专题6.7 三角形的中位线（3大知识点4大考点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题6.7 三角形的中位线（3大知识点4大考点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点与题型目录】 【知识点1】三角形中位线的定义 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 【知识点2】三角形中位线的定理 定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 【要点提示】 （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 【知识点3】直角三角形斜边上中线定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边一半. 【要点提示】 三角形的中位线，直角三角形斜边上中线定理常常结合在一起进行考查. 知识点与题型目录 【知识点1】利用三角形中位线求解 【题型1】利用三角形的中位线求线段长..........................................2 【题型2】利用三角形的中位线求角度............................................2 【题型3】利用三角形的中位线求面积............................................3 【知识点2】利用三角形中位线证明 【题型4】中点四边形..........................................................4 【题型5】利用三角形中位线进行证明............................................6 【题型6】利用三角形解决三角形的中位线和斜边上中线线..........................6 【知识点3】三角形的中位线的应用 【题型7】三角形中位线的应用..................................................7 【知识点4】链接中考与拓展延伸 【题型8】直通中考............................................................8 【题型9】拓展延伸............................................................9 第二部分【题型展示与方法点拨】 【知识点1】利用三角形中位线求解 【题型1】利用三角形的中位线求线段长 【例1】（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，是外角的平分线，、分别是、中点，连接并延长交于点，连接，求证：． 【变式1】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在中，分别是边的中点，，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形中，，E、F、G分别是的中点，若，则 ． 【题型2】利用三角形的中位线求角度 【例2】（24-25八年级下·甘肃定西·阶段练习）如图，在平行四边形中，点，分别在，上，，连接与对角线相交于点． （1）求证：； （2）连接，为的中点，连接．若，求的长． 【变式1】（2025·海南省直辖县级单位·一模）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，，点，分别是，的中点，若，则四边形的周长是（  ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·广西贵港·期中）如图，在中，点为的中点，连接，，为的三等分点，连接交于点．若，则的长为 ． 【题型3】利用三角形的中位线求面积 【例3】（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，在中，，点是边的中点，点是边上一点，，连接，，延长与交于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，点是中点，求四边形的面积． 【变式1】（2025·江苏泰州·一模）如图，在四边形中，，、、分别是、、的中点，且．若求的面积，只需要知道以下哪条线段的长（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23九年级下·江苏宿迁·自主招生）如图，在中，已知和分别是两边上的中线，并且，，，那么的面积等于 ． 【知识点2】利用三角形中位线证明 【题型4】中点四边形 【例4】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在中，分别是边和上的中线，且相交于点，分别是的中点．求证：四边形是平行四边形． 【变式1】（24-25八年级下·广西贵港·期中）下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是平行四边形．此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接，， ，分别为，的中点， ______ 分别为，的中点， ． 同理： ， 四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁是法国数学家，力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切，并具有一系列重要性质．例如有周长公式：瓦里尼翁平行四边形的周长等于原四边形两条对角线的长度之和． 任务： （1）上述证明过程中的横线上填的内容是：______． （2）如图2，根据周长公式有：瓦里尼翁平行四边形的周长等于两条对角线与的长度之和．请你通过几何推理证明这一结论． （3）已知四边形的对角线与夹角为．请用刻度尺、三角板等工具，画出四边形的对角线、及瓦里尼翁平行四边形，并求的度数． 【变式2】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）【提出问题】 （1）如图，四边形中，对角线，交于点，点，，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，若，求四边形的周长． 【解决问题】 （2）如图，在等边与等边中，点在的延长线上，点在的同侧，连接，点，分别是，的中点，连接，若，，求的长． （3）如图，在等腰与等腰中，，，，，点在的上方，连接，，点，，分别是，，的中点，连接，则的面积为___________． 【题型5】利用三角形中位线进行证明 【例5】（24-25八年级下·上海·期中）如图，在中，E为边上一点，、分别平分、． （1）求证：E为的中点； （2）如果点F为的中点，联结交于点G．写出与满足的数量关系，并说明理由． 【变式1】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）若点、、、分别为四边形 各边的中点，分别连接，，、，则四边形的形状是 ． 【变式2】如图，中，是的中点，在上，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【题型6】利用三角形解决三角形的中位线和斜边上中线 【例6】（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，，为上的中线，点F为中点，点E为上一点，连接． （1）从①；②这两个信息中，选择一个作为条件，另一个作为结论，并证明； 你选择的条件是 ，结论是 ；（填写序号即可） （2）在（1）的条件下，当时，求的度数． 