专题19 探索规律（讲义）（知识梳理＋核心考点精讲＋真题演练）-2024-2025小升初数学核心考点精编讲义 通用版（原卷版＋解析版）

专题19 探索规律 知识梳理＋核心考点精讲＋真题演练 2024-2025小升初数学通用版 知识梳理 一、数字的排列规律 数字排列规律需从多维度分析，常见形式如下： 规律类型 定义 示例 等差排列 一列数中、相邻两项的差是固定值 如：1、3、5、7、9、…，后一项比前一项多2；公差为2，通项公式为（为首项，为公差）。 等比排列 一列数中、相邻两项的比值是固定值 如：3、6、12、24、…，后一项与前一项的比为2:1；公比为2，通项公式为（为首项，为公比）。 奇/偶数位差值相等 奇数位上的数相邻两项差固定，偶数位上的数相邻两项差也固定（两者差值可相同或不同） 如：2、10、4、13、6、16、8、19、…，奇数位（第1、3、5…位）：2→4→6→8（差为2）； 偶数位（第2、4、6…位）：10→13→16→19（差为3）。 奇/偶数位倍数相等 奇数位上的数有相同倍数关系，偶数位上的数也有相同倍数关系（倍数可相同或不同） 如：2、3、4、9、8、27、16、81、…，奇数位（第1、3、5…位）：2→4→8→16（后项是前项的2倍）； 偶数位（第2、4、6…位）：3→9→27→81（后项是前项的3倍）。 累加递增 从某一项开始，每一项等于前面若干项的和 如：0、1、2、3、6、12、23、44、…，从第5项开始，第5项=0+1+2+3=6，第6项=1+2+3+6=12，依此类推。 项数平方/立方 每一项是其所在位置序号的平方或立方 如：平方数列：1、4、9、16、25、…（第项为）；立方数列：1、8、27、64、…（第项为）。 二、算式中的规律 1、观察算式结构及结果特征，总结同类算式规律。 例：，，，，… 规律：从1开始的连续奇数相加，和等于奇数个数的平方。如（共7个奇数相加）。 例：，，，… 规律：个9组成的数自乘，再加个9加1组成的数，结果为（如）。 三、图形的排列规律 1、图形本身的变化规律 对称：图形沿对称轴对折后完全重合（如轴对称图形：长方形、正方形、圆等），或绕中心旋转180°后重合（中心对称图形：平行四边形）。 平移与旋转：图形按固定方向和距离平移（如每次向右平移2格），或绕固定点按顺时针/逆时针旋转一定角度（如每次旋转90°）。 元素增减：图形中元素数量按规律增加或减少（如三角形个数依次增加1个，或星星数量按2、4、6…递增）。 2、图形中数的排列规律 数与图形位置对应：如三角形顶点标数，每条边上的数之和相等；或方格中数按行列规律排列（如每行从左到右递增1，每列从上到下递增5）。 数与图形数量关联：如用小正方形拼大正方形，边长为时，小正方形总数为；或六边形每条边标数，总和与边数、顶点数相关。 四、数形结合的规律 1、通过图形直观体现数的规律，或通过数描述图形变化。 例：用小棒摆正方形，第1个正方形用4根，第2个用7根（4+3），第3个用10根（4+3×2），…，第个用根。 例：点阵图中，第1层1个点，第2层8个点（形成环形），第3层16个点，…，第层点数为（，时为1）。 核心考点精讲 核心考点一：算式的规律 【典型例题】 车甫为了参加速算比赛，做了一些练习题，以下是其中几道： 23×11＝253    46×11＝506    31×11＝341 58×11＝638    45×11＝495    69×11＝759 (1)车甫通过观察以上算式及其结果后发现，一个两位数与11相乘所得的积有如下规律：首尾( )，中间( )，满十向前一位( )。 ①进一   ②不变   ③相加   ④相减 (2)通过上面发现的规律，你能直接写出下面算式的结果吗？ 52×11＝( )； 11×63＝( )； 77×11＝( )。 【通关练习】 1．观察下面的算式： 32－1＝4×2＝8 42－1＝5×3＝15 72－1＝8×6＝48 92－1＝10×8＝80 （1）根据你发现的规律，再写一道这样的算式。 （2）运用这个规律计算101×99。 2．先阅读理解，再解决问题。 有这样一组有规律的算式： 第1层：； 第2层：； 第3层：； 第4层：； 第5层：； …… （1）我发现：每一层的第1个数，都正好等于（    ），像第7层的第1个数是（    ）。 （2）我发现：每层右边的数的个数等于（    ），如第7层右边一共有（    ）个数。 （3）请你列式计算出第7层等号左边数的和。 核心考点二：数字排列的规律 【典型例题】 100名同学按照编号1~100从左往右顺次排成一行，然后“1、2”报数到最后一人，凡报“1”的就出队；剩下的50名同学再从头开始“1、2”报数，报“1”的再出队……这样继续下去，报到第几轮后就只剩下1名同学？他是多少号？ 【通关练习】 1．找规律，在括号里填上适当的数。 (1)8，11，14，17，( )，23，26。 (2)1，2，4，8，( )，32，64。 (3)（1，1），（2，4），（1，9），（2，16）…第8组是( )。 2．有一组数：1、……，第十个数是 ，第n个数是 。 3．根据，0.8，，0.6这组数据的规律，后面应该依次填写( )，( )。 核心考点三：图形的变化规律 【典型例题】 黑白两种颜色的正六边形，按如图所示的规律拼图案，照这样的规律下去。第( )个图案中的白正六边形比黑正六边形多32个。 【通关练习】 1．如图是用圆点拼成的点阵图形，根据圆点的变化规律，第n个图形中圆点有( )个。 2．观察下图，按要求完成下列各题。 (1)这4个图形中分别有多少个三角形？请依次写出。 (2)按照这种规律画下去，第6个图形中有多少个三角形呢？第9个图形中有多少个三角形呢？ (3)仔细观察图形，你能发现什么规律？请推测第n个图形中有多少个三角形。 (4)根据上面的规律，请计算下图中一共有多少个三角形。 核心考点四：数表的规律 【典型例题】 将自然数按下图的规律排列，则2011所在的位置是第 行第 列。 【通关练习】 1．