专题6.12 平行四边形（12个知识点6大考点12类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）
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内容正文：
专题6.12 平行四边形（12个知识点6大考点12类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）
第一部分【知识点归纳与题型目录】
【知识点1】平行四边形的定义
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
【知识点2】平行四边形的性质
1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；
2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；
3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；
4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.
【知识点3】平行四边形面积
1.基本面积公式：平行四边形的面积等于底乘以高，
2.等底等高的平行四边形面积相等：如果两个平行四边形的底相等，并且对应的高也相等，那么它们的面积相等。
3.对角线分割的三角形面积关系：平行四边形的对角线将其分成四个三角形，相对的两个三角形面积相等。
【知识点4】平行四边形四个顶点坐标关系
在平面直角坐标系中，在中，设，,,，由中点坐标公式可以得出；.
【知识点5】判定1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
数学语言表述：在四边形ABCD中，若AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形。
这是平行四边形最基本的判定方法，直接基于平行四边形的定义，从边的平行关系来判定。
【知识点6】判定2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形：
数学语言表述：在四边形ABCD中，若AB=CD，AD=BC，则四边形ABCD是平行四边形。
可以通过连接对角线，利用全等三角形证明两组对边分别相等的四边形的两组对边也分别平行，从而证明该四边形是平行四边形。
【知识点7】判定3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形：
数学语言表述：在四边形ABCD中，若AB=CD且AB∥CD则四边形ABCD是平行四边形。
同样可以借助对角线构造全等三角形，证明另一组对边也平行，进而证明该四边形是平行四边形。
【知识点8】判定4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形：
数学语言表述：在四边形ABCD中，若∠A=∠C,∠B=∠D，则四边形ABCD是平行四边形。
因为四边形的内角和是360度，当两组对角分别相等时，可推出相邻两角互补，从而得到两组对边分别平行，进而判定该四边形是平行四边形。
【知识点9】判定4：对角线互相平分的四边形是平行四边形：
数学语言表述：在四边形ABCD中，若AC与BD相交于点O，且AO = CO，BO = DO，则四边形ABCD是平行四边形。
通过对角线互相平分，可利用全等三角形证明对边相等或对边平行，从而判定该四边形是平行四边形。
【知识点10】三角形中位线的定义
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
【知识点11】三角形中位线的定理
定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.
【知识点12】多边形内角和与外角和
多边形内角和定理：n边形的内角和等于（n-2）×180°.特别地，正n边形每个内角的度数是.
多边形外角和定理：多边形的外角和等于360°.
第一部分【知识点与题型目录】
知识点与题型目录
【知识点1】平行四边形的性质
【题型1】利用平行四边形性质求值......................................................3
【题型2】利用平行四边形性质证明......................................................4
【知识点2】平行四边形的判定
【题型3】利用平行四边形判定求值......................................................5
【题型4】利用平行四边形判定证明......................................................5
【知识点3】平行四边形的性质与判定
【题型5】利用平行四边形的性质与判定求值..............................................6
【题型6】利用平行四边形的性质与判定证明..............................................7
【知识点4】三角形的中位线
【题型7】利用三角形的中位线求值......................................................8
【题型8】利用三角形的中位线证明......................................................9
【知识点5】多边形的内角和与外角和
【题型9】多边形的内角和.............................................................10
【题型10】多边形的内角和与外角和综合................................................10
【知识点6】链接中考与拓展延伸
【题型11】直通中考..................................................................11
【题型12】拓展延伸..................................................................12
第二部分【题型展示与方法点拨】
知识点与题型目录
【知识点1】平行四边形的性质
【题型1】利用平行四边形性质求值
【例题1】（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）在平行四边形中，，点分别在边上，，，．
（1）如图1，求证；
（2）如图1，求的值；（用含的式子表示）
（3）如图2，连接，点是的中点，若，，求的长．
【变式1】（24-25八年级下·浙江·期中）将一个平行四边形纸片进行折叠，第一次折叠经过点A，使的两边重合，折痕交边于点E，第二次折叠经过点B，使的两边重合，折痕交边于点F，如图是一种折叠后的效果，当点，，，相邻两点间的距离相等时，若，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．2或4 D．2或4或12
【变式2】（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，，，，则 ， ．
【题型2】利用平行四边形性质证明
【例题2】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）平行四边形中，点E在边上，连接，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，延长、交于点F，的垂直平分线交于G，连接、．
求证：．
【变式1】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，点是边上一点，且，交于点，是延长线上一点，下列结论：①平分；②平分；③；④．其中正确结论的序号是 ．（把正确结论的序号都填上）
【知识点2】平行四边形的判定
【题型3】利用平行四边形判定求值
【例题3】（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，A是y轴的正半轴上一点，点B、C分别在x轴的负半轴上和正半轴上，的长满足，过点B作直线的垂线，交于点D．
（1）求点A、点B、点C的坐标；
（2）求线段的长；
（3）在平面内是否存在一点P，使以A，B，C，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，，，，则的长是（ ）．
A．6 B．8 C．5 D．10
