专题6.15 平行四边形（回归教材与课本源题）（精选精编）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题6.15 平行四边形（回归教材与课本源题）（精选精编） 1．（24-25八年级上·广东汕头·期末）【追本溯源】： 题（1）来自于八年级数学上册课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，平分．求证：； 【方法应用】： （2）如图2，在四边形中，，平分，交边于点E，过点A作交于点G，交的延长线于点F． ①图中一定是等腰三角形的有 ； A．3个     B．4个      C．5个     D．6个 ②已知，求的长． 2．（22-23八年级下·江西吉安·期末）教材再现：（1）如图，这是北师大版八年级下册数学教材一道问题的部分内容．请你将证明过程补充完整；    知识延伸：（2）如图①，已知，求证：和的面积相等． 知识应用：（3）如图②，，，，连接，则的面积是　 ．（提示：过点E作于点F，连接）    3．（2022·浙江金华·一模）浙教版教材八年级下册第5章“4．2平行四边形及其性质（3）”中有这样一道例题： 如图，在中，对角线AC，BD交于点E，，若，求BD的长．请你完成求解过程． 小明的解题过程如下： 在中 ∵， ∴     第①步 ∵ ∴         第②步 ∴        第③步 ∴                         第④步 你认为他的解题过程正确吗？若正确，请再用其他方法求出BD的长；若不正确，请指出错误（从第几步开始错），并求出正确的BD长． 4．（24-25九年级下·江西赣州·阶段练习）【追本溯源】如图是人教版八年级下册部分内容： 如图，点D、E分别是的边与的中点，根据画出的图形，可以猜想：且．对此，我们可以用演绎推理给出证明 （1）请完成教材的证明； （2）如图，在四边形中，E、F分别是边、的中点，若，，，．求的度数． 5．（22-23八年级下·河南驻马店·期末）延时课上，实验中学八（2）某学习小组对北师大八下教材P150页的中位线定理进行了探究，请依据图中添加的辅助线完成中位线定理的证明． 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 已知：如图，中，分别是的中点．求证：，且．    证明：如图，延长至点，使，连接．    6．（22-23八年级下·广西南宁·阶段练习）【再读教材】：我们八年级下册数学课本第页介绍了“海伦－秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】：如图，在中，点E是边上一点，连接，，，，．    任务一：请你用海伦－秦九韶公式求的面积． 任务二：求的面积． 7．（23-24八年级下·广东江门·期末）【教材呈现】如图，这是人教版八年级下册第48页的部分内容． 如图，分别是的边与的中点．根据画出的图形，可以猜想：且．对此，我们可以用演绎推理给出证明． （1）【结论应用】 如图1，在四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点．请判断的形状，并说明理由． （2）【应用拓展】 如图2，在四边形中，，M是的中点，N是的中点，连接，延长交于点E．若，求的度数． 8．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）【教材定义】我们知道，两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 【问题探究】请根据以上平行四边形的定义证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形． （要求：画图，写已知、求证，并写出证明过程） 9．（24-25八年级上·山西朔州·期末）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 关于“互补四边形”的研究报告 研究对象：互补四边形 研究方法：观察（测量，实验）一猜想一推理证明 教材知识：四边形的内角和为 ▲ ． 研究内容： 【一般概念】互补四边形是一种特殊的几何图形，有一组对角和为的四边形叫“互补四边形”． 【性质探究】如图1，在“互补四边形”中，，是四边形的一个外角．试判断与的数量关系，并说明理由． 猜想：． 证明：∵，， ， 任务： （1）材料“▲”处的内容为__________； （2）补全材料中“”处的证明过程； （3）如图，在“互补四边形”中，，，为延长线上的一点，且点到和的距离相等，连接，交的平分线于点．求证：． 10．（23-24八年级下·贵州铜仁·期末）（1）【课本再现】（湘教版教材八年级下册例2） 如图1，直线与平行，，是与之间的任意两条平行线段，则，请说明理由； （2）（类比迁移） 如图2，，，，求证：； （3）【方法运用】 如图3，铜仁河滨公园内有一块四边形绿地，其中，现准备在绿地内修两条互相垂直的景观道与，即要求，现测得米，米，求四边形绿地的两边与长度之和（即求的长）． 11．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）【定理重现】如图是某数学教材中的部分内容． 平行四边形的性质定理3：平行四边形的对角线互相平分． 我们可以用演绎推理证明这个结论 已知：如图，的对角线和相交于点．求证：；． 观察图形，与，与分别属于哪两个三角形？ （1）请根据教材中的分析和图①．写出“平行四边形的对角线互相平分”这一性质定理的证明过程： 【性质应用】 （2）如图②，的对角线相交于点，过点且与分别相交于点，连接．求证：四边形是平行四边形； 12．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）教材定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 定理证明：（1）如图1，中，点D、E分别是边、的中点，连接．请你猜想中位线与第三边的数量关系和位置关系，并证明你的结论． 类比迁移：（2）如图2，梯形中，，点E、F分别是腰、的中点．类比三角形中位线，请你猜想梯形的中位线与两底边、的数量关系和位置关系，并证明你的结论． 综合应用：（3）如图3，在梯形中，，E、F分别是对角线、的中点．若，，求的长． 13．（23-24九年级上·河南驻马店·期中）[教材呈现] （1）如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题，请完成这道题的证明． 如图①，在四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点． 求证：． [结论应用] （2）如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段交的延长线于点E，延长线段交的延长线于点F．求证：． （3）若（2）中的，则的大小为多少？ 14．（24-25八年级下·河南周口·期中）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第77页的部分内容． 平行四边形的性质定理3平行四边形的对角线互相平分． 我们可以用演绎推理证明这个结论． 已知：如图的对角线和相交于点． 求证：，． 观察图形，与、与分别属于哪两个三角形？ 请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程． 【性质应用】如图2，在中，对角线、相交于点过点且与边、分别相交于点、．求证：． 【拓展提升】在【性质应用】的条件下，连接，若，的周长是，则的周长是_____． 15．（23-24九年级上·山西长治·期中）（1）回归课本 请用文字语言表述三角形的中位线定理：________________________． （2）回顾证法 证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．下面是其中一种辅助线的添加方法．请结合图2，补全求证及证明过程． 已知：在中，点分别是的中点． 求证：________________________． 证明：∵点分别是的中点， ∴，， 过点作，与的延长线交于点． …… （3）实践应用 如图3，点和点被池塘隔开，在外选一点，连接，分别取的中点，测得的长度为9米，则两点间的距离为________． 16．（23-24九年级上·贵州遵义·期中）在中，，，，将绕点B逆时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别为点，． 【教材呈现】（1）如图①，将绕点B旋转得到，则线段的长为 ； 【问题解决】（2）如图②，在旋转过程中，连接，交于点D，当时，求证：； 【拓展延伸】（3）如图③，连接，延长交于点F，点E为边的中点，连接．在旋转过程中，是否存在最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.15 平行四边形（回归教材与课本源题）（精选精编） 1．（24-25八年级上·广东汕头·期末）【追本溯源】： 题（1）来自于八年级数学上册课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，平分．求证：； 【方法应用】： （2）如图2，在四边形中，，平分，交边于点E，过点A作交于点G，交的延长线于点F． ①图中一定是等腰三角形的有 ； A．3个     B．4个      C．5个     D．6个 ②已知，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）①B；②4 【分析】本题是四边形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）由角平分线的定义得出．由平行线的性质得出，证出，则可得出结论； （2）①由等腰三角形的判定可得出结论； ②由（1）可知，，进一步则可得出答案． 解：（1）证明：∵平分． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①共有四个等腰三角形．分别是：， 理由如下：由（1）知：， ∴是等腰三角形； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 故答案为：B； ②∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由（1）可知，， ∵， ∴． ∵， ∴∠EAG＝∠AGB， ∴， ∴， ∵. 2．（22-23八年级下·江西吉安·期末）教材再现：（1）如图，这是北师大版八年级下册数学教材一道问题的部分内容．请你将证明过程补充完整；    知识延伸：（2）如图①，已知，求证：和的面积相等． 知识应用：（3）如图②，，，，连接，则的面积是　 ．（提示：过点E作于点F，连接）    【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析；（3）9 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）由（1）可知：，再根据，，即可得出结论； （3）过点E作于点F，连接，由待腰三角形“三线合一”性质得，所以，再证明，即可由（2）得求解． 解：（1）证明：，， ， ， ，即， ∴四边形是平行四边形， ． （2）由（1）可知：∵ ∴， ∵，， ∴和的面积相等． （3）过点E作于点F，连接，如图②    ∵，， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 由（2）知：． 【点拨】本题考查平行线性质，平行四边形判定与性质，等腰三角形性质，三角形的面积．熟练掌握平行线间的距离处处相等是解题的关键． 3．（2022·浙江金华·一模）浙教版教材八年级下册第5章“4．2平行四边形及其性质（3）”中有这样一道例题： 如图，在中，对角线AC，BD交于点E，，若，求BD的长．请你完成求解过程． 小明的解题过程如下： 在中 ∵， ∴     第①步 ∵ ∴         第②步 ∴        第③步 ∴                         第④步 你认为他的解题过程正确吗？若正确，请再用其他方法求出BD的长；若不正确，请指出错误（从第几步开始错），并求出正确的BD长． 【答案】小明的解题过程不正确，从第③步开始错；BD=2 【分析】利用平行四边形的性质求得EA=EC=2，EB=ED，利用勾股定理先后求得BC和BE，据此求解即可． 解：小明的解题过程不正确，从第③步开始错； 在▱ABCD中， ∵AC=4，AB=5， ∴EA=EC=AC=×4=2，EB=ED， ∵AC⊥BC， ∴， ∴BE， ∴BD=2EB=2 ． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，关键是根据平行四边形的对角线相互平分解答． 4．（24-25九年级下·江西赣州·阶段练习）【追本溯源】如图是人教版八年级下册部分内容： 如图，点D、E分别是的边与的中点，根据画出的图形，可以猜想：且．对此，我们可以用演绎推理给出证明 （1）请完成教材的证明； （2）如图，在四边形中，E、F分别是边、的中点，若，，，．求的度数． 【答案】（1）详见分析；（2） 【分析】（1）延长到使，连接．利用证，得到、，再证四边形是平行四边形．根据平行四边形对边平行且相等，结合，得出结论． （2）连接，根据中位线定理得，，然后理由勾股定理的逆定理得，再利用角的和差即可解答． 解：（1）证明：延长至点G，使，连接， ∵点D、E分别是的边与的中点， ∴，， 在和中， ， ， ，， ，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴且； （2）如图，连接． ∵E、F分别是边、的中点， ∴，， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是学会添加辅助线，构造三角形中位线解决问题． 5．（22-23八年级下·河南驻马店·期末）延时课上，实验中学八（2）某学习小组对北师大八下教材P150页的中位线定理进行了探究，请依据图中添加的辅助线完成中位线定理的证明． 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 已知：如图，中，分别是的中点．求证：，且．    证明：如图，延长至点，使，连接．    【答案】见分析 【分析】根据题干给出的辅助线，先证明，再证明四边形是平行四边形，即可得证． 解：证明如下：根据题意知， 是的中点， ． 在与中， ， ， ， ， 是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ． 【点拨】本题考查了三角形中位线的证明，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 6．（22-23八年级下·广西南宁·阶段练习）【再读教材】：我们八年级下册数学课本第页介绍了“海伦－秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】：如图，在中，点E是边上一点，连接，，，，．    任务一：请你用海伦－秦九韶公式求的面积． 任务二：求的面积． 【答案】见详解； 【分析】任务一：根据，，得到， 结合即可得到答案； 任务二：根据平行线间距离处处相等及平行四边形的对边相等求解即可得到答案； 解：任务一：∵，，， ∴， ∴， 任务二：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴； 【点拨】本题考查平行四边形的性质，解题的管家是根据新定义直接求出的面积． 7．（23-24八年级下·广东江门·期末）【教材呈现】如图，这是人教版八年级下册第48页的部分内容． 如图，分别是的边与的中点．根据画出的图形，可以猜想：且．对此，我们可以用演绎推理给出证明． （1）【结论应用】 如图1，在四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点．请判断的形状，并说明理由． （2）【应用拓展】 如图2，在四边形中，，M是的中点，N是的中点，连接，延长交于点E．若，求的度数． 【答案】（1）是等腰三角形，理由见分析；（2） 【分析】（1）由三角形中位线定理可得，，结合可得； （2）连接，取的中点P，连接．由三角形中位线定理可得，，，由平行线的性质可得，，再利用三角形内角和定理、四边形内角和定理计算即可． 解：（1）解：是等腰三角形． 理由：∵P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点， ∴，． ∵， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：如图，连接，取的中点P，连接． ∵M是的中点，N是的中点，， ∴，，， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴，． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 【点拨】本题考查三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，四边形和三角形的内角和定理，平行线的性质等，正确作出辅助线，熟练运用三角形中位线定理是解题的关键． 8．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）【教材定义】我们知道，两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 【问题探究】请根据以上平行四边形的定义证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形． （要求：画图，写已知、求证，并写出证明过程） 【答案】见分析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，平行线的判定；按照要求画出图形、写出已知、求证，先证明，得，则；同理得，则可判定四边形为平行四边形． 解：已知：如图，四边形的对角线交于点O，且； 求证：四边形是平行四边形； 证明：在与中， ， ， ， ； 同理，， ， ， ， 四边形为平行四边形． 9．（24-25八年级上·山西朔州·期末）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 关于“互补四边形”的研究报告 研究对象：互补四边形 研究方法：观察（测量，实验）一猜想一推理证明 教材知识：四边形的内角和为 ▲ ． 研究内容： 【一般概念】互补四边形是一种特殊的几何图形，有一组对角和为的四边形叫“互补四边形”． 【性质探究】如图1，在“互补四边形”中，，是四边形的一个外角．试判断与的数量关系，并说明理由． 猜想：． 