专题6.16 平行四边形（中考常考知识点分类专题）（精选精编）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题6.16 平行四边形（中考常考知识点分类专题）（精选精编） 【考点目录】 【知识点一】多边形的内角和与外角和 【考点1】多边形的内角和.......................................................................................................................1 【考点2】多边形的外角（和）................................................................................................................3 【考点3】多边形的内角和与外角和........................................................................................................4 【知识点二】三角形的中位线 【考点4】利用三角形中位线求值............................................................................................................5 【考点5】利用三角形中位线证明............................................................................................................7 【知识点三】平行四边形的性质 【考点6】利用平行四边形的性质求值...................................................................................................11 【考点7】利用平行四边形的性质证明...................................................................................................14 【知识点四】平行四边形的判定 【考点8】利用平行四边形的判定求值...................................................................................................17 【考点9】利用平行四边形的判定证明...................................................................................................19 【知识点五】平行四边形的性质与判定 【考点10】利用平行四边形的判定求值.................................................................................................21 【考点11】利用平行四边形的判定证明.................................................................................................25 【知识点六】平行四边形的性质与判定的应用 【考点12】平行四边形的性质与判定的应用.........................................................................................31 【题型展示与解析】 【知识点一】多边形的内角和与外角和 【考点1】多边形的内角和 1．（2024·山东青岛·中考真题）为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形和正方形中，，的延长线分别交，于点M，N，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是正多边形内角和问题，熟记正多边形的内角的计算方法是解题的关键． 根据正五边形的内角的计算方法求出、，根据正方形的性质分别求出、，根据四边形内角和等于计算即可． 解：∵五边形是正五边形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 2．（2024·山东日照·中考真题）一个多边形的内角和是，则这个多边形是 边形． 【答案】八 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为是解答本题的关键．根据多边形内角和公式求解即可． 解：设这个多边形是n边形， 由题意得， 解得， ∴这个多边形是八边形． 故答案为：八． 3．（2022·湖南常德·中考真题）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为 ． 【答案】6 【分析】根据多边形的内角和进行即可求解． 解：根据题意用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，则每剪一次，所有的多边形的内角和增加360°， 10张纸片，则剪了9次，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，设还有一张多边形纸片的边数为， ， 解得． 故答案为：． 【点拨】本题考查了多边形内角和公式，理解题意是解题的关键． 【考点2】多边形的外角（和） 1．（2023·北京·中考真题）正十二边形的外角和为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多边形的外角和问题，多边形外角和定理：任意多边形的外角和都等于． 解：因为多边形的外角和为，所以正十二边形的外角和为． 故选：C． 2．（2020·山东德州·中考真题）如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°……照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（    ） A．80米 B．96米 C．64米 D．48米 【答案】C 【分析】根据多边形的外角和即可求出答案． 解：根据题意可知，他需要转360÷45=8次才会回到原点，所以一共走了8×8=64米． 故选：C． 【点拨】本题主要考查了利用多边形的外角和定理求多边形的边数．任何一个多边形的外角和都是360°． 3．（2021·辽宁营口·中考真题）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出正六边形的内角和外角，再根据三角形的外角性质以及平行线的性质，即可求解． 解：∵正六边形的每个内角等于120°，每个外角等于60°， ∴∠FAD=120°-∠1=101°，∠ADB=60°， ∴∠ABD=101°-60°=41° ∵光线是平行的， ∴=∠ABD=， 故选A 【点拨】本题主要考查平行线的性质，三角形外角性质以及正六边形的性质，掌握三角形的外角性质以及平行线的性质是解题的关键． 【考点3】多边形的内角和与外角和 1．（2024·西藏·中考真题）已知正多边形的一个外角为，则这个正多边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的内角和外角，先求出正多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可得解，根据多边形的外角求出边数是解此题的关键． 