专题6.14 平行四边形创新题型探究（精选精编）（专项练习）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）
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内容正文：
专题6.14 平行四边形创新题型探究（精选精编）（专项练习）
题型目录
第一部分【基础夯实篇】20题.....................................................................................1
第二部分【培优提升篇】24题...................................................................................22
第一部分【基础夯实篇】20题
一、单选题
1．（山西省2025年中考一模数学试卷（省一模））如图，取两根长度不等的细木棒，将它们的中点重合固定（记为点O）．转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，分析以木棒四个端点为顶点的四边形，下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
先证明是平行四边形，再根据平行四边形的性质定理直接进行排除选项．
解：∵取两根长度不等的细木棒，将它们的中点重合固定（记为点O）．
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
但，，不一定成立．
故选：D．
2．（2025·江苏宿迁·一模）如图，点B是正八边形的边上一点，一束光线从点B出发，经过两次反射后到达边上一点E，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正多边形的内角和、多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和是解题关键．设题中的正八边形为正八边形，过点作于点，先求出正八边形的每个内角的度数，再根据五边形的内角和可得的度数，从而可得的度数，同理可得的度数，最后根据五边形的内角和求解即可得．
解：如图，设题中的正八边形为正八边形，过点作于点，
∵八边形为正八边形，
∴正八边形的每个内角为，
∵，
∴在五边形中，，
由入射角等于反射角得：，
∴，即，
∴在五边形中，，
同理可得：，
∴在五边形中，，
故选：A．
3．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，有一张纸片，，，连，将沿所在直线剪开得和，用这两个三角形拼成平行四边形后最长对角线的长是（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了图形的剪拼以及勾股定理和等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．利用等腰三角形的性质，进而重新组合得出平行四边形，进而利用勾股定理求出对角线的长．
解：如图，∵边，，
∴，
∴，
如图①所示：四边形是矩形，则其对角线的长为5；
如图②所示：，连接，过点C作于点E，
则，，
∴；
如图③所示：，
由题意可得：，，
∴，
∵，
其中最长的对角线的值为．
故选：C．
4．（2024·湖北·模拟预测）类比“赵爽弦图”，可类似的构造如图所示的图形，它是由中间的小正六边形和6个全等的直角三角形拼成的一个大正六边形，若在大正六边形内部随机取一点，则此点取自小正六边形的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先对图形标注，根据内角和定理求出，即可得出，再设，根据直角三角形的性质得，由勾股定理求出，根据题意可知，可求，然后求出等边三角形的面积，进而得出正六边形的面积，最后根据面积比得出答案．
解：如图所示，
正六边形的每个内角，
∴．
设，
∴，
根据勾股定理得．
根据题意可知，
∴．
作，交于点F，
∵是等边三角形，
∴．
根据勾股定理得，
∴，，
∴正六边形的面积，六个直角三角形的面积为，
∴此点取自小正六边形的概率是．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了多边形的内角和定理，直角三角形的性质，勾股定理，概率的计算公式，理解用面积比表示概率是解题的关键．
5．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，在平行四边形中，点在对角线上，连接，，过点作交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和等知识点，设，用x表示出和，再由和三角形的内角和列出方程求出x，进而即可得解，熟练掌握其性质并灵活运用是解决此题的关键．
解：设，
∵四边形平行四边形，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ，
故选：D．
6．（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在中，，若将全等的按图1方式放置可以拼成一个五边形，则将全等的按图2方式放置下去，拼出来的图案是（ ）边形．
A．18 B．19 C．20 D．21
【答案】C
【分析】该题主要考查了多边形外角和定理，解题的关键是读懂题意．
根据题意算出围绕一周需要的三角形个数即可解答．
解：根据题意可知图2中全部三角形全等，
故拼出来的多边形是正多边形，
∵，
∴，
∵，
∴拼出来的多边形每一个外角为，
根据图2方式放置下去，围绕一周需要三角形个数个，
故拼出来的图案是20边形，
故选：C．
7．（2024·浙江·二模）四边形具有不稳定性，教材是在平行四边形概念的基础上学习矩形定义的，教材提出的情景问题是：“在这些平行四边形中，有没有一个面积最大的平行四边形”，因此通过平行四边形变形可以得到矩形．某同学将平行四边形的边与边分别绕点A、点逆时针旋转，得到矩形，若此时、、恰好共线，cm，cm，那么边扫过的面积为（ ）
A． B． C． D．8
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
连接，，以A为圆心，的长为半径，作,以B为圆心，的长为半径，作,平行四边形的面积就是扫过的面积.
解：连接，，以A为圆心，的长为半径，作,以B为圆心，的长为半径，作,
扫过的面积为,及，围成的面积，
即平行四边形的面积就是扫过的面积.
