数是7，第6个数是4，可知：格子数是按照8、7、4、8、7、4、…的规律排列的，即x＝7，y＝4。 x－y＝7－4＝3 2．（2024·四川成都·小升初真题）甲、乙、丙、丁四人各有一个作业本混放在一起，4个人看也不看就随便各拿了1本，那么至少有一人拿错的可能有( )种。 【答案】23 【分析】至少有一人拿错就是有可能1人拿错，有可能2人拿错，有可能是3人拿错，还有可能是4人拿错，那么换思路想一想如果所有人都拿对有几种情况。只有1种。那么至少有一人拿错的可能种数＝一共出现的情况－1。甲会拿到甲、乙、丙、丁四种作业本就是4种，这样乙会拿剩下的3种，丙会拿2种，丁就拿1种，一共有24种可能性。 【解析】（种） （种） 则至少有一人拿错的可能有23种。 3．（2024·四川巴中·小升初真题）如图，3个杯子叠起来高16cm，5个杯子叠起来高22cm，照这样计算，10个杯子叠起来高( )cm，( )个杯子叠起来高55cm。 【答案】 37 16 【分析】5个杯子比3个杯子多2两个，多出来了6 cm，所以增加一个杯子就增加3厘米，3个杯子总高度是16厘米，每增加一个杯子增加3厘米，所以第一个杯子的高度是10厘米，此后每增加一个杯子就增加3厘米，所以10个杯子的时候，是增加了9个3厘米，所以10个杯子的高度是10＋3×9，总高度是55厘米，也就是增加了45厘米，45里面有15个3厘米，所以在第一个杯子的基础上增加了15个杯子，因此一共有16个杯子。 【解析】22－16＝6（cm） 6÷2＝3（cm） 10＋3×9 ＝10＋27 ＝37（cm） 55－10＝45（cm） 45÷3＝15（个） 15＋1＝16（个） 所以10个杯子叠起来高37 cm，16个杯子叠起来高55cm。 【总结】考查数与形的相关知识，重点要知道第一个杯子的高度是多少，每增加一个杯子高度增加多少。 4．（2024·四川成都·小升初真题）小王家的WiFi密码是一个六位数，其中左边三个数字是由小到大的3个连续自然数，右边三个数字都相同，6个号码的数字之和恰好等于末尾的两位数，这个WiFi密码是( )。 【答案】789333 【分析】这个六位数每一位数的范围是0到9这10个整数。左边三个数字是由小到大的3个连续自然数用字母A来表示中间的数，则另外两个数为A－1、A＋1，右边三个数字都相同用字母B来表示。则A－1＋A＋A＋1＋B＋B＋B＝10B＋B。对式子化简为3A＝8B 。则找一个数既是3的倍数，也是8的倍数。根据本题题意，这个数只能是24。 【解析】设：左边三个数字是由小到大的3个连续自然数用字母A来表示中间的数，则另外两个数为A－1、A＋1，右边三个数字都相同用字母B来表示。 A－1＋A＋A＋1＋B＋B＋B＝10B＋B 3A＋3B＝11B 3A＝11B－3B 3A＝8B 则3A＝8B＝24 A＝8，B＝3 则三个连续的自然数是7、8、9，三个相同的数是3。 则这个WiFi密码是789333。 5．（2024·四川成都·小升初真题）甲、乙两地是电车发车站，每隔一定时间两地同时发出一辆电车。小王骑自行车每隔12分钟就被一辆后面开来的电车追上；每隔8分钟就与一辆迎面开来的电车相遇。那么相邻两辆电车的发车时间相差( )分钟。 【答案】9.6 【分析】设电车的速度为x米/分，小王骑自行车的速度为y米/分，两辆车之间的距离是相等的。小王骑自行车每隔12分钟就被一辆后面开来的电车追上是一个追及问题，则（电车的速度－小王的速度）×12＝两车之间的距离。每隔8分钟就与一辆迎面开来的电车相遇则（电车的速度＋小王的速度）×8＝两车之间的距离。则12（x－y）＝8（x＋y），化简得x＝5y。则两辆车之间的距离是得出48y。相邻两辆电车的发时间＝两车路程÷电车车速。 【解析】设电车的速度为x米/分，小王骑自行车的速度为y米/分。 12（x－y）＝8（x＋y） 12x－12y＝8x＋8y 12x－8x＝12y＋8y 4x＝20y x＝5y 两辆车之间距离：12（x－y） ＝12（5y－y） ＝12×4y ＝48y（米） 则相邻两辆电车的发时间：48y÷x＝48y÷5y＝48÷5＝9.6（分钟） 则相邻两辆电车的发车时间相差9.6分钟。 