【变式2】（23-24八年级下·湖北襄阳·阶段练习）如图，在中，，，点P在边上以的速度从点A向点D运动，点Q在边上以的速度从点C向点B运动，两个点同时出发，当点Q到达点B时停止运动，当运动时间为 时，线段．
【题型4】利用平行四边形判定证明
【例题4】（22-23八年级下·江西吉安·期末）如图，E、F是四边形的对角线上的两点．
（1）若，只添加一个条件： ，使四边形为平行四边形．
（2）在（1）的条件下，若，，求证：四边形是平行四边形．
【变式1】（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在四边形中，已知，对角线，相交于点，若增加下列条件，则可以使四边形成为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（22-23八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在等边中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，点从点出发沿射线以的速度运动．如果点同时出发，设运动时间为，则当 时，以为顶点的四边形是平行四边形．
【知识点3】平行四边形的性质与判定
【题型5】利用平行四边形的性质与判定求值
【例题5】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知直线经过点，交轴于点，直线交直线于点．
（1）求点的坐标．
（2）为轴上的一点，为上的一点，若以为顶点的四边形为平行四边形，求满足条件的点坐标．
【变式1】（2025·陕西西安·二模）如图，在中，，，为等边三角形，的边与的边均在直线上，且点与点到直线的距离相等，若，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．3 D．4
【变式2】（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在平行四边形中，点，分别在，的延长线上，，，，，则的长是 ．
【题型6】利用平行四边形的性质与判定证明
【例题6】（2025·四川绵阳·二模）如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点E，F，连接．
（1）求证：
（2）延长交于点G，若平分，试问：与相等吗？并说明理由．
【变式1】（2025·安徽宣城·一模）如图，在平行四边形中，点将对角线分成两段，且，连接，并延长至点，使得，连接．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24八年级下·湖北荆州·期中）如图，平行四边形中，E、F是对角线上不同的两点，添加个条件，使得四边形为平行四边形．现有四个条件：．你添加的条件是： （选出所有正确的答案）
【知识点4】三角形的中位线
【题型7】利用三角形的中位线求值
【例题7】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，D、E、F分别是各边的中点．
（1）如果，那么___________；如果，那么___________．
（2）中线与中位线的关系是_____________________．
【变式1】（24-25八年级下·河南信阳·阶段练习）如图，在等边三角形中，，，，垂足分别为点、．为中点，为中点．连接，则的值为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【变式2】（2025·浙江·三模）如图，是的中位线，作的平分线分别交的延长线，边于点M、N，若点N恰好是的中点，，则的长为 ．
【题型8】利用三角形的中位线证明
【例题8】（24-25八年级下·全国·期中）写出下列命题的已知、求证，并完成证明过程．
命题：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，__________________________________________________________．
求证：__________________________________________________________．
证明：
【变式1】（2025·辽宁盘锦·一模）如图，，在、上分别截取线段、，使；分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点，作射线，在上取点，过点作交于点，作交于点，交于点，则下列结论中错误是（ ）
A． B．
C．是等边三角形 D．是的中位线
【变式2】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）若点、、、分别为四边形 各边的中点，分别连接，，、，则四边形的形状是 ．
【知识点5】多边形的内角和与外角和
【题型9】多边形的内角和
【例题9】（23-24八年级上·河南安阳·期中）已知正多边形的每一个内角的度数等于相邻外角的倍．
（1）求这个正多边形的边数．
（2）若截去一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和．
【变式1】（24-25九年级下·山东烟台·期中）如图，正八边形的两条对角线相交形成，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）用x个相同的正n边形进行拼接，使相邻的两个正n边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正多边形，如当时的情况如图．在所有符合条件的拼接中，n的最大值为 ．
【题型10】多边形的内角和与外角和综合
【例题10】（2024七年级上·全国·专题练习）（1）如图①②，试研究其中、与、之间的数量关系；
（2）如果我们把、称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式；
（3）用你发现的结论解决下列问题：
如图③，、分别是四边形的外角、的平分线，，求的度数．
【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，七边形中，的延长线交于点O，若的外角和等于，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，五边形中，分别是，的外角，，那么 度．
【知识点6】链接中考与拓展延伸
【题型11】直通中考
【例题1】（2024·山东青岛·中考真题）为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形和正方形中，，的延长线分别交，于点M，N，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【例题2】（2024·四川广元·中考真题）点F是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点G，则的度数为 ．
【题型12】拓展延伸
【例题1】（24-25八年级下·北京·期中）在中，，延长线段到点D，使得，过点B作，且，连接．
（1）如图1，当时，直接写出的长为：_______；
（2）如图2，取的中点F，连接，
①按要求补全图形；
②用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【例题2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为．
（1）如图1，若点恰好落在上时，求证：四边形为平行四边形．
（2）如图2，若时，连接，并延长交于点．求线段的长．
（3）改变点的位置，将沿折叠，连接，当为直角三角形时，求的长度．
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专题6.12 平行四边形（12个知识点6大考点12类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）
第一部分【知识点归纳与题型目录】
【知识点1】平行四边形的定义
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
【知识点2】平行四边形的性质
1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；
2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；
3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；
4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.
