专题6.13 平行四边形与几何变换（4个知识点6类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题6.13 平行四边形与几何变换（4个知识点6类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】平行四边形与平移 判断平移后图形的性质：如给出一个平行四边形经过平移后的位置，判断平移后对应点的坐标变化、线段长度和角度的关系等. 利用平移构造平行四边形：通过平移线段或图形，构造出平行四边形，再利用平行四边形的性质来求解相关问题，如证明线段相等、角相等或计算线段长度等. 【知识点2】平行四边形与旋转 旋转后图形的性质探究：平行四边形绕某点旋转一定角度后，分析旋转后图形与原图形的关系，如对应边、对应角的变化，以及旋转中心与平行四边形顶点的连线所构成的角度关系等. 利用旋转解决平行四边形中的问题：通过将平行四边形中的某些三角形或线段绕特定点旋转，使问题得到简化，进而求解. 【知识点3】平行四边形与折叠（对称） 折叠后图形的形状与性质判断：将平行四边形沿某条直线折叠，判断折叠后得到的图形的形状，如是否为等腰三角形、直角三角形等，以及折叠后重合部分的图形性质. 利用折叠求角度或线段长度：根据折叠前后图形的对应边和对应角相等的性质，结合平行四边形的性质，通过建立方程或利用几何关系来求解角度大小或线段的长度. 【知识点4】平行四边形与最值 线段和的最值问题：在平行四边形的背景下，求某些线段和的最小值或最大值.通常会利用轴对称、平移等变换将线段进行转化，再根据两点之间线段最短等原理来求解. 面积的最值问题：通过改变平行四边形的形状或位置，求其面积的最大值或最小值.可能会涉及到一些几何不等式或函数关系的应用. 题型目录 【题型1】平行四边形与平移................................................................2 【题型2】平行四边形与旋转................................................................3 【题型3】平行四边形与折叠（对称）........................................................4 【题型4】平行四边形与几何变换中的最值问题................................................4 【题型5】直通中考........................................................................5 【题型6】拓展延伸........................................................................6 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】平行四边形与平移 【例题1】（24-25七年级下·吉林松原·阶段练习）已知，点在射线上，． （1）如图①，若，求的度数； （2）把“”改为“”，射线沿射线平移，得，其他条件不变（如图②所示），探究和的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，作，垂足为，与的平分线交于点（如图③所示），若，请用含的代数式表示（直接写出答案）． 【变式1】（24-25八年级下·四川宜宾·期中）如图，在平面直角坐标系中，的边落在轴的正半轴上，且点，直线以每秒1个单位的速度向下平移，当该直线将平行四边形的面积平分时向下平移的时间为（   ） A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒 【变式2】（23-24九年级下·吉林延边·阶段练习）如图，等边三角形的边长，点在边上，且．过点作，垂足为，以、为邻边作平行四边形．将沿向右平移，使点的对应点落在边上，则平移的距离为 ． 【题型2】平行四边形与旋转 【例题2】（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，将平行四边形绕着点C按顺时针方向旋转得到平行四边形，使点B落在边上的点E处，连接． （1）求证：平分． （2）如图2，当B，E，F三点在同一直线时，且，，求平行四边形的面积． （3）如图3，连接交于点H，求证：点H为的中点． 【变式1】（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，．将绕点B旋转得到，分别取、的中点P、Q，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）如图所示，将绕点A按逆时针方向旋转，得到（点与点、点与点、点与点分别对应）．若点恰好落在上，则 ． 【题型3】平行四边形与折叠（对称） 【例题3】（2025八年级下·全国·专题练习）综合实践课上，老师让同学们开展了的折纸活动，是边上的一动点，是边上的一动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，连接． （1）【观察发现】如图1，若，，，求的长； （2）【操作探究】如图2，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形． 【变式1】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，点E是上的一点，点F是边上一点，将平行四边形沿折叠折叠，使得点A与点C重合，得到四边形，点D的对应点为点G，则的长度为（   ） A． B． C．2 D． 【变式2】（2025八年级下·山东·专题练习）如图，在中，，，，为的中点，为边上的点，连接，将沿折叠得到，连接，若以点，，，A为顶点的四边形为平行四边形，则的长为 ． 