【变式1】（24-25九年级上·福建泉州·期中）若一个三角形一条边上的中线等于与这条边平行的中位线，则这个三角形一定是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【变式2】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，D、E分别是边的中点，是斜边上的中线．若，则 ． 【知识点3】三角形的中位线的应用 【题型7】三角形中位线的应用 【例7】（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，，点D为的中点，E为线段上任意一点，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，过点F作，交直线与点H，请问与的数量关系是怎样的？请说明理由． 【变式1】（2022·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，点，分别从点，同时出发，沿，方向以相同的速度运动（分别运动到点，即停止），与相交于点，与相交于点．则在此运动过程中，线段的长始终等于 ． 【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，，、是边上的两点，且，，点是上的一动点，连接，点是的中点，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【知识点4】链接中考与拓展延伸 【题型8】直通中考 【例1】（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在中，为的中点．若点在边上，且，则的长为（    ）    A．1 B．2 C．1或 D．1或2 【例2】（2023·北京·中考真题）在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．    （1）如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点； （2）如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明． 【题型9】拓展延伸 【例1】（24-25八年级下·浙江·阶段练习）如图，E是平行四边形内一点，且，F，G分别为的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·北京朝阳·期中）如图，已知中，，，点为线段上一点，连接，作射线使得．过点作的垂线交于点，连接，取中点，连接，． （1）依题意补全图形，并证明； （2）判断的形状，并证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.7 三角形的中位线（3大知识点4大考点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】三角形中位线的定义 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 【知识点2】三角形中位线的定理 定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 【要点提示】 （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 【知识点3】直角三角形斜边上中线定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边一半. 【要点提示】 三角形的中位线，直角三角形斜边上中线定理常常结合在一起进行考查. 知识点与题型目录 【知识点1】利用三角形中位线求解 【题型1】利用三角形的中位线求线段长..........................................2 【题型2】利用三角形的中位线求角度............................................4 【题型3】利用三角形的中位线求面积............................................7 【知识点2】利用三角形中位线证明 【题型4】中点四边形.........................................................11 【题型5】利用三角形中位线进行证明...........................................17 【题型6】利用三角形解决三角形的中位线和斜边上中线线.........................21 【知识点3】三角形的中位线的应用 【题型7】三角形中位线的应用.................................................24 【知识点4】链接中考与拓展延伸 【题型8】直通中考...........................................................27 【题型9】拓展延伸...........................................................30 第二部分【题型展示与方法点拨】 【知识点1】利用三角形中位线求解 【题型1】利用三角形的中位线求线段长 【例1】（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，是外角的平分线，、分别是、中点，连接并延长交于点，连接，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查角平分线的定义、等腰三角形的性质与判定及三角形中位线，熟练掌握角平分线的定义、等腰三角形的性质与判定及三角形中位线是解题的关键；由题意易得，，则有，然后可得，进而可得，最后问题可求证． 解：证明：∵、分别是、中点， ∴， ∴， ∵是外角的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在中，分别是边的中点，，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和性质，中位线的判定与性质，先运用三角形内角和列式计算得，再结合分别是边的中点，证明是的中位线，所以，即可作答． 解：∵， ∴， ∵分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形中，，E、F、G分别是的中点，若，则 ． 【答案】/度 【分析】根据三角形中位线定理结合得出，再结合，即可推出结果． 本题考查了三角形中位线定理，熟记三角形中位线定理是解题的关键． 解：、F、G分别是的中点， 是的中位线，是的中位线， ，， 又， ， ， 又， ， 故答案为： 【题型2】利用三角形的中位线求角度 【例2】（24-25八年级下·甘肃定西·阶段练习）如图，在平行四边形中，点，分别在，上，，连接与对角线相交于点． （1）求证：； （2）连接，为的中点，连接．