【知识点3】平行四边形面积
1.基本面积公式：平行四边形的面积等于底乘以高，
2.等底等高的平行四边形面积相等：如果两个平行四边形的底相等，并且对应的高也相等，那么它们的面积相等。
3.对角线分割的三角形面积关系：平行四边形的对角线将其分成四个三角形，相对的两个三角形面积相等。
【知识点4】平行四边形四个顶点坐标关系
在平面直角坐标系中，在中，设，,,，由中点坐标公式可以得出；.
【知识点5】判定1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
数学语言表述：在四边形ABCD中，若AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形。
这是平行四边形最基本的判定方法，直接基于平行四边形的定义，从边的平行关系来判定。
【知识点6】判定2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形：
数学语言表述：在四边形ABCD中，若AB=CD，AD=BC，则四边形ABCD是平行四边形。
可以通过连接对角线，利用全等三角形证明两组对边分别相等的四边形的两组对边也分别平行，从而证明该四边形是平行四边形。
【知识点7】判定3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形：
数学语言表述：在四边形ABCD中，若AB=CD且AB∥CD则四边形ABCD是平行四边形。
同样可以借助对角线构造全等三角形，证明另一组对边也平行，进而证明该四边形是平行四边形。
【知识点8】判定4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形：
数学语言表述：在四边形ABCD中，若∠A=∠C,∠B=∠D，则四边形ABCD是平行四边形。
因为四边形的内角和是360度，当两组对角分别相等时，可推出相邻两角互补，从而得到两组对边分别平行，进而判定该四边形是平行四边形。
【知识点9】判定4：对角线互相平分的四边形是平行四边形：
数学语言表述：在四边形ABCD中，若AC与BD相交于点O，且AO = CO，BO = DO，则四边形ABCD是平行四边形。
通过对角线互相平分，可利用全等三角形证明对边相等或对边平行，从而判定该四边形是平行四边形。
【知识点10】三角形中位线的定义
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
【知识点11】三角形中位线的定理
定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.
【知识点12】多边形内角和与外角和
多边形内角和定理：n边形的内角和等于（n-2）×180°.特别地，正n边形每个内角的度数是.
多边形外角和定理：多边形的外角和等于360°.
