专题6.8 三角形的中位线（夯实基础）（精选精练）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题6.8 三角形的中位线（夯实基础）（精选精练） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）如图在中，点，分别是，的中点，，则的长（　　） A． B． C． D． 2．（2025·云南·模拟预测）如图， 在中，平分交于点 D， 点E是边的中点，连接， 若， 则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）已知：在四边形中，，，、分别是，的中点，则线段的取值范围（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，中，，，是的角平分线，是上的中线，过点作于，交于，连结，则线段的长为（    ） A．1 B． C． D． 5．（2025·山东聊城·一模）如图，是的中线，是的中点，延长与交于点，若，则的长为（   ） A．3 B．2 C． D． 6．（24-25九年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是的中点，若，，则的长（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．（24-25九年级上·广东深圳·期中）在平行四边形中，点为边上的中点，过点作于点，若点为的中点，，，则的长为（   ） A．6 B． C．8 D． 8．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（   ）    A． B．3 C． D．4 9．（2025·湖南娄底·一模）如图，点分别是的边的中点．①图中有三个平行四边形；②图中的四个小三角形的形状和大小完全一样；③四边形的周长；④．下列选项中，正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 10．（2023·安徽池州·二模）如图，在中，，，为上任意一点，为的中点，连接在上且，连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2025·广西梧州·一模）如图，D、E分别是边的中点，连接．若，，则BD的长为 ． 12．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，在四边形中，，，E，F分别为边，的中点．连接，线段的最大值为 ． 13．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）如图，四边形中，，，，点E、F、G分别是、、的中点，连接，则的长为 14．（24-25八年级上·重庆垫江·期末）在如图所示的中，点D，E在边上，的平分线于F，的平分线于H，若，，则△ABC的周长为 ． 15．（2023九年级·全国·专题练习）如图，直角三角形的边长，将三角形平移得到三角形，边分别交，于点，当点为中点时，此时，则图中阴影部分的面积为 ． 16．（22-23八年级下·广东佛山·阶段练习）如图，是边长为1的等边三角形，分别取边的中点D、E，连接，作得到四边形，它的面积记作；分别取的中点，，连接，作，得到四边形，它的面积记作，…，照此规律作下去，则等于 ．    17．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片，第1次折叠使点落在边上的点处，折痕交于点；第2次折叠使点落在点处，折痕交于点．若，则 ． 18．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图 1， 对 “三角形中位线定理” 进行拓展思考， 可以提出以下三个命题∶ ①若 ，则 ． ②若 ，则 是 的中位线． ③若 ，则 ． 图 2 是以上命题中某个假命题的反例示意图，则此假命题是 （选填①②③中其一） 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·全国·课后作业）（1）如图，A，B两点被池塘隔开，A，B，C三点不共线．设，的中点分别为M，N．若米，则（    ） A．4米    B．6米    C．8米    D．10米 （2）拓展设问：若，，则______． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，对角线与相交于点，，点，，分别为的中点，连结． （1）求证：． （2）求证：四边形为平行四边形． 21．（本小题满分10分）（23-24八年级下·河南郑州·期末）在中，点E、F、G、H分别是，，，的中点，连接，，，得到四边形． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）设对角线与的交点为，四边形对角线与的交点为，那么与是同一个点吗？请说明理由． 22．（本小题满分10分）（23-24八年级下·河南许昌·期中）请先把下面三角形的中位线定理补充完整，再证明． 三角形的中位线______三角形的第三边，并且______第三边的一半． 已知：如图，在中，D、E分别是边的中点． 求证：，且． 23．（本小题满分10分）（24-25九年级上·北京通州·期末）在中，，于点M，D是线段上的动点（不与点B，C，M重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段． （1）如图1，如果点E在线段上，求证：； （2）如图2，如果D在线段上，在射线上存在点F满足，连接求证：． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级上·山西大同·期末）综合与实践 问题呈现： 如图①，在四边形中，，， 求证：平分． 问题解决： 小明在解决问题时发现可以通过构造全等三角形来解决问题，而且他找到了两种“构造”方案： 方案一：如图②，过作于，于； 方案二：如图③，延长至，使． （1）请你选择其中一种“构造”方案，写出完整的证明过程． 思维发散： （2）如图④，在等边中，点是的中点，，与交于点，与交于点，请直接写出，和的数量关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.8 三角形的中位线（夯实基础）（精选精练） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）如图在中，点，分别是，的中点，，则的长（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中位线定理，运用了“三角形的中位线等于第三边的一半”．根据三角形的中位线定理进行求解即可． 解：∵在中，D、E分别是边、的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：B． 2．（2025·云南·模拟预测）如图， 在中，平分交于点 D， 点E是边的中点，连接， 若， 则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形中位线的性质， 先根据等腰三角形的性质可得点D是的中点，进而得出是的中位线，可得，最后结合可得答案. 解：∵平分， ∴点D是的中点. ∵点E是边的中点， ∴是的中位线， ∴. ∵， ∴. 故选：B. 3．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）已知：在四边形中，，，、分别是，的中点，则线段的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，取的中点G，连接，．当时，最短，利用中位线定理可得，，利用三边关系可得的取值范围． 本题主要考查了三角形中位线定理，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，利用三角形中位线定理及三角形三边关系解答． 解：连接，取的中点G，连接，． ∵M是边的中点，G是的中点 ∴是的中位线， ∴； ∵N是的中点，G是的中点 ∴是的中位线， ∴ 在中，由三角形三边关系可知， 即， ∴， 当，即时，四边形是梯形， 故线段长的取值范围是． 故选：B． 4．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，中，，，是的角平分线，是上的中线，过点作于，交于，连结，则线段的长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形中位线的性质， 先根据角平分线的定义得，再根据，可得，进而得，然后根据求出，最后根据三角形中位线的性质得出答案． 解：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，点F是的中点． ∵， ∴， ∵点F是的中点，是上的中线， ∴是的中位线， ∴． 故选：B． 5．（2025·山东聊城·一模）如图，是的中线，是的中点，延长与交于点，若，则的长为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中位线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识得到是关键． 如图所示，取线段的中点，连接，得到，可证，得，则，由此即可求解． 解：如图所示，取线段的中点，连接， ∵是的中线，即点是中点， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A ． 6．（24-25九年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是的中点，若，，则的长（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键． 利用平行四边形的性质结合角平分线的定义推出，再根据三角形中位线定理得，即可求解． 解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ， 是的中点，， 是的中位线， ． 故选：C． 7．（24-25九年级上·广东深圳·期中）在平行四边形中，点为边上的中点，过点作于点，若点为的中点，，，则的长为（   ） A．6 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，则，而，所以，因为为的中点，所以，，则，求得，即可得解，本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 解：解∶取的中点，连接，则， ∵点为的中点，，， ∴， ∴， ∵为的中点，为的中点， ∴， ∴， ∵于点， ∴ ∴， 故选∶． 8．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（   ）    A． B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线性质，熟练掌握三角形的中位线性质是解答的关键．连接交于O，由平行四边形的性质得到，，进而，利用三角形的中位线性质求解即可． 解：接：连接交于O，    ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故选：D． 9．（2025·湖南娄底·一模）如图，点分别是的边的中点．①图中有三个平行四边形；②图中的四个小三角形的形状和大小完全一样；③四边形的周长；④．下列选项中，正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的性质与判定，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．根据三角形的中位线定理，可得，，，，，，得出四边形、四边形、四边形都为平行四边形，可判断①；由平行四边形的性质可得，图中的四个小三角形为全等三角形，可判断②；利用平行四边形的周长公式可判断③；利用中点的定义可判断④，即可得出结论． 解：点分别是的边的中点， ，，，，，， 四边形、四边形、四边形都为平行四边形，故①正确； 图中的四个小三角形为全等三角形，即形状和大小完全一样，故②正确； 四边形为平行四边形， 四边形的周长，故③正确； 点分别是边的中点， ，， ，故④正确； 综上所述，正确的是①②③④． 故选：D． 10．（2023·安徽池州·二模）如图，在中，，，为上任意一点，为的中点，连接在上且，连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据锐角三角函数得到，再利用中位线定理得到，最后根据三点共线的时，的值最小即可解答． 解：取的中点， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当三点共线的时，的值最小 ∴， 故选．    【点拨】本题考查了锐角三角函数，直角三角形的性质，中位线定理，掌握中位线定理是解题的关键． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2025·广西梧州·一模）如图，D、E分别是边的中点，连接．若，，则BD的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，由三角形中位线定理得，证明得出 解：∵D、E分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 故答案为：6． 12．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，在四边形中，，，E，F分别为边，的中点．连接，线段的最大值为 ． 【答案】5 【分析】此题主要考查三角形中位线定理，解题的关键是利用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．取的中点G，连接，，根据三角形中位线性质得出，，根据三角形三边关系可知：，从而得出答案即可． 解：取的中点G，连接，，如图所示： ∵E，F分别为边，的中点， ∴，， 根据三角形三边关系可知：， ∴当、G、F三点共线时，最大，且最大值为． 故答案为：5． 13．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）如图，四边形中，，，，点E、F、G分别是、、的中点，连接，则的长为 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理，三角形中位线定理．利用勾股定理求得，再利用三角形中位线定理求得，即可求解． 解：连接， ∵，，， ∴， ∵点E、G分别是、的中点， ∴， 故答案为：5． 14．（24-25八年级上·重庆垫江·期末）在如图所示的中，点D，E在边上，的平分线于F，的平分线于H，若，，则△ABC的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理．证明，推出，，同理，，得到是的中位线，进一步计算即可求解． 解：∵平分，且， ∴，，， ∴， ∴，， 同理可证，， ∴是的中位线， ∴， ∴的周长为， 故答案为：20． 15．（2023九年级·全国·专题练习）如图，直角三角形的边长，将三角形平移得到三角形，边分别交，于点，当点为中点时，此时，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】9 【分析】根据平移的性质可得，结合三角形的中位线可求解，的长，再利用图形的面积公式计算可求解． 解：由平移可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴即， ∴是的中位线， ∵点是的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查平移的性质，梯形，三角形的中位线，由平移的性质得是解题的关键． 16．（22-23八年级下·广东佛山·阶段练习）如图，是边长为1的等边三角形，分别取边的中点D、E，连接，作得到四边形，它的面积记作；分别取的中点，，连接，作，得到四边形，它的面积记作，…，照此规律作下去，则等于 ．    【答案】 【分析】先根据是等边三角形可求出的高，再根据可求出，进而可得出，找出规律即可得出． 解：∵点D、E是边的中点， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，即点F是边的中点， 连接，则，    ∴， ∴； 同理可得，； … ∴； ∴． 故答案是：． 【点拨】本题考查的是等边三角形的性质及三角形中位线定理，熟知以上知识是解答此题的关键． 17．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片，第1次折叠使点落在边上的点处，折痕交于点；第2次折叠使点落在点处，折痕交于点．若，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，折叠的性质，根据第一次折叠的性质求得和，由第二次折叠得到，，进而得到，易得是的中位线，是的中位线，最后由三角形的中位线定理求解即可． 解：∵已知三角形纸片，第1次折叠使点落在边上的点处，折痕交于点， ∴，． ∵第2次折叠使点落在点处，折痕交于点， ∴，， ∴， ∴． 如图所示，取中点H，连接，则是的中位线， ∴， ∴由平行线的唯一性可知，重合，即点H与点N重合， ∴是的中位线， ∴， 同理可得是的中位线， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：5． 18．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图 1， 对 “三角形中位线定理” 进行拓展思考， 可以提出以下三个命题∶ ①若 ，则 ． ②若 ，则 是 的中位线． ③若 ，则 ． 图 2 是以上命题中某个假命题的反例示意图，则此假命题是 （选填①②③中其一） 【答案】③ 【分析】图2是③的反例示意图，可利用平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质证明命题①和②是真命题．本题考查了命题与定理以及三角形中位线定理，掌握平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 解：图2是③的反例示意图． 真命题为命题①和②， 命题①的证明： 证明：过点作交边于点，连接， 又， 四边形是平行四边形， ，， 又， ， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ，， ，， 命题②的证明如下： 证明：如图，延长至点， 使，连接， 是边的中点， ． 又， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， ， ， 是边的中点， 是的中位线． 故答案为：③． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·全国·课后作业）（1）如图，A，B两点被池塘隔开，A，B，C三点不共线．设，的中点分别为M，N．若米，则（    ） A．4米    B．6米    C．8米    D．10米 （2）拓展设问：若，，则______． 【答案】（1）B；（2） 【分析】此题考查了三角形中位线的性质和判定，平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据中位线的性质求解即可； （2）由中位线的性质得到，求出，然后利用三角形外角的性质求解即可． 解：（1）解：∵点M，N分别是和的中点， ∴是三角形的中位线， ∴（米） 故选：B； （2）解：∵点M，N分别是和的中点， ∴是三角形的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，对角线与相交于点，，点，，分别为的中点，连结． （1）求证：． （2）求证：四边形为平行四边形． 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得出，再利用等腰三角形的三线合一即可得出结论； （2）利用三角形的中位线定理和平行四边形的性质得出且，再根据中点的性质得出且，即可得出结论． 解：（1）解：∵中，，， ∴， ∵是中点， ∴； （2）解：∵点、是、的中点， ∴且， ∵中，， ∴且， ∵点是的中点， ∴且， ∴四边形为平行四边形． 21．（本小题满分10分）（23-24八年级下·河南郑州·期末）在中，点E、F、G、H分别是，，，的中点，连接，，，得到四边形． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）设对角线与的交点为，四边形对角线与的交点为，那么与是同一个点吗？请说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）是，理由见分析 【分析】本题考查中点四边形、平行四边形的判定，三角形中位线，全等三角形的性质和判定．熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． （1）连接，根据三角形的中位线定理证明且，即可证明四边形 是平行四边形； （2）设与的交点为，证明四边形是平行四边形，得到与互相平分，即点O是和的公共中点，再证明点是的中点，点是的中点，从而得到与是同一个点，都是点O． 解：（1）证明：连接， 点、、、分别是，，，的中点， 和分别是和的中位线， ∴且， ∴且， 四边形 是平行四边形； （2）解：与是同一个点， 理由如下：如图所示， 设与的交点为， ∵在中，点E、G、H分别是，，的中点， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分，即点O是和的公共中点． ∵对角线与的交点为，平行四边形对角线与的交点为， ∴点是的中点，点是的中点， ∴与是同一个点，都是点O． 22．（本小题满分10分）（23-24八年级下·河南许昌·期中）请先把下面三角形的中位线定理补充完整，再证明． 三角形的中位线______三角形的第三边，并且______第三边的一半． 已知：如图，在中，D、E分别是边的中点． 求证：，且． 【答案】平行于；等于；证明见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质．延长至F，使，连接，先证明，得，，再证明四边形是平行四边形，可得结论． 解：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 证明：延长至F，使，连接． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，且． 23．（本小题满分10分）（24-25九年级上·北京通州·期末）在中，，于点M，D是线段上的动点（不与点B，C，M重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段． （1）如图1，如果点E在线段上，求证：； （2）如图2，如果D在线段上，在射线上存在点F满足，连接求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质，中位线定理等知识点，掌握相关数学结论即可． （1）由旋转可知：，，进而得；根据，，可得；结合在中， ，即可求证； （2）延长到点N，使，连接可推出，，证 ，即可求证； 解：（1）证明：∵线段绕点D顺时针旋转得到线段． ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， 即； （2）证明：如图，延长到点N，使，连接 ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级上·山西大同·期末）综合与实践 问题呈现： 如图①，在四边形中，，， 求证：平分． 问题解决： 小明在解决问题时发现可以通过构造全等三角形来解决问题，而且他找到了两种“构造”方案： 方案一：如图②，过作于，于； 方案二：如图③，延长至，使． （1）请你选择其中一种“构造”方案，写出完整的证明过程． 思维发散： （2）如图④，在等边中，点是的中点，，与交于点，与交于点，请直接写出，和的数量关系． 【答案】（1）证明过详解；（2），理由见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，中位线的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，构造三角形全等是解题的关键． （1）方案一：先证明，得到，再证明，得到，即可求解； 方案二：证明，得到，则有，即可求解； （2）如图所示，取线段的中点，连接，可得，再证明，得到，即可求解． 解：（1）方案一：如图②，过作于，于， 证明：在四边形中，， ∴， ∵共线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分； 方案二：如图③，延长至，使， 证明：在四边形中，， ∴， ∵点三点共线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2），理由如下， ∵是等边三角形， ∴， ∵点是中点， ∴， 如图所示，取线段的中点，连接， ∴， ∴，， ∴，即是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$