由旋转可知，， ，
是平行四边形，
中，，
，
，
故答案为：A．
8．（23-24八年级下·浙江·期中）已知平行四边形的一组邻边长为2和3，且有一个内角为，，是平行四边形边上的两点，且将此平行四边形分成面积相等的两部分，则线段的长度取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理．根据题意可得当和边垂直时，最小，当与对角线重合时，最大，再分别求出的最小值和最大值，即可．
解：如图，在平行四边形中，，
根据题意得：当和边垂直时，最小，过点A作于点N，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
当与对角线重合时，最大，过点D作交于点F，则
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，线段的长度取值范围为．
故选C
二、填空题
9．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知有正a边形和正b边形，且，正边形和正边形的内角和之差为，则b为
【答案】
【分析】本题考查了多边形的内角和公式，解二元一次方程，根据多边形的内角和公式，结合已知列出方程组求解即可．
解：依题意得：，
解得：，
故答案为：．
10．（2025七年级下·全国·专题练习）铺满平面的条件为：当公共顶点处所有角的和为 时，才有可能铺满平面．
【答案】/360度
【分析】本题考查了平面镶嵌（密铺），平面图形密铺的条件：若公共顶点上几个角的度数和正好等于，则图形可以密铺平面；否则不能密铺；
解：铺满平面的条件为：当公共顶点处所有角的和为时，才有可能铺满平面．
故答案为：．
11．（24-25八年级上·山西吕梁·期中）如图，数学活动课上，小李同学分别延长和的边，的延长线交于点H，延长线交于点，测得，则 ．
【答案】204
【分析】此题考查四边形的内角和，三角形外角性质，关键是根据三角形外角性质得出解答．根据三角形外角性质得出，进而利用四边形的内角和解答即可．
解：由三角形外角性质可知：，，
，，
，
，
，
故答案为：204．
12．（2024·陕西咸阳·三模）如图，分别以平行四边形的边和为直角边，向平行四边形内作等腰和等腰，在的斜边、的斜边上分别取点，连接，四边形为正方形，若平行四边形的面积为4，则的面积为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了中心对称的性质以及平行四边形的面积问题，先结合题意“以平行四边形的边和为直角边，向平行四边形内作等腰和等腰，在的斜边、的斜边上分别取点，连接，四边形为正方形，”得出整个图形是以点为对称中心的中心对称图形，结合四边形的面积之间的关系，列式计算，即可作答．
解：连接，并延长分别交于两点为，连接与相交于一点O，
∵分别以平行四边形的边和为直角边，向平行四边形内作等腰和等腰，在的斜边、的斜边上分别取点，连接，四边形为正方形，
∴整个图形是以点为对称中心的中心对称图形，
∴，
则的面积，
故答案为：1．
13．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，平行四边形的顶点在等腰直角三角形的边上，点在的延长线上，为的中点，连接，若，，则 ．
【答案】3
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质等知识．延长交于点，由平行四边形的性质得出，，证出，证明为的中位线，则可得出答案．
解：延长交于点，
四边形为平行四边形，
∴，，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
为的中点，
为的中位线，
．
故答案为：3．
14．（2024·浙江宁波·模拟预测）在《圆锥曲线论》中有一个著名的“阿波罗尼奥斯定理”，这个定理可以表述为：平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和． 如图，在中，，，，D是的中点，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练运用阿波罗尼奥斯定理是解题的关键．
延长到E，使，连接，，根据线段中点的定义得到，推出四边形是平行四边形，得到，，根据阿波罗尼奥斯定理解方程即可得出结论．
解：延长到E，使，连接，，
点D是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
由阿波罗尼奥斯定理得：，
，
，
，
故答案为：．
15．（2024七年级·全国·竞赛）我们把某广场近似看作是由两组平行线围成的，如图所示，，，另有四条线把广场分成了8块，其中有三块的面积在图中已经给出（单位：平方米），根据图示信息，可知阴影部分的面积为 平方米．
【答案】1000
【分析】本题考查了平行四边形面积，解题的关键是理解三角形的面积为平行四边形面积的一半来求解．
解：阴影部分与上、下两个空白小三角形的面积之和为整个四边形面积的一半，150、600、250与上、下两个空白小三角形的面积之和也为整个四边形面积的一半，
所以阴影部分的面积等于150、600、250之和，为1000平方米，
故答案为：1000．
16．（2022·湖北荆门·模拟预测）如图，在中，过点D作于点D，连接交于点E，连接交于点M，若M，N恰为线段的三等分点，点E为线段，的中点，且点E到直线的距离为4，，则的值为 ．
【答案】1
【分析】如图，连接．由线段的三等分点的性质结合三角形的面积公式可得出．由线段的中点的性质结合三角形的面积公式可得出，从而可求出．
解：如图，连接．
∵M，N为线段的三等分点，
∴．
∵E为线段的中点，
∴，
∴．
故答案为：1．
【点拨】本题考查线段中点的性质，线段n等分点的性质，三角形的面积公式．利用数形结合的思想是解题关键．
三、解答题
17．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，直线过的顶点，点都在直线上，且．求证：．
【答案】见详解
【分析】本题主要考查平行线的性质，平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定方法是解本题的关键．过点作，交于，连接，证四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，是平行四边形，根据平行四边形的性质得，，最后根据，问题得证．
解：证明：如图，过点作，交于，连接，
，
四边形是平行四边形，
，
在中， ，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
即
18．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图，学校有一块五边形绿地，测量得，与互补，，分别延长，交于点．
（1）求的度数．
（2）求证：点到的距离与点到的距离相等．
