精品解析：山东省青岛市第五十七中学（第三实验初中）2024-2025学年下学期八年级期中考试数学试题

青岛市第三实验初中2024-2025年（二） 期中阶段检测 八年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 温馨提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！ 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列用数轴表示不等式组的解集正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 利用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，应假设（ ） A. 四边形中至多有一个内角是钝角或直角 B. 四边形的每一个内角都是钝角或直 C. 四边形中所有内角都是锐角 D. 四边形中所有内角都是直角 5. 的三边长分别为 ， ， ，由下列条件不能判断 为直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. 6. 某小区准备开发一块长为32m，宽为21m的长方形空地．如图，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1m就是它的右边线．则这条小路的面积为（ ）m2 A. 20 B. 21 C. 22 D. 32 7. 如图，将 绕点A顺时针旋转得到 ，点B的对应点D恰好落在边 上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，AI平分∠BAC，CI平分∠ACB，将∠BAC平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为(　　) A. 5 B. 8 C. 10 D. 7 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9. 已知不等式组的解集为，则的值为_______． 10. 已知等腰三角形的周长为10cm；若其中一边长为2cm，则腰长为_____cm． 11. 如图， 是等边三角形，，，则的度数为__________． 12. 如图，直线经过和两点，则不等式的解集为______________． 13. 某种衬衫的进价为400元，出售时标价为550元，由于换季，但要保持利润不低于，那么至多打 _____折． 14. 如图，在 中，，将 沿射线 的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点 重合，则平移的距离为 _____． 15. 如图，正方形的边长为 ，点 在 轴的正半轴上，点 在 轴的负半轴上，将正方形绕点 逆时针旋转至正方形的位置，与 相交于点 ，则点 的坐标为______________. 16. 如图， 中， ，的平分线 和的外角平分线 相交于点 ，分别交 和 的延长线于 ， ．过 作交 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ，连接 交于点．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是________. 三．解答题 17. 已知，线段a，求作：等腰 ，使得顶角， 上的高为a． 18. 如图， 各顶点的坐标分别为 （1）请画出 先向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到的； （2）请画出 绕点逆时针旋转 后得到； （3）若 与关于某点成中心对称，且，请写出对称中心的坐标_____________． 19. 因式分解： （1） （2） 20. 计算 （1）解不等式 （2）解不等式组，并写出所有整数解． 21. 如图，在 中，，， 是 延长线上一点，点 在 上，且 ．求证：． 22. 为庆祝中华人民共和国成立周年，某平台店计划购进 ， 两种纪念币，进价和售价如下表所示： 品名 进价（元/枚） 售价（元/收） （1）第一次购进 种纪念币枚， 种纪念币枚，全部售完后获利元，求 种纪念币的售价是多少元？ （2）第二次计划购进两种纪念币共枚，且 种纪念币的进货数量不少于 种纪念币的进货数量的2倍，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润为多少？ 23. 如图，边长为的等边 中，点分别是边上的动点（端点除外），点 从顶点 ，点从顶点 同时出发，且它们的速度都为，连接，交于点 ，在点 ，运动的过程中． （1）求证：； （2）的大小是否发生变化？若无变化，求的度数；若有变化，请说明理由； （3）连接，当点 ，运动多少秒时，是直角三角形？ 24. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式 解：， ，可化为． 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”， 得① ② 解不等式组①，得， 解不等式组②，得， 的解集为或，即一元二次不等式的解集为或． （1）一元二次不等式的解集为_______； （2）解一元二次不等式； （3）解分式不等式 25. 【问题探究】 （1）已知：在锐角 中，分别以 、 为边向外作等腰和等腰 ，使，，，连接 ， ．求证：． 【思维提升】 （2）如图2，在 中，以 为边向外作等边，连接，， ，，求长． 【拓展应用】 （3）如图3，在 中，，，作交 于点D，过点B作直线，点H是直线l上的一个动点，线段绕点A按顺时针方向旋转30°得到线段，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛市第三实验初中2024-2025年（二） 期中阶段检测 八年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 温馨提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！ 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某个定点旋转后能与原图重合，这样的图形叫做中心对称图形．解题关键是熟记中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则，故本选项符合题意； D、若，则，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 3. 