专题4.4 因式分解（3大知识点4大考点11类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题4.4 因式分解（3大知识点4大考点11类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】因式分解定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，或分解因式。 因式分解和整式的乘法有互逆关系，因此，可以用整式的乘法运算来检验因式分解的正确性。 【知识点2】提取公因式法 一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式。把公因式提取出来进行因式分解，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。 提取公因式法的一般步骤： 1. 确定应提取的公因式； 2. 用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式； 3. 把多项式写成这两个因式的积的形式 提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式 填括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变号。 【知识点3】用乘法公式分解因式 平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b） 完全平方公式：a2 ± 2ab + b2 = （a ± b）2 利用公式把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法，公式中的a、b可以是数，也可以是整式。 考点与题型目录 【考点一】因式分解的意义 【题型1】判断是否为因式分解或求参数................................................2 【考点二】因式分解 【题型2】公因式.....................................................................4 【题型3】提取公因式..................................................................5 【题型4】判断能否用公式法分解因式....................................................6 【题型5】用公式法分解因式..........................................................7 【题型6】用十字相乘法与分组分解法进行因式分解........................................9 【题型7】因式分解法综合.............................................................11 【考点三】因式分解法的应用 【题型8】运用因式分解法求值.........................................................13 【题型9】因式分解法在几何中的应用.................................................15 【考点四】链接中考与拓展延伸 【题型10】直通中考...........................................................17 【题型11】拓展延伸...........................................................20 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】因式分解的意义 【题型1】判断是否为因式分解或求参数 【例1】（24-25八年级下·重庆·期中）下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键； 多项式的因式分解是将多项式变形为几个整式的乘积形式，由此解答即可． 解：A．右边不是整式积的形式，故此选项不符合题意； B．，右边括号内不是整式，是分式，不符合因式分解的定义，故本选项不合题意； C．是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； D．是因式分解，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式1】（24-25八年级上·四川广安·期末）小梅和小丽在因式分解关于x的多项式时，小梅获取的其中一个正确的因式为，小丽获取的另一个正确的因式为，则的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；由题意易得，然后可得a、b的值，进而问题可求解． 解：由题意得：， ∴， ∴， ∴； 故选D． 【变式3】（24-25八年级上·山东烟台·期末）将多项式进行因式分解得到，则的值为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了多项式乘多项式以及因式分解的概念：先把运用多项式乘多项式的法则展开，再与进行比较，即可作答． 解：依题意， 因为多项式进行因式分解得到， 所以 那么，， 故，， 所以， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·重庆·阶段练习）下列是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解，根据把一个多项式写成几个整式乘积是因式分解解答即可． 解：A. ，是因式分解； B. ，是整式的乘法，不是因式分解； C. ，原式不是因式分解； D. ，不是因式分解； 故选：A． 【考点二】因式分解 【题型2】公因式 【例2】（20-21八年级上·山东烟台·期末）多项式，与的公因式为 ． 【答案】 【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项． 解：因为3x﹣9＝3（x﹣3），x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），x2﹣6x+9＝（x﹣3）2， 所以多项式3x﹣9，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为（x﹣3）． 故答案：． 【点拨】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“﹣1”． 【变式1】（23-24八年级下·陕西汉中·期末）把多项式分解因式，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分解因式，观察可知两个单项式的公因式为，据此可得答案，解答本题的关键要明确：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 解：， ∴多项式分解因式，应提的公因式是， 故选：C． 【变式2】（22-23八年级上·山东威海·期中）多项式的公因式是，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据公因式是各项中都含有的因式，可得答案． 解：， 故选：A． 【点拨】本题考查了公因式，确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定系数，即确定各项系数的最大公约数； ②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）； ③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 【题型3】提取公因式 【例3】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法进行因式分解即可． 解： ， ， ， ． 