第一部分【知识点与题型目录】
知识点与题型目录
【知识点1】平行四边形的性质
【题型1】利用平行四边形性质求值......................................................3
【题型2】利用平行四边形性质证明......................................................8
【知识点2】平行四边形的判定
【题型3】利用平行四边形判定求值.....................................................12
【题型4】利用平行四边形判定证明.....................................................14
【知识点3】平行四边形的性质与判定
【题型5】利用平行四边形的性质与判定求值.............................................17
【题型6】利用平行四边形的性质与判定证明.............................................22
【知识点4】三角形的中位线
【题型7】利用三角形的中位线求值.....................................................27
【题型8】利用三角形的中位线证明.....................................................29
【知识点5】多边形的内角和与外角和
【题型9】多边形的内角和.............................................................33
【题型10】多边形的内角和与外角和综合................................................35
【知识点6】链接中考与拓展延伸
【题型11】直通中考..................................................................38
【题型12】拓展延伸..................................................................39
第二部分【题型展示与方法点拨】
知识点与题型目录
【知识点1】平行四边形的性质
【题型1】利用平行四边形性质求值
【例题1】（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）在平行四边形中，，点分别在边上，，，．
（1）如图1，求证；
（2）如图1，求的值；（用含的式子表示）
（3）如图2，连接，点是的中点，若，，求的长．
【答案】（1）见分析；（2）；（3）
【分析】（1）根据平行四边形得和，则有和，得到即可判定垂直；
（2）设，则，，进一步求得，则，结合平行四边形的性质得，利用勾股定理得即可求得答案；
（3）过作的垂线，垂足为，交延长线于点，与的延长线交于，求得、和，结合平行线的性质得，则有，根据平行线的性质，证明，有和，利用勾股定理求得即可．
解：（1）证明：如图1，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
，
∴，
；
（2）解：设，则，，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
在中，，
根据勾股定理得，，
；
（3）解：如图2，过作的垂线，垂足为，交延长线于点，与的延长线交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
（平行四边形高相等），
，
，
为中点，
，
，
，
，，
，
，
．
【点拨】本题主要考查平行四边形的判定和性质、平行线的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理和全等三角形的判定和性质，解得关键是熟悉平行四边形的性质和全等三角形的性质．
【变式1】（24-25八年级下·浙江·期中）将一个平行四边形纸片进行折叠，第一次折叠经过点A，使的两边重合，折痕交边于点E，第二次折叠经过点B，使的两边重合，折痕交边于点F，如图是一种折叠后的效果，当点，，，相邻两点间的距离相等时，若，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．2或4 D．2或4或12
【答案】C
【分析】此题考查了平行四边形的性质、等角对等边、折叠等知识．分二种情况画出图形，利用平行四边形的性质和等角对等边进行解答即可．
解：如图1，
∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∴，
∵点，，，相邻两点间的距离相等，
∴，
∴，
由折叠可知，，
∴，
∴，
如图2，
∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∴，
∵点，，，相邻两点间的距离相等，
∴，
由折叠可知，，
∴，
∴，
综上可知，的长为2或4，
故选：C．
【变式2】（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，，，，则 ， ．
【答案】
【分析】作于点，由平行四边形的性质得，由三角形内角和定理得，由含的直角三角形的性质得，所以，最后由勾股定理求得的长度即可．
解：作于点，则，
四边形是平行四边形，，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，三角形内角和定理，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
【题型2】利用平行四边形性质证明
【例题2】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）平行四边形中，点E在边上，连接，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，延长、交于点F，的垂直平分线交于G，连接、．
求证：．
【答案】（1）见分析；（2）见分析
【分析】（1）根据平行四边形以及等边对等角得到，而，即可证明；
（2）由得到，由的垂直平分线交于得到，则，而，再由外角证明，即可证明全等；
解：（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴；
（2）证明：如图，
∵由上知，
∴，
∵的垂直平分线交于，
∴，
∴，
由上得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，三角形的外角性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
