专题6.9 三角形的中位线（拓展培优）（精选精练）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题6.9 三角形的中位线（拓展培优）（精选精练） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，M是的边的中点，平分，且，垂足为N，且，，，则的周长是（    ） A．12 B．11.8 C．12.4 D．13 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，D、E、F分别是的中点．若四边形的周长比四边形的周长大4，则（   ）． A．2 B．4 C． D． 3．（24-25八年级下·湖南·期中）如图，在中，，为的中位线，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C．32° D． 4．（2025·山东泰安·一模）在平行四边形中，点E为边上的中点，过点D作于点G，若点F为的中点，，，则的长为（  ） A．6 B． C．8 D． 5．（2025·江苏扬州·一模）如图，中，，点E在的延长线上，点D在边上，M、N分别是的中点．若，则的长是（   ） A． B．6 C． D． 6．（2025八年级下·湖南·专题练习）如图，在中，、是角平分线，于点M，于点N．的周长为30，．则的长是（　　） A．15 B．9 C．6 D．3 7．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，，分别是边，上的点，且，连接．分别取，的中点，，并连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·河南新乡·模拟预测）如图1，在中，，D，E分别是，的中点，连接，，点P从点C出发，沿的方向匀速运动到点A，速度为，图2是点P运动时，的面积随时间变化的图象，则a的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．10 9．（23-24八年级下·浙江金华·期中）如图，在中，，点D是的一点，延长至点E，使得，过点E作于点F，G为的中点，则（    ） A． B． C． D． 10．（2023八年级下·江苏·专题练习）如图，将纸片折叠（折痕为），使点A落在上，记作①；展平后再将折叠（折痕为），使点D落在上，记作②；展平后继续折叠，使落在直线上，记作③；重新展平，记作④．若，则图④中线段的长度为（    ）    A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级下·广西贵港·期中）如图，在中，点为的中点，连接，，为的三等分点，连接交于点．若，则的长为 ． 12．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，平分，是的中点，，，，则的长度为 ． 13．（2025·四川广安·二模）如图，在中，，，D是边的中点，E是边上一点，若平分的周长，则的长为 ． 14．（24-25八年级下·福建南平·期中）如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点，，则 ． 15．（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，在中，为边中点，为边中点，为上一点且，连接，取中点并连接，取中点，延长与边交于点，若，则 ． 16．（24-25八年级上·山西太原·期末）如图，中，，，点D为的中点，将一个直角三角板的直角顶点放在点D处，直角边的点E在边上，，连接，则的长为 ． 17．（24-25八年级下·河南许昌·期中）如图，中，，，，点、、分别是边、、的中点；点、、分别是边、、的中点；；以此类推，则第2025个三角形的周长是 ． 18．（2025·河南商丘·一模）如图1，中，，，，点，分别为，的中点，连接．如图，将逆时针绕点在平面内旋转，连接，当点，，恰好在一条直线上时，的长为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·全国·期中）写出下列命题的已知、求证，并完成证明过程． 命题：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 已知：如图，__________________________________________________________． 求证：__________________________________________________________． 证明： 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，在中，点、分别是、的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：． （2）直接写出与的数量关系． （3）若，，，求的长． 21．（本小题满分10分）（2025八年级下·全国·专题练习）如图，的对角线相交于点O，平分，分别交于点． （1）试说明是等腰三角形； （2）连接，若，． ①求线段的长； ②求的面积． 22．（本小题满分10分）（21-22八年级下·云南保山·期中）[教材呈现]如图是人教版八年级下册数学教材P48页的部分内容：如图，，分别是的边，的中点，求证：，且． [定理证明]乐乐给出如下部分证明： 证明：如图1，延长至点，使得，连接…… （1）请你根据乐乐添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线） （2）[定理应用]如图2，在四边形中，，，，，点，，分别是，，的中点，求的长： （3）如图3，在四边形中，点，，，分别是，，的中点，连接，，，．求证：四边形是平行四边形． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图1，在中，，点D，E分别在边上，且．连接，点M，N，P分别为的中点． 