如图，在日历上任意框出6个数。如果框出的6个数的和是75，框出的6个数分别是多少？ 2．表二、表三分别是从表一中截取的一部分，那么表中a＝ ，b＝ 。 真题演练 一、填空题 1．（2024·河南郑州·小升初真题）定义一种新运算“△”满足：8△3＝8＋7＋6＝21，7△4＝7＋6＋5＋4＝22，10△5＝10＋9＋8＋7＋6＝40，则2024△5＝ 。 2．（2024·广西南宁·小升初真题）根据规律填空。 12345679×9＝111111111 12345679×18＝222222222 12345679×27＝333333333 12345679×( )＝444444444 3．（2024·浙江金华·小升初真题）找规律填数。 （1）1，2，3，5，8，（    ），21，（    ）。 （2），，，，，，，。 4．（2024·四川绵阳·小升初真题）“成都欢迎你成都欢迎你成都……”按这样的规律排下去，第2016个汉字是( )。 5．（2024·湖北荆州·小升初真题）观察下列图形的构成情况，按照此规律，第5个图形中●的个数为( )个，第n个图形中●个数有( )个。 6．（2024·河北石家庄·小升初真题）观察下列式子：，，，…请计算＝( )。 7．（2024·山东德州·小升初真题）杨辉三角（如图）是我国古代数学瑰宝之一，仔细观察图中数字排列规律，代表的数字是( )，代表的数字是( )。 8．（2022·江苏南京·小升初真题）小华用边长1厘米的正方形纸片分别摆出下面的图形，按这样摆下去，第6个图形要用( )个边长1厘米的正方形，它的周长是( )厘米。 9．（2023·广西柳州·小升初真题）按如图规律，第5个点阵共有( )个点，第n个点阵共有( )个点。 10．（2024·陕西西安·小升初真题）例如：a1表示12的个位数字，即a1＝1； a2表示22的个位数字，即a2＝4； a3表示32的个位数字，即a3＝9； a4表示42的个位数字，即a4＝6； 则a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2001＋a2012＋a2013＝ 。 二、选择题 11．（2024·吉林长春·小升初真题）按规律填空：1、4、9、16、25、（    ）、49。 A．32 B．33 C．35 D．36 12．（2024·四川内江·小升初真题）将自然数1，2，3，如表排列，各列分别用，，，，表示，则2023所在的行、列为（    ）。 第1行 1 2 3 4 第2行 8 7 6 5 第3行 9 10 11 12 第4行 16 15 14 13 第行 A．第504行列 B．第505行列 C．第506行列 D．第507行列 13．（2024·河北张家口·小升初真题）班级联欢会上，同学们按“3个红气球、2个黄气球、2个绿气球、1个白气球”的顺序把气球串起来装饰教室。第132个气球是（    ）的。 A．红色 B．黄色 C．绿色 D．白色 14．（2024·浙江湖州·小升初真题）幻方是古老的数学问题，我国古代《洛书》中记载了最早的幻方—九宫格。将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等。如表，表①就是一个幻方，表②是一个未完成的幻方，则m的值是（    ）。 ① 4 9 2 3 5 7 8 1 6 ② m 6 20 22 A．9 B．10 C．11 D．12 15．（2024·四川成都·小升初真题）认真观察下面这组图，第一幅图的点数为1，第2幅图的点数为5，…… 按照上面的规律，第n幅图的点数为（    ）。 A．4n－3 B．4n＋3 C．6n－2 D．6n＋4 16．（2024·四川成都·小升初真题）有一种传染性极强的恶性病毒，一个病毒携带者每过5分钟就会传染给两个人，如果不及时控制，经过30分钟就会有（    ）人感染这种病毒。 A．729 B．486 C．243 D．162 三、计算题 17．（2023·四川成都·小升初真题）用灵活而合理的方法计算。 （1） （2） （3） （4） 四、解答题 18．（2024·广西柳州·小升初真题）有一串数字：2、3、6、8、8、4…它的规律是：从第三个数开始，每一个数都是前面两个数字乘积的个位数字，那么这串数字的第2022个数字是多少？ 19．（2024·四川成都·小升初真题）A、B、C三个小朋友互相传球，先从A开始发球（作为第一个传球）这样经过5次传球后，球恰巧又回到A手中，那么不同的传球方式共有多少种？ 20．（2024·广东深圳·小升初真题）现有365张大小相同的纸卡，上面分别印着整数1～365，如果按照数字从小到大逆时针方向螺旋由内而外排列，从1开始排列至365为止（如图1）。图2是完成上述排列后，抽出365周围的部分。 （1）在图2的8个空白方格中，其中有些位置不会有数字卡，在这些空格上打“×”。 （2）在其他位置填上与365相邻的数字。 21．（23-24六年级上·内蒙古赤峰·期末）请你根据下面图形与数的规律完成下列各题： （1）接着画一画，填一填。 （2）如果不画，这样排列下去，第10个图的数是（    ），第n个图的数是（    ）（用含n的式子表示）。 22．（2024·浙江湖州·小升初真题）某快递公司在甲地和乙地之间共设有21个服务驿站（包括甲站、乙站）。一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要先卸下前面每站发往该站的货包各1个，再装上该站发往后面每站的货包各1个。在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是几个？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19 探索规律 知识梳理＋核心考点精讲＋真题演练 2024-2025小升初数学通用版 知识梳理 一、数字的排列规律 数字排列规律需从多维度分析，常见形式如下： 规律类型 定义 示例 等差排列 一列数中、相邻两项的差是固定值 如：1、3、5、7、9、…，后一项比前一项多2；公差为2，通项公式为（为首项，为公差）。 