专题5.10 分式与分式方程（4大知识点5大考点15类题型）（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题5.10 分式与分式方程（4大知识点5大考点15类题型） （知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】分式的有关概念及性质 1．分式 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 【要点提示】分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义. 2. 分式的基本性质 　　 3．最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 【知识点2】分式的运算 1．约分　 利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 2．通分 利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．　　 3．基本运算法则 　 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算 ； 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. 异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. （2）乘法运算 ，其中是整式，. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 ，其中是整式，. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘. 分式的乘方，把分子、分母分别乘方。 4.分式的混合运算顺序 　先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的. 【知识点3】分式方程 1．分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法 解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程． 3．分式方程的增根问题 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根. 【要点提示】因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解. 【知识点4】分式方程的应用 　　列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解. 知识点与题型目录 【考点一】夯实基本概念 【题型1】分式的意义与分式的值...............................................3 【题型2】分式的基本性质.....................................................5 【题型3】最简分式与约分.....................................................7 【考点二】运算与化简娴熟精通 【题型4】最简公分母.........................................................9 【题型5】约分与通分........................................................11 【题型6】分式的乘除运算....................................................12 【题型7】分式的加减运算....................................................14 【题型8】分式的加减乘除混合运算............................................16 【题型9】分式的化简求值....................................................18 【考点三】分式方程运算与概念的精准透析 【题型10】解分式方程.......................................................20 【题型11】分式方程的增根与无解.............................................22 【题型12】根据分式方程解的情况求参数取值范围...............................23 【知识点四】分式方程的应用 【题型13】列分式方程解应用题...............................................26 【知识点五】直通中考与拓展延伸 【题型14】直通中考.........................................................28 【题型15】拓展延伸.........................................................30 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】夯实基本概念 【题型1】分式的意义与分式的值 【例1】（2025七年级下·全国·专题练习）（1）若分式的值为0，分式无意义，求的值； （2）对于分式，当时，分式无意义；当时，分式的值为0．求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件和分式值为0的条件，熟练掌握掌握分式无意义的条件：分母为0；分式值为0的条件：分母不为0，分子等于0是解题的关键． （1）根据分式无意义的条件和分式值为0的条件得到得且，，解之得到、，再代入求解即可； （2）根据分式无意义的条件和分式值为0的条件得到得，，解之得到、，再代入求解即可． 解：（1）由题意，得且，， ∴且，， 解得，， 则． （2）当时，分式无意义， ，解得． 当时，分式的值为0， ，解得， ． 【变式1】（24-25八年级下·安徽芜湖·阶段练习）若代数式在实数范围内有意义，则的值可以是（    ） A．0 B．2 C．5 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题关键．根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，可知，且，然后逐项分析判断即可． 解：若代数式在实数范围内有意义，则有，且， A.当时，，故本选项不符合题意； B. 当时，，故本选项符合题意； C. 当时，，故本选项不符合题意； D. 当时，，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式2】（22-23八年级下·河南洛阳·期末）已知实数满足并且，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是已知条件式求解分式的值，由条件可得，，，可得，结合，从而可得答案． 解：∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（2025八年级下·全国·专题练习）当x 时，分式有意义；当x 时，分式没有意义． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义和没有意义，由于分式有意义，则；由于分式没有意义，故． 解：当时，分式有意义， 所以； 当时，分式没有意义． 所以． 故答案为：；． 【题型2】分式的基本性质 【例2】（22-23八年级下·湖南湘西·期中）如图，在中，，，，；斜边上的高．求证：．    【答案】见分析 【分析】根据面积法得到，变形得到，则，再根据勾股定理得出，代入化简即可． 解：证明：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴．    【点拨】本题考查了三角形的面积，勾股定理，分式的基本性质，解题的关键是利用面积法得出． 【变式1】（24-25八年级下·福建泉州·阶段练习）若把分式中的和都扩大到原来的倍，那么分式的值（　　） A．缩小倍 B．扩大倍 C．缩小 D．不变 【答案】C 【分析】本题考查分式的化简，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 运用分式的基本性质，对分子分母约分处理． 解：， 故选：C 【变式2】（23-24八年级上·山东滨州·期末）阅读下面的材料，并解答问题： 分式的最大值是多少？ 解：， 因为，所以的最小值是2，所以的最大值是2， 所以的最大值是4，即的最大值是4． 根据上述方法，试求分式的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的性质及有理数的乘方，先利用分式的性质化简，再根据有理数的乘方的符号规律可得的最大值为，进而可求解，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 解：， ， 的最小值为， 的最大值为， 的最小值为， 即的最小值是， 故答案为：． 【题型3】最简分式与约分 【例3】（2023·广东广州·中考真题）已知，代数式：，，． （1）因式分解A； （2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可； （2）将选取的代数式组成分式，分子分母进行因式分解，再约分即可． 解：（1）解：； （2）解：①当选择A、B时： ， ； ②当选择A、C时： ， ； ③当选择B、C时： ， ． 【点拨】本题主要考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是掌握因式分解的方法和步骤，以及分式化简的方法． 【变式1】（22-23八年级下·陕西西安·期中）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，是“和谐分式”的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据和谐分式的定义去判断即可． 解：A. ，不符合要求； B. ，无法因式分解，不符合要求； C. ，符合题意；     D. ，不符合要求； 故选C． 【点拨】本题考查了分式的新定义问题，熟练掌握定义是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）判断下列约分是否正确，如果正确，在括号内打“”；如果不正确，把正确答案写在括号内． （1）；（ ）       （2）；（ ） （3）；（ ）        （4）．（ ） 【答案】 【分析】本题考查了分式约分，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）分子分母同时约去公因式，可得，即可判断错误． （2）根据，可对原式中的分子分母同时约去公因式，即可判断错误． （3）对分子中的提公因式，提出，再对原式中的分子分母同时约去公因式，即可判断正确． （4）先对分子去括号，合并同类项，再和分母同时约去公因式，即可判断错误． 解：（1）∵， ∴错误； （2）∵， ∴错误； （3）∵， ∴正确； （4）∵， ∴错误． 故答案为：；；；． 【考点二】运算与化简娴熟精通 【题型4】最简公分母 【例4】（24-25八年级下·全国·课后作业）直接写出下列各组分式的最简公分母： （1）；__________ （2）；__________ （3）；__________ （4）；__________ （5）．__________ 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） 【分析】本题考查了最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解答本题的关键．确定最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． （1）（2）（3）（4）（5）根据最简公分母的定义求解即可． 解：（1）的最简公分母． 故答案为：； （2）的最简公分母． 故答案为：； （3）的最简公分母． 故答案为：； （4）的最简公分母． 故答案为：； （5）的最简公分母． 故答案为：． 【变式1】（21-22八年级上·河南三门峡·期末）的最简公分母是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定最简公分母的一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积，②如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母． 解：的最简公分母为：． 故选：D． 【点拨】本题考查了最简公分母，掌握求最简公分母的方法是解题的关键． 【变式2】（2024·辽宁盘锦·三模）在解分式方程：的过程中，去分母时，需方程两边都乘以最简公分母 ． 【答案】 【分析】本题考查最简公分母的知识，先把分母和因式分解，即可求得分式的最简公分母，熟练解分式方程是解题的关键． 解：，， 分式和的最简公分母为， 去分母时，需方程两边都乘以最简公分母． 故答案为：． 【题型5】约分与通分 【例5】（2024八年级上·黑龙江·专题练习） （1）约分：； （2）通分：． 【答案】（1）．（2）， 【分析】本题考查了分式的性质，分式化简，平方差公式，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用平方差公式，完全平方公式整理，再结合分式的性质进行化简，即可作答． （2）先得，故它们的最简公分母是，再结合分式的性质进行整理，即可作答． 解：（1）． （2）依题意，， 则它们的最简公分母是， ∴，． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）对分式通分以后，的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了通分，掌握通分的定义即通分：将异分母分式转化成同分母的分式是解题的关键． 根据通分的定义就是将异分母分式转化成同分母的分式，即可得出答案． 解：∵分式的最简公分母是， ∴通分以后， 故选：B． 【变式2】（2024八年级上·全国·专题练习）已知，，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则，分别把已知的三个等式的分子分母倒过来，然后利用分式的性质化简，最后把所求分式也倒过来即可求解． 