6．（2024·四川成都·小升初真题）开始时，王老师的积分券有120张，小明的积分券数量是小李的两倍。后来，王老师给小明和小李发了相同数量的积分券，现在三人的积分券数量之比为。现在王老师还剩积分券( )张。 【答案】40 【分析】设现在王老师有张，则小明现在有张，小李现在有张。王老师给小明和小李相同数量，则小明和小李的数量差不变，，原来小明是小李的两倍，小李是1份，小明就是这样的2份，相差1份，一份就是x张，则小李原有x张，小明原有（张）。三个人的总张数没有发生改变，则数量关系式为：三人的张数－小明原有的张数－小李原有的张数＝120张。 【解析】设现在王老师有张，则小明现在有张，小李现在有张。 则现在王老师还剩积分券40张。 7．（2024·四川成都·小升初真题）甲队原有96人，现调出16人到乙队，调出人数后，甲队人数比乙队人数的k（是不等于1的正整数）倍还多6人，乙队原有( )人。 【答案】21 【分析】甲队原有96人，现调出16人到乙队，现在甲队有80人，甲队人数比乙队人数的k（是不等于1的正整数）倍还多6人，就是乙队是1份，那么甲队是这样的k份还多6人，甲队的人数减去6人为74人，就是k份的乙。74÷k得出的商是一个整数。74＝1×74＝2×37，k是不等于1的正整数，则k是2，乙队这时候有37人。乙队原有的人＝乙队现在的人－16。 【解析】96－16＝80（人） 80－6＝74（人） 74÷2＝37（人） 37－16＝21（人） 则乙队原有21人。 8．（2024·四川成都·小升初真题）小张乘船沿河逆流而上，途中不慎将水壶掉进河中，水壶沿河漂走，10s后小张才发现水壶失落，他立即调转船头顺流行驶，小张调转船头顺流行驶( )s可以追上水壶。 【答案】10 【分析】设静水的速度为，船的速度为。顺水的速度＝＋，逆水的速度＝－。小张立即调转船头顺流行驶找水壶的过程是一个追及的过程。水壶的速度是水的速度。水壶和小张的距离＝10s小张逆水行驶10分钟的路程＋10秒水壶行驶的路程＝10×（船逆水的速度＋水壶的速度）。水壶和小张之间的距离就是追及的距离也就是10，追及的时间＝追及的距离÷船和水壶的速度差＝追及的距离÷（船顺水的速度－水壶的速度）。 【解析】水壶和小张之间的距离：10×（＋） ＝10×（－＋） ＝10 追及的时间：10÷（－） ＝10÷（＋－） ＝10÷ ＝10（s） 则小张调转船头顺流行驶10s可以追上水壶。 9．（2024·重庆沙坪坝·小升初真题）蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管。要灌满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时。要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时。现在池内有池水，如果按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1小时，则( )小时后水开始溢出水池。 【答案】20 【分析】将蓄水池的容积看作单位“1”，则甲、乙、丙、丁的工作效率分别为、、、。甲、乙、丙、丁按顺序轮流打开，且每次开1小时，则4小时为1个周期，求出每个周期结束注入池水，因为在整个周期中甲先开始进水，则1小时的进水是，即当循环5个周期后，蓄水池里面的水有，再求出第5个周期后还剩池水的几分之几，这样5个周期后还剩1－＝池水未灌，这部分水需要第6个周期开始时甲工作（小时）灌满，则水开始溢出时间为：4×5＋，据此计算即可解答。 【解析】甲的工作效率：1÷3＝ 乙的工作效率：1÷4＝ 丙的工作效率：1÷5＝ 丁的工作效率：1÷6＝ 1－＝ （小时） 4×5＋ ＝20＋ ＝20（小时） 则20小时后水开始溢出水池。 