等比排列 一列数中、相邻两项的比值是固定值 如：3、6、12、24、…，后一项与前一项的比为2:1；公比为2，通项公式为（为首项，为公比）。 奇/偶数位差值相等 奇数位上的数相邻两项差固定，偶数位上的数相邻两项差也固定（两者差值可相同或不同） 如：2、10、4、13、6、16、8、19、…，奇数位（第1、3、5…位）：2→4→6→8（差为2）； 偶数位（第2、4、6…位）：10→13→16→19（差为3）。 奇/偶数位倍数相等 奇数位上的数有相同倍数关系，偶数位上的数也有相同倍数关系（倍数可相同或不同） 如：2、3、4、9、8、27、16、81、…，奇数位（第1、3、5…位）：2→4→8→16（后项是前项的2倍）； 偶数位（第2、4、6…位）：3→9→27→81（后项是前项的3倍）。 累加递增 从某一项开始，每一项等于前面若干项的和 如：0、1、2、3、6、12、23、44、…，从第5项开始，第5项=0+1+2+3=6，第6项=1+2+3+6=12，依此类推。 项数平方/立方 每一项是其所在位置序号的平方或立方 如：平方数列：1、4、9、16、25、…（第项为）；立方数列：1、8、27、64、…（第项为）。 二、算式中的规律 1、观察算式结构及结果特征，总结同类算式规律。 例：，，，，… 规律：从1开始的连续奇数相加，和等于奇数个数的平方。如（共7个奇数相加）。 例：，，，… 规律：个9组成的数自乘，再加个9加1组成的数，结果为（如）。 三、图形的排列规律 1、图形本身的变化规律 对称：图形沿对称轴对折后完全重合（如轴对称图形：长方形、正方形、圆等），或绕中心旋转180°后重合（中心对称图形：平行四边形）。 平移与旋转：图形按固定方向和距离平移（如每次向右平移2格），或绕固定点按顺时针/逆时针旋转一定角度（如每次旋转90°）。 元素增减：图形中元素数量按规律增加或减少（如三角形个数依次增加1个，或星星数量按2、4、6…递增）。 2、图形中数的排列规律 数与图形位置对应：如三角形顶点标数，每条边上的数之和相等；或方格中数按行列规律排列（如每行从左到右递增1，每列从上到下递增5）。 数与图形数量关联：如用小正方形拼大正方形，边长为时，小正方形总数为；或六边形每条边标数，总和与边数、顶点数相关。 四、数形结合的规律 1、通过图形直观体现数的规律，或通过数描述图形变化。 例：用小棒摆正方形，第1个正方形用4根，第2个用7根（4+3），第3个用10根（4+3×2），…，第个用根。 例：点阵图中，第1层1个点，第2层8个点（形成环形），第3层16个点，…，第层点数为（，时为1）。 核心考点精讲 核心考点一：算式的规律 【典型例题】 车甫为了参加速算比赛，做了一些练习题，以下是其中几道： 23×11＝253    46×11＝506    31×11＝341 58×11＝638    45×11＝495    69×11＝759 (1)车甫通过观察以上算式及其结果后发现，一个两位数与11相乘所得的积有如下规律：首尾( )，中间( )，满十向前一位( )。 ①进一   ②不变   ③相加   ④相减 (2)通过上面发现的规律，你能直接写出下面算式的结果吗？ 52×11＝( )； 11×63＝( )； 77×11＝( )。 【答案】(1) ② ③ ① (2) 572 693 847 【分析】（1）通过观察，从给定的算式中找出两位数与11相乘的积的规律； （2）根据发现的规律去解答后面的算式。 【解析】（1）观察 23×11＝253，这里23的首位2和末尾3在积的首位和末尾，所以首尾不变选②。 再看积的中间数字5，是23的首位2和末尾3相加得到的2＋3＝5，所以中间相加，选③。 对于46×11＝506，4＋6＝10，积的中间是0，并且向百位进了1，所以满十向前一位进一，选①。 （2）对于 52×11，按照规律，首位是5，末尾是2，中间是5＋2＝7，所以结果是572。 对于11×63，首位是6，末尾是3，中间是6＋3＝9，结果是693。 对于77×11，首位是7，末尾是7，中间是7＋7＝14，满十进一，所以结果是847。 【通关练习】 1．观察下面的算式： 32－1＝4×2＝8 42－1＝5×3＝15 72－1＝8×6＝48 92－1＝10×8＝80 （1）根据你发现的规律，再写一道这样的算式。 （2）运用这个规律计算101×99。 【答案】（1）52－1＝6×4＝24 （2）9999 【分析】（1）观察32－1＝4×2＝8可得：4＝3＋1，2＝3－1，4和2相差2。 可将算式改写成：32－1＝（3＋1）×（3－1）＝4×2＝8 那么42－1＝5×3＝15可改写成：42－1＝（4＋1）×（4－1）＝5×3＝15 72－1＝8×6＝48可改写成：72－1＝（7＋1）×（7－1）＝8×6＝48 92－1＝10×8＝80可改写成：92－1＝（9＋1）×（9－1）＝10×8＝80 可得规律：n2－1＝（n＋1）×（n－1），据此写出这样的算式即可。 （2）101和99相差2，101＝100＋1，99＝100－1，根据算式的规律n2－1＝（n＋1）×（n－1），可得101×99＝（100＋1）×（100－1）＝1002－1，据此求解即可。 【解析】（1）根据分析可得规律：n2－1＝（n＋1）×（n－1） 52－1＝6×4＝24（答案不唯一） （2）101×99 ＝（100＋1）×（100－1） ＝1002－1 ＝10000－1 ＝9999 2．先阅读理解，再解决问题。 有这样一组有规律的算式： 第1层：； 第2层：； 第3层：； 第4层：； 第5层：； …… （1）我发现：每一层的第1个数，都正好等于（    ），像第7层的第1个数是（    ）。 （2）我发现：每层右边的数的个数等于（    ），如第7层右边一共有（    ）个数。 （3）请你列式计算出第7层等号左边数的和。 【答案】（1）层数的平方；49； （2）层数；7； （3）420 【分析】（1）观察算式，第1、2、3、4层的第1个数分别是1、4、9、16，也就是12、22、32、42，据此得出每一层的第1个数的规律，并按此规律得出第7层的第1个数是几。 （2）观察算式，第1、2、3、4层的右边的数的个数分别是1、2、3、4个，据此得出每层右边的数的个数的规律，并按此规律得出第7层右边数的个数。 （3）结合上面两题的规律，写出第7层的算式，并计算出得数。 【解析】（1）第1层的第1个数是1，1＝12； 第2层的第1个数是4，4＝22； 第3层的第1个数是9，9＝32； 第4层的第1个数是16，16＝42； …… 第7层的第1个数是72＝49。 我发现：每一层的第1个数，都正好等于层数的平方，像第7层的第1个数是49。 （2）我发现：每层右边的数的个数等于层数，如第7层右边一共有7个数。 （3）第7层：49＋50＋51＋52＋53＋54＋55＋56＝57＋58＋59＋60＋61＋62＋63＝420 答：第7层等号左边数的和是420。 核心考点二：数字排列的规律 【典型例题】 100名同学按照编号1~100从左往右顺次排成一行，然后“1、2”报数到最后一人，凡报“1”的就出队；剩下的50名同学再从头开始“1、2”报数，报“1”的再出队……这样继续下去，报到第几轮后就只剩下1名同学？他是多少号？ 【答案】6；64 【分析】第1轮报数后，报“1的出队，剩下的编号为2，4，6…100，总共有50名同学； 第2轮报数后，报“1的出队，剩下的编号为4，8，12…100，总共有25名同学； 第3轮报数后，报“1的出队，剩下的编号为8，16，24…96，总共有12名同学； 可以发现：第1轮后剩下的数是2的倍数，第2轮后剩下的是4的倍数，第3轮后剩下的是8的倍数……据此往下报数，即可找出剩下的数。 【解析】第1轮报数后，剩下2的倍数：2，4，6…100； 第2轮报数后，剩下4的倍数：4，8，12…100； 第3轮报数后，剩下8的倍数：8，16，24…96； 第4轮报数后，剩下16的倍数：16，32，48，64，80，96； 第5轮报数后，剩下32的倍数：32，64，96； 第6轮报数后，剩下64的倍数：64； 答：报到第6轮后就只剩下1名同学，他是64号。 【通关练习】 1．找规律，在括号里填上适当的数。 (1)8，11，14，17，( )，23，26。 (2)1，2，4，8，( )，32，64。 (3)（1，1），（2，4），（1，9），（2，16）…第8组是( )。 【答案】(1)20 (2)16 (3)（2，64） 【分析】（1）观察可知，后面的数据比前面的数增加3，据此解答。 （2）观察可知，后面的数据就是前面的数乘2，据此解答。 （3）观察可知，第一个数据奇数组是1，偶数组是2，第二个数据是组数的平方，第8组是偶数组，即第一个数据是2，第二个数据是8的平方，据此解答。 【解析】（1） 8，11，14，17，20，23，26。 （2） 1，2，4，8，16，32，64。 （3） （1，1），（2，4），（1，9），（2，16）…第8组是（2，64）。 2．有一组数：1、……，第十个数是 ，第n个数是 。 【答案】 【分析】将分数分成分子和分母，找出规律，发现分子是连续的奇数，分母是序数的平方，即第n个数是。 【解析】当n＝10，将10代入式子 第十个数是： 第n个数是： 则第十个数是；第n个数是。 3．根据，0.8，，0.6这组数据的规律，后面应该依次填写( )，( )。 【答案】 0.4 【分析】根据分数和小数之间的互化可知，用分子除以分母将分数化成小数，然后再根据这一组数据进行分析。＝0.9，＝0.7 这一组数是0.9，0.8，0.7，0.6，根据这组数据的排列可知，从第二个数开始，后一个数都比前一个数小0.1，据此可以知道0.6后面填的数应该比0.6小0.1，也就是0.6－0.1＝0.5，同理可知要填的第二个数要比0.5小0.1，据此解答即可。 数的大小规律发现了，再看数的组合上的规律，可以发现第一个、第三个数都是分数，第二个和第四个数都是小数，故第五个数应该填分数，第六个数应该填小数。 【解析】结合分析可知，根据，0.8，，0.6这组数据，要找出规律，将他们都写成小数的形式，＝0.9，＝0.7，也就是0.9，0.8，0.7，0.6，观察发现：从第二个数开始，后一个数都比前一个数小0.1，后面应该依次填写0.6－0.1＝0.5和0.5－0.1＝0.4，又第一个、第三个数都是分数，第二个和第四个数都是小数，故第五个数应该填分数，第六个数应该填小数。 0.5＝，即应该依次填写和0.4。 【总结】本题属于易错题，学生不仅要发现数的大小之间的排列规律，还要发现组合上的规律，这组排列是分数与小数的组合，既要满足分数排列规律，也要满足小数排列规律，所以也要将这个组合规律考虑进来。 核心考点三：图形的变化规律 【典型例题】 黑白两种颜色的正六边形，按如图所示的规律拼图案，照这样的规律下去。第( )个图案中的白正六边形比黑正六边形多32个。 【答案】10 【分析】观察图形可知，图形1：有6个白正六边形，可写成4×1＋2；有1个黑正六边形，可写成1×1； 图形2：有10个白正六边形，可写成：4×2＋2；有2个黑正六边形，可写成1×2； 图形3：有14个白正六边形，可写成4×3＋2：有3个黑正六边形；可写成1×3： …… 由此可知，每增加1个黑正六边形，就增加4个白正六边形，即n个图形，其中的黑正六边形有n个，则白正六边形有（4n＋2）个；图案中的白正六边形比黑正六边形多32个，即4n＋2－n＝32，由此求出n，即可解答。 【解析】根据分析可知， 解：设第n个图形中的白正六边形比黑正六边形多32个。 4n＋2－n＝32 3n＝32－2 3n＝30 n＝30÷3 n＝10（个） 第10个图形中的白正六边形比黑正六边形多32个。 【通关练习】 1．