【变式1】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键；
根据平行四边形的对边平行和平行线的性质可对A进行判断；根据平行四边形的对角相等可对B进行判断；根据平行四边形的对边相等可对A进行判断；根据平行四边形的对角线互相平分可对D进行判断．
解：A、在中，
∵，
∴，
∴该选项的结论正确，故不符合题意；
B、在中，，所以该选项的结论正确，故不符合题意；
C、在中，，所以该选项的结论正确，故不符合题意；
D、在中，，，
∵平行四边形的对角线不一定互相垂直，
∴选项的结论错误，故符合题意．
故选：D．
【变式2】（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，点是边上一点，且，交于点，是延长线上一点，下列结论：①平分；②平分；③；④．其中正确结论的序号是 ．（把正确结论的序号都填上）
【答案】①②④
【分析】对于①，根据平行线及等腰三角形的性质即得答案；
对于②，根据垂直的性质、三角形内角和等于及平行线的性质，即可得到答案；
对于③，通过举反例，即可判断结论错误；
对于④，根据等腰三角形三线合一性质及线段的垂直平分线的性质，即可证明结论．
解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
即平分，
所以①正确；
设与相交于点G，如图，
，
，
，
，
，
，
即平分，
所以②正确；
取，则，
，
，
，
，
，
所以③错误；
，，
，
，
所以④正确；
所以正确结论为①②④．
故答案为：①②④．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，举反例等知识及方法，熟练掌握相关性质及方法是解答本题的关键．
【知识点2】平行四边形的判定
【题型3】利用平行四边形判定求值
【例题3】（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，A是y轴的正半轴上一点，点B、C分别在x轴的负半轴上和正半轴上，的长满足，过点B作直线的垂线，交于点D．
（1）求点A、点B、点C的坐标；
（2）求线段的长；
（3）在平面内是否存在一点P，使以A，B，C，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），，；（2）；（3）存在，点P的坐标为或或
【分析】本题考查一次函数综合题、平行四边形的判定和性质，二次根式非负性．
（1）根据绝对值、二次根式、平方的非负性分别求出的长度即可；
（2）利用计算即可；
（3）分别过三个顶点作对边平行线，平行线交点即为点P，再利用平移的性质求坐标即可．
解：（1）∵，
∴，，，
∴，，，（负值舍去），
∴，，；
（2）∵，，，
∴，，
∵，
∴
（3）分别过三个顶点作对边平行线，平行线交点即为点P，如图所示：
点向左平移10个单位长度到点，由平行四边形可得点向左平移10个单位长度到点，
同理，，
∴存在一点P，使以A，B，C，P为顶点的四边形为平行四边形，点P的坐标为或或．
【变式1】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，，，，则的长是（ ）．
A．6 B．8 C．5 D．10
【答案】B
【分析】如图所示，过点A作交于点E，证明出四边形是平行四边形，得到，然后求出，然后利用含角直角三角形的性质求解即可．
解：如图所示，过点A作交于点E
∵
∴四边形是平行四边形
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴．
故选：B．
【点拨】此题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的内角和，平行线的性质，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
【变式2】（23-24八年级下·湖北襄阳·阶段练习）如图，在中，，，点P在边上以的速度从点A向点D运动，点Q在边上以的速度从点C向点B运动，两个点同时出发，当点Q到达点B时停止运动，当运动时间为 时，线段．
【答案】3
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定得出．根据平行四边形的性质，得出，，根据，得出四边形为平行四边形，证明，设运动时间为x秒，则，，得出，解方程即可．
解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
设运动时间为x秒，则，，
∴，
解得：，
即当运动时间为3秒时，线段．
故答案为：3．
【题型4】利用平行四边形判定证明
【例题4】（22-23八年级下·江西吉安·期末）如图，E、F是四边形的对角线上的两点．
（1）若，只添加一个条件： ，使四边形为平行四边形．
（2）在（1）的条件下，若，，求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）（答案不唯一）；（2）见分析
【分析】（1）根据平行四边形的判定方法解答即可；
（2）由，得，再证明得，进而即可得到结论．
解：（1）或（填写一个答案即可），
当添加时，
∵，
∴四边形为平行四边形．
当添加时，
∵，
∴四边形为平行四边形．
故答案为：或（填写一个答案即可）
（2）如图，连接，，
∵，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关键．
【变式1】（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在四边形中，已知，对角线，相交于点，若增加下列条件，则可以使四边形成为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形全等的判定与性质，熟练掌握平行四边的判定定理是解题的关键．根据平行四边的判定定理逐一判断即可．
解：A. 由，，不能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B. 由，可知，四边形的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
C. ∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
D. 由，，不能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【变式2】（22-23八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在等边中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，点从点出发沿射线以的速度运动．如果点同时出发，设运动时间为，则当 时，以为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】或