【题型4】平行四边形与几何变换中的最值问题 【例题4】（23-24八年级上·山东潍坊·期末）已知：将沿对角线折叠，折到位置． （1）证明； （2）如果，B、D两点间距离为，请在对角线上找一点O，使得的值最小，并求最小值； （3）探索：线段与满足什么关系时，点D、C、F在同一条直线上，请给出证明． 【变式1】（2023·安徽蚌埠·二模）如图，和是等腰直角三角形，，，，绕点A旋转，连接，点F是的中点，连接，则的最小值为（    ）    A．2 B． C． D． 【变式2】（20-21八年级下·四川成都·期中）如图，在平行四边形中，，，将线段沿着直线上下平移得到线段，连接，，则的最小值是 ． 【题型5】直通中考 【例题1】（2023·江苏连云港·中考真题）以正五边形的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形的顶点落在直线上，则正五边形旋转的度数至少为 °． 【例题2】（2023·吉林长春·中考真题）如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为 度．    【题型6】拓展延伸 【例题1】（24-25八年级下·山东日照·期中）已知：中，，，，点E是上一个动点，连结，把沿折叠到的位置．若点落在的内部（包括边界），则的范围是 ． 【例题2】（24-25九年级下·河南·开学考试）如图，在平行四边形中，是对角线，且，将沿方向向右平移得到，D、B对应点分别是A、E．点F是线段上（不含端点）的一个动点，连接，将线段绕点A 逆时针旋转至线段，使得旋转角，连接．当是等腰三角形时，的长为 ． 【例题3】（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，点，点．满足是整数，且为最小的正整数，和都是最简二次根式且能进行合并，平移至（点与点对应，点与点对应），连接． （1）直接写出 ___________ ，___________ ，B点坐标是___________； （2）点分别是边上的动点，连接，分别为的中点，连接．当分别在边上运动时，的最小值是___________； （3）如图2，将线段绕点逆时针旋转至，连接，P为线段上一点，以为直角边作等腰直角三角形，其中，，求的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.13 平行四边形与几何变换（4个知识点6类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】平行四边形与平移 判断平移后图形的性质：如给出一个平行四边形经过平移后的位置，判断平移后对应点的坐标变化、线段长度和角度的关系等. 利用平移构造平行四边形：通过平移线段或图形，构造出平行四边形，再利用平行四边形的性质来求解相关问题，如证明线段相等、角相等或计算线段长度等. 【知识点2】平行四边形与旋转 旋转后图形的性质探究：平行四边形绕某点旋转一定角度后，分析旋转后图形与原图形的关系，如对应边、对应角的变化，以及旋转中心与平行四边形顶点的连线所构成的角度关系等. 利用旋转解决平行四边形中的问题：通过将平行四边形中的某些三角形或线段绕特定点旋转，使问题得到简化，进而求解. 【知识点3】平行四边形与折叠（对称） 折叠后图形的形状与性质判断：将平行四边形沿某条直线折叠，判断折叠后得到的图形的形状，如是否为等腰三角形、直角三角形等，以及折叠后重合部分的图形性质. 利用折叠求角度或线段长度：根据折叠前后图形的对应边和对应角相等的性质，结合平行四边形的性质，通过建立方程或利用几何关系来求解角度大小或线段的长度. 【知识点4】平行四边形与最值 线段和的最值问题：在平行四边形的背景下，求某些线段和的最小值或最大值.通常会利用轴对称、平移等变换将线段进行转化，再根据两点之间线段最短等原理来求解. 面积的最值问题：通过改变平行四边形的形状或位置，求其面积的最大值或最小值.可能会涉及到一些几何不等式或函数关系的应用. 题型目录 【题型1】平行四边形与平移................................................................2 【题型2】平行四边形与旋转................................................................5 【题型3】平行四边形与折叠（对称）........................................................9 【题型4】平行四边形与几何变换中的最值问题...............................................14 【题型5】直通中考.......................................................................19 【题型6】拓展延伸.......................................................................20 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】平行四边形与平移 【例题1】（24-25七年级下·吉林松原·阶段练习）已知，点在射线上，． （1）如图①，若，求的度数； （2）把“”改为“”，射线沿射线平移，得，其他条件不变（如图②所示），探究和的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，作，垂足为，与的平分线交于点（如图③所示），若，请用含的代数式表示（直接写出答案）． 