解：∵正多边形的一个外角为， ∴正多边形的边数为， ∴这个正多边形的内角和为， 故选：B． 2．（2024·四川遂宁·中考真题）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的外角，设这个正多边形的边数为，先根据内角和求出正多边形的边数，再用外角和除以边数即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键． 解：设这个正多边形的边数为， 则， ∴， ∴这个正多边形的每个外角为， 故选：． 3．（2023·新疆·中考真题）如果一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形是 边形． 【答案】十/10 【分析】本题考查了多边形的内角和和外角和定理．解题的关键是熟练掌握多边形的内角和和外角和定理：边形的内角和为；边的外角和为．先利用多边形的每个外角与相邻的内角互补得到这个多边形的每个外角都是，然后根据边的外角和为即可得到其边数． 解：一个多边形的每个内角都是， 这个多边形的每个外角都是， 这个多边形的边数． 故答案为：十． 【知识点二】三角形的中位线 【考点4】利用三角形中位线求值 1．（2024·四川巴中·中考真题）如图，的对角线相交于点，点是的中点，．若的周长为12，则的周长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质和三角形的中位线的性质．由平行四边形的性质和三角形的中位线的性质可求得答案． 解：∵四边形是平行四边形， ∴O是中点， 又∵E是中点， ∴OE是的中位线， ∴，， ∵的周长为12，， ∴， ∴的周长为． 故选：B. 2．（2024·浙江·中考真题）如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为    【答案】4 【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，由三角形中位线定理得得出得出 解：∵D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：4 3．（2024·四川凉山·中考真题）如图，四边形各边中点分别是，若对角线，则四边形的周长是 ． 【答案】42 【分析】本题考查的是中点四边形，熟记三角形中位线定理是解题的关键． 根据三角形中位线定理分别求出、、、，根据四边形的周长公式计算，得到答案． 解：四边形各边中点分别是、、、， 、、、分别为、、、的中位线， ，，，， 四边形的周长为：， 故答案为：42． 【考点5】利用三角形中位线证明 1．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，在中，D是中点． （1）求作：的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若l交于点E，连接并延长至点F，使，连接．补全图形，并证明四边形是平行四边形． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了尺规作图，中位线的性质，平行四边形的判定． （1）利用尺规作图作出线段的垂直平分线l即可； （2）由D，E分别为，的中点，根据中位线的性质，得到，，结合，得到，即可证明结论成立． 解：（1）解：直线l如图所示， ； （2）证明：补全图形，如图， 由（1）作图知，E为的中点， ∵D，E分别为，的中点， ∴，， ∵，即：， ∴， ∵， ∴ 四边形是平行四边形． 2．（2023·北京·中考真题）在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．  （1）如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点； （2）如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明． 【答案】（1）见分析；（2），证明见分析 【分析】（1）由旋转的性质得，，利用三角形外角的性质求出，可得，等量代换得到即可； （2）延长到H使，连接，，可得是的中位线，然后求出，设，，求出，证明，得到，再根据等腰三角形三线合一证明即可． 解：（1）证明：由旋转的性质得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即D是的中点； （2）； 证明：如图2，延长到H使，连接，， ∵， ∴是的中位线， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∴， ∵， ∴，是等腰三角形， ∴，， 设，，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴，即．    【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． 3．（2023·湖南·中考真题）如图所示，在中，点D、E分别为的中点，点H在线段上，连接，点G、F分别为的中点． （1）求证：四边形为平行四边形 （2），求线段的长度． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）由三角形中位线定理得到，，得到，即可证明四边形为平行四边形； （2）由四边形为平行四边形得到，由得到，由勾股定理即可得到线段的长度． 解：（1）解：∵点D、E分别为的中点， ∴， ∵点G、F分别为、的中点． ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）∵四边形为平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴． 【点拨】此题考查了中位线定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，证明四边形为平行四边形和利用勾股定理计算是解题的关键． 【知识点三】平行四边形的性质 【考点6】利用平行四边形的性质求值 1．（2024·江西·中考真题）追本溯源： 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并说明理由． 方法应用： （2）如图2，在中，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G． ①图中一定是等腰三角形的有（    ） A．3个　 B．4个　 C．5个　 D．6个 ②已知，，求的长． 【答案】（1）是等腰三角形；理由见分析；（2）①B；②． 【分析】本题考查了平行四边形的性质和等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键； （1）利用角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，推出，再等角对等边即可证明是等腰三角形； （2）①同（1）利用等腰三角形的判定和性质可以得到四个等腰三角形； ②由①得，利用平行四边形的性质即可求解． 解：（1）是等腰三角形；理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）①∵中， ∴，， 同（1）， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴，，， ∴，，， 即、、、是等腰三角形；共有四个， 故选：B． ②∵中，，， ∴，， 由①得， ∴． 2．（2024·浙江·中考真题）如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，过点D作交的延长线于点F，证明，得到，由勾股定理可得，，，则，整理后即可得到答案． 