【总结】根据工作效率=工作总量÷工作时间分别得出水管的进出水的效率，再找出循环周期，注意在循环5个周期后水已经有了，剩下的是甲先进水，这时候根据甲的工效得出，甲进水了小时时，水已经开始溢出。 10．（2024·山西太原·小升初真题）一个研学团共有65人，在实践基地租住了双人间和三人间共25间，正好全部住满。算一算，双人间租住了( )间，三人间租住了( )间。 【答案】 10 15 【分析】假设住的全是三人间，则可以住25×3＝75（人），实际比假设少住了75－65＝10（人），这是因为每个双人间比每个三人间少住3－2＝1（人），据此可求出双人间，进而可求出三人间。 【解析】（75×3－65）÷（3－2） ＝（225－65）÷1 ＝10÷1 ＝10（间） 25－10＝15（间） 双人间租住了10间，三人间租住了15间。 【总结】此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论；也可以用方程进行解答。 二、选择题 11．（2015·四川绵阳·小升初真题）有一批同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐6人，如果减少一条船，正好每条船坐9人，则该班有（    ）名同学。 A．32 B．36 C．40 D．48 【答案】B 【分析】方法一：若增加一条船，正好每条船坐6人，不增加，则有6×1＝6人坐不下。减少一条船，正好每船坐9人，不减少，则空余座位9×1＝9个。根据盈亏问题的解题方法，即（盈＋亏）÷两次剩余人数之差＝船的只数，原有船数可以求出。再根据已知条件求出该班人数。 方法二：设使用x条船，根据关系式：（使用船数＋1）×6＝（使用船数-1）×9，列方程计算即可求出使用船数，再用（使用船数＋1）×6，计算即可得解。 【解析】方法一：（9＋6）÷（9－6） ＝15÷3 ＝5（条） （5＋1）×6 ＝6×6 ＝36（人） 方法二 解：设使用x条船，据题意可得方程： （x＋1）×6＝（x－1）×9 6x＋6＝9x－9 9x－6x＝9＋6 3x＝15 x＝15÷3 x＝5 则班级人数为：（5＋1）×6 ＝6×6 ＝36（人） 该班有36名同学。 故答案为：B 12．（2024·陕西西安·小升初真题）用小棒摆图形，如图，第1个图用6根小棒，第2个图用10根小棒，第3个图用14根小棒，……，按这样的规律摆下去，第（    ）个图用146根小棒。 A．36 B．37 C．38 D．39 【答案】A 【分析】观察图形可知，第1个图用6根小棒，可以写成：4×1＋2； 第2个图形用10个小棒，可以写成：4×2＋2； 第3个图形用14个小棒，可以写成：4×3＋2； …… 由此可知，第n个图形用小棒的根数是：（4n＋2）根；当用小棒的根数是146根，求第几个图形，用146－2，再除以4，据此解答。 【解析】根据分析可知，第n图形需要小棒（4n＋2）根。 （146－2）÷4 ＝144÷4 ＝36（个） 用小棒摆图形，如图，第1个图用6根小棒，第2个图用10根小棒，第3个图用14根小棒，……，按这样的规律摆下去，第36个图用146根小棒。 故答案为：A 13．（2024·四川绵阳·小升初真题）某段公路长为440米，在公路两旁每隔8米种一颗樟树，两端都裁，共种（    ）棵。 A．56 B．110 C．112 D．220 【答案】C 【分析】根据植树问题中的两端都栽树问题可知，棵数＝间隔数＋1，用公路的总长度除以间隔数，再加1，即可求出公路一侧的棵数，再乘2即可得解。 【解析】（440÷8＋1）×2 ＝（55＋1）×2 ＝56×2 ＝112（棵） 共种112棵。 故答案为：C 14．（2024·四川绵阳·小升初真题）甲、乙两人各走一段路，他们的速度比是，路程比是，那么他们所需时间比是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知甲、乙的速度比是3∶4，可以把甲的速度看作3份，则乙的速度看作4份；已知甲、乙的路程比是8∶3，可以把甲的路程看作8份，则乙的路程看作3份；根据“时间＝路程÷速度”，分别求出甲、乙各自的时间，再根据比的意义写出两人的时间比，并化简比。 