若，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）4 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形中位线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； （1）根据四边形是平行四边形，得到，从而证明，进而得证； （2）根据三角形的中位线，即可求解； 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ∴， ， ， 在和中， ，，， ， ； （2）解：∵点为的中点，， 是的中位线， ， ． 【变式1】（2025·海南省直辖县级单位·一模）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，，点，分别是，的中点，若，则四边形的周长是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了作图−基本作图，角平分线的定义，等角对等边，平行四边形的性质，先由作图知平分，然后利用平行四边形的性质和等腰三角形的判定证出，再由中位线的性质和平行四边形的性质可得，进而根据已知得出，进而求得平行四边形的周长． 解：由作图知平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴ ∵ ∴ ∴平行四边形的周长， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·广西贵港·期中）如图，在中，点为的中点，连接，，为的三等分点，连接交于点．若，则的长为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了中位线的定义和性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造平行四边形是解题的关键． 根据三等分点可得E、F分别是线段的中点可得且， 如图：过D作，则四边形是平行四边形可得、，再证明可得，再根据三角形中位线的性质可得，最后根据线段的和差即可解答． 解：∵ E、F是的三等分点， ∴，即点F是的中点，点E是的中点， ∵D是的中点， ∴是的中位线， ∴且， 如图：过D作，则四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：9． 【题型3】利用三角形的中位线求面积 【例3】（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，在中，，点是边的中点，点是边上一点，，连接，，延长与交于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，点是中点，求四边形的面积． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）证明得，再结合，即可得证； （2）根据中位线定理求出，；再根据勾股定理求出，最后根据求解即可． 解：（1）证明：点是边的中点， ， ， ， 在和中，， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：点是中点，点是边的中点， 是的中位线， ，， ，； ， ， 又， ，， ． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，中位线定理，含的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． 【变式1】（2025·江苏泰州·一模）如图，在四边形中，，、、分别是、、的中点，且．若求的面积，只需要知道以下哪条线段的长（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 根据三角形中位线定理得到，，从而得到为等腰三角形，根据三角形的面积公式解答即可． 解：过点作于点， 为直角三角形， ， 、分别是、的中点， ， 、分别是、的中点， ， ， ， 为等腰三角形， ，， ， 则的面积， 的面积与线段的长有关， 故选：C． 【变式2】（22-23九年级下·江苏宿迁·自主招生）如图，在中，已知和分别是两边上的中线，并且，，，那么的面积等于 ． 【答案】16 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，三角形中线的性质，平行四边形的判定及性质，根据题意作出辅助线，构造出平行四边形是解答此题的关键． 连接，过点作，交的延长线于点．根据中位线的性质，，，从而得到四边形是平行四边形，求得，进而求得，由可得到，最后根据三角形中线的性质即可得出的面积． 解：连接，过点作，交的延长线于点． ∵和分别是两边上的中线 ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴ 故答案为：16 【知识点2】利用三角形中位线证明 【题型4】中点四边形 【例4】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在中，分别是边和上的中线，且相交于点，分别是的中点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质，熟练掌握三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质是解题的关键．根据三角形的中位线定理可得，且，，且，从而得到，且，进而得到四边形是平行四边形，即可求证． 解：证明：分别是边和上的中线， ∴点，分别是边，的中点， ∵点，分别是线段，的中点． 是的中位线，是的中位线， ∴，且，，且， ∴，且， 四边形是平行四边形， 【变式1】（24-25八年级下·广西贵港·期中）下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是平行四边形．此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接，， ，分别为，的中点， ______ 分别为，的中点， ． 同理： ， 四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁是法国数学家，力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切，并具有一系列重要性质．例如有周长公式：瓦里尼翁平行四边形的周长等于原四边形两条对角线的长度之和． 任务： （1）上述证明过程中的横线上填的内容是：______． （2）如图2，根据周长公式有：瓦里尼翁平行四边形的周长等于两条对角线与的长度之和．请你通过几何推理证明这一结论． （3）已知四边形的对角线与夹角为．请用刻度尺、三角板等工具，画出四边形的对角线、及瓦里尼翁平行四边形，并求的度数． 【答案】（1）（三角形的中位线定理）；（2）见分析；（3）的度数为或 【分析】（1）根据三角形的中位线定理、两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得； （2）根据三角形的中位线定理可得，，由此即可得； （3）根据题意画出图形（见分析），先根据三角形的中位线定理可得，，再根据平行线的性质求解即可得． 解：（1）证明：如图2，连接， 分别为的中点， ．（三角形的中位线定理） 分别为的中点， ． ， 同理：， 四边形是平行四边形． 故答案为：（三角形的中位线定理）． （2）证明：分别为的中点， ∴． 分别为的中点， ∴． ∴， 同理：， ∴瓦里尼翁平行四边形的周长为： ． （3）解：由题意，画出图形如下： ①如图1，当时， 分别为的中点， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴； ②如图2，当时，则， 分别为的中点， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴； 综上，瓦里尼翁平行四边形中的度数为或． 