解：过点D作交的延长线于点F， ∵的垂线交于点E， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ∴， 由勾股定理可得，， ， ∴， ∴ ∴ 即，解得， ∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是， 故选：C 3.（2024·四川广安·中考真题）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，，当重合时，最小，最小值为，再进一步结合勾股定理求解即可. 解：如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，， ∴当重合时，最小，最小值为， ∵，，在中， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为： 【点拨】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质，求最小值问题，正确理解各性质及掌握各知识点是解题的关键． 【考点7】利用平行四边形的性质证明 1．（2024·新疆·中考真题）（）解方程：； （）如图，已知平行四边形． 尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作的平分线交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑） 在的条件下，求证：是等腰三角形．    【答案】（）；（）作图见分析；证明见分析． 【分析】（）按照解一元一次方程的步骤解答即可求解； （）按照作角平分线的方法作图即可；由平行四边形的性质及角平分线的性质可得，即得，即可求证； 本题考查了解一元一次方程，作角的平分线，角平分线的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，根据题意正确画出图形是解题的关键． 解：（）解：去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，； （）解：如图，即为所求；   ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 2．（2023·四川成都·中考真题）如图，在中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质逐项分析判断即可求解． 解：∵四边形是平行四边形，对角线与相交于点， A. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 3．（2022·湖北荆州·中考真题）如图，点E，F分别在□ABCD的边AB，CD的延长线上，连接EF，分别交AD，BC于G，H．添加一个条件使△AEG≌△CFH，这个条件可以是 ．（只需写一种情况） 【答案】（答案不唯一） 【分析】由平行四边形的性质可得： 证明 再补充两个三角形中的一组相对应的边相等即可． 解： ， 所以补充： △AEG≌△CFH， 故答案为：（答案不唯一） 【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握“平行四边形的性质与利用ASA证明三角形全等”是解本题的关键． 【知识点四】平行四边形的判定 【考点8】利用平行四边形的判定求值 1．（2023·湖南·中考真题）如图，在平行四边形中，，的平分线交于点E，则的长为 ．    【答案】2 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质结合角平分线平分角，推出，再用求出即可． 解：∵平行四边形中，， ∴， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 2．（2021·山东菏泽·中考真题）如图，在中，，，分别为、的中点，，过点作，交的延长线于点，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】先根据，分别为、的中点求得AB＝4，再根据求得AC＝8，BC＝，进而可求得BE＝，最后证明四边形ABFD为平行四边形即可求得四边形ABFD的面积． 解：∵，分别为、的中点，， ∴AB＝2DE＝4，， ∵在中，， ∴AC＝2AB＝8， ∴BC＝＝＝， 又∵点E为BC中点， ∴BE＝BC＝， ∵，， ∴四边形ABFD为平行四边形， ∴四边形的面积＝AB×BE＝4×＝， 故答案为：． 【点拨】本题考查了三角形的中位线、含30°的直角三角形、勾股定理以及平行四边形的判定，熟练掌握相关图形的性质与判定是解决本题的关键． 3．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，平行四边形的对角线相交于点，点在对角线上，且，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若的面积等于2，求的面积． 【答案】（1）见分析；（2）1 【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得，，结合可得，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据等底等高的三角形面积相等可得，再根据平行四边形的性质可得． 解：（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． （2）解：，， ， 四边形是平行四边形， ． 【点拨】本题考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分． 【考点9】利用平行四边形的判定证明 1．（2024·四川达州·中考真题）如图，线段、相交于点．且，于点． （1）尺规作图：过点作的垂线，垂足为点、连接、；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母） （2）若，请判断四边形的形状，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问） 【答案】（1）见分析；（2）四边形是平行四边形，理由见分析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，垂线的尺规作图，全等三角形的性质与判定： （1）先根据垂线的尺规作图方法作出点F，再连接、即可； （2）先证明，得到，再证明，进而证明，得到，即可证明四边形是平行四边形． 解：（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 2．（2024·四川乐山·中考真题）下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可． 解：A、∵， ∴四边形是平行四边形，故此选项不合题意； B、∵， ∴四边形是平行四边形，故此选项不合题意； C、∵， ∴四边形是平行四边形，故此选项不合题意； D、∵，不能得出四边形是平行四边形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点拨】此题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理． 3．（2024·山东济宁·中考真题）如图，四边形的对角线，相交于点O，，请补充一个条件 ，使四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求解． 解：添加条件：， 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：（答案不唯一） 【知识点五】平行四边形的性质与判定 【考点10】利用平行四边形的判定求值 1．