专题6.10 多边形的内角和与外角和（5大知识点5大考点11类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题6.10 多边形的内角和与外角和（5大知识点5大考点11类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】多边形及其相关概念 1.多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 2.多边形的相关概念 （1）多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边. （2）多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点. （3）多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角. （4）多边形的外角：多边形的一边和它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. （5）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 【知识点2】正多边形 各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.正多边形必须满同时满足以下两个条件：①各边都相等；②各角都相等. 【知识点3】凸多边形与凹多边形 多边形分为凸多边形和凹多边形. 如图①所示，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形成为凸多边形； 而图②就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画出CD所在的直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，所以我们称它为凹多边形. 图① 图② 【知识点4】凸多边形与凹多边形 n边形的内角和等于（n-2）×180°.特别地，正n边形每个内角的度数是. 【知识点5】多边形外角和定理 1.多边形的外角和：在多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和. 2.多边形外角和定理：多边形的外角和等于360°. 知识点与题型目录 【知识点1】多边形内角和问题 【题型1】多边形内角和问题....................................................2 【题型2】复杂图形内角和......................................................4 【题型3】多（少）算一个角的问题..............................................6 【题型4】多边形截角后内角和问题..............................................8 【知识点2】正多边形内角和外角问题 【题型5】正多边形内角问题...................................................10 【题型6】正多边形外角问题...................................................13 【知识点3】多边形内角和与外角和综合 【题型7】多边形内角和与外角和综合...........................................16 【知识点4】多边形外角和实际应用 【题型8】多边形外角和实际应用...............................................19 【题型9】平面镶嵌...........................................................21 【知识点5】链接中考与拓展延伸 【题型10】直通中考..........................................................24 【题型11】拓展延伸..........................................................26 第二部分【题型展示与方法点拨】 【知识点1】多边形内角和问题 【题型1】多边形内角和问题 【例1】（23-24八年级下·云南昭通·期中）如图，E为外一点，且，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂直的定义、四边形的内角和、平行四边形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由垂直的定义可得，再根据四边形的内角和定理可得，最后根据平行四边形的性质求解即可． 解：∵， ∴ ∵， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． 【变式1】（2025·云南昭通·模拟预测）一个八边形的内角和等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查多边形的内角和，掌握多边形的内角和公式成为解题的关键． 直接根据多边形的内角和求解即可． 解：一个八边形的内角和等于． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·重庆石柱·期中）如图，点D、E、G 分别为 边、、上的点，连接、，将沿、 翻折，顶点A，B 均 落在内部一点F 处，且与重合于线段．