【分析】本题考查了平行四边形的判定、一元一次方程的应用，分两种情况：当点在的右侧时；当点在的左侧时；由当时，四边形是平行四边形，建立一元一次方程，解方程即可得出答案．
解：当点在的右侧时，
由题意得：，，则，
，
当时，四边形是平行四边形，即，
解得：；
当点在的左侧时，
由题意得：，，则，
，
当时，四边形是平行四边形，即，
解得：；
综上所述，当或时，以为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：或．
【知识点3】平行四边形的性质与判定
【题型5】利用平行四边形的性质与判定求值
【例题5】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知直线经过点，交轴于点，直线交直线于点．
（1）求点的坐标．
（2）为轴上的一点，为上的一点，若以为顶点的四边形为平行四边形，求满足条件的点坐标．
【答案】（1）；（2）或
【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，两直线交点问题，平行四边形的性质与判定．熟练掌握一次函数与二元一次方程组的关系和分类讨论是解题的关键．
（1）先用待定系数法求出直线的解析式，再联立两函数解析式求解即可求解；
（2）①当为平行四边形的边时，i）当在上方时，则有，ii）当在下方时，则有，②当为平行四边形的对角线时，则有，分别 求出点Q坐标即可．
解：（1）解：设直线的解析式为，
把，代入，得
，解得：，
∴，
联立，得，解得：，
∴；
（2）解：∵
∴，
分两种情况：
①当为平行四边形的边时，i）当在上方时，如图，
∵
∴，，
∴点Q的横坐标为3，
把代入，得，
∴；
ii）当在下方时，如图，
∵
∴，，
∴点Q的横坐标为，
把代入，得，
∴，
②当为平行四边形的对角线时，则有，
连接交于C，
∵
∴点C是、的中点，
∴
∴
∴
把代入，得，
∴，
综上，以为顶点的四边形为平行四边形时， 点坐标为或．
【变式1】（2025·陕西西安·二模）如图，在中，，，为等边三角形，的边与的边均在直线上，且点与点到直线的距离相等，若，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．3 D．4
【答案】D
【分析】连接，利用直角三角形性质得到，再结合等边三角形性质证明四边形为平行四边形，最后利用平行四边形性质求解，即可解题．
解：连接，
点与点到直线的距离相等，
，
，，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
故选：D．
【点拨】本题考查了点到直线的距离，等边三角形性质，直角三角形性质，平行四边形的性质和判定，解题的关键在于构造辅助线证明四边形为平行四边形．
【变式2】（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在平行四边形中，点，分别在，的延长线上，，，，，则的长是 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，证明四边形是平行四边形是解题的关键．
证明四边形是平行四边形，得到，则，在中，由勾股定理即可求解．
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵
∴在中，由勾股定理得，
故答案为：2．
【题型6】利用平行四边形的性质与判定证明
【例题6】（2025·四川绵阳·二模）如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点E，F，连接．
（1）求证：
（2）延长交于点G，若平分，试问：与相等吗？并说明理由．
【答案】（1）见分析；（2）相等，理由见分析
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键．
（1）由平行四边形的性质证明，再证明四边形是平行四边形，得到，即可求证；
（2）由角平分线得到，由平行四边形得到，，则，由三角形的外角定理得到，那么，则再由等角对等边即可证明．
解：（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴；
（2）解：相等，理由如下：
∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【变式1】（2025·安徽宣城·一模）如图，在平行四边形中，点将对角线分成两段，且，连接，并延长至点，使得，连接．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．连接，过点作交于点G，连接，证明，则，证明四边形和是平行四边形，可设，则，，得到,即可得到答案．
解：连接，过点作交于点G，连接，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
∴是平行四边形，
∴
∵，
∴可设，则，
∴，
∴,
∴，
故选：A
【变式2】（23-24八年级下·湖北荆州·期中）如图，平行四边形中，E、F是对角线上不同的两点，添加个条件，使得四边形为平行四边形．现有四个条件：．你添加的条件是： （选出所有正确的答案）
【答案】①②④
【分析】此题主要考查平行四边形的定义及其判定，熟练掌握平行四边形的性质及判定，则比较简单．根据平行四边形的判定解答即可．
解：如图，
①四边形是平行四边形，
，，
，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
故①符合题意；
②四边形是平行四边形，
，,
,
，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
故②符合题意；
由及现有条件无法推导出四边形是平行四边形，
故不符合题意；
④四边形是平行四边形，
，，
，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
故④符合题意；
故答案为：①②④
【知识点4】三角形的中位线
【题型7】利用三角形的中位线求值
【例题7】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，D、E、F分别是各边的中点．
（1）如果，那么___________；如果，那么___________．
（2）中线与中位线的关系是_____________________．
【答案】（1）8；5；（2）互相平分
【分析】本题考查的是三角形的中位线的性质，平行四边形的判定与性质；
（1）由D、E、F分别是各边的中点，结合三角形的中位线的性质可得答案；
（2）由三角形的中位线的性质证明四边形为平行四边形，再结合平行四边形的性质可得结论.