解：因为，，， 所以①，②，③， 得， 通分可得， 所以， 所以． 故答案为：． 【题型6】分式的乘除运算 【例6】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（）根据分式的乘法法则计算即可； （）根据分式的除法法则计算即可； 本题考查了分式的乘除运算，掌握分式的乘除运算法则是解题的关键． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据分式的乘法和分式的乘方计算法则逐项计算即可． 解：A．，原式计算正确，故本选项符合题意； B． ，原式计算错误，故本选项不符合题意； C．，原式计算错误，故本选项不符合题意； D．，原式计算错误，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·山东滨州·期末）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的乘除法，积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式先计算乘方运算，再计算乘除运算即可求出值． 解： ； 故答案为：． 【题型7】分式的加减运算 【例7】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） ； （2） ； （3） ；（4） 【分析】本题考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键； （1）-（4）先通分，然后按照分式加减法则计算即可； 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式1】（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知分式，，当a大于5时，P与Q的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】计算分式加法可得，当a大于5时，，从而可得P与Q的大小关系． 解： 当a大于5时， 故选：A 【点拨】本题考查了分式的加减法，熟练掌握是解题的关键． 【变式2】（2024·山东滨州·二模）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的就应用了黄金分割数．设，，记，，……，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数式的变化规律，从题目中找出式子间的变化规律是解题的关键． 根据题意可得：，利用分式的加减法求出各的值后，相加即可． 解：∵ ∴，， ， ∴； 故答案为：． 【题型8】分式的加减乘除混合运算 【例8】（24-25八年级下·重庆·期中）分式化简： （1） （2） 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了分式的混合运算，平方差公式，完全平方公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）先算括号内的，再算分式的乘法即可； （2）先算括号内的，再把除法变成乘法计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25八年级上·山东淄博·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的加减法及乘法，先分别计算括号内加减法，再计算乘法即可． 解： ， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）填空题： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）先通分计算括号内，除法变乘法，进行约分化简即可； （2）除法变乘法，约分后，再通分进行计算即可． 解：（1）原式； 故答案为：； （2）； 故答案为：． 【题型9】分式的化简求值 【例9】（2025·陕西西安·模拟预测）先化简，再从，1，2中选取一个适合的数代入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式有意义的条件确定a的值并代值计算即可得到答案． 解： ， ∵分式要有意义， ∴， ∴且， ∴当时，原式． 【变式1】（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）若，则代数式的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求分式化简求值，掌握运算法则是具体的关键． 先根据分式的混合运算进行计算，然后将代入，即可求解． 解： ∵ ∴原式， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·湖南永州·期中）如果，那么代数式的值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握运算法则和正确计算是解题的关键． 先将括号里通分，进行加法计算，再进行分式乘法运算，再把分子分解后约分得到，最后利用进行整体代入计算即可． 解：原式= ∵ ∴ ∴原式， 故选：B． 【考点三】分式方程运算与概念的精准透析 【题型10】解分式方程 【例10】（2025八年级下·全国·专题练习）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）无解 （2） 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法步骤是解题的关键． （1）根据解分式方程的方法步骤（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验，）求解，即可解题； （2）解题方法与（1）类似． 解：（1）解： 化为整式方程得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验：把代入， ∴是原方程的增根，原方程无解； （2）解： 化为整式方程得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 检验：把代入， ∴是原方程的解． 【变式1】（2025八年级下·全国·专题练习）解方程： （1） （2） 【答案】（1）；（2）无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的关键是将分式方程化成整式方程，最后的检验是解题的易错点． （1）先通过去分母将分式方程化成整式方程，然后再检验即可解答； （2）先通过去分母将分式方程化成整式方程，然后再检验即可解答． 解：（1）解：， ， ， ， ， 检验，当时，， 所以该分式方程的解为：； （2）解：， ， ， 检验，当时，， 所以该分式方程无解． 【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）无解 【分析】本题考查了解分式方程，熟知分式方程需检验是解题的关键． （1）先将分式方程化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解； （2）先将分式方程化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解． 