若，，则的度数为 【答案】/度 【分析】本题考查折叠的性质，四边形内角和定理及三角形内角和定理：根据得到，根据折叠得到，，，结合得到，，，结合四边形内角和求解即可得到答案． 解：∵， ∴， ∵沿、 翻折，顶点A，B 均 落在内部一点F 处，且与重合于线段， ∴，，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 【题型2】复杂图形内角和 【例2】（2020九年级·全国·专题练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数． 【答案】540° 【分析】如图所示，由三角形外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，然后由多边形的内角和公式可求得答案． 解：如图所示： 由三角形的外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠K＝∠IJL＋∠MLJ＋∠GML＋∠G＋∠GIJ＝（5－2）×180°＝3×180°＝540°． 【点拨】本题主要考查的是三角形外角的性质和多边形的内角和公式的应用，利用三角形外角和的性质将所求各角的和转化为五边形的内角和是解题的关键 【变式1】（24-25八年级上·海南三亚·期末）如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了复杂图形的内角和，熟练掌握三角形内角和为，四边形内角和为是解题的关键．连接，记与交于点，利用三角形内角和定理推出，再将转化为四边形的内角和，即可解答． 解：如图，连接，记与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：C． 【变式2】（2021八年级下·全国·专题练习）（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= ． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G= ． 【答案】 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求得； （2）根据四边形内角和可求得， ，再利用三角形内角关系可得 ，进而可求得． 解：（1）∵在中，， 在中，， ∴， 故答案为； （2）如图，∵， ， ∴． ∵， ∴． 故答案为． 【点拨】本题考查了三角形内角和定理及多边形内角和定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 【题型3】多（少）算一个角的问题 【例3】（2025七年级下·全国·专题练习）小马同学平时学习十分马虎，他在计算凸n边形的内角和时： （1）若少计算一个内角度数，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ （2）若某一内角多计算了一次，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，利用多边形的内角和是的倍数是解题的关键． （1）设这个多边形的边数是n，重复计算的内角的度数是，根据多边形的内角和公式可知，多边形的内角度数是的倍数，然后利用数的整除性进行求解； （2）设这个多边形的边数是n，没有计算在内的内角的度数是，根据多边形的内角和公式可知，多边形的内角度数是的倍数，然后利用数的整除性进行求解． 解：（1）解：方法一：设少算的那个内角的度数为，则由条件， 得． 因为n为自然数，，且， 故取， 得． 方法二：由条件，得， 且n为自然数， 故． （2）解：方法一：设多算的那个内角的度数为， 则由条件，得． 因为n为自然数，，且， 故取，得． 方法二：由条件，得， 且n为自然数， 故． 【变式1】（23-24八年级上·河北保定·阶段练习）小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心多输入一个内角，得到和为2018°，则n等于（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】多边形的内角和公式：，据此进行计算即可． 解：设多输入的内角为（），由题意得 ， 解得：， 为正整数， 当时， ； 故选：C． 【点拨】本题考查了多边形的内角和公式，掌握公式是解题的关键． 【变式2】（21-22七年级下·江苏扬州·阶段练习）一个多边形，除了一个内角外其余各内角和为，则这个内角是 度． 【答案】80 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，设多边形的边数为x，根据多边形的内角一定大于0，且小于180度，因而内角和除去一个内角的值，这个值除以180度，所得数值比边数要小，可以求出多边形的边数为14，再利用内角和公式即可得出结果． 解：设多边形的边数为x， 由题意得， 解得：， 多边形的边数是14， 则这个内角是， 故答案为80． 【题型4】多边形截角后内角和问题 【例4】（24-25八年级上·山东德州·期中）已知一个多边形的内角和与外角和相加等于， （1）求这个多边形的边数及对角线的条数； （2）当这个多边形剪去一个角后，所形成的新多边形内角和是______． 【答案】（1）边数是12，对角线的条数是54；（2）或或 【分析】本题考查多边形内角和定理：多边形内角和为． （1）已知一个多边形的内角和与外角和的和为，外角和是，因而内角和是．