证明：∵，， ， 任务： （1）材料“▲”处的内容为__________； （2）补全材料中“”处的证明过程； （3）如图，在“互补四边形”中，，，为延长线上的一点，且点到和的距离相等，连接，交的平分线于点．求证：． 【答案】（1）；（2）见分析；（3）证明见分析． 【分析】（）根据四边形的内角和定理即可求解； （）由“互补四边形”的性质可得，再由，通过等角的补角相等即可求证； （）由，则，由“互补四边形”的性质可得，又点到，的距离相等，则平分，由平分和，得，最后由三角形的内角和定理即可求解． 解：（1）解：由四边形的内角和为， 故答案为：； （2）解：补全证明过程如下： ∴， ∵， ∴； （3）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点到，的距离相等， ∴平分， ∴， ∵平分， ∴， 由（）知，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的判定，等角的补角相等，角平分线的有关计算，四边形的内角和，补角的定义等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 10．（23-24八年级下·贵州铜仁·期末）（1）【课本再现】（湘教版教材八年级下册例2） 如图1，直线与平行，，是与之间的任意两条平行线段，则，请说明理由； （2）（类比迁移） 如图2，，，，求证：； （3）【方法运用】 如图3，铜仁河滨公园内有一块四边形绿地，其中，现准备在绿地内修两条互相垂直的景观道与，即要求，现测得米，米，求四边形绿地的两边与长度之和（即求的长）． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3） 【分析】（1）根据平行四边形的判定与性质证明即可； （2）过点A作于点E，过点D作于点F，根据平行线之间的距离相等可得，证得，即可得证； （3）过点D作交的延长线于点F，证明四边形是平行四边形，可得，，可得，根据平行线定理可得，利用勾股定理求解即可． 解：（1）解：理由如下：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． （2）过点A作于点E，过点D作于点F， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3）过点D作交的延长线于点F， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴． 【点拨】本题考查平行四边形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、平行线定理、勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质与判定、全等三角形的性质与判定和平行线定理是解题的关键． 11．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）【定理重现】如图是某数学教材中的部分内容． 平行四边形的性质定理3：平行四边形的对角线互相平分． 我们可以用演绎推理证明这个结论 已知：如图，的对角线和相交于点．求证：；． 观察图形，与，与分别属于哪两个三角形？ （1）请根据教材中的分析和图①．写出“平行四边形的对角线互相平分”这一性质定理的证明过程： 【性质应用】 （2）如图②，的对角线相交于点，过点且与分别相交于点，连接．求证：四边形是平行四边形； 【答案】（1）见分析，（2）见分析． 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质． （1）先判断出，进而判断出，即可得出结论； （2）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可． 解：证明：（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 12．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）教材定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 定理证明：（1）如图1，中，点D、E分别是边、的中点，连接．请你猜想中位线与第三边的数量关系和位置关系，并证明你的结论． 类比迁移：（2）如图2，梯形中，，点E、F分别是腰、的中点．类比三角形中位线，请你猜想梯形的中位线与两底边、的数量关系和位置关系，并证明你的结论． 综合应用：（3）如图3，在梯形中，，E、F分别是对角线、的中点．若，，求的长． 【答案】（1），，证明见分析；（2），证明见分析；（3） 【分析】本题考查三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）延长至点F，使，连接，证明，然后推导四边形为平行四边形，即可得到结论； （2）连接并延长交的延长线于点G，证明，然后根据三角形的中位线定理得到结论； （3）如图，取的中点，连接，，而E、F分别是对角线、的中点．证明三点共线，再结合三角形的中位线的性质可得答案； 解：证明：（1），，理由如下： 延长至点F，使，连接， ，，， ， ，， ， ，， ， 又， 四边形为平行四边形， ，， ，． （2）解：，理由如下： 连接并延长交的延长线于点G，如图： ∵， ，， ∵F是CD的中点， ， ， ，， ∵E是的中点，F是的中点， ， ． （3）如图，取的中点，连接，，而E、F分别是对角线、的中点． ∴，，而， ∴， ∴三点共线， 由三角形的中位线的性质可得： ，， ∴； 13．（23-24九年级上·河南驻马店·期中）[教材呈现] （1）如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题，请完成这道题的证明． 如图①，在四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点． 求证：． [结论应用] （2）如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段交的延长线于点E，延长线段交的延长线于点F．求证：． （3）若（2）中的，则的大小为多少？ 