解：（1）解：， ∴， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． （2）解：， ∴， 解得：， 经检验，增根， ∴原方程无解． 【题型11】分式方程的增根与无解 【例11】（23-24七年级下·浙江宁波·期末）若分式方程有增根，且方程无解． （1）方程的增根是　　　　； （2）求出分式方程中“？”所代表的数． 【答案】（1）；；（2）． 【分析】（）根据分式方程增根的定义即可得出答案； （）将分式方程去分母得到整式方程，再把代入计算即可； 本题考查了分式方程的增根，理解分式方程增根的定义，掌握分式方程的解法是正确解题的关键． 解：（1）由分式方程增根的定义可知，这个分式方程的增根是， 故答案为：； （2）将关于的分式方程的两边都乘以， 得：， 把代入得，． 【变式1】（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）如果关于的分式方程有增根，那么增根可能是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的增根，先把分式方程转化为整式方程，再根据分式方程有增根可得整式方程的解为或，进而代入整式方程即可判断求解，理解增根的定义是解题的关键． 解：方程两边乘以得，， 整理得，， ∵分式方程有增根， ∴整式方程的解为或， 当时，； 当时，不是整式方程的解； ∴分式方程的增根可能是， 故选：． 【变式2】（24-25九年级下·重庆北碚·阶段练习）如果关于y的分式方程的解为负整数，且关于y的一元一次不等式组无解，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查含参数分式方程和含参数一元一次不等式组的解的问题，注意分式方程取增根的情况及明确不等式组解集的取法是解题的关键．分别解分式方程和不等式组，从而得出的范围，从而得整数的取值，进而得所有满足条件的整数的值之和． 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵整数a使关于的一元一次不等式组无解， ∴，即：， ， 去分母得：， 解得：， ∵分式方程的解为负整数，且， ∴且且 为奇数， ∴的值可以为，，1， 故所有满足条件的整数a的值之和为， 故答案为：． 【题型12】根据分式方程解的情况求参数取值范围 【例12】（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）已知关于的分式方程． （1）若方程的解为，求的值． （2）若方程的解为非负数，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）且 【分析】本题主要考查解分式方程和一元一次不等式，解题的关键是注意分式方程隐含的分母不为零． （1）把方程的解代入方程求解即可； （2）根据分式方程的求解方法，注意分母不为零，且解为非负数的条件． 解：（1）解：当时，， 解得． （2）解：， 去分母得， 解得， 分式方程有解且解为非负数，且， 且， 解得且． 【变式1】（24-25八年级下·山东济南·期中）若关于的分式方程的解为正数，则满足条件的正整数的值为（    ） A．1，2，3 B．1，2 C．1，3，4 D．1，3 【答案】D 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的范围，求不等式组的整数解，先求出分式方程的解，根据方程的解为正数，且分式有意义，得到关于的不等式组，进行求解即可． 解：解方程，得：， ∵方程的解为正数，且， ∴，解得：且， ∴满足条件的正整数的值为1，3； 故选D． 【变式2】（24-25八年级下·江苏南京·期中）若关于的一元一次不等式组有且最多有3个偶数解，关于的分式方程有整数解，则所有符合条件的整数的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组，分式方程的解，一元一次不等式的整数解，掌握相应的运算法则是关键． 首先分别解一元一次不等式组及分式方程，再根据一元一次不等式组有且最多有个偶数解及分式方程有整数解即可解答． 解： 由可得：； 由可得：； 即； ∵不等式组有且最多有个偶数解， ， ， 解得：， 故整数解为：，， 关于的分式方程有整数解， 将整理为： 解得：； ， 故 为的倍数， 当时，，满足题意； 当时，，不满足题意； 当时，，不满足题意； 故所有符合条件的整数的和是； 故答案为： 【知识点四】分式方程的应用 【题型13】列分式方程解应用题 【例13】（24-25八年级下·山东济南·期中）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2500元购买航空模型的数量是用2400元购买航海模型数量的． （1）求航空和航海模型的单价； （2）学校采购时恰逢该商场促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 【答案】（1）航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元；（2）当购买航空模型40个，航海模型80个时，学校花费最少 【分析】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出方程、不等式、函数关系式是解题的关键． （1）设航海模型的单价为元，则航空模型的单价为元，根据题意列出方程，解出的值即可解答； （2）设购买航空模型个，花费为元，则购买航海模型个，根据题意列出不等式，解出的范围，再根据题意列出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质求解即可． 解：（1）解：设航海模型的单价为元，则航空模型的单价为元， 由题意得，， 解得：， 经检验，是方程的解且符合题意， 则， 答：航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元． （2）解：设购买航空模型个，花费为元，则购买航海模型个， 由题意得，， 解得：， 由题意得，， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值，最小值为， 此时， 答：当购买航空模型40个，航海模型80个时，学校花费最少． 【变式1】（24-25八年级上·山东泰安·期末）《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍；求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，首先设规定时间为天，则快马所需的时间为天，慢马所需的时间为天，由题意得等量关系：慢马速度快马速度，根据等量关系，可得方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 解：设规定时间为天，则快马所需的时间为天，慢马所需的时间为天，由题意得： ， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·北京顺义·阶段练习）数学的美无处不在，数学家们研究发现：弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于琴弦的长度，如三根琴弦长度之比为，用同样的力度弹拨琴弦，它们就能发出很和谐的乐音，因此我们称15，12，10这三个数为一组调和数．