边形的内角和是，代入就得到一个关于的方程，就可以解得边数，从而得到这个多边形的对角线的条数． （2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，根据多边形的内角和定理可以知道，边数增加1，相应内角和就增加180度，由此即可求出答案． 解：（1）解：设这个多边形的边数为， ， 解得：； 对角线的条数为：； 所以这个多边形的边数是12，它的对角线的条数是54； （2）解：因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，分以下三种情况： 当沿两边中间点剪时，多边形多出一条边，边数为， 内角和； 当沿一边中间点与一顶点剪时，多边形边数不变，边数为12， 内角和； 当沿两顶点剪时，多边形边减少1边，边数为， 内角和； 综上所述：当新多边形有13条边时内角和为，12条边时内角和为，11条边时内角和为． 故答案为：或或． 【变式1】（24-25八年级上·湖北荆州·期末）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】先根据多边形的内角和公式求出截出一个角后的多边形的边数，再根据截出一个角后边数增加，不变，减少讨论得解． 解：设多边形截去一个角的边数为， 则， 解得， 多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少， 原来多边形的边数是或或． 故选：． 【点拨】本题考查的知识点是多边形的内角和公式，解题关键是多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少三种情况． 【变式2】（2020·浙江杭州·模拟预测）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1440°．则原来多边形的边数是 ． 【答案】9或10或11 【分析】先根据多边形的内角和公式求出截去一个角后的多边形的边数，再分情况说明求得原来多边形的解． 解：设多边形截去一个角的边数为，根据题意得： 又截去一个角后的多边形的边可以增加1、不变、减少1， 原多边形的边数为9或10或11． 【点拨】本题考查的是多边形的内角和公式，本题的易错点在于忽略考虑截去一个角后多边形的边数可以不变、增加或者减少． 【知识点2】正多边形内角和外角问题 【题型5】正多边形内角问题 【例5】（24-25八年级下·广西贵港·期中）阅读小东和小兰的对话，解决下列问题． （1）①这个“多加的锐角”是______度．②小东求的是几边形的内角和？ （2）若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度． （3）小东将一个正五边形与一个正八边形按如右上图所示的位置摆放，顶点，，，四点在同一条直线上，为公共顶点，试求的度数． 【答案】（1）①20；②小东求的是8边形内角和；；（2）这个正多边形的一个内角是；；（3） 【分析】本题考查了多边形的内角和定理． （1）①由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍，用，得到的余数即为多加的锐角的度数；②由题意知，，计算求解即可； （2）根据这个正多边形的一个内角是，计算求解即可； （3）根据多边形的内角和，分别得出，，再根据三角形的内角和算出，据此计算即可求解． 解：（1）解：由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍， ， ∴这个“多加的锐角”是， 故答案为：20； 由题意知，， 解得，， ∴小东求的是8边形内角和； （2）解：由题意知，这个正多边形的一个内角是， ∴这个正多边形的一个内角是； （3）解：由多边形的内角和可得， ， ， ， ， 由三角形的内角和得： ， ． 【变式1】（2025·广东揭阳·一模）在2024年10月的广交会现场，某商家的展台是一个不完整的正多边形图案，如图，小李量得展台中一边与对角线的夹角，则这个正多边形的边数是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、正多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和是解题关键．先根据等腰三角形的性质可得，从而可得，设这个正多边形的边数是，再根据正多边形的内角和建立方程，解方程即可得． 解：由题意可知，，， ∴， ∴， 设这个正多边形的边数是， 则， 解得， 即这个正多边形的边数是12， 故选：D． 【变式2】（2025·河北保定·一模）一张圆形纸片，圆周被24等分，等分点分别为．由于这个纸片不小心被撕掉了两部分，剩下部分如图所示，已知线段和所在直线所夹锐角的度数为．且该夹角位于点的右侧，则 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了正多边形的性质及四边形内角和，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．根据正多边形的性质进行求解即可． 解：如图，连接，，． ， ， ， ． 故答案为：． 【题型6】正多边形外角问题 【例6】（24-25八年级上·内蒙古兴安盟·阶段练习）如图1，图2，在四边形中，是四边形的一个外角． （1）四边形的外角和为________度； （2）如图1，图2，已知． ①如图1，求证：； ②如图2，若，平分，交于点G，平分，且与相交于点F，试判断与之间的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）360；（2）①见分析；②．