如图是用圆点拼成的点阵图形，根据圆点的变化规律，第n个图形中圆点有( )个。 【答案】4n－3 【分析】第1个图形中圆点有1个，1＝1×4－3； 第2个图形中圆点有5个，5＝2×4－3； 第3个图形中圆点有9个，9＝3×4－3； 第4个图形中圆点有13个，13＝4×4－3 规律：第n个图形中圆点有（4n－3）个；按此规律解答。 【解析】由分析可得：如图是用圆点拼成的点阵图形，根据圆点的变化规律，第n个图形中圆点有（4n－3）个。 2．观察下图，按要求完成下列各题。 (1)这4个图形中分别有多少个三角形？请依次写出。 (2)按照这种规律画下去，第6个图形中有多少个三角形呢？第9个图形中有多少个三角形呢？ (3)仔细观察图形，你能发现什么规律？请推测第n个图形中有多少个三角形。 (4)根据上面的规律，请计算下图中一共有多少个三角形。 【答案】（1）1个；3个；6个；10个； （2）21个；45个； （3）见解析；（1＋2＋3＋4＋…＋n）个； （4）55个 【分析】从图中可知： （1）有1个三角形； 有2个小三角形和1个大三角形，一共是2＋1＝3（个）三角形； 有3个小三角形，相邻2个小三角形组成2个三角形，有1个大三角形，共有3＋2＋1＝6（个）三角形； 有4个小三角形，相邻2个小三角形组成3个三角形，相邻3个小三角形组成2个三角形，有1个大三角形，共有4＋3＋2＋1＝10（个）三角形； （2）按照这种规律画下去， 第6个图形：6＋5＋4＋3＋2＋1＝21（个） 第9个图形：9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝45（个） （3）由此得出规律：若图形中的单个小三角形个数为n，则图形中三角形的总个数就是（1＋2＋3＋4＋…＋n）个。 （4）数出单个小三角形的个数，再按规律计算即可。 【解析】（1）1个 2＋1＝3（个） 3＋2＋1＝6（个） 4＋3＋2＋1＝10（个） 答：第1个图形有1个三角形；第2个图形有3个三角形；第3个图形有6个三角形；第4个图形有10个三角形。 （2）第6个图形：6＋5＋4＋3＋2＋1＝21（个） 第9个图形：9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝45（个） 答：第6个图形有21个三角形；第9个图形有45个三角形； （3）答：我发现图中有几个小三角形就从1开始依次加到n。若图形中的单个小三角形个数为n，则图形中三角形的总个数就是（1＋2＋3＋4＋…＋n）个。 （4）10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝55（个） 答：图中一共有55个三角形。 核心考点四：数表的规律 【典型例题】 将自然数按下图的规律排列，则2011所在的位置是第 行第 列。 【答案】 15 45 【分析】观察不难发现，奇数列的第一行的数为所在列数的平方，然后向下每一行递减一个数至与列数相同的行止，偶数行的第一列的数是所在行数的平方，然后向右每一列递减1至与行数相同的列止，根据此规律求出与2011最接近的平方数，然后找出所在的列数与行数即可。 【解析】观察发现，第一行的第1、3、5列的数分别为1、9、25，为所在列数的平方，然后向下每一行递减1至与列数相同的行止，第一列的第2、4、6行的数分别为4、16、36，为所在行数的平方，然后向右每一列递减1至与行数相同的列止，因为452＝2025，2025－2011＋1＝15所以自然数2011在左起第45列，上起第15行。 【总结】本题是对数字变化规律的考查，观察出奇数列、偶数行的数的变化规律是解题的关键。 【通关练习】 1．如图，在日历上任意框出6个数。如果框出的6个数的和是75，框出的6个数分别是多少？ 【答案】8，9，10，15，16，17 【分析】从图中框出的6个数发现：12是这6个数中最小的数，其它5个数分别与12的关系分别是：12＋1＝13，12＋2＝14，12＋7＝19，12＋8＝20，12＋9＝21； 据此设框出的6个数中最小的数是，那么其它5个数分别是＋1，＋2，＋7，＋8，＋9，它们的和等于75，据此列出方程，并求解。 【解析】解：设这6个数分别是，＋1，＋2，＋7，＋8，＋9。 ＋＋1＋＋2＋＋7＋＋8＋＋9＝75 6＋27＝75 6＋27－27＝75－27 6＝48 6÷6＝48÷6 ＝8 其它5个数是： 8＋1＝9，8＋2＝10，8＋7＝15，8＋8＝16，8＋9＝17 答：框出的6个数分别是8，9，10，15，16，17。 2．表二、表三分别是从表一中截取的一部分，那么表中a＝ ，b＝ 。 【答案】 18 30 【分析】从表格已有数据分析可得：每一列上下两个数字的差相等，第1列上下两个数字相差1，第2列上下两个数字相差2，第3列上下两个数字相差3。每一行左右两个数字的差相等，第1行左右两个数字相差1，第2行左右两个数字相差2，第3行左右两个数字相差3。右边一列数字的差比左边一列数字的差大1，根据规律，即可求解。 【解析】根据分析，解答如下： 15－12＝3，15＋3＝18 从表1中可以发现：表二截取的是其中的一列：上下两个数字相差3，所以15增加3是18，a是18。 25－20＋1＝6，24＋6＝30 从表1中可以发现：表三截取的是两行两列的相邻的四个数字，左边一列数字的差是5，右边一列数字的差是5＋1＝6，所以b是30。 表中a＝18，b＝30。 真题演练 一、填空题 1．（2024·河南郑州·小升初真题）定义一种新运算“△”满足：8△3＝8＋7＋6＝21，7△4＝7＋6＋5＋4＝22，10△5＝10＋9＋8＋7＋6＝40，则2024△5＝ 。 【答案】10110 【分析】根据已知的例子发现规律，a△b是从a开始的连续b个依次递减1的自然数相加的和；据此可知，2024△5是从2024开始的连续5个依次递减1的自然数相加的和，据此计算出得数即可。 【解析】2024△5＝2024＋2023＋2022＋2021＋2020＝10110 则2024△5＝10110。 