【答案】（1）；（2）证明见分析
【分析】本题考查多边形的内角和，补角，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）利用四边形内角和公式得，再结合，，即可求解；
（2）过点作于点，延长线于点，利用四边形内角和公式求得，则，可得，证明，即可得．
解：（1）解：∵四边形的内角和为，
∴，
∵与互补，
∴，
又∵，
∴，
解得：；
（2）解：过点作于点，延长线于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
又∵，
在和中，
，
∴，
∴，
即点到的距离与点到的距离相等．
19．（22-23八年级下·河南郑州·期末）小宇将一个含的三角板绕着等边中边上的一点E旋转，如图所示，三角板短直角边、斜边分别与边、交于点D、点F，当时，得到图1，作点E关于的对称点G，连接，．
（1）请在图1中补全图形，则与的数量关系是______，的度数为______．
（2）①证明；
②证明四边形是平行四边形．
（3）当，时，直接写出的度数．
【答案】（1）补全图形见分析；相等；；（2）①见分析；②见分析；（3）
【分析】（1）过点E作的垂线并延长，取，则点G是点E关于的对称点，可补全图形，可得是线段的垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可求解．
（2）①根据是等边三角形得，根据三角形的外角关系 可得，利用即可求证结论；②利用全等三角形的性质及平行线的判定可得可得，且，进而可求证结论．
（3）连接，利用等边三角形的判定可得是等边三角形，在利用勾股定理的逆定理可得是等腰直角三角形，进而可求得，在根据即可求解．
解：（1）解：过点E作的垂线并延长，取，则点G是点A关于的对称点，
补全图形如图所示：
点E和点G关于对称，
是线段的垂直平分线，
，，
∴，
是边等三角形，
，
，
故答案为：相等，．
（2）①，，
，
是边等三角形，
，
在和中，
，
．
②，
，，
，
，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
（3）连接，如图所示：
，，
等边三角形，
，
是边等三角形，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
在中，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
又，
，
，
．
【点拨】本题考查了几何变换——轴对称、全等三角形的判定及性质、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、平行四边形的判定及性质，熟练掌握基础知识，根据轴对称的性质作出图形是解题的关键．
20．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，已知直线与直线 ，将直线沿y轴正方向平移4个单位得直线，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，交直线于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）如图1，点P为线段上的动点，点Q为直线上的动点，当 时， 求出此时P点的坐标；
（3）如图2，在第（2）问的条件下，直线上有一动点M， x轴上有一动点N，当以P、B、M、N 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出此时N点的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）或或
【分析】本题考查一次函数的图象及性质、平行四边形的性质、坐标与图形，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．
（1）先求出，联立求解即可．
（2）设，过点B作，先求出三角形的高，通过面积求出的长度，进一步求出坐标即可．
（3）分情况讨论，根据平行四边形的性质求解即可．
解：（1）解：∵直线沿y轴正方向平移4个单位得直线，，
∴，
∴，
解得，
∴．
（2）解：设，过点B作，
∵，
∴，
由题意可得：为等腰直角三角形，
，
，
解得（舍去），或
（3）解：根据题意设，
①当为两组对角线时，
，
解得
．
②当为两组对角线时，
，
解得
．
③当为两组对角线时，
，
解得
．
综上所述，N点的坐标或或
第二部分【培优提升篇】20题
一、填空题
1．（21-22八年级下·福建宁德·期中）如图，在平面内放置一副三角板，，M，N分别是的中点，如果经平移、旋转，则的最大值是 ．
【答案】5
【分析】连接，并取的中点O，连接，根据三角形中位线的性质可得，再利用三角形三边关系进行求解即可．
解：连接，并取的中点O，连接，
∵分别为的中位线，
∴，
在中，，
即，
∴（仅当且M、O、N三点共线时取等号）
故答案为：5．
【点拨】本题主要考点是三角形的中位线性质，难点是通过题目已有的中点，构造出三角形的中位线，再转化为两点之间线段最短，从而求出最大值．
2．（22-23八年级下·四川成都·期末）如图，已知点是直线上一点，点是轴上一定点，四边形是平行四边形．在直线上有一动点，若的最小值为10，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】直线与坐标轴夹角为，在轴正半轴上，作，连接交直线于点，延长交轴于点，此时点与点关于直线成轴对称，，的值最小．根据已知求得点的坐标为，设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，的坐标为，，，在中，应用勾股定理，列出一元二次方程，求解即可，本题考查了一次函数图象上点的坐标，平行四边形的性质，轴对称最短路径，勾股定理，解题的关键是：根据一次函数图象上点的坐标表示出线段长．
解：在轴正半轴上，作，连接交直线于点，延长交轴于点，
直线是两坐标轴夹角的角平分线，
点与点关于直线成轴对称，
，
，
将点代入，
，
点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，的坐标为，
则，，
四边形是平行四边形，
，
轴，，
在中，，即：，
解得：（舍去），，
，
故答案为：．
3．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知等腰直角，，，，延长交延长线于点G，若，，，则的长为 ．
【答案】8
【分析】如图，延长至点M，使，连接并延长交的延长线于点N，连接，利用勾股定理求得，从而可得，根据垂直平分线的性质得，从而可得，再由等腰三角形的性质可得，，从而可得，再根据对顶角相等可得，由平行线的判定可得，从而可证四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，且，再由平行线的性质得，，从而可得，可证是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求解．