理由见分析 【分析】本题考查三角形内角和定理，多边形的外角和，邻补角，对顶角，角平分线的定义，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）利用多边形的外角和定理即可作答； （2）①利用，是四边形，得到，再利用，即可证明； ②由①可知：，利用角平分线得到，进一步得到：，再利用，，证明，即． 解：（1）解：四边形的外角和为； 故答案为：360； （2）①证明：∵，是四边形， ∴， ∵， ∴； ②．理由如下， 假设和交于点H，如图， 由（1）可知：， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即． 【变式1】（2025·山东济宁·一模）如图，正六边形中，直线，分别经过边，上一点；且．则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、多边形外角和、三角形外角的性质，延长交直线于点，根据多边形的外角和是，正多边形的每个外角度数都相等，可以求出，根据平行线的性质可得，根据三角形外角的性质可得． 解：如图所示，延长交直线于点， ， ， 六边形是正六边形， ， 在中，， ， ． 故选：B． 【变式2】（2025·河北保定·一模）如图，点是正六边形的中心，且，根据尺规作图痕迹，可得四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形、垂直平分线、三角形外角、等边三角形、含角直角三角形、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握垂直平分线和勾股定理的性质；根据正多边形外角和的性质，得，从而得为等边三角形；结合含角直角三角形和勾股定理的性质，得；根据垂直平分线和勾股定理的性质，得，即可完成求解． 解：∵正六边形的外角， ∴， 又∵正六边形 ∴， ∴为等边三角形， 如图，过点O作于点B， ∴，， ∴， ∴， 根据题意，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积， 故答案为：． 【知识点3】多边形内角和与外角和综合 【题型7】多边形内角和与外角和综合 【例7】（2024七年级上·全国·专题练习）请用两种方法证明：四边形的外角和为（要求：结合图形，写出已知，求证，并证明） 【答案】见分析 【分析】证明方法一：根据邻补角的定义得，，，，则，再根据四边形的内角和为即可得到证明； 证明方法二：连接，，根据三角形外角性质得，，则，同理，由此得，再根据四边形的内角和为即可得到证明； 解：如图所示，已知四边形中，，，，是四边形的四个外角， 求证：． 证明方法一：如图1所示： ∵，，，， ∴， ∵四边形的内角和为：， ∴， ∴； 证明方法二：连接，，如图2所示： ∵，， ∴， 同理：， ∴， ∵四边形的内角和为：， ∴， ∴． 【点拨】此题主要考查了多边形的内角和，邻补角的定义，三角形的外角性质，准确识图，熟练掌握多边形的内角和定理，邻补角的定义，三角形的外角性质是解决问题的关键． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，七边形中，的延长线交于点O，若的外角和等于，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得的和是解题的关键．由外角和内角的关系可求得的和，由多边形的内角和公式求得五边形的内角和，即可求得． 解：∵的外角和等于， ， ， ∵五边形内角和， ， ， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）和是的外角，若，如图，则的度数为 ；若，如图，则的度数为 ；若，如图，则的度数为 ． 【答案】 /270度 /240度 / 【分析】本题考查了三角形的外角和定理，邻补角的性质，根据三角形的外角和定理，邻补角的性质逐一求解即可，掌握三角形的外角和定理，邻补角的性质是解题的关键． 解：题图中的邻补角为， 根据三角形的外角和为， ∴， ∴； 题图中的邻补角为， 根据三角形的外角和为， ∴， ∴； 题图中的邻补角为， 根据三角形的外角和为， ∴， ∴， 故答案为：；；． 【知识点4】多边形外角和实际应用 【题型8】多边形外角和实际应用 【例8】（23-24七年级下·江苏淮安·期中）规定：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形． 一个机器人以的速度在平地上按如下要求行走， （1）该机器人从开始到停止所走过的路程形成的图形是_____； （2）该机器人从开始到停止所需时间为_______； （3）若机器人还差就第次回到点处，则它所走过的路程为_____． 【答案】（1）正九边形；（2）18；（3）． 【分析】本题考查了正多边形的外角和定理，理解经过的路线是正多边形是关键． （1）该机器人所经过的路径是一个正多边形，利用除以，即可求得正多边形的边数； （2）求出多边形的周长，利用周长除以速度即可求得所需时间； （3）求出n次的路径长减去4即可． 解：（1）解：由题意得，该机器人所经过的路径是一个正多边形， 多边形的边数为：， 所以，该机器人从开始到停止所走过的路程形成的图形是正九边形， 故答案为：正九边形； （2）解：该机器人所走的路程是：， 则所用时间是：． 故答案为：18； （3）解：已知机器人n次回到原点的路程为：， 还差，即：． 故答案为：． 【变式1】（23-24七年级下·广西南宁·期末）创客小组的同学给机器人设定了如图的程序，机器人从点出发，沿直线前进米后左转，再沿直线前进米，又向左转……照这样走下去，机器人第一次回到出发地点时，一共走的路程是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的外角和定理的应用．