专题4.3 十字相乘法与分组分解法（4大知识点5大考点8类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题4.3 十字相乘法与分组分解法（4大知识点5大考点8类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在 ，则 【要点提示】 （1） 在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号（若， 则异号），然后依据一次项系数的正负再确定的符号 （2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积（要考虑到分解的各种可能），然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 【知识点2】首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式（≠0）中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 　　按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 【要点提示】 （1）分解思路为“看两端，凑中间”　　 （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 【知识点3】分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 【要点提示】 分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 【知识点4】添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 考点与题型目录 【考点一】十字相乘法 【题型1】二次项系数为1的二次三项式.................................................3 【题型2】二次项系数不为1的二次三项式...............................................3 【考点二】分组分解法 【题型3】二二分组分解法.............................................................4 【题型4】一三分组分解法.............................................................4 【考点三】添拆项法 【题型5】添拆项法...................................................................4 【考点三】因式分解法综合 【题型6】因式分解法综合.............................................................5 【考点五】链接中考与拓展延伸 【题型7】链接中考...................................................................5 【题型8】拓展延伸...................................................................6 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】十字相乘法 【题型1】二次项系数为1的二次三项式 【例1】（24-25八年级上·江西上饶·期末）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： （1）； （2）； 【变式1】（24-25七年级下·全国·周测）根据整式乘法法则分解因式： （1）； （2）． 【变式2】．（22-23七年级下·全国·课后作业）用十字相乘法解方程： （1）； （2）． 【题型2】二次项系数不为1的二次三项式 【例2】（22-23八年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）阅读：用“十字相乘法”分解因式的方法． （1）二次项系数． （2）常数项，验算：“交叉相乘之和”．     ． （3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果，等于一次项系数． 即，则． 像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 仿照以上方法，分解因式： （1） （2） （3） 【变式1】（2023八年级上·全国·专题练习）阅读理解：用“十字相乘法”因式分解： ． ． 例如：． 求： （1）； （2）． 【变式2】（2023七年级下·江苏·专题练习）分解因式： （1）1 （2） 【考点二】分组分解法 【题型3】二二分组分解法 【例3】（24-25七年级上·上海杨浦·期末）因式分解： 【变式1】（24-25七年级上·上海松江·期末）因式分解：． 【变式2】（24-25七年级上·上海嘉定·期末）分解因式：． 【变式3】（23-24七年级上·上海杨浦·期末）分解因式： ． 【题型4】一三分组分解法 【例4】（24-25七年级上·上海闵行·期末）因式分解：． 【变式1】（24-25七年级上·上海宝山·期末）因式分解：． 【变式2】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：． 【考点四】添拆项法 【题型5】添拆项法 【例5】（24-25七年级上·上海·期中）下面是对整式因式分解的部分过程． 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） _____．（第四步） _____．（第五步） 阅读以上解题过程，解答下列问题： （1）在上述的因式分解过程中，用到因式分解的方法有_____．（至少写出两种方法） （2）在横线上继续完成对本题的因式分解． （3）请你尝试用以上方法对整式进行因式分解． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）因式分解：． 【变式2】（2024八年级上·全国·专题练习）运用添项法分解因式： （1）； （2）． 【考点三】因式分解法综合 【题型6】因式分解法综合 【例6】（21-22八年级上·河南洛阳·期中）把下列多项式分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（24-25七年级上·上海普陀·期末）因式分解： （1）； （2）． 【变式2】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）因式分解： （1）； （2）． 【考点五】链接中考与拓展延伸 【题型7】链接中考 【例1】（2019·黑龙江绥化·中考真题）下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（2022·青海西宁·中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】 （1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】 （2）请用分组分解法将因式分解； 【应用】 （3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值． 【题型8】拓展延伸 【例1】（23-24七年级上·上海青浦·期中）用简便方法计算：． 