【猜想证明】 （1）观察图1，试判断的形状并证明你的结论． 【变式探究】 （2）将图1中的绕点A逆时针方向旋转到图2位置，其他条件不变，判断此时的形状并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）将图1中绕点A自由旋转，其他条件不变，直接写出旋转过程中面积的最大值． 24．（本小题满分12分）（22-23九年级上·山西·期末）【综合与实践】数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动： （1）【操作探究】如图1，为等边三角形，将绕点A旋转，得到，连接；则______．若F是的中点，连接，则与的数量关系是______． （2）【迁移探究】如图2，将（1）中的绕点A逆时针旋转，得到，其他条件不变，求出此时的度数及与的数量关系． （3）【拓展应用】如图3，在中，，，将绕点A旋转，得到，连接，F是的中点，连接．在旋转过程中，当时，直接写出线段的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.9 三角形的中位线（拓展培优）（精选精练） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，M是的边的中点，平分，且，垂足为N，且，，，则的周长是（    ） A．12 B．11.8 C．12.4 D．13 【答案】B 【分析】本题主要考查了中位线定理和全等三角形的判定．解决本题的关键是作出辅助线，利用全等三角形来得出线段相等，进而应用中位线定理解决问题． 延长线段交于，证明，得，，进而证明是中位线，从而求出的长． 解：延长线段交于． 平分， ， ∵ ∴， 又∵， ， ，， 又是的边的中点， ∴是的中位线， ， 的周长是， 故选：B． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，D、E、F分别是的中点．若四边形的周长比四边形的周长大4，则（   ）． A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，掌握三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质是解题的关键． 根据三角形的中位线定理得到，而，那么可得四边形是平行四边形，则，再由周长作差即可求解． 解：∵D、E、F分别是的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形的周长比四边形的周长大4， ∴ 故选：B 3．（24-25八年级下·湖南·期中）如图，在中，，为的中位线，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C．32° D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行线的性质以及等腰三角形的性质等知识，掌握中位线的性质是解答本题的关键． 根据为的中位线，可得，，即，结合，可得，即，即可解答． 解：∵为的中位线， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．（2025·山东泰安·一模）在平行四边形中，点E为边上的中点，过点D作于点G，若点F为的中点，，，则的长为（  ） A．6 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．取的中点，连接，则，而，所以，因为为的中点，所以，则，求得，即可得解； 解：取的中点，连接，则， ∵点为的中点，， ， ， ∵为的中点，为的中点， ， ， ， ， ， 故选：B． 5．（2025·江苏扬州·一模）如图，中，，点E在的延长线上，点D在边上，M、N分别是的中点．若，则的长是（   ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质等知识，熟练掌握三角形中位线定理和勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．连接，取的中点F，连接、，证明、分别是、的中位线，由三角形中位线定理得出，，，证出，根据勾股定理计算，即可得出答案． 解：连接，取的中点F，连接、， ∵M、N、F分别是、、的中点， ∴、分别是、的中位线， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， 故选：D． 6．（2025八年级下·湖南·专题练习）如图，在中，、是角平分线，于点M，于点N．的周长为30，．则的长是（　　） A．15 B．9 C．6 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定以及性质，三角形中位线的有关求解等知识．延长、分别交于点F、G，根据为的角平分线，得出，故为等腰三角形，所以也为等腰三角形的中线，即．同理，根据三角形中位线定理即可得出结论． 解：∵的周长为30，． ∴． 延长、分别交于点F、G．如图所示： ∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理，，， ∴为的中位线，， ∴． 故选：D． 7．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，，分别是边，上的点，且，连接．分别取，的中点，，并连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，中位线的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 延长并延长，使，连接，，证明，得出，，证明为等边三角形，得出，根据中位线的性质得出． 解：延长并延长，使，连接，，如图所示： 为的中点， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 为等边三角形， ， 为的中点，， ， 故答案为：D． 8．（2025·河南新乡·模拟预测）如图1，在中，，D，E分别是，的中点，连接，，点P从点C出发，沿的方向匀速运动到点A，速度为，图2是点P运动时，的面积随时间变化的图象，则a的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象的应用，结合图形分析题意并解答是解题关键． 结合图形得，当点P运动到点E处时，运动路程为，即，由E为的中点，得到，当点P运动到点D处时，运动路程为，得，由为中位线，求出，根据的面积s为，求出，再求出，根据勾股定理求出，即可求出长，求出 解：结合图形得， 当点P运动到点E处时，运动路程为，即， 为的中点， ， 当点P运动到点D处时，运动路程为， ， D，E分别是，的中点， 为中位线， ， 此时的面积s为，即， ， ， ， ，即 故选：C． 9．（23-24八年级下·浙江金华·期中）如图，在中，，点D是的一点，延长至点E，使得，过点E作于点F，G为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形全等，三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．分别延长交于，延长交于点，先证明，再证明是的中位线，可得，可得再证明，可得，再求解即可． 解：如图，分别延长交于，延长交于点， ， ， ， G为的中点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故选：B 10．（2023八年级下·江苏·专题练习）如图，将纸片折叠（折痕为），使点A落在上，记作①；展平后再将折叠（折痕为），使点D落在上，记作②；展平后继续折叠，使落在直线上，记作③；重新展平，记作④．若，则图④中线段的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】图中，连接，延长交于；由题意易知：，，是的中位线，，则可求出的长度，即可解决问题． 解：如图中，连接，延长交于．    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴，， ，， 由折叠知：G、H分别是的中点， ∴是的中位线， ，，， ∴， ，， 是的中位线， ； 故选：． 【点拨】本题考查翻折变换，平行四边形的性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，属于中考选择题中的压轴题． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级下·广西贵港·期中）如图，在中，点为的中点，连接，，为的三等分点，连接交于点．若，则的长为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了中位线的定义和性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造平行四边形是解题的关键． 根据三等分点可得E、F分别是线段的中点可得且， 如图：过D作，则四边形是平行四边形可得、，再证明可得，再根据三角形中位线的性质可得，最后根据线段的和差即可解答． 解：∵ E、F是的三等分点， ∴，即点F是的中点，点E是的中点， ∵D是的中点， ∴是的中位线， ∴且， 如图：过D作，则四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：9． 12．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，平分，是的中点，，，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质，首先延长、交于点，可证，根据全等三角形的性质可证，，从而可得，又根据点是的中点，可证是的中位线，根据中位线的性质可得的长度． 解：如下图所示，延长、交于点， 平分， ， ， ， 在和中，， ， ，， 又， ， 点是的中点， 是的中位线， ． 故答案为：． 13．（2025·四川广安·二模）如图，在中，，，D是边的中点，E是边上一点，若平分的周长，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理，延长至点，使得，连接，证明为等边三角形，得出，证明得出为的中位线，由三角形中位线的性质求解即可． 解：如图，延长至点，使得，连接， ， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵D是边的中点， ∴， ∵平分的周长， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为的中位线， ∴， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·福建南平·期中）如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质与判定，熟练掌握三角形的中位线的性质与判定是解题的关键．分别作，的中点，，连接，，，，根据三角形的中位线的性质得出，，证明四边形为平行四边形，进而根据平行四边形的性质，即可解答． 解：分别作，的中点，，连接，，，， ∵点，分别是边，上的中点， ∴，， ∵点分别是，的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15．（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，在中，为边中点，为边中点，为上一点且，连接，取中点并连接，取中点，延长与边交于点，若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质等知识，连接．求出，即可解决问题．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考常考题型． 解：如图，连接． 