由题意可知机器人所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和，即可求出答案． 解：由题意可知机器人所走的路线为一个正多边形， 该正多边形的边数为：， 他需要走次才会回到原来的起点， 即一共走了（米）． 故选：C． 【变式2】（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以为半径画圆，当时，则图中阴影部分的面积之和为 ．（注：结果用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角和扇形的面积计算，求出2024边形的外角和，即阴影部分的圆心角的和等于，再根据圆的面积公式求出答案即可． 解：∵2024边形的外角和， ∴图中阴影部分的面积之和， 故答案为：． 【题型9】平面镶嵌 【例9】（24-25八年级下·广西来宾·期中）【阅读理解】 【阅读】如图1，用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，叫做平面图形的镶嵌． 【解决问题】我们经常见到如图2那样的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形材料铺成的，这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地面． （1）像这样铺地面，能否全用正五边形的材料？为什么？ （2）现有四种地砖，它们的形状分别是正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时选择其中两种地砖密铺成平整、无空隙的地面，选择的方式有（   ） A．2种    B．3种    C．4种    D．5种 （3）【理解应用】用三块正多边形木板铺地面，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，若其中有两个正五边形，则第三个正多边形的边数是多少？ 【答案】（1）不能，见分析；（2）B；（3）10 【分析】本题考查平面图形镶嵌知识，解题关键是熟练掌握多边形内角和公式，结合拼接点处内角和为判断能否镶嵌 ． （1）先利用多边形内角和公式求出正五边形每个内角为，再依据平面镶嵌时拼接点处内角和需为，判断能否被整除，得出结论． （2）分别求出正三角形、正方形、正六边形、正八边形的内角度数，然后对四种地砖两两组合，计算在拼接点处内角和能否为，能则可密铺，统计可密铺的组合方式数量． （3）先根据正五边形内角和公式算出其内角为，由拼接点内角和求出第三个正多边形内角为，再通过内角与边数关系公式算出边数． 解：（1）解：不能，因为正五边形的每个内角均为，需进行平面镶嵌，内角拼接的度数之和为，而不能被整除．所以不能全用正五边形的材料地砖密铺地面． （2）解：①正三角形、正方形， ， 可以铺满； ②正三角形、正六边形， ， 可以铺满； ③正三角形、正八边形，不能构成的周角， 不能铺满； ④正方形、正六边形，不能构成的周角， 不能铺满； ⑤正方形、正八边形，每个内角的度数为 ， 可以铺满； ⑥正六边形、正八边形，不能构成的周角， 不能铺满． 选择的方式有种． 故选：B； （3）解：设第三个正多边形的内角为， 正五边形的内角为， ， ， 正多边形的边数为，即第三个正多边形的边数为10． 【变式1】（24-25八年级上·山西大同·期中）阅读下列材料，回答下面的问题． 用一种或几种完全相同（全等形）的三角形或多边形无间隙且不重叠地覆盖（铺砌）平面的一部分，叫做平面镶嵌，平面镶嵌又称为“平面密铺”．如图所示，用边长相等的等边三角形能够平面镶嵌；平面镶嵌的关键点是，在每个公共顶点（拼接点）处，各角的和是． 现在我们来研究用边长相等的正多边形（含等边三角形）平面镶嵌的问题： 和边长相同的正五边形同时进行平面镶嵌（两种正多边形都要用），下列正多边形可以的是________； A．正四边形 B．正六边形 C．正十边形 D．正十二边形 【答案】C 【分析】本题考查了平面镶嵌，平面镶嵌时在拼接点处的内角度数和为，正五边形的一个内角为，还剩下，而，所以还需要一个正五边形和一个正十边形，所以一个拼接点处应有个正五边形和个正十边形． 解：正五边形一个内角为， 正四边形一个内角为， 正六边形一个内角为， 正十边形一个内角为， 正十二边形一个内角为， 与正五边形进行镶嵌，在每个拼接点处内角的和应为， ， 而， 内角为的是正十边形， 所以一个拼接点处应有个正五边形和个正十边形． 故选：C． 【变式2】（2025·江苏淮安·一模）用边数为的三种边长相等的正多边形地砖铺地，将其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，根据多边形内角和公式表示出各正多边形的内角，再根据三个内角相加等于解答即可求解，理解题意，得到这三种边长相等的正多边形的内角和为是解题的关键． 解：由题意知，这种多边形的3个内角之和为， 已知正多边形的边数为， 那么这三个多边形的内角和可表示为， 两边都除以得，， 两边都除以得，． 故答案为：． 【知识点5】链接中考与拓展延伸 【题型10】直通中考 【例1】（2024·山东青岛·中考真题）为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形和正方形中，，的延长线分别交，于点M，N，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是正多边形内角和问题，熟记正多边形的内角的计算方法是解题的关键． 根据正五边形的内角的计算方法求出、，根据正方形的性质分别求出、，根据四边形内角和等于计算即可． 