解：如图，延长至点M，使，连接并延长交的延长线于点N，连接，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，且，
∴，即，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：8．
【点拨】本题考查垂直平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、对顶角相等、平行线的判定与性质，正确作出辅助线，构造平行四边形是解题的关键．
4．（2023·河南新乡·二模）如图，B、O、D三点共线，且，，和都为等腰直角三角形，将绕点O逆时针方向旋转一周，当时，线段的长度为 ．
【答案】2或/ 或2
【分析】本题考查等腰三角形性质及判定，勾股定理，旋转性质，平行四边形判定及性质．根据题意分情况讨论，①当在外部时，利用等腰直角三角形性质可知，，，继而证出是等腰直角三角形，再用勾股定理即可得到本种情况答案；②当在的内部时，证明出四边形是平行四边形，再用勾股定理即可得到本题答案．
解：①如图，当在外部时，
，
延长交于N，过点A作于H，
∵和都为等腰直角三角形，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
②如图，当在的内部时，
，
∵和都为等腰直角三角形，
∴，，，，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2或．
5．（2023·辽宁大连·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点是x 轴正半轴上一点，点A在y 轴上．连接，点C是的中点．将沿折叠得到（点D 不与点B 重合），连接．若，则 y 关于x 的函数解析式为
【答案】
【分析】连接交于点M，延长交y轴于点N，由折叠得到，推出是的中位线，求出，证得垂直平分，利用面积法求出，再根据勾股定理求出，得到y 关于x 的函数解析式．
解：连接交于点M，延长交y轴于点N，
∵，
∴，
由折叠得，
∵C是的中点，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点D不与点B重合，
∴当点D与点B重合时，，
此时，，则，
∴，
∴当时，，
当时，，
∴．
故答案为．
【点拨】此题考查了三角形中位线定理，折叠的性质，勾股定理，求函数解析式，熟练掌握轴对称的性质得到是的中位线是解题的关键．
6．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，过点D作，垂足为E，过上一点F作，垂足为G，交于P，连接，．过F作，垂足为H．连接．若，，．则 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，延长到Q，使，连接，证明，得出，证明，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，即可得出答案．
解：延长到Q，使，连接，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
则，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
7．（23-24八年级下·浙江温州·期中）小明受八下书本5.1中“合作学习”启发，想利用电脑软件体验平行四边形的不稳定性，如图所示，当点坐标为时，记平行四边形面积为，记变化过程中平行四边形的最大面积为，则 ．
【答案】/
【分析】此题考查了图形与坐标，平行四边形、勾股定理等知识，作轴于点F，求出即可得到答案．
解：作轴于点F，
∵点坐标为
∴
∴，
当平行四边形旋转到与重合时，即变成矩形时面积最大，
∴，
∴
∴
故答案为：
8．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，四边形是平行四边形，点E、点F分别是线段上的动点，将四边形沿折叠，使点D的对应点落在对角线的三等分点处（把一条线段平均分成三等份的两个点，都叫线段的三等分点），连接．若，，，则的面积为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理．作交的延长线于点，利用直角三角形的性质以及勾股定理求得，，由折叠的性质知，点E在线段的垂直平分线上，再分两种情况讨论，利用直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．
解：作交的延长线于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴在中，，
，，
在中，，
∴，，
由折叠的性质知，点E在线段的垂直平分线上，设垂足为点，
如图，当点落在对角线的三等分点处（点靠近点），
∴，
∴，，
在中，，
∴，
由勾股定理得，即，
解得，
∴的面积为；
如图，当点落在对角线的三等分点处（点靠近点），
同理，
∴，，
由勾股定理求得，
∴的面积为；
故答案为：或．
9．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）爱好绘画的小明在学习英文时看到这句话：“Heavy is the head who wears the crown．”意思是：“欲戴王冠， 必承其重．”，于是他在画本上绘制出如图的王冠， 已知，，王冠两边、的延长线相交于点O，且， 则 （用含有x的式子表示）．
【答案】
【分析】此题考查了多项式内角和，三角形内角和定理，解题的关键是正确作出辅助线．
连接，，，，首先得到，，，，然后求出，然后得到，进而求解即可．
解：如图所示，连接，，，
∴，，，
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴．
故答案为：．
10．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，已知直线与直线交于点，将线段绕点顺时针旋转得到，若平面内存在一点，使四边形是平行四边形，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查直线的交点、旋转的性质、全等三角形的判定和性质以及平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质．
根据交点求得点，过点M作轴于点D，过点N作轴于点F， 则，由旋转得和，可证明，即可求得，设点，根据平行四边形的性质列出方程，求得点即可．
解：有题意得，解得，
则点，
过点M作轴于点D，过点N作轴于点F，如图，
则，
∵线段绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
则点，