【解析】甲时间：8÷3＝ 乙时间：3÷4＝ ∶ ＝（×12）∶（×12） ＝32∶9 他们所需时间比是32∶9。 故答案为：B 15．（2024·浙江湖州·小升初真题）盒子里装有1个红球，3个黄球和4个白球（这些球除颜色外完全相同）。至少摸出（    ）个球，才能保证取到两个颜色相同的球。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】把3种不同颜色看作3个抽屉，把不同颜色的球看作元素，从最不利情况考虑，先从每个抽屉摸出1个球，一共是3个球，再摸出1个球，不论是什么颜色，总有一个抽屉里的球和它同色，据此解答。 【解析】3＋1＝4（个） 因此至少摸出4个球，才能保证取到两个颜色相同的球。 故答案为：B 16．（2024·四川巴中·小升初真题）某地出租车的收费标准如下，3km以内8元，超过3km的部分每千米1.5元（不足1km按1km计算）。笑笑坐车去博物馆，行了7.8km，需付多少钱？下面符合坐车总费用的数量关系图是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，3km以内8元，则3km以内（包含3km）的收费不变，不足1km按1km计算，则7.8km按8km进行计算，即超出3km的部分有8－3＝5km，据此逐一分析各项即可。 【解析】A．表示3km以内的收费不变，超出3km的部分有4km，不符合题意； B．表示3km以内的收费不变，超出3km的部分有5km，符合题意； C．表示3km以内的收费不变，超出3km的部分有1km，不符合题意； D．没有表示出3km以内的收费不变，不符合题意。 故答案为：B 17．（2024·四川绵阳·小升初真题）甲乙两车分别从A、B两地同时相向而行，已知A、B两地相距300千米且甲比乙快些，4小时后，甲、乙在距离中点30千米处相遇，那么甲、乙两车的速度比是（    ）。 A．3∶2 B．2∶3 C．5∶4 D．5∶1 【答案】A 【分析】因为甲比乙快些，所以相遇地点距离A地远些。甲乙相向而行相遇地点距离A地是路程的一半加30千米即180千米，距离B地是路程的一半减30千米即120千米。也就是说相遇时，甲行驶了180千米，乙行驶了120千米。根据速度＝路程÷时间，求出甲乙的速度再求速度比进行解答。 【解析】甲的速度： （千米） 乙的速度： （千米） 甲乙的速度比是。 故答案为：A 18．（2024·四川成都·小升初真题）王老师去买书，买4本故事书和8本漫画书共需136元，买同样的3本故事书和10本漫画书共需150元。8本故事书和4本漫画书共（    ）元。 A．80 B．50 C．96 D．128 【答案】D 【分析】4本故事书和8本漫画书共需要136元，将这些书每1本故事书和2本漫画书分成1份，可以分成4份，每一份是34元，那么3本故事书和6本漫画书就是102元。3本故事书和10本漫画书共需要150元，相同的本数的故事书，但相差了48元，48元就是相差的4本漫画书的钱。1本漫画书就是12元。再根据条件求出1本故事的钱。则可以得出8本故事书和4本漫画书的钱。 【解析】1本故事书和2本漫画书的钱：（元） 3本故事书和6本漫画书总钱数：（元） 1本漫画书的钱： 1本故事书的钱： （元） 故答案为：D 19．（2024·四川成都·小升初真题）从甲地到乙地，小明的平均速度是每分钟120米，已知他往返的平均速度是每分钟90米，那么他返回的平均速度是每分钟（    ）米。 A．60 B．72 C．75 D．105 【答案】B 【分析】设甲乙之间的距离为单位“1”，则甲地到乙地的时间＝路程÷速度＝，往返的平均速度＝2倍的路程÷（去的时间＋返回的时间）。可以求出返回的时间。返回的速度＝路程÷时间。 