【变式1】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】此题考查提公因式法与单项式乘多项式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先提取公因式，再对余下的进行单项式乘多项式，最后合并同类项即可． 解：， ， ， ， ． 【变式2】（22-23八年级下·广西柳州·开学考试）分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，再提取公因式进行二次分解即可，熟练掌握提公因式法因式分解是解题的关键． 解：原式 ． 【题型4】判断能否用公式法分解因式 【例4】（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）下列多项式：①；②；③；④；⑤，其中能用公式法分解因式的是（   ） A．①③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．根据公式法的特点，对题目中的每个多项式逐一分析即可． 解：①不能用公式法分解； ②，可以用公式法分解； ③不能用公式法分解； ④，可以用公式法分解； ⑤，可以用公式法分解； 综上所述，能用公式法分解因式的是②④⑤． 故选：B． 【变式1】（22-23八年级下·河北保定·阶段练习）下列多项式能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依次各选项分解因式，即可求解， 本题考查了分解因式，解题的关键是：熟练掌握分解因式． 解：A、，无法分解因式，不符合题意， B、，应用提公因式法分解因式，不符合题意， C 、，应用提公因式法分解因式，不符合题意， D、，应用平方差公式分解因式，符合题意， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·重庆忠县·期末）对于下列整式：，，，，，．其中能表示成完全平方式的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，完全平方公式是，如果一个三项式能表示成的形式，这个三项式就能写成完全平方式的形式． 解：，能表示成完全平方式； 不能表示成完全平方式； ，能表示成完全平方式； 不能表示成完全平方式； ，能表示成完全平方式； ，能表示成完全平方式． 其中能表示成完全平方式的有个． 故选：A． 【题型5】用公式法分解因式 【例5】（21-22七年级上·江苏扬州·期中）分解因式： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是利用提公因式与公式法分解因式，掌握“因式分解的方法与步骤”是解本题的关键． （1）先提取公因式，再由平方差公式分解； （2）先提取公因式，再由完全平方公式分解． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25八年级上·山东烟台·期末）把下列各式因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法是解题的关键． （1）先提公因式，然后根据平方差公式可进行因式分解即可； （2）先提公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可． 解：（1）解： （2）解： 【变式2】（24-25八年级上·河南南阳·期末）把下列多项式分解因式 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）用提取公因式法直接求解即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式即可得到结果； （3）先提取公因式，再利用完全平方公式即可得到结果； （4）用两次提取公因式法直接求解即可． 解：（1）解：． （2）解： ． （3）解：． （4）解：． 【题型6】用十字相乘法、分组分解法、添拆项法进行因式分解 【例6】（24-25七年级上·上海普陀·期末）因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了因式分解：十字相乘法、分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先分组为，再变形，然后利用提公因式法分解因式即可； （2）先根据十字相乘法分解因式，再根据完全平方公式分解因式即可． 解：（1）解： ； （2）解：原式 ． 【变式1】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据式子特点先分组为：，然后利用平方差公式和完全平方公式，最后再用十字相乘法分解答即可； （2）根据式子特点将原式变形为，然后整理得，设，整理得，最后把代入即可得出答案． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， 设， ∴原式 ． 【点拨】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 【变式2】（2024八年级上·全国·专题练习）运用添项法分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了添项法分解因式，熟练掌握公式法是解此题的关键． （1）将式子变形为，再利用公式法进行分解即可； （2）将式子变形为，再利用公式法进行分解即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型7】因式分解法综合 【例7】（21-22八年级上·河南洛阳·期中）把下列多项式分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查因式分解． （1）运用提公因式法分解即可； （2）先展开，再分成两组分别分解，最后利用平方差公式进行因式分解即可； （3）利用十字相乘法进行因式分解即可； （4）先分成两组分别分解，再提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 解：（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式； （4）解：原式 ． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）分解因式： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （）先分组，再利用提公因式进行因式分解即可； （）先分组，再利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可； （）先分组，再利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可； 解：（1）解： ． （2）解： ； （3）解： ． 【变式2】（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）因式分解 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． （1）先提取公因式再利用平方差公式分解因式即可求解； （2）根据完全平方公式分解因式； （3）根据十字相乘法分解因式即可求解； （4）分组法和公式法分解因式即可求解． 解：（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【考点三】因式分解法的应用 【题型8】运用因式分解法求值 【例8】（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）已知，，，则多项式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用因式分解把代数式变形，首先把代数式分组，把每一组配成完全平方式，再利用完全平方公式分解因式，可得：原式，把、、分别代入整理后的代数式中计算求值即可． 