2．（2024·广西南宁·小升初真题）根据规律填空。 12345679×9＝111111111 12345679×18＝222222222 12345679×27＝333333333 12345679×( )＝444444444 【答案】36 【分析】积的变化规律：两个数相乘，一个因数不变，另一个因数扩大多少倍，积也扩大多少倍，12345679这个因数不变，9扩大多少倍，积也跟随扩大多少倍，据此分析解答。 【解析】12345679×（9×4）＝111111111×4＝444444444 因此，12345679×36＝444444444。 3．（2024·浙江金华·小升初真题）找规律填数。 （1）1，2，3，5，8，（    ），21，（    ）。 （2），，，，，，，。 【答案】（1）13；34； （2）； 【分析】（1）1＋2＝3，2＋3＝5，3＋5＝8，……，所以，这一组数的规律是从第三个数开始，每个数是前两个数之和； （2），，，，……，所以，这一组数的规律是每个分数的大小相等，从第二个数开始，每个数是有前一个数的分子和分母同时乘2得到的；据此解答。 【解析】（1）1＋2＝3，2＋3＝5，3＋5＝8，5＋8＝13，8＋13＝21；13＋21＝34； 所以，1，2，3，5，8，（13），21，（34）。 （2），，，，， ； 所以，，，，，，，，。 4．（2024·四川绵阳·小升初真题）“成都欢迎你成都欢迎你成都……”按这样的规律排下去，第2016个汉字是( )。 【答案】成 【分析】由题意可知，每5个字一循环，则5个字一组，可先用除法计算2016个字有几组，如刚好，则是一组中最后一个字，如有余数，则看是一组中的第几个汉字，即可得解。 【解析】 第2016个汉字是成。 5．（2024·湖北荆州·小升初真题）观察下列图形的构成情况，按照此规律，第5个图形中●的个数为( )个，第n个图形中●个数有( )个。 【答案】 16 3n＋1 【分析】根据题意可知，第1个图形中●有4个，可以写成：3×1＋1； 第2个图形中●有7个，可以写成：3×2＋1； 第3个图形中●有10个，可以写成：3×3＋1； …… 第n个图形中●有（3n＋1）个，由此可知，当n＝5时，即可求出第5个图形中●的个数，据此解答。 【解析】第5个图形： 5×3＋1 ＝15＋1 ＝16（个） 第n图形：（3n＋1）个 第5个图形中●的个数为16个，第n个图形中●个数有（3n＋1）个。 6．（2024·河北石家庄·小升初真题）观察下列式子：，，，…请计算＝( )。 【答案】/0.9 【分析】观察给出的分解方法，找出规律，将所求的算式中的每一个加数分解成两个分数的差的形式，然后进行计算即可得解。 【解析】 7．（2024·山东德州·小升初真题）杨辉三角（如图）是我国古代数学瑰宝之一，仔细观察图中数字排列规律，代表的数字是( )，代表的数字是( )。 【答案】 1 10 【分析】观察发现，每行中的数字除两边都是1以外，其它数都是上一行与之相邻的两数的和，如：第三行的3是第二行1和相邻数2的和，第四行的6是第三行两个相邻数3与3的和，据此可分析A处于最后一行的两端为1，B为上一行两个相邻数6和4的和，据此解答即可。 【解析】 仔细观察图中数字排列规律，代表的数字是1，代表的数字是10。 8．（2022·江苏南京·小升初真题）小华用边长1厘米的正方形纸片分别摆出下面的图形，按这样摆下去，第6个图形要用( )个边长1厘米的正方形，它的周长是( )厘米。 【答案】 36 34 【分析】仔细观察给出的图形，并结合图中的层数、正方形的个数和周长，可以发现：正方形的个数＝层数×层数；周长＝6×层数－2；据此解答即可。 【解析】6×6＝36（个） 6×6－2 ＝36－2 ＝34（厘米） 第6个图形要用36个边长1厘米的正方形，它的周长是34厘米。 【总结】本题主要考查数与形结合的规律，关键是根据图示发现这组图形的规律，利用规律做题。 9．（2023·广西柳州·小升初真题）按如图规律，第5个点阵共有( )个点，第n个点阵共有( )个点。 【答案】 17 4n－3 【分析】根据图示可知：每一个图形上面点的数量比上一个图形点的数量多4个， 第1个图形有（1－1）×4＋1＝1（个）点， 第2个图形有（2－1）×4＋1＝5（个）点， 第3个图形有（3－1）×4＋1＝9（个）点， 第4个图形有（4－1）×4＋1＝13（个）点， …… 第n个图形有（n－1）×4＋1＝（4n－3）个点，据此解答即可。 【解析】（5－1）×4＋1 ＝4×4＋1 ＝16＋1 ＝17（个） （n－1）×4＋1 ＝4n－4＋1 ＝（4n－3） 所以第5个点阵共有17个点，第n个点阵共有（4n－3）个点。 10．（2024·陕西西安·小升初真题）例如：a1表示12的个位数字，即a1＝1； a2表示22的个位数字，即a2＝4； a3表示32的个位数字，即a3＝9； a4表示42的个位数字，即a4＝6； 则a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2001＋a2012＋a2013＝ 。 【答案】9059 【分析】12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，62＝36，72＝49，82＝64，92＝81，102＝100，每10个数组成一个周期，周期内数的个位分别是1、4、9、6、5、6、9、4、1、0，每个周期内10个数的个位之和是1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4＋1＋0＝45。用2013除以10，所得的商表示有几个周期，余数是几，就数出周期中的前几个数字。用45乘周期的数量，再加上余数表示的几个数字，即可求出式子的和。 