解：（1）解：∵在中，点E、F分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴且．
又，
∴，
∵，
同理，；
（2）解：互相平分，理由：如图，
∵D、E、F分别是各边的中点．
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴中线与中位线的关系是互相平分．
【变式1】（24-25八年级下·河南信阳·阶段练习）如图，在等边三角形中，，，，垂足分别为点、．为中点，为中点．连接，则的值为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等边三角形的性质，解题的关键在于掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．取的中点，连接、，根据三角形中位线定理证明为等边三角形，再根据等边三角形的性质解答即可．
解：取的中点，连接、，
为等边三角形，，
，，
，，，
，
同理：，
、分别为、的中点，
是的中位线，
，，
，
同理可得：，，
，，
为等边三角形，
，
故选：B．
【变式2】（2025·浙江·三模）如图，是的中位线，作的平分线分别交的延长线，边于点M、N，若点N恰好是的中点，，则的长为 ．
【答案】6
【分析】本题考查三角形中位线的性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，先证明是的中位线，推出，结合角平分线的定义得到，再证明，推出，进而求出，即可解答．
解：∵是的平分线，
∴．
∵是的中位线，，
∴．
∴，
∴，
∴．
∵N是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【题型8】利用三角形的中位线证明
【例题8】（24-25八年级下·全国·期中）写出下列命题的已知、求证，并完成证明过程．
命题：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，__________________________________________________________．
求证：__________________________________________________________．
证明：
【答案】见分析
【分析】本题考查了三角形的中位线定理的证明，解题关键是通过延长中位线构造全等三角形，进而证明平行四边形，利用其性质得出中位线与第三边的平行和数量关系．
根据命题找出题设和结论，然后根据题设写出已知，根据结论写出求证，
先明确已知条件为D、E分别是的中点，求证，．通过延延长到点F，使，连接 构造全等三角形，得到对应边和角相等，证明四边形是平行四边形，从而得出与的关系．
解：已知：如图，在中，D、E分别是的中点．
求证：，．
证明：延长到点F，使，连接．
，
．
．
．
，
．
∴四边形是平行四边形．
．
，
，．
【变式1】（2025·辽宁盘锦·一模）如图，，在、上分别截取线段、，使；分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点，作射线，在上取点，过点作交于点，作交于点，交于点，则下列结论中错误是（ ）
A． B．
C．是等边三角形 D．是的中位线
【答案】B
【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，中位线定义，掌握知识点的应用是解题的关键．根据尺规作图——作角平分线即可判断A；证明是等边三角形，利用勾股定理求出，即可判断B；由等边三角形的判定即可判断C；根据等边三角形的判定与性质，中位线的定义即可判断D．
解：由作图可知，平分，
∵，
∴，故A正确；
∵，
∴，，
∵，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，故B错误；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，故C正确；
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是的中位线，故D正确，
故选：B．
【变式2】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）若点、、、分别为四边形 各边的中点，分别连接，，、，则四边形的形状是 ．
【答案】平行四边形
【分析】本题考查平行四边形的判定，连接，根据三角形中位线定理得，，，，继而得到，，可得结论．解题的关键是熟练应用三角形中位线定理．
解：四边形是平行四边形．
理由：连接，如图，
∵点、分别是、的中点，
∴，，
∵点、分别是、的中点，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
故答案为：平行四边形．
【知识点5】多边形的内角和与外角和
【题型9】多边形的内角和
【例题9】（23-24八年级上·河南安阳·期中）已知正多边形的每一个内角的度数等于相邻外角的倍．
（1）求这个正多边形的边数．
（2）若截去一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和．
【答案】（1）这个多边形的边数为；（2）截完后所形成的新多边形的内角和为或或．
【分析】（）利用邻补角互补求出外角，用外角和除以一个外角的度数即可求解；
（）分三种情况，根据多边形的内角和计算公式即可求解；
本题考查了正多边形的内角和外角，掌握多边形的内角和计算及分类讨论是解题的关键．
解：（1）设正多边形的一个外角的度数为，则与其相邻的内角的度数等于，
∴，
解得，
答：这个多边形的边数为；
（2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了条，也可能减少了条，或者不变，
当多边形为九边形时，
内角和；
当多边形为八边形时，
内角和；
当多边形为七边形时，
内角和．
综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为或或．
【变式1】（24-25九年级下·山东烟台·期中）如图，正八边形的两条对角线相交形成，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正多边形的内角和问题以及内角问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
先求出正八边形的内角的度数，再由，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出的度数，最后由三角形的外角性质即可求解．
解：如图，
由题意得：，，
∴，
∴，
故选：D．
【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）用x个相同的正n边形进行拼接，使相邻的两个正n边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正多边形，如当时的情况如图．在所有符合条件的拼接中，n的最大值为 ．
【答案】12
【分析】本题主要考查正多边形的内角和外角，以及周角为，根据多边形的内角公式知n值越大，正多边形的内角越大，围成一圈后中间形成一个正多边形内角越小，最小的正多边形为正三角形，内角为，利用周角求得正多边形的一个内角，即可求得答案．
解：∵
∴n值越大，正多边形的内角越大，围成一圈后中间形成一个正多边形内角越小，最小的正多边形为正三角形，内角为，
∵周角为，
∴另外两个相邻的正n边形的角度相加为，
即每一个正n边形的角度为，
根据，解得，