解： ， 当，，时， 原式 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查因式分解的应用，先把变形为，再把变形为，整体代入计算即可． 解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：3． 【变式2】（24-25八年级上·四川凉山·期末）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先求出，再把变形为，进而把所求式子变形为，进一步变形为，据此代值计算即可． 解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【题型9】因式分解法在几何中的应用 【例9】（24-25八年级上·河南商丘·期末）已知a， b， c分别是的三边长，若，，则的周长是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了因式分解的应用、完全平方公式的应用，将式子变形为，再分解因式可得，结合题意即可得解． 解：∵， ∴， ∴， ∵ ∴，即的周长是， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·重庆·阶段练习）已知的三边分别为．例如：若，则为等腰三角形．理由如下：方程整理为：，，，那么是等腰三角形．对于满足的条件给出下列说法： ①若，那么这个三角形是等腰三角形； ②若，那么这个三角形是等边三角形； ③若，那么这个三角形是直角三角形． 以上说法中正确的是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，特殊三角形的判定； ①等式左边进行因式分解得，即可判断； ②等式左边进行因式分解得，即可判断； ③等式左边进行因式分解得，即可判断； 能熟练进行因式分解是解题的关键． 解：①由题意得：， ， ， 或， 或， 这个三角形是等腰三角形； 故此项正确； ②， ， ， ，，， ，，， ， 这个三角形是等边三角形； 故此项正确； ③由题意得：， ， 或， 或， 这个三角形是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形； 故此项不正确； 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·山东东营·期中）如图，一块大的长方形分成3个正方形和3个完全相同的小长方形，观察图形，可将多项式因式分解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解与几何图形的面积，弄清图形中的面积关系是解题关键． 图中大长方形的面积有两种求法，一是由三个正方形的面积与三个小长方形的面积之和计算，二是由大长方形的长与宽的乘积计算，两者相等即可确定多项式因式分解的结果． 解：结合图形，可得长方形的面积为， 还可得长方形的长为，宽为， ∴长方形的面积也可以为， ∴． 故答案为：． 【考点五】链接中考与拓展延伸 【题型10】直通中考 【例1】（2024·福建·中考真题）已知实数满足． （1）求证：为非负数； （2）若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由． 【答案】（1）证明见分析；（2）不可能都为整数，理由见分析． 【分析】本小题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力． （1）根据题意得出，进而计算，根据非负数的性质，即可求解； （2）分情况讨论，①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数，根据奇偶数的性质结合已知条件分析即可． 解：（1）解：因为， 所以． 则 ． 因为是实数，所以， 所以为非负数． （2）不可能都为整数． 理由如下：若都为整数，其可能情况有：①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数． ①当都为奇数时，则必为偶数． 又，所以． 因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾． ②当为整数，且其中至少有一个为偶数时，则必为偶数． 又因为，所以． 因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾． 综上所述，不可能都为整数． 【例2】（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． （1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（    ）（    ）； （）______； （2）兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 【答案】（1）（），；（）；（2） 【分析】（）（）根据规律即可求解；（）根据规律即可求解； （）利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可； 本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键． 解：（1）（）由规律可得，， 故答案为：，； （）由规律可得，， 故答案为：； （2）解：假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 故答案为：． 【题型11】拓展延伸 【例1】（浙江省创新教育初中协作体2024—2025学年下学期创新素养综合考察八年级数学试题）若的值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，二次根式的有意义的条件，正确对根号下面部分式子进行因式分解是解题的关键． 解：原式根号下面部分为， ， ， ， ， ∴， ， ， ，，， ，当且仅当或时，取到等号， 根据二次根式的性质只能等于0， ， 当时，； 当时，； 原式， 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·四川巴中·阶段练习）已知，，，则代数式的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据代数式的形式，构造出完全平方公式进行计算即可，掌握分解因式的应用，把原多项式扩大2倍得完全平方式是解题关键． 解：，，， ，，， ，，， 原式 ． 故答案为：3． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.4 因式分解（3大知识点4大考点11类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】因式分解定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，或分解因式。 因式分解和整式的乘法有互逆关系，因此，可以用整式的乘法运算来检验因式分解的正确性。 【知识点2】提取公因式法 一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式。把公因式提取出来进行因式分解，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。 提取公因式法的一般步骤： 1. 确定应提取的公因式； 2. 用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式； 3. 把多项式写成这两个因式的积的形式 提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式 填括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变号。 【知识点3】用乘法公式分解因式 平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b） 完全平方公式：a2 ± 2ab + b2 = （a ± b）2 利用公式把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法，公式中的a、b可以是数，也可以是整式。 