现有三个数：5，3，x，若要组成一组调和数，则x的值为 ． 【答案】15或或 【分析】本题考查分式方程，根据题意分3种情况讨论，然后分别列出方程求解即可． 解：分三种情况： 当时，x，5，3这三个数为一组调和数， ， 解得， 经检验，是原方程的根； 当时，5，x，3这三个数为一组调和数， ， 解得， 经检验，是原方程的根； 当时，5，3，x这三个数为一组调和数， ， 解得， 经检验，是原方程的根； 综上所述，或或， 故答案为：15或或． 【知识点五】直通中考与拓展延伸 【题型14】直通中考 【例1】（2024·山东日照·中考真题）（1）解不等式组 （2）先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】（1）   （2）； 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，分式的化简求值，解题的关键是： （1）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可； （2）根据分式混合运算规则进行化简，得，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算即可． 解：（1） 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集． （2）原式 ． 当时，， 原式 【例2】（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 （1）问题一：求出两种书架的单价； （2）问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； （3）问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 【答案】（1）1200元；1000元；（2）；购买A种书架8个，B种书架12个；（3）120 【分析】本题考查运用分式方程，一次函数，一元一次方程解决实际问题． （1）设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元，用18000元购买A种书架个，用9000元购买B种书架个，根据素材二即可列出方程，求解并检验即可解答； （2）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用即可列出函数，根据资料三求出自变量a的取值范围，再根据一次函数的增减性即可求出总费用的最小值； （3）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用列出一元一次方程，求解即可解答． 解：（1）解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元． 由题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ． 答：两种书架的单价分别为1200元，1000元． （2）解：购买a个A种书架时，购买总费用， 即， 由题意得，a应满足：，解得． ， ∴w随着a的增大而增大， 当时，w的值最小，最小值为， 费用最少时购买A种书架8个，B种书架12个． （3）解：由题意得 ， 解得． 【题型15】拓展延伸 【例1】（24-25九年级下·重庆开州·阶段练习）宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某公司推出了A、B两款人形机器人． （1）已知该公司生产5件A款人形机器人和生产6件B款人形机器人的成本相同；每件A款人形机器人的成本比每件B款人形机器人的成本多2万元．该公司生产的A款人形机器人和B款人形机器人每件的成本各是多少万元？ （2）如果该公司把这两种人形机器人在网上进行预约销售，并且每件B款人形机器人的售价比每件A款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为600万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出10件．则该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是多少万元？ 【答案】（1）12万元，10万元；（2）15万元 【分析】（1）设A款机器人价格为ｘ万元，则B款机器人价格为万元，根据题意，得，解方程即可． （2）设A款机器人销售价格为ｘ万元，则B款机器人销售价格为万元，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，正确掌握方程的应用是解题的关键． 解：（1）解：设A款机器人价格为ｘ万元，则B款机器人价格为万元，根据题意，得， 解得， ∴， 答：A款机器人价格为12万元，B款机器人价格为万元． （2）解：设A款机器人销售价格为ｘ万元，则B款机器人销售价格为万元，根据题意，得， 解得． 答：该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是15万元． 【例2】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． （1）填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） （2）已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； （3）若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值． 【答案】（1）是；（2）①；②A的值为1或3或4；（3） 【分析】（1）根据“友好分式”的定义进行判断即可； （2）①根据分式是分式A的“友好分式”，得出，利用分式混合运算法则求出A即可； ②根据整除的定义进行求解即可； （3）设关于的分式的“友好分式”为M，求出，根据关于的分式是关于的分式的“友好分式”，得出，求出，代入，求出分式的最小值即可． 解：（1）解：∵， ， ∴， ∴分式是分式的“友好分式”； 故答案为：不是． （2）解：①∵分式是分式A的“友好分式”， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ． ②∵， ∵整数x使得分式A的值是正整数， ∴，，2， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知：A的值为1或3或4． （3）解：设M是关于的分式的“友好分式”，则： ， ∴ ， ∵关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”， ∴， 整理得：， 解得：， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴ 即的最小值为． 【点拨】本题主要考查了分式混合运算的应用，新定义运算，解方程组，代数式求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.10 分式与分式方程（4大知识点5大考点15类题型） （知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】分式的有关概念及性质 1．分式 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 【要点提示】分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义. 2. 分式的基本性质 　　 3．最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 【知识点2】分式的运算 1．约分　 利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 2．通分 利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．　　 3．基本运算法则 　 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算 ； 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. 异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. （2）乘法运算 ，其中是整式，. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 ，其中是整式，. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘. 分式的乘方，把分子、分母分别乘方。 4.分式的混合运算顺序 　先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的. 【知识点3】分式方程 1．分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法 解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根. 【要点提示】因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解. 【知识点4】分式方程的应用 　　列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解. 知识点与题型目录 【考点一】夯实基本概念 【题型1】分式的意义与分式的值...............................................3 【题型2】分式的基本性质.....................................................3 【题型3】最简分式与约分.....................................................4 【考点二】运算与化简娴熟精通 【题型4】最简公分母.........................................................4 【题型5】约分与通分.........................................................5 【题型6】分式的乘除运算.....................................................5 【题型7】分式的加减运算.....................................................5 【题型8】分式的加减乘除混合运算.............................................6 【题型9】分式的化简求值.....................................................6 【考点三】分式方程运算与概念的精准透析 【题型10】解分式方程........................................................7 【题型11】分式方程的增根与无解..............................................7 【题型12】根据分式方程解的情况求参数取值范围................................7 【知识点四】分式方程的应用 【题型13】列分式方程解应用题................................................8 【知识点五】直通中考与拓展延伸 【题型14】直通中考..........................................................8 【题型15】拓展延伸..........................................................9 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】夯实基本概念 【题型1】分式的意义与分式的值 【例1】（2025七年级下·全国·专题练习）（1）若分式的值为0，分式无意义，求的值； （2）对于分式，当时，分式无意义；当时，分式的值为0．求的值． 【变式1】（24-25八年级下·安徽芜湖·阶段练习）若代数式在实数范围内有意义，则的值可以是（    ） A．0 B．2 C．5 D．3 【变式2】（22-23八年级下·河南洛阳·期末）已知实数满足并且，则 ． 【变式3】（2025八年级下·全国·专题练习）当x 时，分式有意义；当x 时，分式没有意义． 【题型2】分式的基本性质 【例2】（22-23八年级下·湖南湘西·期中）如图，在中，，，，；斜边上的高．求证：．    【变式1】（24-25八年级下·福建泉州·阶段练习）若把分式中的和都扩大到原来的倍，那么分式的值（　　） A．缩小倍 B．扩大倍 C．缩小 D．不变 【变式2】（23-24八年级上·山东滨州·期末）阅读下面的材料，并解答问题： 分式的最大值是多少？ 解：， 因为，所以的最小值是2，所以的最大值是2， 所以的最大值是4，即的最大值是4． 根据上述方法，试求分式的最小值是 ． 【题型3】最简分式与约分 【例3】（2023·广东广州·中考真题）已知，代数式：，，． （1）因式分解A； （2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式． 【变式1】（22-23八年级下·陕西西安·期中）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，是“和谐分式”的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）判断下列约分是否正确，如果正确，在括号内打“”；如果不正确，把正确答案写在括号内． （1）；（ ）       （2）；（ ） （3）；（ ）        （4）．（ ） 【考点二】运算与化简娴熟精通 【题型4】最简公分母 【例4】（24-25八年级下·全国·课后作业）直接写出下列各组分式的最简公分母： （1）；__________ （2）；__________ （3）；__________ （4）；__________ （5）．__________ 【变式1】（21-22八年级上·河南三门峡·期末）的最简公分母是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·辽宁盘锦·三模）在解分式方程：的过程中，去分母时，需方程两边都乘以最简公分母 ． 【题型5】约分与通分 【例5】（2024八年级上·黑龙江·专题练习） （1）约分：； （2）通分：． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）对分式通分以后，的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024八年级上·全国·专题练习）已知，，，则 ． 【题型6】分式的乘除运算 【例6】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【变式1】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·山东滨州·期末）计算的结果是 ． 【题型7】分式的加减运算 【例7】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知分式，，当a大于5时，P与Q的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】（2024·山东滨州·二模）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的就应用了黄金分割数．设，，记，，……，，则的值为 ． 【题型8】分式的加减乘除混合运算 【例8】（24-25八年级下·重庆·期中）分式化简： （1） （2） 【变式1】（24-25八年级上·山东淄博·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）填空题： （1） ； （2） ． 【题型9】分式的化简求值 【例9】（2025·陕西西安·模拟预测）先化简，再从，1，2中选取一个适合的数代入求值． 【变式1】（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）若，则代数式的值为 ． 【变式2】（24-25八年级上·湖南永州·期中）如果，那么代数式的值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【考点三】分式方程运算与概念的精准透析 【题型10】解分式方程 【例10】（2025八年级下·全国·专题练习）解方程： （1）； （2）． 【变式1】（2025八年级下·全国·专题练习）解方程： （1） （2） 【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）解方程： （1）； （2）． 【题型11】分式方程的增根与无解 【例11】（23-24七年级下·浙江宁波·期末）若分式方程有增根，且方程无解． （1）方程的增根是　　　　； （2）求出分式方程中“？”所代表的数． 【变式1】（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）如果关于的分式方程有增根，那么增根可能是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【变式2】（24-25九年级下·重庆北碚·阶段练习）如果关于y的分式方程的解为负整数，且关于y的一元一次不等式组无解，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 【题型12】根据分式方程解的情况求参数取值范围 【例12】（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）已知关于的分式方程． （1）若方程的解为，求的值． （2）若方程的解为非负数，求的取值范围． 【变式1】（24-25八年级下·山东济南·期中）若关于的分式方程的解为正数，则满足条件的正整数的值为（    ） A．1，2，3 B．1，2 C．1，3，4 D．1，3 【变式2】（24-25八年级下·江苏南京·期中）若关于的一元一次不等式组有且最多有3个偶数解，关于的分式方程有整数解，则所有符合条件的整数的和是 ． 【知识点四】分式方程的应用 【题型13】列分式方程解应用题 【例13】（24-25八年级下·山东济南·期中）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2500元购买航空模型的数量是用2400元购买航海模型数量的． （1）求航空和航海模型的单价； （2）学校采购时恰逢该商场促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 【变式1】（24-25八年级上·山东泰安·期末）《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍；求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·北京顺义·阶段练习）数学的美无处不在，数学家们研究发现：弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于琴弦的长度，如三根琴弦长度之比为，用同样的力度弹拨琴弦，它们就能发出很和谐的乐音，因此我们称15，12，10这三个数为一组调和数．现有三个数：5，3，x，若要组成一组调和数，则x的值为 ． 【知识点五】直通中考与拓展延伸 【题型14】直通中考 【例1】（2024·山东日照·中考真题）（1）解不等式组 （2）先化简，再求值：，其中x满足． 【例2】（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 （1）问题一：求出两种书架的单价； （2）问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； （3）问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 【题型15】拓展延伸 【例1】（24-25九年级下·重庆开州·阶段练习）宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某公司推出了A、B两款人形机器人． （1）已知该公司生产5件A款人形机器人和生产6件B款人形机器人的成本相同；每件A款人形机器人的成本比每件B款人形机器人的成本多2万元．该公司生产的A款人形机器人和B款人形机器人每件的成本各是多少万元？ （2）如果该公司把这两种人形机器人在网上进行预约销售，并且每件B款人形机器人的售价比每件A款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为600万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出10件．则该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是多少万元？ 【例2】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． （1）填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） （2）已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； （3）若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$