为边中点，，， ，，， 为边中点，取中点并连接， ，， 是的中位线， ，， ， 取中点， ， 又， ， ，， ， 故答案为：1． 16．（24-25八年级上·山西太原·期末）如图，中，，，点D为的中点，将一个直角三角板的直角顶点放在点D处，直角边的点E在边上，，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，中位线定理．取的中点K，连接，证明，得到，求出的长即可得到． 解：取的中点K，连接， ∵点D为的中点，点K为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵，点D为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（24-25八年级下·河南许昌·期中）如图，中，，，，点、、分别是边、、的中点；点、、分别是边、、的中点；；以此类推，则第2025个三角形的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，图形的变化规律，根据三角形的中位线性质可得后一个三角形的周长是前一个三角形周长的，据此得到第n个三角形的周长为，把代入计算即可求解． 解：由题可得的周长为， ∵点、、分别是边、、的中点， ∴、、是的三条中位线， ∴的周长是， 同理，的周长是， ⋯， 以此类推，的周长是， ∴第2025个三角形的周长是， 故答案为：． 18．（2025·河南商丘·一模）如图1，中，，，，点，分别为，的中点，连接．如图，将逆时针绕点在平面内旋转，连接，当点，，恰好在一条直线上时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了图形的旋转、勾股定理、三角形中位线的性质，首先根据点，分别为，的中点，可以求出、、，是的中位线，当点，，恰好在一条直线上时，，利用勾股定理可以求出，再分点与点的位置关系分情况求出的长度． 解：如下图所示，当点，，恰好在一条直线上时， ，，点，分别为，的中点， ， 是的中位线， ，， ， 在中，，，， ， 如下图所示， 当点，，恰好在一条直线上时，， 在中，， ； 如下图所示， 在中，， ； 综上所述，的长为或． 故答案为：为或． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·全国·期中）写出下列命题的已知、求证，并完成证明过程． 命题：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 已知：如图，__________________________________________________________． 求证：__________________________________________________________． 证明： 【答案】见分析 【分析】本题考查了三角形的中位线定理的证明，解题关键是通过延长中位线构造全等三角形，进而证明平行四边形，利用其性质得出中位线与第三边的平行和数量关系． 根据命题找出题设和结论，然后根据题设写出已知，根据结论写出求证，      先明确已知条件为D、E分别是的中点，求证，．通过延延长到点F，使，连接  构造全等三角形，得到对应边和角相等，证明四边形是平行四边形，从而得出与的关系． 解：已知：如图，在中，D、E分别是的中点． 求证：，． 证明：延长到点F，使，连接． ， ． ． ． ， ． ∴四边形是平行四边形． ． ， ，． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，在中，点、分别是、的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：． （2）直接写出与的数量关系． （3）若，，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）；（3） 【分析】题目主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，中位线的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据中位线的判定和性质得出，结合平行四边形的判定和性质即可证明； （2）由（1）得是的中位线，四边形为平行四边形，即可求解； （3）结合中位线的判定和性质得出，再由题意确定，结合勾股定理及平行四边形的性质即可求解． 解：（1）证明：点、分别是、的中点， 是的中位线， ， 又， 四边形为平行四边形， ； （2）解：由（1）得是的中位线，四边形为平行四边形， ∴； （3）解：由（1）得是的中位线， ∴，， ， 点是的中点， ， ∵，， ， 在中，根据勾股定理，， ， 由（1）得四边形为平行四边形， ． 21．（本小题满分10分）（2025八年级下·全国·专题练习）如图，的对角线相交于点O，平分，分别交于点． （1）试说明是等腰三角形； （2）连接，若，． ①求线段的长； ②求的面积． 【答案】（1）理由见分析；（2）①1；② 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由平分，可得，再由四边形是平行四边形，可得，故，从而，则，故可判断得解； （2）①依据题意，由（1），结合，则，从而，又四边形是平行四边形，可得，进而是的中位线，故可判断得解； ②由（1）是等腰三角形，又，从而是等边三角形，可得，结合，可得边上的高，又是的中位线，则，故的边上的高的边上的高，进而计算可以得解． （1）解：（1）平分， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）①由题意， 由（1）， 又， ∴， ， ∵四边形是平行四边形， ， 是的中位线， ， ②由（1）是等腰三角形， 又， 是等边三角形， ， 又 ， 边上的高， 是的中位线， ， ∴的边上的高的边上的高， 又， ． 22．