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在中，，，．A点P从点A出发、以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动．在此运动过程中，线段出现的次数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，一元一次方程的应用，全等三角形的判定与性质，分四种情况：当时，当时，当时，四边形为平行四边形；当时，四边形为等腰梯形，分别求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 解：在中， ，， ∴，， ∵点P从点A出发、以的速度沿运动， ∴点P从点A出发到达D点的时间为：， ∵点Q从点C出发，以的速度沿往复运动， ∴点Q从点C出发到B点的时间为：， ∵， ∴， 当时，四边形为平行四边形， ∴， 当时，四边形为等腰梯形， ∴， 设同时运动的时间为， 当时，， ∴， 此时，四边形为平行四边形，， 如图：过点分别作的垂线，分别交于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是等腰梯形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时是等腰梯形，， 当时，， ∴， 此时，四边形为平行四边形，， 当时，， ∴， 此时，四边形为平行四边形，， 综上，当或或或时，，共4次， 故选：B． 2．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，在四边形中，，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点P，作射线，交于点G，交的延长线于点．若，，则的长为（    ）    A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据题意的作图可得平分，则，由，可得，从而，因此，又，得证四边形是平行四边形，得到．根据和对顶角相等证得，从而，因此即可解答． 解：根据题意的作图可得平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：C 【点拨】本题考查尺规作图——作角平分线，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，综合运用各个知识是解题的关键． 3．（2019·广西防城港·中考真题）如图，与相交于点，，，则线段AB，AC，BD之间的等量关系式为 ． 【答案】 【分析】过点作，截取，连接，则四边形是平行四边形，得出，，证明为等边三角形得出，求得，由勾股定理得出，即可得出结果. 解：过点作，截取，连接，如图所示： 则四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 【点拨】本题考查了勾股定理、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、四边形内角和等知识，熟练掌握平行四边形的性质，通过作辅助线构建等边三角形与直角三角形是解题的关键. 【考点11】利用平行四边形的判定证明 1．（2024·湖南·中考真题）如图，在四边形中，，点E在边上， ．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求线段的长． 【答案】（1）①或②，证明见分析；（2）6 【分析】题目主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题关键． （1）选择①或②，利用平行四边形的判定证明即可； （2）根据平行四边形的性质得出，再由勾股定理即可求解． 解：（1）解：选择①， 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； 选择②， 证明：∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：由（1）得， ∵，， ∴． 2．（2020·广东广州·中考真题）如图，点A的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为9，则点的坐标为 ．      【答案】（4，3） 【分析】过点A作AH⊥x轴于点H，得到AH=3，根据平移的性质证明四边形ABDC是平行四边形，得到AC=BD，根据平行四边形的面积是9得到，求出BD即可得到答案. 解：过点A作AH⊥x轴于点H， ∵A（1,3）， ∴AH=3， 由平移得AB∥CD，AB=CD， ∴四边形ABDC是平行四边形， ∴AC=BD， ∵， ∴BD=3， ∴AC=3， ∴C（4，3）， 故答案为：（4，3）.    【点拨】此题考查平移的性质，平行四边形的判定及性质，直角坐标系中点到坐标轴的距离与点坐标的关系. 3．（2023·重庆·中考真题）如图，在等边中，于点，为线段上一动点（不与，重合），连接，，将绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接交于点，连接，，与所在直线交于点，求证：； （3）如图3，连接交于点，连接，，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，．若，直接写出的最小值． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3） 【分析】（1）根据旋转的性质得出，，进而证明，即可得证； （2）过点作，交点的延长线于点，连接，，证明四边形四边形是平行四边形，即可得证； （3）如图所示，延长交于点，由（2）可知是等边三角形，根据折叠的性质可得，，进而得出是等边三角形，由（2）可得，得出四边形是平行四边形，则，进而得出，则，当取得最小值时，即时，取得最小值，即可求解． 解：（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， ∵将绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴ ∴ 即 在和中 ， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，过点作，交点的延长线于点，连接，，      ∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴ ∴垂直平分， ∴ 又∵， ∴， ∴,   ∴在的垂直平分线上， ∵ ∴在的垂直平分线上， ∴垂直平分 ∴， ∴ 又∵， ∴是等边三角形， ∴ ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴ 在与中， ∴ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴； （3）解：依题意，如图所示，延长交于点，    由（2）可知是等边三角形， ∴ ∵将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到， ∴， ∴， ∴是等边三角形，   ∴ 由（2）可得 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ 由（2）可知是的中点，则 ∴ ∴ ∵折叠， ， ∴， 又， ∴， ∴当取得最小值时，即时，取得最小值，此时如图所示，    ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【知识点六】平行四边形的性质与判定的应用 【考点12】平行四边形的性质与判定的应用 1．