设点，
∵四边形是平行四边形，
∴，解得，
则点，
故答案为：．
11．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）如图在平面直角坐标系中将向右平移得到，其中点A坐标为，点C坐标，点D坐标，点坐标，则在平移过程扫过的面积即四边形的面积为 ．
【答案】8
【分析】本题考查了根据平移的性质求解，平行四边形的性质，坐标与图形，根据点C、的坐标求出平移距离，然后求出点的坐标，再根据平行四边形的面积公式列式计算即可得解．
解：∵点，点，
∴平移距离，
∵点，
∴点的坐标为，
∵点，点D坐标，
∴点B的坐标为
∴，
由平移性质得四边形是平行四边形，
∴四边形的面积
故答案为：8．
12．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）美术兴趣小组的同学准备用长为，宽为的三幅绘画作品装饰教学楼楼道的一块平行四边形墙面．如图，是这块墙面的示意图，其中，，．要求：①中间这幅画的中心（对角线交点）与的对角线交点O重合，②每幅画的下边缘与水平地面平行，③三幅画的左下角E，F，G在同一直线上，且这条直线与平行，④相邻两幅画的水平间距，E到的距离，H到的距离均相等．则第一幅画的左下角E到的距离为 m，E到的铅垂距离交于Q）为 m．
【答案】
【分析】过点作，交的延长线于点，在中，求出，再利用相邻两幅画的水平间距，到的距离，到的距离均相等．列方程求解即可求出第一幅画的左下角到的距离；过第一幅画的中心作分别交，于点，，交第一幅画下沿于点，过点作于点，在中，求出，利用，，即可求出到的铅垂距离．
解：过点作，交的延长线于点，
四边形是平行四边形，
，，
，
∴
∴在中，，
，
设，
根据题意，得，
解得，
第一幅画的左下角到的距离为；
过第一幅画的中心作分别交，于点，，交第一幅画下沿于点，过点作于点，
由题意，知，
，
，
∴
∴
∵
∴
，
．
故答案为：，．
【点拨】本题考查直角三角形的性质，平行四边形的性质，中心对称的性质，勾股定理，解答时还涉及一元一次方程的解法．理解题意，构造直角三角形，并熟练运用三角函数关系是解题的关键．
13．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图，的两个外角的平分线相交于点P，过点P作边的平行线，与另外两边的交点分别为D和E．给出以下四个结论：①是等腰三角形；②；③；④点P在的平分线上．其中一定正确的是 （把你认为正确结论的序号都填上）．
【答案】①③④
【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、角平分线定义与性质、中位线定理等知识， 连接， 由平行线的性质得出，由角平分线定义得出，推出，得出，①正确；只有为的中位线时，才能，②不一定正确； 由角平分线定义得出，由平行线性质得出，推出，由等腰三角形的性质得出，证出，即，③正确．由角平分线的性质得出点到边、、的距离相等，即点到两边的距离相等，得出点在的平分线上，即是的角平分线，④正确．
解：连接，如图所示：
，
，
，
，
，
是等腰三角形，故①正确；
，
只有为的中点时，即为的中位线时，才能，②不一定正确；
是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
即，故③正确；
的两个外角的平分线相交于点P，
点P到边的距离相等，即点P到两边的距离相等，
点P在的平分线上，故④正确，
综上所述正确的有：①③④，
故答案为：①③④．
14．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，在平行四边形中，将绕A逆时针旋转到，的角平分线经过的中点E，且，，则的值为 ．
【答案】
【分析】由旋转得，而平分，所以垂直平分，则，而，可证明是等边三角形，由，求得，则，，由，得，求得，则，所以，且，由，得．
解：由旋转得，
∵的角平分线经过的中点，
∴，，
∵，平分，
∴垂直平分，
∴，
∴，
，
，
∴是等边三角形，
，
，
，
，，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点拨】此题重点考查旋转的性质、平行四边形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识，推导出是等边三角形是解题的关键．
15．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，将平行四边形纸片折叠，使得点落在边上的处，折痕为．再将翻折，点恰好落在的中点处，连接，若，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】根据折叠的性质和平行四边形的性质证出，而，进而得到四边形是平行四边形，由折叠可得，垂直平分，即可得出是直角三角形，再证明，得到，即，最后在中，运用勾股定理进行计算即可得到的长．
解：由折叠可得，，，
平行四边形中，，
，
，
，
，而，
四边形是平行四边形，
，
由折叠可得，垂直平分，
，
又，
，
是直角三角形，
，
，
又，，
，
，
，
又是的中点，，
，
，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了折叠问题，平行四边形的判定与性质，等角对等边以及勾股定理的运用，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
16．（2024·广东中山·一模）小宇利用尺规在内作出点E，又在边上作出点F，作图痕迹如图所示，若，则之间的距离为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了平行四边形的性质，尺规作图，角平分线的性质定理：
过点E作于点M，交的延长线于点N，则由平行四边形得到，而，故．
解：过点E作于点M，交的延长线于点N．
由作图可知，平分，平分，，
∵
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴之间的距离为4．
故答案为：4．
17．（2025·陕西咸阳·模拟预测）某市举行了一次无人机表演大赛，参赛者勇勇让自己的微型无人机上升到一定高度时，开始按照如图所示的程序框图在空中完成表演，从开始表演到结束表演，勇勇的无人机飞行的总路程是 米．
【答案】
【分析】本题考查正多边形的性质与流程图，根据流程图得到路程是正多边形，根据外角得到边数，再求解即可得到答案．
解：由流程图可得，无人家的飞行轨迹是正多边形，多边形外角为，
∴边数为：，
∴无人机飞行的总路程是：（米），
故答案为：．
18．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，，，与的角平分线交于点，连接并延长交直线于点．若点落在线段上（包括端点，），则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，分别求出点P恰好在线段上和直线恰好经过点C时m的值即可得到答案．