【答案】（1）；（2），理由见分析；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定和性质、周角的定义、角平分线的定义、四边形的内角和，确定和的数量关系是解题的关键． （1）先求出的度数，再根据直角、周角的定义即可求解； （2）过点作，根据平行线的判定和性质可得和的数量关系； （3）根据四边形内角和为，结合（2）的结论及角平分线的定义即可解答． 解：（1）解：， ， ∵， ； （2）解：如图②，过点作， ，， ， ，， ， ； （3）解：是的平分线， ， ， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·四川宜宾·期中）如图，在平面直角坐标系中，的边落在轴的正半轴上，且点，直线以每秒1个单位的速度向下平移，当该直线将平行四边形的面积平分时向下平移的时间为（   ） A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，平行四边形的性质，连接，交于点，直线交轴于点，当直线经过点时，该直线可将平行四边形的面积平分，求出直线平移后的解析式为，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 解：如图，连接，交于点，直线交轴于点， 当直线经过点时，该直线可将平行四边形的面积平分， ∵四边形是行四边形， ∴， ∵，， ∴点， ∵直线由直线平移得到， ∴设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴直线要向下平移个单位得到直线， ∴平移的时间为， 故选：B． 【变式2】（23-24九年级下·吉林延边·阶段练习）如图，等边三角形的边长，点在边上，且．过点作，垂足为，以、为邻边作平行四边形．将沿向右平移，使点的对应点落在边上，则平移的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质以及平移的性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定和性质． 已知是等边三角形，，求出，再根据，求出和，再根据四边形是平行四边形求出，进而求出即可． 解：∵是等边三角形，， ， ， ， ， ∵将沿向右平移， ∴、、三点共线， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， 故答案为：． 【题型2】平行四边形与旋转 【例题2】（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，将平行四边形绕着点C按顺时针方向旋转得到平行四边形，使点B落在边上的点E处，连接． （1）求证：平分． （2）如图2，当B，E，F三点在同一直线时，且，，求平行四边形的面积． （3）如图3，连接交于点H，求证：点H为的中点． 【答案】（1）详见分析；（2）；（3）详见分析 【分析】（1）由旋转可知，得到，然后有平行四边形的性质得到，进而求解即可； （2）过C作，求出，，，然后求出，得到，勾股定理求出，然后求出，进而求解即可； （3）如图，过B作，过G作，连接，，，求出，然后得到，证明出四边形是平行四边形，即可求解． 解：（1）由旋转可知 ∴   ∵在中      ∴     ∴     ∴ 平分； （2）如图，过C作 ∵由旋转得到   ∴，， ∵ B，E，F三点在同一直线， ∴ ∴     ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴     ∴     ∵ ∴； （3）如图，过B作，过G作，连接，，． ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∵，， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴点H为的中点． 【点拨】此题考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式1】（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，．将绕点B旋转得到，分别取、的中点P、Q，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用勾股定理求出的长，再根据三角形中位线的性质求出，，可得当、F、三点共线时，取到最大值和最小值，然后结合三角形三边关系得出答案． 解：取的中点F，连接， 根据勾股定理得：， 、分别是、的中点， ，， 当、F、三点共线时，取到最大值和最小值， 的最小值为，的最大值为， 再根据三角形的三边关系，可得取值范围是. 故选：D． 【点拨】本题主要考查了旋转的性质、三角形中位线的性质、三角形三边关系及勾股定理，由点的位置确定最大值和最小值是解题的关键． 【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）如图所示，将绕点A按逆时针方向旋转，得到（点与点、点与点、点与点分别对应）．若点恰好落在上，则 ． 【答案】 【分析】由旋转的性质可知，，再根据等腰三角形点性质及三角形内角和定理，得到，然后根据平行四边形和平行线的性质，即可求出的度数． 解：由旋转的性质可知，，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行四边形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 【题型3】平行四边形与折叠（对称） 【例题3】（2025八年级下·全国·专题练习）综合实践课上，老师让同学们开展了的折纸活动，是边上的一动点，是边上的一动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，连接． （1）【观察发现】如图1，若，，，求的长； （2）【操作探究】如图2，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】（1）由折叠的性质可得，则，由三角形外角性质得，所以，再利用勾股定理得，然后由，求得，即可求解． （2）根据折叠的性质先证，再证即可证明四边形为平行四边形． 