【解析】甲地到乙地的时间：1÷120＝ 去的时间＋返回的时间：2÷90＝ 返回的时间：－＝ 返回的速度：1÷＝72（米/分钟） 故答案选：B 20．（2024·四川成都·小升初真题）有关部门要连续审核30个科研课题方案，如果要求每天安排审核的课题个数互不相等且不为零，则审核完这些课题最多需要（    ）。 A．7天 B．8天 C．9天 D．10天 【答案】A 【分析】要使审核完这些课题的天数尽量的多，每天审核的课题数应该尽量的少。因为每天安排审核的课题个数互不相同且不为零，且1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，所以可以构造： 1＋2＋3＋4＋5＋6＋9＝30 （或者1＋2＋3＋4＋5＋7＋8＝30） ，据此解答。 【解析】因为30＝ 1＋2＋3＋4＋5＋6＋ 9 或30＝ 1＋2＋3＋4＋5＋7＋8 如果每天审核1，2，3， 4，5，6， 9个，用7天审完； 如果每天审核1、2、3、4、5、7、8个，也用7天审完； 审核完这些课题最多需要7天。 故选择：A 【总结】每天安排审核的课题个数互不相等且不为0，总课题只有30个，有关部门又是连续审核，按此要求，在最不利的情况下，不妨把每天审的问题个数按从小到大排列如下： 1， 2，3， 4，5，6，7，注意到：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，这就用了7天，余下30－28＝2 （个）问题，若再用一天或两天，则与前7天中某一天审2个或1个在数量上相等，这与题设矛盾，因此只能在前7天中的某一天中多审2个或某两天各多审1个问题即可，因此最多7天审完。 三、解答题 21．（2024·江西赣州·小升初真题）张老师在实验室里把4.8升药水全部倒入如图的两个容器中，正好倒完也刚好都倒满。已知圆柱和圆锥容器的底面积相等，圆柱和圆锥容器的容积各是多少升？ 【答案】圆柱容器的容积是3.6升，圆锥容器的容积是1.2升 【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以等底等高的圆柱与圆锥的体积和相当于圆锥体积的（3＋1）倍，根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法求出圆锥容器的容积，进而求出圆柱容器的容积。 【解析】4.8÷（3＋1） ＝4.8÷4 ＝1.2（升） 1.2×3＝3.6（升） 答：圆柱容器的容积是3.6升，圆锥容器的容积是1.2升。 22．（2024·四川巴中·小升初真题）工程队抢修一条长200米的公路，预计3天修完，第一天修了56米，第二天修的长度和第三天的比是4∶5，第二天修了多少米？ 【答案】64米 【分析】用公路的全长减去第一天修的米数，求出剩下的米数，也就是第二天、第三天修的米数和，再根据按比例分配的方法，用第二天、第三天修的米数和除以第二天、第三天的份数和，求出1份是多少，再乘第二天修的份数即可解答。 【解析】200－56＝144（米） 144÷（4＋5）×4 ＝144÷9×4 ＝16×4 ＝64（米） 答：第二天修了64米。 23．（2024·四川绵阳·小升初真题）张先生向商店订购了每件定价为100元的某种商品80件，张先生对商店经理说：“如果你肯降价，那么每降价1元，我就多订购4件。”商店经理算了下，若减价5%，则由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多100元，这种商品的成本是多少元？ 【答案】70元 【分析】把商品原来每件的定件100元看作单位“1”，若减价5%，即每件商品减少的钱数占原来每件定价的5%，则每件减少了100×5%＝5元； 已知每降价1元，就多订购4件，那么减少的5元就多订了20件，加上原来订购的80件，现在一共订购100件； 根据“获得的利润反而比原来多100元”可得出等量关系：降价后每件商品的利润×降价后订购的件数－原来每件商品的利润×原来订购的件数＝降价后比原来多的利润，据此列出方程，并求解； 最后用原来每件的定价减去原来每件商品的利润，即是这种商品的成本价。 【解析】减价：100×5% ＝100×0.05 ＝5（元） 多订购的件数：5÷1×4＝20（件） 降价后共订购：80＋20＝100（件） 解：设原来每件商品的利润为元。 （－5）×100－80＝100 100－500－80＝100 20－500＝100 20＝100＋500 20＝600 ＝600÷20 ＝30 100－30＝70（元） 答：这种商品的成本是70元。 【总结】关键是抓住降价前后利润的变化，找出等量关系，根据等量关系列方程解决问题。 24．（2024·四川成都·小升初真题）科技节中有四个孩子合买了一艘价值120元的船模，已知第一个孩子付的钱是其他孩子付的总钱数的，第二个孩子付的钱是其他孩子付的总钱数的，第三个孩子付的钱是其他孩子付的总钱数的。那么第四个孩子实际付了多少元？ 【答案】46元 【分析】把买船模的钱数看作单位“1”，第一个孩子付的钱是其他孩子付的总钱数的，那么第一个孩子付的钱数就是总钱数的；第二个孩子付的钱是其他孩子付的总钱数的，那么第二个孩子付的钱数就是总钱数的；第三个孩子付的钱是其他孩子付的总钱数的，那么第二个孩子付的钱数就是总钱数的，先求出前三个孩子付的钱数占总钱数的分率，再求出第四个孩子付的钱数占总钱数的分率，再用总钱数×第四个孩子付的钱数占总钱数的分率，即可解答。 【解析】第一个孩子付的钱数就是总钱数的＝； 第二个孩子付的钱数就是总钱数的＝； 第二个孩子付的钱数就是总钱数的＝； 120×（1－－－） ＝120×（－－） ＝120×（－－） ＝120×（－） ＝120×（－） ＝120× ＝46（元） 答：第四个孩子实际付了46元。 【总结】先根据所给条件求出前三个孩子所付的钱数占总钱数的分率是解答本题的关键。 25．（2024·四川成都·小升初真题）甲、乙、丙三人承包一项任务，发给他们的工资是180元，三人完成这项任务的情况是：甲、乙两人合作6天完成了这项任务的；因甲有事，乙、丙合作2天完成了余下任务的；以后3人合作5天完成了这项任务。按完成工作量的多少付酬，甲、乙、丙各应得多少元？ 【答案】甲应得33元，乙应得91元，丙得56元 【分析】甲、乙两人合作6天完成这项任务的，则甲和乙的工效是，将这项工作看成单位“1”，剩下这项工作的，乙、丙合作2天完成了余下任务的，则乙、丙合作2天完成了的，则乙丙2天完成了这项工作的，乙和丙的工效是。甲乙丙合作5天完成了这项任务的，则甲乙丙三人的工效是。分别求出甲乙丙三个人的工效，再根据工作总量＝工作时间×工作效率。再根据工作量算出应得的钱。 【解析】 甲、乙的工效： 丙、乙的工效： 甲、乙、丙的工效： 甲工效： 甲的工作量： ＝ ＝ 甲的钱：（元） 丙工效： 丙的工作量： ＝ ＝ 丙的钱：（元） 乙工效： 乙的工作量： ＝ ＝ 乙的钱：（元） 答：甲应得33元，乙应得91元，丙应得56元。 26．（2024·四川成都·小升初真题）某人从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟，若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在此人打算在火车开车前10分钟到达火车站，求此人此时摩托车的速度应该是多少？ 【答案】每小时27千米 【分析】家到火车站的距离是不变的，设从家出发正点到达火车站的时间是小时，根据时速30千米和18千米两种情况下路程相等列方程，解出正点到达火车站的时间，从而计算出家到火车站的距离，再用距离除以提前10分钟时所需要的时间就是摩托车应该行驶的速度。 【解析】解：设从家出发正点到达火车站的时间是小时， （千米） 答：此时摩托车的速度应该是每小时27千米。 【总结】本题考查路程问题的基本公式“路程＝速度×时间”，解题思路是应用路程不变列方程求解。 学科网（北京）股份有限公司 $$