解：如图所示，当点P恰好在线段上时，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴；
如图所示，当直线恰好经过点C时，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵与的角平分线交于点，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∴点落在线段上（包括端点，），则的取值范围是，
故答案为：．
19．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，点D在的延长线上，且，点F在线段上，以，为邻边作，连接、、，若与的面积和为5，则的面积为 ．
【答案】20
【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是关键．
连接，过C作交的延长线于点M，可证四边形是平行四边形，由边上的高和边上的高相同知，所以，设的边上的高为h，则，又，即可求得的面积．
解：如图，连接，过C作交的延长线于点M，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
由边上的高和边上的高相同知，
，
∴，
设的边上的高为h，则，
又∵，
∴
∴
的面积为．
故答案为：
20．（24-25八年级下·浙江温州·期中）科学实验器具盒的侧面构造如图所示，三条连杆，，连结了两个储物盒（即线段和）和底面（即所在直线），且，．拉杆与的夹角始终等于．其中构成的四边形和在盒子开启和关闭过程中保持为平行四边形．如图（1），盒子关闭时，靠在底座，点B和D所在直线与底面垂直，两个储物盒之间的距离为 ；如图（2），盒子完全打开后，拉杆与底面平行，则线段与图（1）状态时相比，高度上升了 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，含角的直角三角形等知识，连接并延长，交于点，通过勾股定理求出的长，再得到，即可得出两个储物盒之间的距离，过点作于点，过点作于点，则，通过含角的直角三角形得到，根据勾股定理求出，同理得到，即可求出上升的高度，掌握相关知识是解题的关键．
解：连接并延长，交于点，如图：
由题意可得：，，，
在中，，
∵四边形和为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴点为中点，
∵，
∴
∴点为中点，
∴，
∴两个储物盒之间的距离为，
如图（2），过点作于点，过点作于点，则，
∵四边形为平行四边形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
同理可得：，
∴线段与图（1）状态时相比，上升的高度为：
，
故答案为：，．
二、解答题
21．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）【“两定两动”型（同侧）】如图，的长度为定值，在直线l上分别取点E，F，使，连接，，当最小时，求点E，F的位置．
【答案】见分析
【分析】本题主要考查了轴对称性质、最短路径问题等知识点，掌握轴对称的性质成为解题的关键．
过A作使得，作点C关于l的对称点D，连接与l的交点即为F，过A作交l为E，点E，F即为所求．
解：过A作使得，作点C关于l的对称点D，连接与l的交点即为F，过A作交l为E，点E，F即为所求．
证明：∵，，
∴是平行四边形，
∴，
∵点C关于l的对称点D，
∴，，
∴，，
∵为定值，
∴要求的最小值，只需求，
∴点B、F、D共线时，最小．
22．（2025·山东青岛·一模）如图，小明准备在家里的楼梯上方装三幅挂画，为了美观，三幅挂画的中心点A，，的连线与楼梯扶手平行，A在的正上方，在的正上方，是中点，小明已确定点A的位置，请在图中作出点和点．
【答案】见分析
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行四边形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
在直线MN的上方作，在射线上截取线段，使得，作线段的垂直平分线，垂足为B即可．
解：作法：①延长，作出，
②在射线上，截取，
③连接，作出线段的垂直平分线，交于点．
如图所示：点B、C即为所求．
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵作出线段的垂直平分线，交于点，
∴是中点．
23．（24-25九年级上·北京·期中）如图，在中，，，点E在射线上（不与点A，B重合），将线段绕点E顺时针旋转，得到线段，连接，取中点F，连接．
（1）如图1，若点E是中点时，点D，B，C恰好在一条直线上，用等式表示线段和的数量关系，并证明；
（2）当点E在射线上时，（1）中的结论是否成立，在图2，图3中任选一种情况完成证明．
【答案】（1），证明见分析；（2）成立，证明见分析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
（1）证明，再根据三角形中位线定理可得，从而可得结论；
（2）当点E在上时，延长至G，使，连接，，可证得是等边三角形，从而，可得出是等边三角形，从而，，进而证得，从而，进一步得出结论，同样证得当点E在的延长线上时的情形．
解：（1）解：∵是等边三角形，
∴是等边三角形，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∵线段绕点E顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∵点D，B，C恰好在一条直线上，
∴，
∴，
∴，
∵点F是的中点，点E是的中点，
∴，
∴；
（2）解：结论仍然成立，理由如下：
如图1，当点E在上时，
延长至G，使，连接，
∵F是的中点，
∴，
∴，
∵线段绕点E顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
由（1）知，是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图2，当点E在的延长线上时，
延长至G，使，连接，
同理可得，，
∴，
∴．
24．（24-25八年级上·北京朝阳·期末）已知线段与点，，，点，在直线的同则，点为的中点，连接，．
（1）如图，若点在上，，则______；
（2）如图，若点在外，．写出一个的度数（用含的式子表示），使得对于任意的点总有，并证明．
【答案】（1）；（2），见分析
【分析】（）延长，交于点，证明得，，再根据，，得，进而得，由此可得的度数；
（）当时，使得对于任意的点总有，延长到，使，连接，，先证明，得，，再证明，进而证明，则，进而得，则，据此可得；