考点与题型目录 【考点一】因式分解的意义 【题型1】判断是否为因式分解或求参数................................................2 【考点二】因式分解 【题型2】公因式.....................................................................2 【题型3】提取公因式..................................................................2 【题型4】判断能否用公式法分解因式....................................................3 【题型5】用公式法分解因式..........................................................3 【题型6】用十字相乘法与分组分解法进行因式分解........................................3 【题型7】因式分解法综合..............................................................4 【考点三】因式分解法的应用 【题型8】运用因式分解法求值..........................................................4 【题型9】因式分解法在几何中的应用..................................................4 【考点四】链接中考与拓展延伸 【题型10】直通中考............................................................5 【题型11】拓展延伸............................................................6 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】因式分解的意义 【题型1】判断是否为因式分解或求参数 【例1】（24-25八年级下·重庆·期中）下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·四川广安·期末）小梅和小丽在因式分解关于x的多项式时，小梅获取的其中一个正确的因式为，小丽获取的另一个正确的因式为，则的值为（   ） A． B． C． D．3 【变式3】（24-25八年级上·山东烟台·期末）将多项式进行因式分解得到，则的值为 ． 【变式2】（24-25八年级下·重庆·阶段练习）下列是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【考点二】因式分解 【题型2】公因式 【例2】（20-21八年级上·山东烟台·期末）多项式，与的公因式为 ． 【变式1】（23-24八年级下·陕西汉中·期末）把多项式分解因式，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23八年级上·山东威海·期中）多项式的公因式是，则等于（    ） A． B． C． D． 【题型3】提取公因式 【例3】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【变式1】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【变式2】（22-23八年级下·广西柳州·开学考试）分解因式：． 【题型4】判断能否用公式法分解因式 【例4】（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）下列多项式：①；②；③；④；⑤，其中能用公式法分解因式的是（   ） A．①③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 【变式1】（22-23八年级下·河北保定·阶段练习）下列多项式能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·重庆忠县·期末）对于下列整式：，，，，，．其中能表示成完全平方式的个数为（   ） A． B． C． D． 【题型5】用公式法分解因式 【例5】（21-22七年级上·江苏扬州·期中）分解因式： （1） （2） 【变式1】（24-25八年级上·山东烟台·期末）把下列各式因式分解： （1）； （2）． 【变式2】（24-25八年级上·河南南阳·期末）把下列多项式分解因式 （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型6】用十字相乘法、分组分解法、添拆项法进行因式分解 【例6】（24-25七年级上·上海普陀·期末）因式分解： （1）； （2）． 【变式1】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）因式分解： （1）； （2）． 【变式2】（2024八年级上·全国·专题练习）运用添项法分解因式： （1）； （2）． 【题型7】因式分解法综合 【例7】（21-22八年级上·河南洛阳·期中）把下列多项式分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）分解因式： （1）； （2）； （3）． 【变式2】（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）因式分解 （1）； （2）； （3）； （4）． 【考点三】因式分解法的应用 【题型8】运用因式分解法求值 【例8】（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）已知，，，则多项式的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）已知，则的值为 ． 【变式2】（24-25八年级上·四川凉山·期末）已知，则的值为 ． 【题型9】因式分解法在几何中的应用 【例9】（24-25八年级上·河南商丘·期末）已知a， b， c分别是的三边长，若，，则的周长是 ． 【变式1】（24-25八年级下·重庆·阶段练习）已知的三边分别为．例如：若，则为等腰三角形．理由如下：方程整理为：，，，那么是等腰三角形．对于满足的条件给出下列说法： ①若，那么这个三角形是等腰三角形； ②若，那么这个三角形是等边三角形； ③若，那么这个三角形是直角三角形． 以上说法中正确的是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2】（24-25八年级上·山东东营·期中）如图，一块大的长方形分成3个正方形和3个完全相同的小长方形，观察图形，可将多项式因式分解为 ． 【考点五】链接中考与拓展延伸 【题型10】直通中考 【例1】（2024·福建·中考真题）已知实数满足． （1）求证：为非负数； （2）若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由． 【例2】（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． （1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（    ）（    ）； （）______； （2）兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 【题型11】拓展延伸 【例1】（浙江省创新教育初中协作体2024—2025学年下学期创新素养综合考察八年级数学试题）若的值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【例2】（24-25七年级下·四川巴中·阶段练习）已知，，，则代数式的值为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$