【解析】12＝1 22＝4 32＝9 42＝16 52＝25 62＝36 72＝49 82＝64 92＝81 102＝100 1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4＋1＋0＝45 2013÷10＝201……3 45×201＋1＋4＋9 ＝9045＋1＋4＋9 ＝9059 则a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2001＋a2012＋a2013＝9059。 【总结】本题考查周期问题。以10个数为周期，求出每个周期内10个数字的个位之和是解题的关键。 二、选择题 11．（2024·吉林长春·小升初真题）按规律填空：1、4、9、16、25、（    ）、49。 A．32 B．33 C．35 D．36 【答案】D 【分析】观察可知规律，第一个数是12，第二个数是22，第三个数是32，第四个数是42，第五个数是52，则第六个数是62计算62即可得解。 【解析】 按规律填空：1、4、9、16、25、36、49。 故答案为：D 12．（2024·四川内江·小升初真题）将自然数1，2，3，如表排列，各列分别用，，，，表示，则2023所在的行、列为（    ）。 第1行 1 2 3 4 第2行 8 7 6 5 第3行 9 10 11 12 第4行 16 15 14 13 第行 A．第504行列 B．第505行列 C．第506行列 D．第507行列 【答案】C 【分析】先看行，每行4个数，用2023除以4，若没有余数，商就是行数，若有余数，商加上1就是行数；再看列，每8个数按照、、、、、、、排列，用2023除以8，余数是几，就是一组中的第几个。如果没有余数，则正好是一组中的最后一个。据此解答。 【解析】行：每4个数一行，则（行（个 （行 列：周期为、、、、、、、，两行8个数看作1组有规律的排列，则 （组（个 余数是7则是第列。 即2023所在的行、列为第506行列。 故答案为：C 13．（2024·河北张家口·小升初真题）班级联欢会上，同学们按“3个红气球、2个黄气球、2个绿气球、1个白气球”的顺序把气球串起来装饰教室。第132个气球是（    ）的。 A．红色 B．黄色 C．绿色 D．白色 【答案】B 【分析】根据题意，这组气球是以3＋2＋2＋1＝8个气球为一个循环周期，分别按3红、2黄、2绿、1白的顺序循环排列； 求第132个气球的颜色，就是求132里有几个8，用除法计算，如有余数，余数是几，就是一个循环周期里的第几个气球；如果没有余数，就是一个循环周期里的最后一个气球，据此找到对应的颜色即可。 【解析】132÷8＝16……4 余数是4，是一个循环周期里的第4个气球，即黄气球； 第132个气球是黄色的。 故答案为：B 14．（2024·浙江湖州·小升初真题）幻方是古老的数学问题，我国古代《洛书》中记载了最早的幻方—九宫格。将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等。如表，表①就是一个幻方，表②是一个未完成的幻方，则m的值是（    ）。 ① 4 9 2 3 5 7 8 1 6 ② m 6 20 22 A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】幻方中每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，称为幻和。 可以通过设一些空格为字母，将连通的一横行、一竖列或对角线上的三个数相加后相等，通过等式的关系求解。 根据幻方的特征可知，第一行数相加等于第一列数相加，即可求出第一列第3个数A的值；通过观察表①，可以发现中心的数始终等于两边的数的平均值，可以通过这个规律求出表②中心的数，然后求出幻和，再进一步解答即可。 【解析】如下图，设22下方的数字为A，22右边的数字为B。 m 6 20 22 B A ①m＋22＋A＝m＋6＋20 解：m＋22＋A－m＝m＋6＋20－m 22＋A＝26 22＋A－22＝26－22 A＝4 ②B＝（4＋20）÷2 ＝24÷2 ＝12 ③4＋20＋12＝m＋6＋20 解：36＝m＋26 m＋26－26＝36－26 m＝10 则m的值是10。 故答案为：B 15．（2024·四川成都·小升初真题）认真观察下面这组图，第一幅图的点数为1，第2幅图的点数为5，…… 按照上面的规律，第n幅图的点数为（    ）。 A．4n－3 B．4n＋3 C．6n－2 D．6n＋4 【答案】A 【分析】观察图形，第1幅图的点数为：1＋4×0＝1； 第2幅图的点数为：1＋4×1＝5； 第3幅图的点数为：1＋4×2＝9； 第4幅图的点数为：1＋4×3＝13； …… 照这个规律，第n幅图点数应为：1＋4（n－1）＝4n－3。 【解析】按照上面的规律，第n幅图的点数为（4n－3）。 故答案为：A 16．（2024·四川成都·小升初真题）有一种传染性极强的恶性病毒，一个病毒携带者每过5分钟就会传染给两个人，如果不及时控制，经过30分钟就会有（    ）人感染这种病毒。 A．729 B．486 C．243 D．162 【答案】A 【分析】30分钟里有6个5分钟。第一个5分钟，传染给2个人，这样就有3个病毒感染者。第二个5分钟，3个病人传染给6个人，这样一共就有9个病毒感染者。依此类推，从而计算出第6个5分钟会有多少人感染。 【解析】30÷5＝6（个） 第一个五分钟：1＋1×2＝3（人） 第二个五分钟：3＋3×2＝9（人） 第三个五分钟：9＋9×2＝27（人） 第四个五分钟：27＋27×2＝81（人） 第五个五分钟：81＋81×2＝243（人） 第六个五分钟：243＋243×2＝729（人） 故答案为：A 【总结】解决本题的关键是比较小的数据出发，找出规律，从而解决问题。 三、计算题 17．（2023·四川成都·小升初真题）用灵活而合理的方法计算。 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）100；（3）1；（4）5050 【分析】（1）先根据带分数化为假分数的方法，将算式变为，再将算式变为，根据乘法分配律，将算式变为，然后计算出括号里面的加法，再将除法化为乘法，约分可得，然后将2003拆分为2002＋1，根据乘法分配律，将算式变为，约分可得，再根据带符号搬家，得，然后计算出结果即可； （2）先把带分数化为假分数，除法化为乘法，然后根据积不变性质，将算式变为，然后将1.25化为假分数，再根据乘法分配律，将算式变为进行简算即可； （3）先把382拆分为381＋1，然后根据乘法分配律，将算式变为，，加上括号，变为，然后计算出括号里面的减法，最后可得分子和分母都是相同的算式，约分可得结果为1。 （4）两个相邻的数的平方差等于这两个数的和，也就是（n为自然数），将算式变为100＋99＋98＋97＋96＋…＋1，然后首尾依次相加，将算式变为（100＋1）×50进行简算即可。 【解析】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （3） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1 （4） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 四、解答题 18．（2024·广西柳州·小升初真题）有一串数字：2、3、6、8、8、4…它的规律是：从第三个数开始，每一个数都是前面两个数字乘积的个位数字，那么这串数字的第2022个数字是多少？ 【答案】4 【分析】我们将这串数写下去：2、3、6、8、8、4、2、8、6、8、8、4、2、8、6……，不难发现：从第三个数字开始，6、8、8、4、2、8这六个数字循环出现，即以这六个数字为一个周期，那么第2022个数字：用算式（2022－2）÷6计算看余数，余数是几就是这个周期里的第几个数，没有余数就是这个周期里的最后一个数。据此解答即可。 【解析】（2022－2）÷6 ＝2020÷6 ＝336……4 答：这串数字的第2022个数字是4。 19．（2024·四川成都·小升初真题）A、B、C三个小朋友互相传球，先从A开始发球（作为第一个传球）这样经过5次传球后，球恰巧又回到A手中，那么不同的传球方式共有多少种？ 【答案】10种 【分析】画出树形图如下： （ 如果第四次A拿到球他不能传给自己，所以就无法做到5次传球回到A手中，因此第四次只能是B或C拿球。 【解析】由分析可知，经过5次传球后，球恰巧回到A手中的传球方式有10种。 【总结】本题考查传球法，分析清楚球能怎样传，明确第四次不能在A的手中是解题关键。 20．（2024·广东深圳·小升初真题）现有365张大小相同的纸卡，上面分别印着整数1～365，如果按照数字从小到大逆时针方向螺旋由内而外排列，从1开始排列至365为止（如图1）。图2是完成上述排列后，抽出365周围的部分。 （1）在图2的8个空白方格中，其中有些位置不会有数字卡，在这些空格上打“×”。 （2）在其他位置填上与365相邻的数字。 【答案】见解答 【分析】（1）（2）如下图所示，数从小到大逆时针方向螺旋由内而外排列出的图形是一个正方形，以1为中心数，每个1×1，3×3，5×5的正方形的右下角的数（即标蓝色方格内的数）均是从1开始的连续奇数的平方（即（2n－1）²），因为19²＝361，即最接近365的奇数的平方，据此画出以数361为右下角的数的排列，再画出以数289为右下角的数的排列（如下图），据此解答。 【解析】由分析可知： （1）如下图所示： （2）如下图所示： 【总结】本题考查了数表中的规律的应用。 21．（23-24六年级上·内蒙古赤峰·期末）请你根据下面图形与数的规律完成下列各题： （1）接着画一画，填一填。 （2）如果不画，这样排列下去，第10个图的数是（    ），第n个图的数是（    ）（用含n的式子表示）。 【答案】（1）15；21；28；（2）55； 【分析】（1）通过观察，第1个图中有1个点，第2个图中有（1＋2）个点，第3个图中有（1＋2＋3）个点，第4个图中有（1＋2＋3＋4）个点，第几个图形的点数和等于前一个图形的点数和加几。 （2）通过（1）类推，第n个图中有（1＋2＋3＋…＋n）个点，然后通过首尾相加进行化简即可。 【解析】（1）第5个图形：10＋5＝15（个） 第6个图形：15＋6＝21（个） 第7个图形：21＋7＝28（个） （2）第n个图的数： 1＋2＋3＋…＋n ＝（1＋n）×n÷2 ＝（n＋n2）÷2 ＝ 当n＝10时， ＝ ＝ ＝ ＝55 第10个图的数是55；第n个图的数是。 22．（2024·浙江湖州·小升初真题）某快递公司在甲地和乙地之间共设有21个服务驿站（包括甲站、乙站）。一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要先卸下前面每站发往该站的货包各1个，再装上该站发往后面每站的货包各1个。在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是几个？ 【答案】110个 【分析】由题意可得，21个服务驿站，每站的货包各1个，起点即甲站不装货包，所以快递货车由甲站出发时装有20个货包，到第2站时先卸下1个，还剩下19个货包，再装上发往后面每站的货包共19个，所以第2站车上装有（19×2）个货包；据此得出每个站点的货包数量： 第1站：20×1 第2站：19×2 第3站：18×3 …… 第10站：11×10 第11站：10×11 第12站：9×12 …… 第19站：2×19 第20站：1×20 照此规律，从第12站开始货包数量逐渐减少，据此得出货包数量最多的个数。 【解析】11×10＝110（个） 答：在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是110个。 【总结】找出每个站点装载货包数量的规律是解题的关键。 学科网（北京）股份有限公司 $$