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，多边形的内角和，熟练掌握全等三角形的判定和性质，正确地添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
解：（1）解：延长，交于点，如图所示，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵点为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：，使得对于任意的点总有，证明如下：
延长到，使，连接，，如图所示，
∵点为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在五边形中，，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
1
学科网（北京）股份有限公司
$$
专题6.14 平行四边形创新题型探究（精选精编）（专项练习）
题型目录
第一部分【基础夯实篇】20题.....................................................................................1
第二部分【培优提升篇】24题.....................................................................................6
第一部分【基础夯实篇】20题
一、单选题
1．（山西省2025年中考一模数学试卷（省一模））如图，取两根长度不等的细木棒，将它们的中点重合固定（记为点O）．转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，分析以木棒四个端点为顶点的四边形，下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·江苏宿迁·一模）如图，点B是正八边形的边上一点，一束光线从点B出发，经过两次反射后到达边上一点E，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，有一张纸片，，，连，将沿所在直线剪开得和，用这两个三角形拼成平行四边形后最长对角线的长是（ ）
A．5 B． C． D．
4．（2024·湖北·模拟预测）类比“赵爽弦图”，可类似的构造如图所示的图形，它是由中间的小正六边形和6个全等的直角三角形拼成的一个大正六边形，若在大正六边形内部随机取一点，则此点取自小正六边形的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，在平行四边形中，点在对角线上，连接，，过点作交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在中，，若将全等的按图1方式放置可以拼成一个五边形，则将全等的按图2方式放置下去，拼出来的图案是（ ）边形．
A．18 B．19 C．20 D．21
7．（2024·浙江·二模）四边形具有不稳定性，教材是在平行四边形概念的基础上学习矩形定义的，教材提出的情景问题是：“在这些平行四边形中，有没有一个面积最大的平行四边形”，因此通过平行四边形变形可以得到矩形．某同学将平行四边形的边与边分别绕点A、点逆时针旋转，得到矩形，若此时、、恰好共线，cm，cm，那么边扫过的面积为（ ）
A． B． C． D．8
8．（23-24八年级下·浙江·期中）已知平行四边形的一组邻边长为2和3，且有一个内角为，，是平行四边形边上的两点，且将此平行四边形分成面积相等的两部分，则线段的长度取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知有正a边形和正b边形，且，正边形和正边形的内角和之差为，则b为
10．（2025七年级下·全国·专题练习）铺满平面的条件为：当公共顶点处所有角的和为 时，才有可能铺满平面．
11．（24-25八年级上·山西吕梁·期中）如图，数学活动课上，小李同学分别延长和的边，的延长线交于点H，延长线交于点，测得，则 ．
12．（2024·陕西咸阳·三模）如图，分别以平行四边形的边和为直角边，向平行四边形内作等腰和等腰，在的斜边、的斜边上分别取点，连接，四边形为正方形，若平行四边形的面积为4，则的面积为 ．
13．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，平行四边形的顶点在等腰直角三角形的边上，点在的延长线上，为的中点，连接，若，，则 ．
14．（2024·浙江宁波·模拟预测）在《圆锥曲线论》中有一个著名的“阿波罗尼奥斯定理”，这个定理可以表述为：平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和． 如图，在中，，，，D是的中点，则的长为 ．
15．（2024七年级·全国·竞赛）我们把某广场近似看作是由两组平行线围成的，如图所示，，，另有四条线把广场分成了8块，其中有三块的面积在图中已经给出（单位：平方米），根据图示信息，可知阴影部分的面积为 平方米．
16．（2022·湖北荆门·模拟预测）如图，在中，过点D作于点D，连接交于点E，连接交于点M，若M，N恰为线段的三等分点，点E为线段，的中点，且点E到直线的距离为4，，则的值为 ．
三、解答题
17．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，直线过的顶点，点都在直线上，且．求证：．
18．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图，学校有一块五边形绿地，测量得，与互补，，分别延长，交于点．
（1）求的度数．
（2）求证：点到的距离与点到的距离相等．
19．（22-23八年级下·河南郑州·期末）小宇将一个含的三角板绕着等边中边上的一点E旋转，如图所示，三角板短直角边、斜边分别与边、交于点D、点F，当时，得到图1，作点E关于的对称点G，连接，．
（1）请在图1中补全图形，则与的数量关系是______，的度数为______．
（2）①证明；
②证明四边形是平行四边形．
（3）当，时，直接写出的度数．
20．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，已知直线与直线 ，将直线沿y轴正方向平移4个单位得直线，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，交直线于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）如图1，点P为线段上的动点，点Q为直线上的动点，当 时， 求出此时P点的坐标；
（3）如图2，在第（2）问的条件下，直线上有一动点M， x轴上有一动点N，当以P、B、M、N 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出此时N点的坐标．