（2024·河南周口·二模）如图，在平行四边形中，E是边上一点． （1）过点E作的平行线，交于点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）在上截取，结合可得四边形是平行四边形，则； （2）根据平行线的性质得出，，即可证明． 解：（1）解：如图，即为所求． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴． 在和中， ， ∴． 【点拨】本题考查了尺规作图，平行四边形的判定和性质，平行线的性质，全等三角形的判定，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 2．（2022·浙江舟山·中考真题）如图，在中，，点E，F，G分别在边，，上，，，则四边形的周长是（    ） A．32 B．24 C．16 D．8 【答案】C 【分析】根据，，可得四边形AEFG是平行四边形，从而得到FG=AE，AG=EF，再由，可得∠BFE=∠C，从而得到∠B=∠BFE，进而得到BE=EF，再根据四边形的周长是2（AE+EF），即可求解． 解：∵，， ∴四边形AEFG是平行四边形， ∴FG=AE，AG=EF， ∵， ∴∠BFE=∠C， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠B=∠BFE， ∴BE=EF， ∴四边形的周长是2（AE+EF）=2（AE+BE）=2AB=2×8=16． 故选：C 【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 3．（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点P处始终以一定角度向液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点Q，在处的法线交于点N，处的法线为．若，，则液面从上升至的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，关键是等腰三角形判定定理的应用． 先证明四边形是平行四边形，求得，据此求解即可． 解：由题意得，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.16 平行四边形（中考常考知识点分类专题）（精选精编） 【考点目录】 【知识点一】多边形的内角和与外角和 【考点1】多边形的内角和.......................................................................................................................1 【考点2】多边形的外角（和）................................................................................................................2 【考点3】多边形的内角和与外角和........................................................................................................2 【知识点二】三角形的中位线 【考点4】利用三角形中位线求值............................................................................................................2 【考点5】利用三角形中位线证明............................................................................................................3 【知识点三】平行四边形的性质 【考点6】利用平行四边形的性质求值....................................................................................................4 【考点7】利用平行四边形的性质证明....................................................................................................5 【知识点四】平行四边形的判定 【考点8】利用平行四边形的判定求值....................................................................................................6 【考点9】利用平行四边形的判定证明....................................................................................................6 【知识点五】平行四边形的性质与判定 【考点10】利用平行四边形的判定求值..................................................................................................7 【考点11】利用平行四边形的判定证明..................................................................................................8 【知识点六】平行四边形的性质与判定的应用 【考点12】平行四边形的性质与判定的应用..........................................................................................9 【题型展示与解析】 【知识点一】多边形的内角和与外角和 【考点1】多边形的内角和 1．（2024·山东青岛·中考真题）为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形和正方形中，，的延长线分别交，于点M，N，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东日照·中考真题）一个多边形的内角和是，则这个多边形是 边形． 3．（2022·湖南常德·中考真题）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为 ． 【考点2】多边形的外角（和） 1．（2023·北京·中考真题）正十二边形的外角和为（  ） A． B． C． D． 2．（2020·山东德州·中考真题）如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°……照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（    ） A．80米 B．96米 C．64米 D．48米 3．（2021·辽宁营口·中考真题）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【考点3】多边形的内角和与外角和 1．（2024·西藏·中考真题）已知正多边形的一个外角为，则这个正多边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川遂宁·中考真题）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·新疆·中考真题）如果一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形是 边形． 