下列用数轴表示不等式组的解集正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．根据在数轴上表示不等式组解集的方法进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴1处为实心圆点，且折线向右； ∵， ∴2处为空心圆点，且折线向左， ∴四个选项中只有D符合． 故选：D． 4. 利用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，应假设（ ） A. 四边形中至多有一个内角是钝角或直角 B. 四边形的每一个内角都是钝角或直 C. 四边形中所有内角都是锐角 D. 四边形中所有内角都是直角 【答案】C 【解析】 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 【详解】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：“四边形中所有内角都是锐角”， 故选：C． 【点睛】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 5. 的三边长分别为 ， ， ，由下列条件不能判断 为直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用和三角形的内角和定理．根据三角形内角和定理可分析出A、B的正误；根据勾股定理逆定理可分析出C、D的正误． 【详解】解：A、，， ， 为直角三角形，故A选项不符合题意； B、设，，， ， 解得：， 则， 不是直角三角形，故B选项符合题意； C、∵，，， ， 能构成直角三角形,故C选项不合题意； D、， ， 能构成直角三角形，故D选项不合题意； 故选：B． 6. 某小区准备开发一块长为32m，宽为21m的长方形空地．如图，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1m就是它的右边线．则这条小路的面积为（ ）m2 A. 20 B. 21 C. 22 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】根据小路的左边线向右平移1m就是它的右边线，可得路的宽度是1m，根据平移，可把路移到左边，再根据矩形的面积公式进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： 32×21-（32-1）×21 =32×21-31×21 =（32-31）×21 =1×21 =21（m2）． 故这条小路的面积为21m2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了生活中的平移现象，利用矩形的面积公式进行计算是解题的关键． 7. 如图，将 绕点A顺时针旋转得到 ，点B的对应点D恰好落在边 上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了旋转变换的性质、等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质得到 ，，根据等腰三角形的性质得到，求得． 【详解】解：由旋转的性质可知， ，， ， ， ， 故选：B． 8. 如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，AI平分∠BAC，CI平分∠ACB，将∠BAC平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为(　　) A. 5 B. 8 C. 10 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】连接IB，将∠BAC平移，使其顶点与点I重合，交BC于点E、F，根据平移的性质得到IE∥AB，IF∥AC，利用平行线的性质得到∠FIC=∠ACI，∠ABI=∠EIB，再利用等角对等边可知BE=IE，IF=FC，利用等量代换即可解答. 【详解】 如图，连接IB，将∠BAC平移，使其顶点与点I重合，交BC于点E、F， ∵平移 ∴IE∥AB，IF∥AC ∴∠FIC=∠ACI，∠ABI=∠EIB ∴BE=IE，IF=FC 图中阴影部分的周长=IE+IF+EF=BE+FC+EF=BC=7 故选D 【点睛】本题考点涉及平移的性质、等腰三角形的性质以及平行线的性质，熟练掌握各个性质定理是解题关键. 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9. 已知不等式组的解集为，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组，代数式求值，解题的关键是掌握不等式组的解．先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后根据不等式组的解集列出求出 、 的值，再代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：， 解不等式①： ， ， ， 解不等式②： ， ， 不等式组的解集为：， 不等式组的解集为， ，， 解得：，， ， 故答案为： ． 10. 已知等腰三角形的周长为10cm；若其中一边长为2cm，则腰长为_____cm． 【答案】4 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质分为两种情况解答：当边长2cm为腰或者2cm底边时，再根据三角形的周长进行计算． 【详解】分情况考虑：当2cm是腰时，则底边长是10﹣2×2＝6cm，此时2cm，2cm，6cm不能组成三角形，应舍去； 当2cm是底边时，腰长是（10﹣2）×＝4cm，2cm，4cm，4cm能够组成三角形．此时腰长是4cm． 故答案为4． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是分情况讨论. 11. 如图， 是等边三角形，，，则的度数为__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据等边三角形的性质可得出，由可得出 为等腰直角三角形，进而可得出及，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出的度数即可得出结论． 