【例2】（2024七年级上·上海·专题练习）若为实数且满足，，求的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.3 十字相乘法与分组分解法（4大知识点5大考点8类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在 ，则 【要点提示】 （1） 在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号（若， 则异号），然后依据一次项系数的正负再确定的符号 （2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积（要考虑到分解的各种可能），然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 【知识点2】首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式（≠0）中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 　　按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 【要点提示】 （1）分解思路为“看两端，凑中间”　　 （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 【知识点3】分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 【要点提示】 分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 【知识点4】添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 考点与题型目录 【考点一】十字相乘法 【题型1】二次项系数为1的二次三项式.................................................3 【题型2】二次项系数不为1的二次三项式...............................................4 【考点二】分组分解法 【题型3】二二分组分解法.............................................................6 【题型4】一三分组分解法.............................................................8 【考点三】添拆项法 【题型5】添拆项法...................................................................9 【考点三】因式分解法综合 【题型6】因式分解法综合............................................................11 【考点五】链接中考与拓展延伸 【题型7】链接中考..................................................................13 【题型8】拓展延伸..................................................................15 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】十字相乘法 【题型1】二次项系数为1的二次三项式 【例1】（24-25八年级上·江西上饶·期末）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： （1）； （2）； 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查分解因式—十字相乘法， （1）根据十字相乘法分解因式即可； （2）根据十字相乘法分解因式即可； 掌握十字相乘法分解因式的步骤是解题的关键． 解：（1）解：①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：； （2）①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：． 【变式1】（24-25七年级下·全国·周测）根据整式乘法法则分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了分解因式，解题的关键是熟练掌握整式乘法法则分解因式的方法． （1）逆用乘法法则的方法解答即可； （2）先提取公因式，再逆用乘法法则的方法解答即可． 解：（1）解：原式， ； （2）解：原式， ， ． 【变式2】．（22-23七年级下·全国·课后作业）用十字相乘法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）或；（2）或 【分析】根据十字相乘法可分别求解（1）（2）． 解：（1）解： ， 或， 或； （2）解：， ， 或， 或． 【点拨】本题主要考查利用因式分解进行求解方程，熟练掌握因式分解是解题的关键． 【题型2】二次项系数不为1的二次三项式 【例2】（22-23八年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）阅读：用“十字相乘法”分解因式的方法． （1）二次项系数． （2）常数项，验算：“交叉相乘之和”．     ． （3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果，等于一次项系数． 即，则． 像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 仿照以上方法，分解因式： （1） （2） （3） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查的是利用十字乘法分解因式； （1）直接利用十字乘法分解因式即可； （2）直接利用十字乘法分解因式即可； （3）把看整体，再利用十字乘法分解因式即可； 解：（1）解：； （2）解：； （3）解： 【变式1】（2023八年级上·全国·专题练习）阅读理解：用“十字相乘法”因式分解： ． ． 例如：． 求： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（）根据题干中解题过程，对二次项系数、常数项分别分解，交叉相乘再相加，凑成一次项系数即可求解； （）根据题干中解题过程，对二次项系数、常数项分别分解，交叉相乘再相加，凑成一次项系数即可求解； 本题考查了“十字相乘法”因式分解，熟练掌握分解的步骤是解题的关键． 解：（1）解：根据题意， ， ∴， （2）根据题意， ∴． 【变式2】（2023七年级下·江苏·专题练习）分解因式： （1）1 （2） 【答案】（1）；；（2）． 【分析】（1）利用十字相乘法因式分解即可； （2）根据十字相乘法因式分解即可． 解：（1）解： ； （2）解：． 【点拨】本题考查的是因式分解的十字相乘法，解题关键是掌握十字相乘法的运算规律． 【考点二】分组分解法 【题型3】二二分组分解法 【例3】（24-25七年级上·上海杨浦·期末）因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先分组得到，再利用平方差公式和提公因式法分解因式即可． 解： ． 【变式1】（24-25七年级上·上海松江·期末）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是关键．利用分组分解法因式分解即可． 解：原式 【变式2】（24-25七年级上·上海嘉定·期末）分解因式：． 