【知识点二】三角形的中位线 【考点4】利用三角形中位线求值 1．（2024·四川巴中·中考真题）如图，的对角线相交于点，点是的中点，．若的周长为12，则的周长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 2．（2024·浙江·中考真题）如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为    3．（2024·四川凉山·中考真题）如图，四边形各边中点分别是，若对角线，则四边形的周长是 ． 【考点5】利用三角形中位线证明 1．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，在中，D是中点． （1）求作：的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若l交于点E，连接并延长至点F，使，连接．补全图形，并证明四边形是平行四边形． 2．（2023·北京·中考真题）在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．  （1）如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点； （2）如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明． 3．（2023·湖南·中考真题）如图所示，在中，点D、E分别为的中点，点H在线段上，连接，点G、F分别为的中点． （1）求证：四边形为平行四边形 （2），求线段的长度． 【知识点三】平行四边形的性质 【考点6】利用平行四边形的性质求值 1．（2024·江西·中考真题）追本溯源： 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并说明理由． 方法应用： （2）如图2，在中，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G． ①图中一定是等腰三角形的有（    ） A．3个　 B．4个　 C．5个　 D．6个 ②已知，，求的长． 2．（2024·浙江·中考真题）如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 3.（2024·四川广安·中考真题）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ． 【考点7】利用平行四边形的性质证明 1．（2024·新疆·中考真题）（）解方程：； （）如图，已知平行四边形． 尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作的平分线交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑） 在的条件下，求证：是等腰三角形．    2．（2023·四川成都·中考真题）如图，在中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 3．（2022·湖北荆州·中考真题）如图，点E，F分别在□ABCD的边AB，CD的延长线上，连接EF，分别交AD，BC于G，H．添加一个条件使△AEG≌△CFH，这个条件可以是 ．（只需写一种情况） 【知识点四】平行四边形的判定 【考点8】利用平行四边形的判定求值 1．（2023·湖南·中考真题）如图，在平行四边形中，，的平分线交于点E，则的长为 ．    2．（2021·山东菏泽·中考真题）如图，在中，，，分别为、的中点，，过点作，交的延长线于点，则四边形的面积为 ． 3．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，平行四边形的对角线相交于点，点在对角线上，且，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若的面积等于2，求的面积． 【考点9】利用平行四边形的判定证明 1．（2024·四川达州·中考真题）如图，线段、相交于点．且，于点． （1）尺规作图：过点作的垂线，垂足为点、连接、；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母） （2）若，请判断四边形的形状，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问） 2．（2024·四川乐山·中考真题）下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（  ） A． B． C． D． 3．（2024·山东济宁·中考真题）如图，四边形的对角线，相交于点O，，请补充一个条件 ，使四边形是平行四边形． 【知识点五】平行四边形的性质与判定 【考点10】利用平行四边形的判定求值 1．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在中，，，．A点P从点A出发、以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动．在此运动过程中，线段出现的次数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，在四边形中，，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点P，作射线，交于点G，交的延长线于点．若，，则的长为（    ）    A．6 B．8 C．9 D．10 3．（2019·广西防城港·中考真题）如图，与相交于点，，，则线段AB，AC，BD之间的等量关系式为 ． 【考点11】利用平行四边形的判定证明 1．（2024·湖南·中考真题）如图，在四边形中，，点E在边上， ．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求线段的长． 2．（2020·广东广州·中考真题）如图，点A的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为9，则点的坐标为 ．      3．（2023·重庆·中考真题）如图，在等边中，于点，为线段上一动点（不与，重合），连接，，将绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接交于点，连接，，与所在直线交于点，求证：； （3）如图3，连接交于点，连接，，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，．若，直接写出的最小值． 【知识点六】平行四边形的性质与判定的应用 【考点12】平行四边形的性质与判定的应用 1．（2024·河南周口·二模）如图，在平行四边形中，E是边上一点． （1）过点E作的平行线，交于点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，求证：． 2．（2022·浙江舟山·中考真题）如图，在中，，点E，F，G分别在边，，上，，，则四边形的周长是（    ） A．32 B．24 C．16 D．8 3．（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点P处始终以一定角度向液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点Q，在处的法线交于点N，处的法线为．若，，则液面从上升至的高度为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$