【详解】解：∵ 为等边三角形， ∴． ∵， ∴ 为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 如图，直线经过和两点，则不等式的解集为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式与一次函数解图象的关系． 由直线经过，即可求出不等式的解集． 【详解】解：∵直线经过， ∴从图象可得不等式的解集为． 故答案为． 13. 某种衬衫的进价为400元，出售时标价为550元，由于换季，但要保持利润不低于，那么至多打 _____折． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用。设设该衬衫可打x折，根据利润不低于10%，列出不等式进行求解即可。 【详解】解：设该衬衫可打x折， 根据题意，得：， 解得：， 即该衬衫至多打8折， 故答案为：8． 14. 如图，在 中，，将 沿射线 的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点重合，则平移的距离为 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查图形的平移和旋转，等边三角形的判定和性质，线段的和差运算，掌握图形的平移，旋转的性质，等边三角形的性质是解题的关键． 根据图形的平移可得，根据图形的旋转可得是等边三角形，，由此即可求解． 【详解】解：∵将 沿射线 的方向平移，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点重合， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：2． 15. 如图，正方形的边长为 ，点 在 轴的正半轴上，点 在 轴的负半轴上，将正方形绕点 逆时针旋转至正方形的位置，与 相交于点 ，则点 的坐标为______________. 【答案】 【解析】 【分析】连接，由旋转性质知、、，证 ，得，进而根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，连接， 将边长为 的正方形绕点 逆时针旋转得到正方形， ，， ， 在和 中， 点 的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、正方形的性质，解题的关键是掌握旋转变换的不变性与正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理． 16. 如图， 中， ，的平分线 和的外角平分线 相交于点，分别交 和 的延长线于 ， ．过作交 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ，连接 交于点．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是________. 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出，再根据角平分线的定义 然后利用三角形的内角和定理整理即可得解； ②证明得出，，即可判断② ③再利用角角边证明全等，然后根据全等三角形对应边相等得到，从而得解； ④根据， ，可得，然后求出，再根据等角对等边可得，再根据等腰直角三角形两腰相等可得，然后求出，根据直角三角形斜边大于直角边，，从而得出④错误． 【详解】解：①的角平分线 和的外角平分线， 在中 ，故①正确； ， ， 为的角平分线， ， 在和中 ， ，；故②正确； ③ ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ，故③正确； ④ ， ， ，， ， ， ， ， 与都是等腰直角三角形， ，， ， ， 不成立，故④错误， 综上所述①②③正确． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，直角三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 三．解答题 17. 已知，线段a，求作：等腰 ，使得顶角， 上的高为a． 【答案】 为所求的三角形． 【解析】 【分析】先作一等角，然后利用三线合一的性质作角的平分线，取长为a，再过此点作垂线交的两边于B，C． 【详解】作法：(1)作， (2)作的平分线，并在射线上截取， (3)过点D作直线分别交的两边于B，C， 则 为所求的三角形． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质、尺规作图，解决此题的关键是熟悉作等角，作角平分线，过已知点作垂线的尺规作图． 18. 如图， 各顶点的坐标分别为 （1）请画出 先向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到的； （2）请画出 绕点逆时针旋转 后得到； （3）若 与关于某点成中心对称，且，请写出对称中心的坐标_____________． 【答案】（1） 如图所示： （2） 如图所示： （3） 【解析】 【分析】（1）先作出点A、B、C平移后对应点、、，然后顺次连接即可； （2）先作出点A、B、C绕点逆时针旋转 后对应点、、，然后顺次连接即可； （3）根据中点坐标公式求出的中点，即可得出对称中心的坐标． 【小问1详解】 解：作出点A、B、C平移后对应点、、，顺次连接，则即为所求作的三角形； 【小问2详解】 解：作出点A、B、C绕点逆时针旋转 后对应点、、，顺次连接，则即为所求作的三角形； 【小问3详解】 解：∵ 与关于某点成中心对称， ∴对称中心为的中点， ∵点，， ∴的中点坐标为， 即的中点坐标为， ∴对称中心的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平移和旋转作图，中心对称的性质，中点坐标公式，解题的关键是作出平移或旋转后，点A、B、C对应点的位置． 19. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式分解； （2）先提公因式，再利用平方差公式分解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 20. 计算 （1）解不等式 （2）解不等式组，并写出所有整数解． 【答案】（1） （2）解集为，整数解为， 【解析】 【分析】（1）不等式去括号，移项，合并同类项，把 系数化为 ，即可求出解集； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分求出不等式组的解集，进而求出所有整数解即可． 