解：（1）解：由折叠知， ． ． ， ． ． 由勾股定理得，， ． ． ． ． （2）证明：由折叠知，，． ， ， ， ， ， ∵， ∴，， ， ， ， ，点在延长线上， ， ， ． ， ， 四边形是平行四边形． 【点拨】本题考查平行四边形折叠问题，直角三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，勾股定理．熟练掌握平行四边形的性质与判定和折叠性质是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，点E是上的一点，点F是边上一点，将平行四边形沿折叠折叠，使得点A与点C重合，得到四边形，点D的对应点为点G，则的长度为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是轴对称的性质，平行四边形的性质，角直角三角形的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 作于，过点作于，由 角直角三角形的性质可求，则，证明，那么，而，设，则，则，由折叠可知，，在中，由勾股定理得，即可求解． 解：如图，作于，过点作于． ∵，， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， 由折叠可知，，，， ∴，，， ∴， 在和中， ∴； ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， 由勾股定理得， 解得， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】（2025八年级下·山东·专题练习）如图，在中，，，，为的中点，为边上的点，连接，将沿折叠得到，连接，若以点，，，A为顶点的四边形为平行四边形，则的长为 ． 【答案】1或 【分析】本题考查求线段长，涉及勾股定理、平行四边形性质、折叠性质等知识，读懂题意，分两种情况：①当点在下方时；②当点在上方时；在各自情况下，先由勾股定理求出长，再由平行四边形及折叠性质，数形结合表示出要求的线段即可得到答案，根据题意分类讨论是解决问题的关键． 解：当点在下方时，如图所示： ，，， ， 为的中点， ， 四边形是平行四边形， ， 将沿折叠得到， ， ； 当点在上方时，如图所示： 同上理，可得， ， 综上所述，可得为1或， 故答案为：1或 ． 【题型4】平行四边形与几何变换中的最值问题 【例题4】（23-24八年级上·山东潍坊·期末）已知：将沿对角线折叠，折到位置． （1）证明； （2）如果，B、D两点间距离为，请在对角线上找一点O，使得的值最小，并求最小值； （3）探索：线段与满足什么关系时，点D、C、F在同一条直线上，请给出证明． 【答案】（1）见分析；（2）；（3）当线与互相平分时，点D、C、F在同一条直线上，理由见分析 【分析】（1）本题考查了平行四边形的性质，翻折的性质，解题的关键是证明； （2）本题考查了平行四边形的性质，翻折的性质，解题的关键是证明； （3）本题考查了平行四边形的性质，翻折的性质，解题的关键是证明． 解：（1）解：证明：如图1中， 四边形是平行四边形， ， ， 翻折得到， ， ， ， ， ， ； （2）连接交于点O，连接， 点F与D关于对称， ， 当点O为与交点时，的值最小，最小值为线段的长，即最小值为； （3）当线段与互相平分时，点D、C、F在同一条直线上． 理由：与互相平分，， ， ， ， ， 即， 翻折得到， ， 点D、C、F在同一条直线上． 【变式1】（2023·安徽蚌埠·二模）如图，和是等腰直角三角形，，，，绕点A旋转，连接，点F是的中点，连接，则的最小值为（    ）    A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】如图所示，作交的延长线于点G，连接，首先证明出是等腰直角三角形，然后得到是的中位线，进而判断出，当点A，G，C三点共线时，有最小值，即的长度，然后利用勾股定理求出，进而根据等腰直角三角形的性质求解即可． 解：如图所示，作交的延长线于点G，连接，    ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴点E是的中点， ∵点F是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当最小时，最小， ∵， ∴当点A，G，C三点共线时，有最小值，即的长度， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 故选：B． 【点拨】此题考查了等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，旋转最值问题，解题的关键是得到当点A，G，C三点共线时，有最小值，即的长度． 【变式2】（20-21八年级下·四川成都·期中）如图，在平行四边形中，，，将线段沿着直线上下平移得到线段，连接，，则的最小值是 ． 【答案】13 【分析】先由平移性质证明四边形为平行四边形，从而得，进而使得，再作关于直线的对称点，由对称性得，再由，求出，，由勾股定理求出即可． 解：连接，∵平行四边形， ∴，， 由平移性质得：，， 四边形为平行四边形， ， ， 作关于直线的对称点，连接，，交延长线于， 由对称性得：，，， ， ，， ， ，， ∵， ， ， 的最小值为， 故答案为： 【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、最短路径问题、勾股定理，解决此题的关键是证明四边形为平行四边形、再作关于直线的对称点，将的最小值转化为． 