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析；（3） 【分析】本题考查了三角形中位线定理、三角形外角的性质、等腰三角形的性质，熟知三角形中位数定理是解题的关键． （1）可得分别为的中位线，则，则，即可求证； （2）根据三角形中位线定理得到，则，同理，再根据即可证明； （3）先由三角形中位线定理得到，则，由三角形外角的性质得到，再由，得到，，据此求解即可． 解：（1）证明：∵P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点． ∴分别为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：P是的中点，M是中点， 是的中位线， ， ， 同理可得， ， ， ， ， ； （3）解：， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ． 14．（24-25八年级下·河南周口·期中）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第77页的部分内容． 平行四边形的性质定理3平行四边形的对角线互相平分． 我们可以用演绎推理证明这个结论． 已知：如图的对角线和相交于点． 求证：，． 观察图形，与、与分别属于哪两个三角形？ 请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程． 【性质应用】如图2，在中，对角线、相交于点过点且与边、分别相交于点、．求证：． 【拓展提升】在【性质应用】的条件下，连接，若，的周长是，则的周长是_____． 【答案】教材呈现：证明见分析；性质应用：证明见分析；拓展提升：24 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质、线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 教材呈现：根据平行四边形性质得出，，进而证明，即可得出结论； 性质应用：根据平行四边形性质得出，，进而证明，即可得出结论； 拓展提升：由，，可得垂直平分线段，得出，进而求出，即可求解． 解：教材呈现 证明：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ，； 性质应用 证明：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ； 拓展提升：24； 解：，， 垂直平分线段， ， 的周长是， ， 四边形是平行四边形， ，， 的周长为， 故答案为24． 15．（23-24九年级上·山西长治·期中）（1）回归课本 请用文字语言表述三角形的中位线定理：________________________． （2）回顾证法 证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．下面是其中一种辅助线的添加方法．请结合图2，补全求证及证明过程． 已知：在中，点分别是的中点． 求证：________________________． 证明：∵点分别是的中点， ∴，， 过点作，与的延长线交于点． …… （3）实践应用 如图3，点和点被池塘隔开，在外选一点，连接，分别取的中点，测得的长度为9米，则两点间的距离为________． 【答案】（1）三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；（2）见分析；（3）18米 【分析】本题主要考查中位线的判定和性质及运用，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质， （1）根据中位线的性质即可求解； （2）点分别是的中点，则，，过点作，与的延长线交于点，可证，四边形是平行四边形，由此即可求证； （3）根据中位线的性质可得，，即可求解． 解：（1）三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半； （2）已知：在中，点分别是的中点． 求证：． 证明：∵点分别是的中点， ∴，， 过点作，与的延长线交于点， ∴，且， ∴， ∴，， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴． （3）接，分别取的中点，测得的长度为9米， ∴米， 故答案为：18米． 16．（23-24九年级上·贵州遵义·期中）在中，，，，将绕点B逆时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别为点，． 【教材呈现】（1）如图①，将绕点B旋转得到，则线段的长为 ； 【问题解决】（2）如图②，在旋转过程中，连接，交于点D，当时，求证：； 【拓展延伸】（3）如图③，连接，延长交于点F，点E为边的中点，连接．在旋转过程中，是否存在最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）12；（2）见分析；（3）存在最大值为8 【分析】（1）先利用勾股定理求出，再利用旋转对称得到，进而可得； （2）根据旋转的性质得出，， ，则，根据平行线的性质求出∠A′+∠BC′C＝90°，则，结合直角三角形的性质推出，，根据等腰三角形的判定从而得解； （3）过A作交的延长线于点P，连接，证明，由全等三角形的性质得出，由三角形中位线定理可得出；要使最大，只需最大，此时C，B，三点共线，的最大值为，进一步解答则可求出答案． 解：，，， ， 将绕点B旋转得到， ，、B、C在一条直线上， ， 故答案为：12； （2）证明：将绕点B旋转得到， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）的最大值为8，理由如下： 如图，过A作交的延长线于点P，连接， 将绕点B旋转得到， '，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即F是中点， 点E为的中点， 是的中位线， ， 当的值最大时，的值最大， ， 当C，B，三点共线时，存在最大值， ， 即的最大值为8． 【点拨】本题考查直角三角形的旋转变换，涉及旋转的性质、勾股定理、等腰三角形判定、全等三角形判定与性质、三角形中位线的判定与性质等知识，综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$