故n的最大值为12．
故答案为：
【题型10】多边形的内角和与外角和综合
【例题10】（2024七年级上·全国·专题练习）（1）如图①②，试研究其中、与、之间的数量关系；
（2）如果我们把、称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式；
（3）用你发现的结论解决下列问题：
如图③，、分别是四边形的外角、的平分线，，求的度数．
【答案】（1）；（2）四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和；（3）
【分析】（1）根据四边形的内角和等于用表示出，再根据平角的定义用表示出，即可得解；
（2）根据（1）的结论，即可求解；
（3）根据（1）的结论求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和定理列式进行计算即可得解．
解：（1）解：、、、是四边形的四个内角，
，
，
，，
，
；
（2）答：四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和；
（3）解：，
，
、分别是、的平分线，
，，
，
．
【点拨】本题考查了多边形的内角和公式，平角的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理的应用，整体思想的利用是解题的关键．
【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，七边形中，的延长线交于点O，若的外角和等于，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得的和是解题的关键．由外角和内角的关系可求得的和，由多边形的内角和公式求得五边形的内角和，即可求得．
解：∵的外角和等于，
，
，
∵五边形内角和，
，
，
故选：A．
【变式2】（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，五边形中，分别是，的外角，，那么 度．
【答案】
【分析】本题考查多边形的内角和和外角的综合应用，根据多边形的内角和定理，结合两直线平行，同旁内角互补，以及平角的定义求出的度数，进而求出的度数即可．
解：∵五边形，，
∴五边形的内角和为，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
【知识点6】链接中考与拓展延伸
【题型11】直通中考
【例题1】（2024·山东青岛·中考真题）为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形和正方形中，，的延长线分别交，于点M，N，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是正多边形内角和问题，熟记正多边形的内角的计算方法是解题的关键．
根据正五边形的内角的计算方法求出、，根据正方形的性质分别求出、，根据四边形内角和等于计算即可．
解：∵五边形是正五边形，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，，
∴，
故选：B．
【例题2】（2024·四川广元·中考真题）点F是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点G，则的度数为 ．
【答案】/18度
【分析】连接，，根据正多边形的性质可证，得到，进而得到是的垂直平分线，即，根据多边形的内角和公式可求出每个内角的度数，进而得到，再根据三角形的内角和定理即可解答．
解：连接，，
∵五边形是正五边形，
∴，
∴，
∴，
∵点F是的中点，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵在正五边形中，，
∴，
∴．
故答案为：
【点拨】本题考查正多边形的性质，内角，全等三角形的判定及性质，垂直平分线的判定，三角形的内角和定理，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键．
【题型12】拓展延伸
【例题1】（24-25八年级下·北京·期中）在中，，延长线段到点D，使得，过点B作，且，连接．
（1）如图1，当时，直接写出的长为：_______；
（2）如图2，取的中点F，连接，
①按要求补全图形；
②用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【答案】（1）；（2）①见分析；②，证明见分析
【分析】（1）过点作交延长线于点，证明，可得，，再由勾股定理可得；
（2）①按要求补全图形即可；②过点作交延长线于点，截取．连接．证明， ，再证明即可．
解：（1）解：如图，过点作交延长线于点，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
在和中
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）①补全图形如下图；
②．
证明：过点作交延长线于点，截取．连接．
，，
，
，
，
，
，
在和中
，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
，
，
点为中点，．即为中点。
为中位线，
，
．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形中位线的性质及勾股定理，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形中位线的性质及勾股定理．
【例题2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为．
（1）如图1，若点恰好落在上时，求证：四边形为平行四边形．
（2）如图2，若时，连接，并延长交于点．求线段的长．
（3）改变点的位置，将沿折叠，连接，当为直角三角形时，求的长度．
【答案】（1）见分析；（2）；（3）或
【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，推出，即可证明四边形是平行四边形；
（2）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证利是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答．
（3）分和两种情况进行讨论求解即可．
解：（1）证明：由折叠的性质可得：，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：如图，延长交于点H，
由折叠的性质可得：，
，
，
是等腰直角三角形，
，
四边形是平行四边形，，，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
．
（3）解：①当时，延长交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
在中，，
∴；
②当时，如图，设与交于点，作，
∴，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上：或．
【点拨】本题考查平行四边形的判定和性质，折叠问题，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握折叠的性质，平行四边形的性质，是解题的关键．
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