【答案】 【分析】将前两项分组后两项分组，进而提取公因式再利用平方差公式分解因式． 此题主要考查了分组分解法因式分解，正确进行分组是解题关键． 解： 【变式3】（23-24七年级上·上海杨浦·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握运用分组法成为解题的关键． 先将分组成，然后再运用提取公因式、公式法求解即可． 解： ． 【题型4】一三分组分解法 【例4】（24-25七年级上·上海闵行·期末）因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，先把多项式的后三项分在一组构成完全平方式，再运用平方差公式进行分解即可． 解： ． 【变式1】（24-25七年级上·上海宝山·期末）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．用分组分解法分解即可． 解： ． 【变式2】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先分组得到，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 解： ． 【考点四】添拆项法 【题型5】添拆项法 【例5】（24-25七年级上·上海·期中）下面是对整式因式分解的部分过程． 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） _____．（第四步） _____．（第五步） 阅读以上解题过程，解答下列问题： （1）在上述的因式分解过程中，用到因式分解的方法有_____．（至少写出两种方法） （2）在横线上继续完成对本题的因式分解． （3）请你尝试用以上方法对整式进行因式分解． 【答案】（1）提公因式法，公式法，分组分解法；（2）见分析；（3） 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）根据所给因式分解过程即可得到答案； （2）先利用平方差公式把第二次式子分解因式，再利用提公因式法分解因式即可； （3）先把原式变形为，再分组得到，据此分解因式即可． 解：（1）解：第二步用了分组分解法，第三步用了提公因式法，第四步运用公式法； （2）解：原式（第四步） （第五步） （3）解： ． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分组分解法和公式法分解因式等知识点，先添项，再用公式法分解即可，熟练掌握分组分解法和公式法分解因式是解题的关键． 解： ． 【变式2】（2024八年级上·全国·专题练习）运用添项法分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了添项法分解因式，熟练掌握公式法是解此题的关键． （1）将式子变形为，再利用公式法进行分解即可； （2）将式子变形为，再利用公式法进行分解即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【考点三】因式分解法综合 【题型6】因式分解法综合 【例6】（21-22八年级上·河南洛阳·期中）把下列多项式分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查因式分解． （1）运用提公因式法分解即可； （2）先展开，再分成两组分别分解，最后利用平方差公式进行因式分解即可； （3）利用十字相乘法进行因式分解即可； （4）先分成两组分别分解，再提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 解：（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式； （4）解：原式 ． 【变式1】（24-25七年级上·上海普陀·期末）因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了因式分解：十字相乘法、分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先分组为，再变形，然后利用提公因式法分解因式即可； （2）先根据十字相乘法分解因式，再根据完全平方公式分解因式即可． 解：（1）解： ； （2）解：原式 ． 【变式2】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据式子特点先分组为：，然后利用平方差公式和完全平方公式，最后再用十字相乘法分解答即可； （2）根据式子特点将原式变形为，然后整理得，设，整理得，最后把代入即可得出答案． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， 设， ∴原式 ． 【点拨】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 【考点五】链接中考与拓展延伸 【题型7】链接中考 【例1】（2019·黑龙江绥化·中考真题）下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用提公因式法、公式法、十字相乘法等对各选项进行分解因式即可判断正误. 解：A、，故A选项错误； B、，故B选项错误； C、不能分解，故C选项错误； D、，正确， 故选D. 【点拨】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法以及注意事项是解题的关键. 【例2】（2022·青海西宁·中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】 （1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】 （2）请用分组分解法将因式分解； 【应用】 （3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值． 【答案】（1）；（2）；（3），9 【分析】（1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可； （2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可； （3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面积得到，，整体代入得出答案即可． 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， ∴根据题意得，， ∴原式． 【点拨】此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的应用，正确分组再运用公式法分解因式是解题关键． 【题型8】拓展延伸 【例1】（23-24七年级上·上海青浦·期中）用简便方法计算：． 【答案】． 【分析】此题考查了因式分解的应用，先设，然后通过十字相乘法因式分解进行解答即可，解题的关键是熟练掌握十字相乘法因式分解的应用． 解：设， 则原式， ， ， ∴原式． 【例2】（2024七年级上·上海·专题练习）若为实数且满足，，求的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，非负数的性质，先将利用分组分解法因式分解，再将已知条件整体代入，化为完全平方式，最后根据非负数的性质确定的最小值，掌握分组分解法和整体代入法是解题的关键． 解：由题得，， ∴ ， ， ， ∴，， ∴，当且仅当时取等号， 经检验当时满足， 的最小值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$