【题型5】直通中考 【例题1】（2023·江苏连云港·中考真题）以正五边形的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形的顶点落在直线上，则正五边形旋转的度数至少为 °． 【答案】 【分析】依据正五边形的外角性质，即可得到的度数，进而得出旋转的角度． 解：∵五边形是正五边形， ∴， ∴新五边形的顶点落在直线上，则旋转的最小角度是， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了正多边形、旋转性质，关键是掌握正多边形的外角和公式的运用． 【例题2】（2023·吉林长春·中考真题）如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为 度．    【答案】 【分析】根据题意求得正五边形的每一个内角为，根据折叠的性质求得在中，根据三角形内角和定理即可求解． 解：∵正五边形的每一个内角为， 将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为， 则， ∵将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为， ∴，， 在中，， 故答案为：． 【点拨】本题考查了折叠的性质，正多边形的内角和的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【题型6】拓展延伸 【例题1】（24-25八年级下·山东日照·期中）已知：中，，，，点E是上一个动点，连结，把沿折叠到的位置．若点落在的内部（包括边界），则的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠，平行四边形的性质，勾股定理，分别判断点落在三边时的长，再求出点落在的内部（包括边界）时的范围即可． 解：过作于，于， ∵中，，，， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵把沿折叠到的位置， ∴，，， ∴， ∴点落在左边， 当点落在上时，，则与重合，此时，； 当点落在上时，如图，过作交直线于， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点落在的内部（包括边界），则的范围是， 故答案为：． 【例题2】（24-25九年级下·河南·开学考试）如图，在平行四边形中，是对角线，且，将沿方向向右平移得到，D、B对应点分别是A、E．点F是线段上（不含端点）的一个动点，连接，将线段绕点A 逆时针旋转至线段，使得旋转角，连接．当是等腰三角形时，的长为 ． 【答案】2或5 【分析】由平移的性质得，过点作交于点，利用等腰三角形的性质结合勾股定理求得，利用面积法求得，，分当时，当时，当时三种情况讨论，据此求解即可． 解：∵平行四边形，， ∴， ∵将沿方向向右平移得到， ∴， 如图，过点作交于点， ∴， ∴， 如图，过点作交于， ∵， ∴， ∴，， 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 过点作交于， 则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴； 连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，此时，则点与点重合，不符合题意，舍去； 综上所述：的长为2或5． 故答案为：2或5． 【点拨】本题考查几何变换的综合应用，熟练掌握三角形平移的性质，旋转的性质，三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理等，分类讨论是解题的关键． 【例题3】（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，点，点．满足是整数，且为最小的正整数，和都是最简二次根式且能进行合并，平移至（点与点对应，点与点对应），连接． （1）直接写出 ___________ ，___________ ，B点坐标是___________； （2）点分别是边上的动点，连接，分别为的中点，连接．当分别在边上运动时，的最小值是___________； （3）如图2，将线段绕点逆时针旋转至，连接，P为线段上一点，以为直角边作等腰直角三角形，其中，，求的面积． 【答案】（1）6，4，；（2）；（3） 【分析】（1）利用绝对值、算术平方根的非负性求出，，根据平移性质求点的坐标； （2）由是的中位线，得出，当时，取最小值，取最小值，因此利用面积法求出最小值即可； （3）由题意得到，，求得，得到，根据等腰直角三角形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，求得，过作于，得到，解直角三角形得到，，根据三角形的面积公式即可得到结论． 解：（1）解：满足是整数，且为最小的正整数，和都是最简二次根式且能进行合并， ，， ，； ，， ， 即， 故答案为：6，4，； （2）解：连接，如图1， 、分别是、的中点， 是的中位线， ． 当时，有最小值，即有最小值， ，，， ，， 由题意可知四边形是平行四边形， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：； （3）解：由题意可知，，， ， ， 为等腰直角三角形，， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， ， 如图2，过作于， ， ， ， ， ， △的面积． 【点拨】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，坐标与图形变化—平移，勾股定理，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$