解：∵五边形是正五边形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 【例2】（2024·四川广元·中考真题）点F是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点G，则的度数为 ．    【答案】/18度 【分析】连接，，根据正多边形的性质可证，得到，进而得到是的垂直平分线，即，根据多边形的内角和公式可求出每个内角的度数，进而得到，再根据三角形的内角和定理即可解答． 解：连接，，    ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵在正五边形中，， ∴， ∴． 故答案为： 【点拨】本题考查正多边形的性质，内角，全等三角形的判定及性质，垂直平分线的判定，三角形的内角和定理，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键． 【题型11】拓展延伸 【例1】（24-25八年级上·山西长治·期中）如图，在四边形中，，，，延长到点，使，点是的延长线上一点，且，连接．已知，则线段的长为 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了全等三角形与等腰直角三角形结合．熟练掌握四边形内角和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，是解题的关键． 在是取点G，使，连接，得，证明，结合，得，得，得，得，得垂直平分，即得． 解：在是取点G，使，连接， ∵，， ∴, ∵在四边形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴． 故答案为：16． 【例2】（24-25八年级下·湖南张家界·期中）如图，将边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形，……，按此方式依次操作，则第2025个等边三角形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质、正六边形的性质、平行四边形的判定和性质，延长与第1个等边三角形的边相交于点，可得，故，则，可以发现下一个等边三角形的边长是前一个的等边三角形的边长的  ，则第个等边三角形的边长为，可得第2025等边三角形的边长．作出辅助线找到下一个等边三角形的边长与前一个的等边三角形的边长的关系是解题的关键． 解：如图，连接，延长与第1个等边三角形的边相交于点， 是正六边形， ， ， ， ， 为等边三角形， ， 四边形为平行四边形， ， 分别为的中点， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 第2个等边三角形的边长是第1个等边三角形的边长的， 同理下一个等边三角形的边长是前一个的等边三角形的边长的， 第个等边三角形的边长为， 所以，第2025等边三角形的边长为：． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.10 多边形的内角和与外角和（5大知识点5大考点11类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识梳理与题型目录】 【知识点1】多边形及其相关概念 1.多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 2.多边形的相关概念 （1）多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边. （2）多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点. （3）多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角. （4）多边形的外角：多边形的一边和它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. （5）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 【知识点2】正多边形 各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.正多边形必须满同时满足以下两个条件：①各边都相等；②各角都相等. 【知识点3】凸多边形与凹多边形 多边形分为凸多边形和凹多边形. 如图①所示，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形成为凸多边形； 而图②就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画出CD所在的直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，所以我们称它为凹多边形. 图① 图② 【知识点4】凸多边形与凹多边形 n边形的内角和等于（n-2）×180°.特别地，正n边形每个内角的度数是. 【知识点5】多边形外角和定理 1.多边形的外角和：在多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和. 2.多边形外角和定理：多边形的外角和等于360°. 知识点与题型目录 【知识点1】多边形内角和问题 【题型1】多边形内角和问题....................................................2 【题型2】复杂图形内角和......................................................3 【题型3】多（少）算一个角的问题..............................................4 【题型4】多边形截角后内角和问题..............................................4 【知识点2】正多边形内角和外角问题 【题型5】正多边形内角问题....................................................4 【题型6】正多边形外角问题....................................................5 【知识点3】多边形内角和与外角和综合 【题型7】多边形内角和与外角和综合............................................6 【知识点4】多边形外角和实际应用 【题型8】多边形外角和实际应用................................................7 【题型9】平面镶嵌............................................................8 【知识点5】链接中考与拓展延伸 【题型10】直通中考...........................................................8 【题型11】拓展延伸...........................................................9 第二部分【题型展示与方法点拨】 【知识点1】多边形内角和问题 【题型1】多边形内角和问题 【例1】（23-24八年级下·云南昭通·期中）如图，E为外一点，且，若，求的度数． 【变式1】（2025·云南昭通·模拟预测）一个八边形的内角和等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·重庆石柱·期中）如图，点D、E、G 分别为 边、、上的点，连接、，将沿、 翻折，顶点A，B 均 落在内部一点F 处，且与重合于线段．若，，则的度数为 【题型2】复杂图形内角和 【例2】（2020九年级·全国·专题练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数． 【变式1】（24-25八年级上·海南三亚·期末）如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2021八年级下·全国·专题练习）（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= ． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G= ． 【题型3】多（少）算一个角的问题 【例3】（2025七年级下·全国·专题练习）小马同学平时学习十分马虎，他在计算凸n边形的内角和时： （1）若少计算一个内角度数，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ （2）若某一内角多计算了一次，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ 【变式1】（23-24八年级上·河北保定·阶段练习）小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心多输入一个内角，得到和为2018°，则n等于（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【变式2】（21-22七年级下·江苏扬州·阶段练习）一个多边形，除了一个内角外其余各内角和为，则这个内角是 度． 【题型4】多边形截角后内角和问题 【例4】（24-25八年级上·山东德州·期中）已知一个多边形的内角和与外角和相加等于， （1）求这个多边形的边数及对角线的条数； （2）当这个多边形剪去一个角后，所形成的新多边形内角和是______． 【变式1】（24-25八年级上·湖北荆州·期末）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【变式2】（2020·浙江杭州·模拟预测）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1440°．则原来多边形的边数是 ． 【知识点2】正多边形内角和外角问题 【题型5】正多边形内角问题 【例5】（24-25八年级下·广西贵港·期中）阅读小东和小兰的对话，解决下列问题． （1）①这个“多加的锐角”是______度．②小东求的是几边形的内角和？ （2）若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度． （3）小东将一个正五边形与一个正八边形按如右上图所示的位置摆放，顶点，，，四点在同一条直线上，为公共顶点，试求的度数． 【变式1】（2025·广东揭阳·一模）在2024年10月的广交会现场，某商家的展台是一个不完整的正多边形图案，如图，小李量得展台中一边与对角线的夹角，则这个正多边形的边数是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式2】（2025·河北保定·一模）一张圆形纸片，圆周被24等分，等分点分别为．由于这个纸片不小心被撕掉了两部分，剩下部分如图所示，已知线段和所在直线所夹锐角的度数为．且该夹角位于点的右侧，则 ． 【题型6】正多边形外角问题 【例6】（24-25八年级上·内蒙古兴安盟·阶段练习）如图1，图2，在四边形中，是四边形的一个外角． （1）四边形的外角和为________度； （2）如图1，图2，已知． ①如图1，求证：； ②如图2，若，平分，交于点G，平分，且与相交于点F，试判断与之间的位置关系，并说明理由． 【变式1】（2025·山东济宁·一模）如图，正六边形中，直线，分别经过边，上一点；且．则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·河北保定·一模）如图，点是正六边形的中心，且，根据尺规作图痕迹，可得四边形的面积为 ． 【知识点3】多边形内角和与外角和综合 【题型7】多边形内角和与外角和综合 【例7】（2024七年级上·全国·专题练习）请用两种方法证明：四边形的外角和为（要求：结合图形，写出已知，求证，并证明） 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，七边形中，的延长线交于点O，若的外角和等于，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）和是的外角，若，如图，则的度数为 ；若，如图，则的度数为 ；若，如图，则的度数为 ． 【知识点4】多边形外角和实际应用 【题型8】多边形外角和实际应用 【例8】（23-24七年级下·江苏淮安·期中）规定：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形． 一个机器人以的速度在平地上按如下要求行走， （1）该机器人从开始到停止所走过的路程形成的图形是_____； （2）该机器人从开始到停止所需时间为_______； （3）若机器人还差就第次回到点处，则它所走过的路程为_____． 【变式1】（23-24七年级下·广西南宁·期末）创客小组的同学给机器人设定了如图的程序，机器人从点出发，沿直线前进米后左转，再沿直线前进米，又向左转……照这样走下去，机器人第一次回到出发地点时，一共走的路程是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式2】（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以为半径画圆，当时，则图中阴影部分的面积之和为 ．（注：结果用含的式子表示） 【题型9】平面镶嵌 【例9】（24-25八年级下·广西来宾·期中）【阅读理解】 【阅读】如图1，用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，叫做平面图形的镶嵌． 【解决问题】我们经常见到如图2那样的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形材料铺成的，这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地面． （1）像这样铺地面，能否全用正五边形的材料？为什么？ （2）现有四种地砖，它们的形状分别是正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时选择其中两种地砖密铺成平整、无空隙的地面，选择的方式有（   ） A．2种    B．3种    C．4种    D．5种 （3）【理解应用】用三块正多边形木板铺地面，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，若其中有两个正五边形，则第三个正多边形的边数是多少？ 【变式1】（24-25八年级上·山西大同·期中）阅读下列材料，回答下面的问题． 用一种或几种完全相同（全等形）的三角形或多边形无间隙且不重叠地覆盖（铺砌）平面的一部分，叫做平面镶嵌，平面镶嵌又称为“平面密铺”．如图所示，用边长相等的等边三角形能够平面镶嵌；平面镶嵌的关键点是，在每个公共顶点（拼接点）处，各角的和是． 现在我们来研究用边长相等的正多边形（含等边三角形）平面镶嵌的问题： 和边长相同的正五边形同时进行平面镶嵌（两种正多边形都要用），下列正多边形可以的是________； A．正四边形 B．正六边形 C．正十边形 D．正十二边形 【变式2】（2025·江苏淮安·一模）用边数为的三种边长相等的正多边形地砖铺地，将其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面，则 ． 【知识点5】链接中考与拓展延伸 【题型10】直通中考 【例1】（2024·山东青岛·中考真题）为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形和正方形中，，的延长线分别交，于点M，N，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024·四川广元·中考真题）点F是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点G，则的度数为 ．    【题型11】拓展延伸 【例1】（24-25八年级上·山西长治·期中）如图，在四边形中，，，，延长到点，使，点是的延长线上一点，且，连接．已知，则线段的长为 ． 【例2】（24-25八年级下·湖南张家界·期中）如图，将边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形，……，按此方式依次操作，则第2025个等边三角形的边长为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$