【小问1详解】 解：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 故不等式的解集为：； 【小问2详解】 ， 解①得，， 解②得，， 不等式组的解集为：， 则所有整数解为， ． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，以及解一元一次不等式，熟练掌握不等式及不等式组的解法是解本题的关键． 21. 如图，在 中，，， 是 延长线上一点，点 在 上，且 ．求证：． 【答案】 证明：， ， ， 为等腰直角三角形， 在和中， 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，结合等角对等边，得出，再通过“ ”证明，即可作答． 【详解】略 22. 为庆祝中华人民共和国成立周年，某平台店计划购进 ， 两种纪念币，进价和售价如下表所示： 品名 进价（元/枚） 售价（元/收） （1）第一次购进 种纪念币枚， 种纪念币枚，全部售完后获利元，求 种纪念币的售价是多少元？ （2）第二次计划购进两种纪念币共枚，且 种纪念币的进货数量不少于 种纪念币的进货数量的2倍，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润为多少？ 【答案】（1） （2）第二次购进 种纪念币枚，购进 种纪念币枚，利润最大，最大利润为元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程、一次函数的实际应用，正确理解题意是解题关键． （1）设 种纪念币的售价是 元，由题意得，即可求解； （2）设第二次计划购进 种纪念币 枚，则购进 种纪念币枚，设利润为，由题意得，结合即可求解. 【小问1详解】 解：设 种纪念币的售价是 元， 由题意得：， 解得： ∴ 种纪念币的售价是元 【小问2详解】 解：设第二次计划购进 种纪念币 枚，则购进 种纪念币枚，设利润为 由题意得： ∵， ∴随 的增大而减小． ∵， ∴ ∴当时，利润最大，最大利润为 此时 故：第二次购进 种纪念币枚，购进 种纪念币枚，利润最大，最大利润为元 23. 如图，边长为的等边 中，点分别是边上的动点（端点除外），点从顶点 ，点 从顶点 同时出发，且它们的速度都为，连接，交于点 ，在点， 运动的过程中． （1）求证：； （2）的大小是否发生变化？若无变化，求的度数；若有变化，请说明理由； （3）连接，当点， 运动多少秒时，是直角三角形？ 【答案】（1）证明见解析； （2）的大小是不发生变化，理由见解析； （3）当第秒或第秒时，为直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （ ）由等边三角形的性质得出 ，，然后由 即可求证； （ ）由可得，由外角的性质可求； （ ）分两种情况当时，当时讨论，由直角三角形的性质列出等式可求解． 【小问1详解】 证明：∵ 是等边三角形， ∴ ，， 又由条件得， 在和中， ∴， 【小问2详解】 解：的大小是不发生变化，理由， 由（ ）知：， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设时间为 ，则，, 当时， ∵， ∴， ∴，得，； 当时， ∵， ∴， ∴， 得，； ∴当第秒或第秒时，为直角三角形． 24. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式 解：， ，可化为． 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”， 得① ② 解不等式组①，得， 解不等式组②，得， 的解集为或，即一元二次不等式的解集为或． （1）一元二次不等式的解集为_______； （2）解一元二次不等式； （3）解分式不等式 【答案】（1）或 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法得到，把原不等式可转化为①或②，然后解两个不等式组即可； （2）利用因式分解法得到，把原不等式可转化为①或②，然后解两个不等式组即可； （3）利用分式的性质，把原不等式可转化为①或②，然后解两个不等式组即可． 【小问1详解】 解：， ， ①或②， 解①得；解②得， 故一元二次不等式的解集为：或； 【小问2详解】 ， ， ①或②， 解①得；解②无解， 故一元二次不等式的解集为：； 【小问3详解】 ． ①或②， 解①得；解②得． 故不等式的解集为或． 【点睛】此题考查了不等式组的解法，利用了转化的思想，这种转化思想的依据为：两数相乘（除），同号得正，异号得负的取符号法则． 25. 【问题探究】 （1）已知：在锐角 中，分别以 、 为边向外作等腰 和等腰 ，使，，，连接 ， ．求证：． 【思维提升】 （2）如图2，在 中，以 为边向外作等边 ，连接，， ，，求长． 【拓展应用】 （3）如图3，在 中，，，作交 于点D，过点B作直线，点H是直线l上的一个动点，线段 绕点A按顺时针方向旋转30°得到线段，求的最小值． 【答案】（1）证明过程详见解答；（2）4；（3）． 【解析】 【分析】（1）可证明，从而得出结论； （2）作等边三角形，连接 ，可，从而得出； （3）将 绕点A按顺时针方向旋转得到线段 ，可证得，从而得出，所以点在与定线段 成30°的直线m上运动，作点A关于直线m的对称点F， 交m于点G，连接 ，交直线m于点，此时的最小，最小值是 的长，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即： ， ∵，， ∴， ∴； （2）解：如图1， 作等边三角形，连接 ， ∴，， ∵， ∴ ， ∴， 由（1）得：； （3）解：如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， 将 绕点A按顺时针方向旋转得到线段 ， ∴ ，， ∵线段 绕点A按顺时针方向旋转30°得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在与定线段 成30°的直线m上运动， 作点A关于直线m的对称点F， 交m于点G，连接 ，交直线m于点，此时最小，最小值是 的长， ∵， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即：的最小值为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，轴对称的性质，旋转的性质等知识，解决问题的关注是作辅助线，构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $