专题6.17 平行四边形（挑战综合压轴题分类专题）（6大类型）（精选精编）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题6.17 平行四边形（挑战压轴题分类专题）（6大类型） （精选精编） 第一部分【题型目录】 【类型一】多结论判断题.....................................................................................................1 【类型二】动态几何问题.....................................................................................................2 【类型三】平面直角坐标系背景下的几何问题...................................................................3 【类型四】定点定值问题.....................................................................................................4 【类型五】存在性问题.........................................................................................................5 【类型六】拓展探究性问题..................................................................................................6 第二部分【题型展示与方法点拨】 【类型一】多结论判断题 1．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图，在平行四边形中，，点是上一点，平分并交于点，且点是的中点，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知中，，，点为中点，点在边上，，若，判断下列五个结论中 ；；，平分； 正确的序号有 ． 3．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，点、分别是的边、的中点，边分别与、相交于点、，且，，连接、、，现在下列四个结论：①，②平分，③，④．则其中正确的结论有 ．（填序号） 【类型二】动态几何问题 1．（23-24八年级下·广东广州·阶段练习）如图，已知中，，点为上一动点，，连接．与交于点，，若，则（   ） A． B． C．6 D． 2．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，等边中，，E、F分别是边上的动点，且，则的最小值为 ． 3．（2025·山东烟台·一模）在中，点是线段上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转至，记旋转角为，连接．取的中点为点，连接． 【问题探究】 （1）如图，已知是等腰直角三角形，，，，延长至点，使，连接．请直接写出与的数量关系 ，与的数量关系 ； 【类比迁移】 （2）如图，已知是等腰三角形，，，．探究线段与的数量关系，并证明你的结论； 【变式拓广】 （3）如图，已知在中，，，，．延长至，使，连接．在点的运动过程中，求线段长度的最小值． 【类型三】平面直角坐标系背景下的几何问题 1．（21-22九年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的一边在轴上，，在第二象限，在左侧，，，，直线的解析式为，现将平行四边形沿轴向右平移，当直线恰好平分平行四边形的面积时，此时的平移距离为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·湖北恩施·模拟预测）在平面直角坐标系中有四个点：，，，，其中点、点在直线上，则当 时，四边形的周长最小． 3．（23-24八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于两点．的坐标分别为、，其中． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若点关于直线的对称点分别为、． 当时，若的面积为，试求的值； 当点恰好落在轴上时，试求：与的函数关系式． 【类型四】定点定值问题 1．（23-24八年级下·湖北荆州·期中）如图，在中，，分别是，上的中线与相交于点O． （1）求证：，； （2）边上的中线是否过定点O？为什么？ 2．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，点为定角的平分线上的一个定点，，，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与，相交于，两点． （1）试判断的形状，并给出证明； （2）的值是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 3．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，点D在边上（不与点B，C重合），且，过点D作，分别交的延长线和于点P和点Q． （1）求证：． （2）若点Q是线段的中点，探索与的数量关系． （3）若的形状和大小都确定，说说的值是否为定值，如果是定值，直接写出这个定值的几何意义；如果不是定值，说明理由． 【类型五】存在性问题 1．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，一次函数与轴相交于点，与轴相交于点． （1）求一次函数的解析式； （2）请在平面内标注点，平面内是否存在一点，使四点构成平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段上，将线段绕着点C顺时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上时，过点D作轴于点E． （1）求证：； （2）求点D的坐标； （3）若点P在y轴上，点Q在直线上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由． 3．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的另一直线交轴正半轴于，且面积为15． （1）求点的坐标； （2）若为线段上一点，且的面积等于的面积，求的坐标； （3）在（2）的条件下，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【类型六】拓展探究性问题 1．（22-23八年级下·广东深圳·期末）【综合与实践】折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，这样的长方形称为完美长方形． （1）操作发现：如图1，将△ABC纸片按所示折叠成完美长方形，若的面积为12．，则此完美长方形的边长 ，面积为 ． （2）类比探究：如图2，将纸片按所示折叠成完美长方形，若的面积为20，，求完美长方形的周长． （3）拓展延伸：如图3，将纸片按所示折叠成完美长方形，若，则长方形的周长为 ，的面积为 ． 2．（24-25九年级下·湖南衡阳·阶段练习）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明； 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 3．（2024·湖北十堰·模拟预测）综合与实践       【特殊感知】（1）如图1，在平行四边形中，，相交于点O，，，求证：． 【变式探究】（2）如图2，在中，，，在的右侧作等边，取的中点F，连接． ①求证：是的垂直平分线； ②若，求的长． 【拓展提高】（3）如图3，在中，，，D为上的任意一点，将绕点A逆时针旋转得到线段，旋转角为．取的中点P，连接，猜想与的数量关系，并给予证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.17 平行四边形（挑战压轴题分类专题）（6大类型） （精选精编） 第一部分【题型目录】 【类型一】多结论判断题..................................................................................................1 【类型二】动态几何问题..................................................................................................7 【类型三】平面直角坐标系背景下的几何问题..............................................................13 【类型四】定点定值问题................................................................................................18 【类型五】存在性问题....................................................................................................24 【类型六】拓展探究性问题.............................................................................................34 第二部分【题型展示与方法点拨】 【类型一】多结论判断题 1．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图，在平行四边形中，，点是上一点，平分并交于点，且点是的中点，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，延长，交的延长线于点，易证得，即可得，又由平分，即可判定是等腰三角形，由三线合一可得，，即可判断，又根据不一定是的角平分线和不一定等于，即可判断，作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． 解：延长，交的延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴，， 即，故，正确； ∵不一定是的角平分线， ∴不一定等于， ∴不一定等于，故错误； ∵不一定等于， ∴不一定等于，故错误； ∴正确的结论是， 故选：． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知中，，，点为中点，点在边上，，若，判断下列五个结论中 ；；，平分； 正确的序号有 ． 【答案】①②③④⑤ 【分析】过点作交延长下于点，过点作交延长下于点，取的中点，连接，延长交于点，根据平行四边形的性质，直角三角形的性质结合勾股定理求出，即可求出，即可判断①；证明，即可判断②；根据三角形面积公式及平行四边形面积公式即可判断③；证明是的中位线，进而证明，即可证明，求出，易证是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一即可判断④；利用直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，，即可判断⑤． 解：过点作交延长下于点，过点作交延长下于点，取的中点，连接，延长交于点， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴，平分（三线合一），故④正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 故答案为：①②③④⑤ ． 【点拨】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造三角形全等时解题的关键 ． 3．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，点、分别是的边、的中点，边分别与、相交于点、，且，，连接、、，现在下列四个结论：①，②平分，③，④．则其中正确的结论有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】①根据四边形的内角和为，计算便可判断①的结论；②连接、，根据垂直平分线的性质得，，，进而由等腰三角形的性质得结论，从而得出②的结论；③证明，即可判断③的结论；④由，，当时，，，此时，由此判断④的结论． 解：①，， ， ， ， ①的结论正确； ②连接、，如图， 点，分别是的边、的中点，且，， ，，， ，，，，， ， 平分， ②的结论正确； ③点，分别是的边、的中点，，， ，， ，， ， ， ， ∴③的结论正确； ④，， ， ， 当时，则， ， ， ， 不是等边三角形， ， ④的结论不正确． 故答案为：①②③． 【点拨】本题是三角形的一个综合题，主要考查了三角形的内角和定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，四边形的内角和定理，考查的知识点多，难度增大，正确地作辅助线是解决本题的关键． 【类型二】动态几何问题 1．（23-24八年级下·广东广州·阶段练习）如图，已知中，，点为上一动点，，连接．与交于点，，若，则（   ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质．延长，过点作，交的延长线于点，证明，得出，，证明四边形为平行四边形，得出，，求出，根据勾股定理求出，得出，求出，根据勾股定理求出即可． 解：延长，过点作，交的延长线于点，如图所示：    ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ，， ，即， 解得：或（舍去）， 在中根据勾股定理得：， ， ． 故选：B． 2．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，等边中，，E、F分别是边上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】取、的中点、，连接、，则可得，，因此转而求的最小值；过作，且，连接、，可证明，则有，进而转化为求的最小值，当点在线段上时，取得最小值，在中由勾股定理即可求得最小值，从而求得的最小值． 解：如图，取、的中点、，连接、，则，为的中位线， ∴， ∴， 在等边三角形中，，为的中点， ∴，， ，，， ∴， ，， ， ； 过作，且，连接、，则， ， ， ， 当点在线段上时，取得最小值，且最小值为线段的长， 在中，由勾股定理得：， 的最小值． 故答案为：． 【点拨】本题考查了求线段和的最小值问题，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，把求的最小值转化为求的最小值，进而转化为求的最小值，是本题的难点与关键所在． 3．（2025·山东烟台·一模）在中，点是线段上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转至，记旋转角为，连接．取的中点为点，连接． 【问题探究】 （1）如图，已知是等腰直角三角形，，，，延长至点，使，连接．请直接写出与的数量关系 ，与的数量关系 ； 【类比迁移】 （2）如图，已知是等腰三角形，，，．探究线段与的数量关系，并证明你的结论； 【变式拓广】 （3）如图，已知在中，，，，．延长至，使，连接．在点的运动过程中，求线段长度的最小值． 【答案】（1），；（2），证明见分析；（3）线段长度的最小值为． 【分析】（1）结合旋转性质推得，，即可利用“边角边”证明，根据全等三角形性质可得，再由中位线定理可得； （2）延长至点，使得 ，连接，利用“边角边”证明，结合全等三角形性质和中位线定理即可证得； （3）取的中点，连接，作于，利用“边角边”证明，根据全等三角形性质可得，即点在与成的定直线上运动，当点在处时，最小，结合含的直角三角形特征即可得． 解：（1）依题得：，，， ，， ， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ， ，， 是的中位线， ， 故答案为：，； （2）如下图，，证明如下： 延长至点，使得 ，连接， ， ， ，， ， 由旋转得，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 是的中位线， ， ； （3）如下图，取的中点，连接，作于， 依题得：， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， 点在与成的定直线上运动， 当点在处时，最小， ， ， 又， ， 的最小值为． 【点拨】本题考查的知识点是旋转性质、全等三角形的判定与性质、中位线定理、含的直角三角形特征，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 【类型三】平面直角坐标系背景下的几何问题 1．（21-22九年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的一边在轴上，，在第二象限，在左侧，，，，直线的解析式为，现将平行四边形沿轴向右平移，当直线恰好平分平行四边形的面积时，此时的平移距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作于，解直角三角形求得Ａ、Ｃ的坐标，即可求得中点的坐标，根据题意当直线恰好平分平行四边形的面积时，则必经过的中点，把中点的纵坐标答题直线求得横坐标，即可求得平移的距离． 解：作于， ，，， ，， ， ， ，， 的中点为， 平行四边形沿轴向右平移，当直线恰好平分平行四边形的面积时，则必经过的中点， 把代入得，，解得， ， 平移距离为． 故选：． 【点拨】本题主要考查了一次函数图像与平移变换、平行四边形的性质、一次函数图像上点的坐标特征等知识点，明确直线经过平行四边形对角线的交点平分平行四边形的面积是解题的关键． 2．（2022·湖北恩施·模拟预测）在平面直角坐标系中有四个点：，，，，其中点、点在直线上，则当 时，四边形的周长最小． 【答案】/ 【分析】作点C关于直线的对称点，则的坐标为，把向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到点，连接，与直线交于点A，过作交直线于B，于是得到，推出四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，等量代换得到，得到，此时最小，而与的长一定，此时四边形的周长最短．设直线的解析式为，求得直线的解析式为，再联立两个解析式解方程组，即可得到结论． 解：作点C关于直线的对称点，则的坐标为， 把向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到点，连接， 与直线交于点A， 过作交直线于B， 如图， ∴，    由平移的性质可得：， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴，此时最小，而与的长一定， ∴此时四边形的周长最短． 设直线的解析式为， 把、分别代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为， 联立 得 ， ∴A点坐标为， ∴． 故答案为：． 【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题：通过对称，把两条线段的和转化为一条线段，利用两点之间线段最短解决问题．也考查了坐标变换以及待定系数法求一次函数的解析式． 3．（23-24八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于两点．的坐标分别为、，其中． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若点关于直线的对称点分别为、． 当时，若的面积为，试求的值； 当点恰好落在轴上时，试求：与的函数关系式． 【答案】（1）四边形是平行四边形，理由见分析；（2）或；与的函数关系式为． 【分析】（）由得，，又、，再根据坐标系的坐标特点，，从而求解； （）连接，由对称性质可知，则，再由，得出关于的方程，解出方程即可； 连接，设，由，，，通过等面积法得，，然后由勾股定理和解方程即可求解． 解：（1）解：四边形是平行四边形，理由： 由得：当时，；当时，， ∴，， ∵、， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）如图，连接， 由对称性质可知：， ∴， 由（）得：，，、， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，整理得：， 解得：或； 如图，连接， ∵当点恰好落在轴上， ∴， 设，由，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，解得：， 由对称可知， 在中，由勾股定理得：， ∴，整理得：， ∴， ∴或， ∴或， 当时，舍去， ∴与的函数关系式为． 【点拨】本题考查了一次函数的性质，平行四边形的判定，勾股定理，同角的余角相等，垂直平分线的判定与性质，解一元二次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【类型四】定点定值问题 1．（23-24八年级下·湖北荆州·期中）如图，在中，，分别是，上的中线与相交于点O． （1）求证：，； （2）边上的中线是否过定点O？为什么？ 【答案】（1）证明见分析；（2）边上的中线过定点O，理由见分析 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质与判定． （1）分别作，的中点，，连接，，，，根据三角形的中位线的性质得出，，证明四边形为平行四边形，进而根据平行四边形的性质，即可得证． （2）作边上的中线交于，同理可得点O与点重合，即边上的中线过定点O． 解：（1）证明：分别作，的中点，，连接，，，，    ∵点，分别是边，上的中点， ∴，， ∵点分别是，的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，． （2）解： 边上的中线过定点O，理由如下： 如图，作边上的中线交于， 由以上解答过程可知，， ∴点O与点重合， ∴边上的中线一定过点O． 2．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，点为定角的平分线上的一个定点，，，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与，相交于，两点． （1）试判断的形状，并给出证明； （2）的值是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 【答案】（1）为等边三角形，证明见分析；（2）的值是定值， 【分析】（1）如图，作于E，于F，只要证明即可； （2）证明，可得，由，可得，进而可求的值． 解：（1）为等边三角形． 证明：如图作于，于． ， ， ， 又， ， 平分，于，于， ， 在和中， ， ， ． 又，， ， 为等边三角形． （2）的值是定值． 理由：在和中， ， ， ，， 又， ， ． 在中，， ， ，， ． 【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 3．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，点D在边上（不与点B，C重合），且，过点D作，分别交的延长线和于点P和点Q． （1）求证：． （2）若点Q是线段的中点，探索与的数量关系． （3）若的形状和大小都确定，说说的值是否为定值，如果是定值，直接写出这个定值的几何意义；如果不是定值，说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）；证明见分析；（3）的值是定值，这个定值是边上的高的2倍 【分析】（1）根据等腰三角形性质得出，根据余角性质得出，即可证明结论； （2）过点P作，交的延长线于点E，证明，得出，证明，得出，即可得出结论； （3）过点A作于点M，延长至点E，使，连接，延长交于点F，证明，得出，证明四边形为平行四边形，得出，证明垂直平分，得出，说明，即可得出． 解：（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：过点P作，交的延长线于点E，如图所示： 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点Q是线段的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解：的值是定值，这个定值是边上的高的2倍． 理由：过点A作于点M，延长至点E，使，连接，延长交于点F，如图所示： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的值是定值，这个定值是边上的高的2倍． 【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 【类型五】存在性问题 1．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，一次函数与轴相交于点，与轴相交于点． （1）求一次函数的解析式； （2）请在平面内标注点，平面内是否存在一点，使四点构成平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）或或 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、用待定系数法求一次函数的解析式，解决本题的关键是根据平行四边形的对角线互相平分列方程求出点的坐标． 点和点的坐标代入，用待定系数法求出一次函数的解析式即可； 设点的坐标为，根据平行线四边形的对角线互相平分，可得关于、的方程组，解方程组求出 、的值即可．本题中需要分情况讨论． 解：（1）解：一次函数经过点和点， 可得：， 解得：， 一次函数的解析是； （2）解：存在，点的坐标为或或， 如下图所示， 当是平行四边形的对角线时， 设点的坐标为， 则有， 解得：， 点的坐标是； 如下图所示， 当是平行四边形的一条边且点在点上方时， 设点的坐标为， 则有， 解得：， 点的坐标是； 如下图所示， 当是平行四边形的一条边且点在点下方时， 设点的坐标为， 则有， 解得：， 点的坐标是； 综上所述，点的坐标为或或． 2．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段上，将线段绕着点C顺时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上时，过点D作轴于点E． （1）求证：； （2）求点D的坐标； （3）若点P在y轴上，点Q在直线上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见详解；（2）；（3）或或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，全等三角形的判定及性质，平行四边形的性质等； （1）由旋转的性质得，，由即可得证； （2）由全等三角形的性质得，，设， ，将此点代入直线的解析式，即可求解； （3）①当为边，在第二象限时，由平行四边形得点向右平移个单位，再向上平移个单位得到，点向右平移个单位，再向上平移个单位得到，即可求解；②当为边，在第一象限时，同理可求；③为对角线时，同理可求； 掌握全等三角形的判定及性质，平行四边形的性质，能根据点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 解：（1）证明：， ， ， 将线段绕着点C顺时针旋转得到， ， ， ， ， 在和中 （）； （2）解：当时，， ， ， ， ， 设， ， ， ， 解得：， ， ； （3）解：①如图，当为边，在第二象限时， 四边形是平行四边形， ， ， ，， 点向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 点向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 设， ， 解得：， ， ； ②如图，当为边，在第一象限时， 同理可得：点向右平移个单位，再向上平移个单位得到， ， 解得：， ， ； ③如图，为对角线时， 同理可得：点向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 点向右平移个单位，再向上平移个单位得到， ， 解得：， ； ； 综上所述：Q点坐标为或或． 3．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的另一直线交轴正半轴于，且面积为15． （1）求点的坐标； （2）若为线段上一点，且的面积等于的面积，求的坐标； （3）在（2）的条件下，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）或或． 【分析】（1）先求出A、B的坐标，然后根据三角形的面积求出C； （2）求出直线的表达式，根据求解即可； （3）求出直线的表达式，然后分三种情况：①当为平行四边形的边，四边形为平行四边形时；②当为平行四边形的边，四边形为平行四边形时；③当为平行四边形的对角线时，讨论求解即可． 解：（1）解：直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴， 即， ∵面积为15， ∴， ∴， ∴ （2）设直线的表达式为， 将点B、C的坐标代入一次函数表达式得： 解得： ∴直线的表达式为：； ∵， ∴，解得：， ∴ 解得：， ∴； （3）∵， 设直线的表达式为， 将点A、M的坐标代入一次函数表达式得：， 解得： ∴直线的表达式为：． ①当为平行四边形的边，四边形为平行四边形时，如图： ∵，， ∴点E的纵坐标是5， ∵点E为直线上一动点，直线的表达式为：． ∴，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴； ②当为平行四边形的边，四边形为平行四边形时，如图：过点E作轴于F， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点E的纵坐标是， ∵点E为直线上一动点，直线的表达式为：． ∴，解得：， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ③当为平行四边形的对角线时， ∵，， ∴点E的纵坐标是5， ∵点E为直线上一动点，直线的表达式为：．． ∴，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴． 综上，存在，满足条件的点D的坐标为或或． 【点拨】本题主要考查了一次函数的综合题，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 【类型六】拓展探究性问题 1．（22-23八年级下·广东深圳·期末）【综合与实践】折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，这样的长方形称为完美长方形． （1）操作发现：如图1，将△ABC纸片按所示折叠成完美长方形，若的面积为12．，则此完美长方形的边长 ，面积为 ． （2）类比探究：如图2，将纸片按所示折叠成完美长方形，若的面积为20，，求完美长方形的周长． （3）拓展延伸：如图3，将纸片按所示折叠成完美长方形，若，则长方形的周长为 ，的面积为 ． 【答案】（1）3；6；（2）13；（3）68， 【分析】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质与判定、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解决此题的关键．   （1）由折叠可知点H是中点，，过点A作于M，根据三角形面积求的长，由，点H是中点可知是中位线，得到 进而求完美长方形面积； （2）根据折叠可知，，从而可得 ，根据平行四边形面积可求得的长为4进而可求周长； （3）由折叠可证点E，G分别是中点，进一步可证四边形是平行四边形，所以，即长方形对角线长为26，设，根据勾股定理得到方程，解出x，从而可得完美长方形的边长和宽，最后求周长面积即可． 解：（1）由折叠可知，， ∴，点H是中点 ∵ ∴ 即， 过点A作于M， ∵四边形是长方形 ∴ ∴ ∴H是中点 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴完美长方形的面积为 故答案为：3，6 （2）由折叠可知 同理可知 ∴长方形的面积为         ∴长方形的周长为 （3）由折叠可证点E，G分别是的中点 ∴ 由题意知 ∴ ∴为平行四边形 ∴ 在中，设，则 由勾股定理得 ∴ ∴周长为：    面积为： 故答案为：68， 2．（24-25九年级下·湖南衡阳·阶段练习）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明； 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】（1）见分析；（2）四边形为平行四边形，理由见分析；（3） 【分析】（1）根据等边三角的性质可得，再由旋转的性质可得，从而可得，证明，即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，，从而可得，由平行线的判定可得，证明，可得，利用等量代换可得，再由平行线的判定可得，根据平行四边形的判定即可得证； （3）如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，可得四边形是平行四边形，可证，得到，则，当点三点共线时，，此时的值最小，根据题意可得，由勾股定理可得，则，在中，由勾股定理可得，由此即可求解． 解：（1）证明∵为等边三角形， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：四边形为平行四边形，理由如下， ∵，， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴，， ∴， 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则四边形为平行四边形； （3）∵， ∴，， 如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，， ， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 当点三点共线时，，此时的值最小， 如图所示，过点作延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 【点拨】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理与最短路径的计算，掌握平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 3．（2024·湖北十堰·模拟预测）综合与实践       【特殊感知】（1）如图1，在平行四边形中，，相交于点O，，，求证：． 【变式探究】（2）如图2，在中，，，在的右侧作等边，取的中点F，连接． ①求证：是的垂直平分线； ②若，求的长． 【拓展提高】（3）如图3，在中，，，D为上的任意一点，将绕点A逆时针旋转得到线段，旋转角为．取的中点P，连接，猜想与的数量关系，并给予证明． 【答案】（1）证明见分析；（2）①证明见分析；②1；（3）．理由见分析 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，证出，得出，则可得出结论； （2）①延长至，使，连接，，证出，则，由等边三角形的性质可得出结论； ②证出，则可得出答案； （3）延长至，使，连接，，同（2）可知是的中位线，得出，证出，得出， 解：（1）证明：四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ； （2）①证明：延长至，使，连接，， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ，， ， ， 垂直平分， ， 为的中点，， ， ， ， ， ， 是的垂直平分线； ②解：由①知是的中位线， ， ， ； （3）解：． 理由：延长至，使，连接，， 同（2）可知是的中位线， ， 同（2）可知，， ， ， 将绕点逆时针旋转得到线段， ， ， ， ． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等边三角形的性质，平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$