第二部分【培优提升篇】20题
一、填空题
1．（21-22八年级下·福建宁德·期中）如图，在平面内放置一副三角板，，M，N分别是的中点，如果经平移、旋转，则的最大值是 ．
2．（22-23八年级下·四川成都·期末）如图，已知点是直线上一点，点是轴上一定点，四边形是平行四边形．在直线上有一动点，若的最小值为10，则点的坐标为 ．
3．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知等腰直角，，，，延长交延长线于点G，若，，，则的长为 ．
4．（2023·河南新乡·二模）如图，B、O、D三点共线，且，，和都为等腰直角三角形，将绕点O逆时针方向旋转一周，当时，线段的长度为 ．
5．（2023·辽宁大连·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点是x 轴正半轴上一点，点A在y 轴上．连接，点C是的中点．将沿折叠得到（点D 不与点B 重合），连接．若，则 y 关于x 的函数解析式为
6．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，过点D作，垂足为E，过上一点F作，垂足为G，交于P，连接，．过F作，垂足为H．连接．若，，．则 ．
7．（23-24八年级下·浙江温州·期中）小明受八下书本5.1中“合作学习”启发，想利用电脑软件体验平行四边形的不稳定性，如图所示，当点坐标为时，记平行四边形面积为，记变化过程中平行四边形的最大面积为，则 ．
8．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，四边形是平行四边形，点E、点F分别是线段上的动点，将四边形沿折叠，使点D的对应点落在对角线的三等分点处（把一条线段平均分成三等份的两个点，都叫线段的三等分点），连接．若，，，则的面积为 ．
9．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）爱好绘画的小明在学习英文时看到这句话：“Heavy is the head who wears the crown．”意思是：“欲戴王冠， 必承其重．”，于是他在画本上绘制出如图的王冠， 已知，，王冠两边、的延长线相交于点O，且， 则 （用含有x的式子表示）．
10．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，已知直线与直线交于点，将线段绕点顺时针旋转得到，若平面内存在一点，使四边形是平行四边形，则点的坐标是 ．
11．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）如图在平面直角坐标系中将向右平移得到，其中点A坐标为，点C坐标，点D坐标，点坐标，则在平移过程扫过的面积即四边形的面积为 ．
12．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）美术兴趣小组的同学准备用长为，宽为的三幅绘画作品装饰教学楼楼道的一块平行四边形墙面．如图，是这块墙面的示意图，其中，，．要求：①中间这幅画的中心（对角线交点）与的对角线交点O重合，②每幅画的下边缘与水平地面平行，③三幅画的左下角E，F，G在同一直线上，且这条直线与平行，④相邻两幅画的水平间距，E到的距离，H到的距离均相等．则第一幅画的左下角E到的距离为 m，E到的铅垂距离交于Q）为 m．
13．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图，的两个外角的平分线相交于点P，过点P作边的平行线，与另外两边的交点分别为D和E．给出以下四个结论：①是等腰三角形；②；③；④点P在的平分线上．其中一定正确的是 （把你认为正确结论的序号都填上）．
14．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，在平行四边形中，将绕A逆时针旋转到，的角平分线经过的中点E，且，，则的值为 ．
15．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，将平行四边形纸片折叠，使得点落在边上的处，折痕为．再将翻折，点恰好落在的中点处，连接，若，则线段的长为 ．
16．（2024·广东中山·一模）小宇利用尺规在内作出点E，又在边上作出点F，作图痕迹如图所示，若，则之间的距离为 ．
17．（2025·陕西咸阳·模拟预测）某市举行了一次无人机表演大赛，参赛者勇勇让自己的微型无人机上升到一定高度时，开始按照如图所示的程序框图在空中完成表演，从开始表演到结束表演，勇勇的无人机飞行的总路程是 米．
18．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，，，与的角平分线交于点，连接并延长交直线于点．若点落在线段上（包括端点，），则的取值范围是 ．
19．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，点D在的延长线上，且，点F在线段上，以，为邻边作，连接、、，若与的面积和为5，则的面积为 ．
20．（24-25八年级下·浙江温州·期中）科学实验器具盒的侧面构造如图所示，三条连杆，，连结了两个储物盒（即线段和）和底面（即所在直线），且，．拉杆与的夹角始终等于．其中构成的四边形和在盒子开启和关闭过程中保持为平行四边形．如图（1），盒子关闭时，靠在底座，点B和D所在直线与底面垂直，两个储物盒之间的距离为 ；如图（2），盒子完全打开后，拉杆与底面平行，则线段与图（1）状态时相比，高度上升了 ．
二、解答题
21．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）【“两定两动”型（同侧）】如图，的长度为定值，在直线l上分别取点E，F，使，连接，，当最小时，求点E，F的位置．
22．（2025·山东青岛·一模）如图，小明准备在家里的楼梯上方装三幅挂画，为了美观，三幅挂画的中心点A，，的连线与楼梯扶手平行，A在的正上方，在的正上方，是中点，小明已确定点A的位置，请在图中作出点和点．
23．（24-25九年级上·北京·期中）如图，在中，，，点E在射线上（不与点A，B重合），将线段绕点E顺时针旋转，得到线段，连接，取中点F，连接．
（1）如图1，若点E是中点时，点D，B，C恰好在一条直线上，用等式表示线段和的数量关系，并证明；
（2）当点E在射线上时，（1）中的结论是否成立，在图2，图3中任选一种情况完成证明．
24．（24-25八年级上·北京朝阳·期末）已知线段与点，，，点，在直线的同则，点为的中点，连接，．
（1）如图，若点在上，，则______；
（2）如图，若点在外，．写出一个的度数（用含的式子表示），使得对于任意的点总有，并证明．
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