【点拨】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、平行线的性质，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键． 【变式2】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）【提出问题】 （1）如图，四边形中，对角线，交于点，点，，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，若，求四边形的周长． 【解决问题】 （2）如图，在等边与等边中，点在的延长线上，点在的同侧，连接，点，分别是，的中点，连接，若，，求的长． （3）如图，在等腰与等腰中，，，，，点在的上方，连接，，点，，分别是，，的中点，连接，则的面积为___________． 【答案】（）四边形的周长为；（）；（）． 【分析】（）根据中位线定理即可求解； （）连接，取中点，连接，过作，交延长线于点，由等边三角形的性质可得，，，再根据中位线定理可得，，，，然后求出，则，根据所对直角边是斜边的一半得到，最后由勾股定理即可求解； （）连接，与交于点，交于点，交于点，过作交延长线于点，由中位线定理可得，，，，则四边形是平行四边形，故有，再证明，得，，则有是等腰三角形，在根据三角形内角和定理，通过勾股定理得出，，然后过作于点，则，根据直角三角形的性质和面积公式即可求解． 解：（）∵点，，，，分别是边，，，的中点， ∴，， ∴四边形的周长为； （）如图，连接，取中点，连接，过作，交延长线于点， ∵，是等边三角形， ∴，，， ∵点，分别是，的中点， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴； （）如图，连接，与交于点，交于点，交于点，过作交延长线于点， ∵点，，分别是，，的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴，是等腰三角形， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 如图，过作于点，则， ∵， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，中位线定理，等腰三角形的判定与性质，所对直角边是斜边的一半，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【题型5】利用三角形中位线进行证明 【例5】（24-25八年级下·上海·期中）如图，在中，E为边上一点，、分别平分、． （1）求证：E为的中点； （2）如果点F为的中点，联结交于点G．写出与满足的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2），理由见分析． 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定， 三角形中位线的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）如图，由得到，， 即，又由角平分线得到，从而，即可得到．同理得，即可得证； （2）取的中点H，联结．根据中位线的性质得到，，从而推出，即可证明，得到，进而推出． 解：（1）证明：如图，    ∵四边形是平行四边形， ，， ． 平分， ， ， ． 同理得． ， ，即E为的中点． （2）解：． 取的中点H，联结．   、H分别是、的中点， 是的中位线， ∴，． 是CD中点， ， ， ． ∵，， ∴， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， ∵点H是的中点， ∴， ∴． 【变式1】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）若点、、、分别为四边形 各边的中点，分别连接，，、，则四边形的形状是 ． 【答案】平行四边形 【分析】本题考查平行四边形的判定，连接，根据三角形中位线定理得，，，，继而得到，，可得结论．解题的关键是熟练应用三角形中位线定理． 解：四边形是平行四边形． 理由：连接，如图， ∵点、分别是、的中点， ∴，， ∵点、分别是、的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：平行四边形． 【变式2】如图，中，是的中点，在上，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、平行线的性质等知识，解题关键是正确作出辅助线，熟练掌握相关知识并灵活运用．在上取点，使得，连接，易得为的中位线，所以，再证明为等腰三角形，可得，然后由可得答案． 解：如图，在上取点，使得，连接， 则， ∵是的中点，， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【题型6】利用三角形解决三角形的中位线和斜边上中线 【例6】（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，，为上的中线，点F为中点，点E为上一点，连接． （1）从①；②这两个信息中，选择一个作为条件，另一个作为结论，并证明； 你选择的条件是 ，结论是 ；（填写序号即可） （2）在（1）的条件下，当时，求的度数． 【答案】（1）条件为①，结论为②，证明见分析；条件为②，结论为①，证明见分析 （2） 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形中位线定理，直角三角形的性质，熟知等腰三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）条件为①，结论为②，由三线合一定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得；条件为②，结论为①，由三线合一定理直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证明，再根据等边对等角和三角形内角和定理证明，即可证明结论； （2）证明为的中位线，得到，则，再根据等边对等角和三角形内角和定理即可求出答案． 解：（1）解：条件为①，结论为②，证明如下： ∵，为上的中线， ∴， ∵，点F为中点， ∴， ∴； 条件为②，结论为①，证明如下： ∵，为上的中线， ∴， ∵点F为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （2）解：由（1）可得， ∵为上的中线，点F为中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（24-25九年级上·福建泉州·期中）若一个三角形一条边上的中线等于与这条边平行的中位线，则这个三角形一定是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查三角形的中位线定理，等腰三角形的判定和性质，根据题意，画出图形，证明三角形为直角三角形即可得． 解：如图，为的中位线，为的中线，且， ∴ ∴，， ∵， 即， ∴，即． ∴是直角三角形． 故选D． 【变式2】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，D、E分别是边的中点，是斜边上的中线．若，则 ． 【答案】3 【分析】该题主要考查了直角三角形的性质和三角形的中位线定理，熟记：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的中位线等于第三边的一半”是解答本题的关键． 由已知条件易得是斜边上的中线，是的中位线，由此可得，从而可得． 解：∵是直角三角形，是斜边上的中线， ∴． ∵D、E分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 故答案为：3． 【知识点3】三角形的中位线的应用 【题型7】三角形中位线的应用 【例7】（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，，点D为的中点，E为线段上任意一点，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，过点F作，交直线与点H，请问与的数量关系是怎样的？请说明理由． 【答案】，理由见分析 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．延长交于点G，易得，再说明为的中位线可得，进而得到与都是等腰直角三角形，然后再证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论． 解：与的数量关系是：．理由如下： 如图：延长交于点G， 由题意，知，， ∴， 又∵点D为的中点， ∴点G为的中点，且， ∴为的中位线， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∵，， ∴， ， ∴． ∵与都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2022·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，点，分别从点，同时出发，沿，方向以相同的速度运动（分别运动到点，即停止），与相交于点，与相交于点．则在此运动过程中，线段的长始终等于 ． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质得出，，得出四边形和四边形都是平行四边形，则，，由三角形中位线定理可得出答案． 解：四边形是平行四边形， ，， 点，分别从点A，同时出发，沿，方向以相同的速度运动， ， ， 四边形和四边形都是平行四边形， ，， ， ， ． 故答案为：． 【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，证明四边形和四边形是平行四边形是解题的关键． 【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，，、是边上的两点，且，，点是上的一动点，连接，点是的中点，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在上取点，使，进而得出为的中位线，将的最小值转化为的最小值，最后根据垂线段最短即可解决问题． 解：在上取点，使，连接，如图所示， ∵点为的中点，点为的中点， ∴是的中位线， ∴． 过点作的垂线，垂足为， 则当点在点处时，取得最小值，即为的长． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴MN， 则的最小值为， ∴的最小值为． 故选：B． 【点拨】本题考查了三角形中位线的应用，直角三角形两锐角互余，含度角的直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等，熟练掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 【知识点4】链接中考与拓展延伸 【题型8】直通中考 【例1】（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在中，为的中点．若点在边上，且，则的长为（    ）    A．1 B．2 C．1或 D．1或2 【答案】D 【分析】根据题意易得，然后根据题意可进行求解． 解：∵， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴， ①当点E为的中点时，如图，    ∴， ②当点E为的四等分点时，如图所示：    ∴， 综上所述：或2； 故选D． 【点拨】本题主要考查含30度直角三角形的性质及三角形中位线，熟练掌握含30度直角三角形的性质及三角形中位线是解题的关键． 【例2】（2023·北京·中考真题）在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．    （1）如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点； （2）如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明． 【答案】（1）见分析；（2），证明见分析 【分析】（1）由旋转的性质得，，利用三角形外角的性质求出，可得，等量代换得到即可； （2）延长到H使，连接，，可得是的中位线，然后求出，设，，求出，证明，得到，再根据等腰三角形三线合一证明即可． 解：（1）证明：由旋转的性质得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即D是的中点； （2）； 证明：如图2，延长到H使，连接，， ∵， ∴是的中位线， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∴， ∵， ∴，是等腰三角形， ∴，， 设，，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴，即．    【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． 【题型9】拓展延伸 【例1】（24-25八年级下·浙江·阶段练习）如图，E是平行四边形内一点，且，F，G分别为的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，取的中点，连接，延长交于点，易得，三线合一，得到，证明四边形为平行四边形，得到，进而得到，利用三角形的外角，进行求解即可．解题的关键是构造三角形的中位线和平行四边形． 解：取的中点，连接，延长交于点， ∵为的中点， ∴， ∵平行四边形，为的中点， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴； 故选C． 【例2】（24-25九年级上·北京朝阳·期中）如图，已知中，，，点为线段上一点，连接，作射线使得．过点作的垂线交于点，连接，取中点，连接，． （1）依题意补全图形，并证明； （2）判断的形状，并证明． 【答案】（1）见分析；（2）为等腰三角形，证明见分析 【分析】本题考查作图复杂作图，考查等腰三角形的判定与性质，中位线的性质，全等三角形的判定和性质，解题时作出正确辅助线是关键． （1）依据题意，读懂题意即可作图；依据题意，由，，从而，又，进而可以判断得解； （2）依据题意，延长到点，使得，连接，，延长到点，使得，连接，．由是中点，从而，，又，从而，可得，同理可得，，进而可得，证得，故即可判断得解； 解：（1）证明：补全图形如图． ，， ． ， ， ，即； （2）解：为等腰三角形，． 理由：延长到点，使得，连接，，延长到点，使得，连接，， 是中点， ，， 由题意，，， ， ， 同理可得，， ， ， ， ， ， ． 为等腰三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$