（本小题满分10分）（21-22八年级下·云南保山·期中）[教材呈现]如图是人教版八年级下册数学教材P48页的部分内容：如图，，分别是的边，的中点，求证：，且． [定理证明]乐乐给出如下部分证明： 证明：如图1，延长至点，使得，连接…… （1）请你根据乐乐添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线） （2）[定理应用]如图2，在四边形中，，，，，点，，分别是，，的中点，求的长： （3）如图3，在四边形中，点，，，分别是，，的中点，连接，，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）证明见分析；（2）；（3）证明见分析 【分析】（1）如图1，延长至点，使得，连接，先利用证明，再证明四边形是平行四边形，可证明结论； （2）如图2，根据点，，分别是，，的中点，可得出，，，，再根据，，由平行的性质可求出，再利用勾股定理即可求出的长； （3）如图3，连接，根据点，，，分别是，，的中点，可得，；，，由平行线的性质和等量代换可推出，，最后利用平行四边形的判定即可证明结论． 解：（1）证明：如图1，延长至点，使得，连接， ∴， ∵点是的边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵点是的边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 即，． （2）解：∵如图2，点，，分别是，，的中点，，，，， ∴，， ，， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，． ∴的长为． （3）证明：如图3，连接， ∵点，，，分别是，，的中点， ∴，， ，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 【点拨】本题考查四边形综合题，考查了平行四边形的判定，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，平行线的性质，邻补角的定义等知识．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图1，在中，，点D，E分别在边上，且．连接，点M，N，P分别为的中点． 【猜想证明】 （1）观察图1，试判断的形状并证明你的结论． 【变式探究】 （2）将图1中的绕点A逆时针方向旋转到图2位置，其他条件不变，判断此时的形状并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）将图1中绕点A自由旋转，其他条件不变，直接写出旋转过程中面积的最大值． 【答案】（1）等腰直角三角形，见分析；（2）等腰直角三角形，见分析；（3）12.5 【分析】本题考查三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质： （1）根据线段的和差关系得到，三角形的中位线定理得到，推出，即可得出结论； （2）连接，证明，得到，推出，再根据三角形的中位线定理推出，即可得出结论； （3）根据是等腰直角三角形，得到，根据，得到最大时，最大，此时的面积最大，进行求解即可． 解：（1）是等腰直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵点M，N，P分别为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）是等腰直角三角形，理由如下： 连接，延长交于点，交于点， ∵旋转， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点M，N，P分别为的中点， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形； （3）由（2）知：是等腰直角三角形，， ∴， ∴当最大时，的面积最大， ∴当最大时，最大，的面积最大， ∵， ∴的最大值为10， ∴的最大值为5， ∴面积的最大值为：． 24．（本小题满分12分）（22-23九年级上·山西·期末）【综合与实践】数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动： （1）【操作探究】如图1，为等边三角形，将绕点A旋转，得到，连接；则______．若F是的中点，连接，则与的数量关系是______． （2）【迁移探究】如图2，将（1）中的绕点A逆时针旋转，得到，其他条件不变，求出此时的度数及与的数量关系． （3）【拓展应用】如图3，在中，，，将绕点A旋转，得到，连接，F是的中点，连接．在旋转过程中，当时，直接写出线段的长． 【答案】（1）90； ；（2），；（3）的长为或1 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理等，解题的关键是掌握旋转前后对应边相等、对应角相等，第三问注意分情况讨论． （1）由旋转的性质可得也是等边三角形，点A，B，D在同一直线上，利用等腰三角形的性质、平行线的性质可证；利用三角形中位线定理可得； （2）先根据旋转的性质证明是等腰直角三角形，推出，进而得出，再根据等腰直角三角形的性质即可求解； （3）分点E在下方和点E在上方两种情况，参照（2）中方法分别求解即可． 解：（1）解：∵为等边三角形， ，， ∵绕点A旋转，得到， ，，点A，B，D在同一直线上， ∵， ， ，即， ∵， ， ， ， ， ∵F是的中点，， ． 故答案为：90，； （2）解：由旋转的性质，可知 ，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴； （3）解：分以下两种情况进行讨论： ①如图3﹣1．当点E在下方时， 根据题意，得为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∵，F是的中点， ∴， ∴； ②如图3﹣2，当点E在上方时， 同理，可得，． 综上所述，的长为或1． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$