精品解析：江西省赣州市经开区2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题

赣州经开区2024-2025学年第二学期九年级数学期中测试卷 说明：1.全卷满分120分，考试时间120分钟． 2.请将答案写在答题卷上，否则不给分． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，理解倒数的概念是解题的关键．倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义回答即可． 【详解】解：∵ 一个数 的倒数为 ， ∴ 的倒数为 ＝ ， 故选 ：B 2. 3月27日，金融机构支持赣州经开区经济高质量发展2025年一季度产融对接活动举行．现场共进行22个民营企业项目签约，为企业提供元资金支持．这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法表示数是解题的关键．将一个数表示成，其中，为整数即可． 【详解】解：这个数据用科学记数法表示为． 故选：A． 3. 某商场的休息椅如图所示，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的识别，熟练掌握和运用三视图的识别方法是解决本题的关键． 根据从左侧看到的图形，即可判定． 【详解】解：此商场的休息椅的左视图为C， 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方以及单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算判断即可． 【详解】解：和不是同类项，无法进行计算，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C正确； ，故选项D错误； 故选C． 5. 如图，将一张长方形纸片先沿短边对折，再沿长边对折，最后在字母x处打一个洞，将纸片展开后所得图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，．结合空间思维，分析折叠的过程及打孔的位置，易知展开的形状是解题的关键． 【详解】解：当将一张长方形纸片先沿短边对折，再沿长边对折时，所打的四个洞分别以两折痕为对称轴，且四个洞靠近短折痕，远离长折痕， 故选：A． 6. 十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME﹣14的举办年份．小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，n的值为（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 根据题意，可以得到，然后求解即可． 【详解】解：由题意可得， ， 解得（不合题意，舍去）， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 请写出一个无理数____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】是无理数．故答案为答案不唯一，如：． 8. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：=； 故答案为 9. 已知方程的两个根分别为，则的值为 _____． 【答案】5 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得，然后再整体代入即可解答． 【详解】解：根据根与系数的关系得， 所以． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，对于，则有是解答本题的关键． 10. 小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线性质定理的逆定理，平行线的性质，过作于，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，得到，由平行线的性质推出，得到，因此，由，即可得到的长度是． 【详解】解：过作于， 由题意得：，，， 平分， ， ∵， ， ， ， 、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5， ， 的长度是． 故答案为：． 11. 如图，从一个直径为的圆形铁片中剪出一个圆心角为的扇形，再将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求圆锥底面圆半径，90度的圆周角所对的弦是直径．连接，如图，根据圆周角定理得为的直径，即，所以，设该圆锥的底面圆的半径为，根据弧长公式得到方程即可求得． 【详解】解：连接，如图， ， 为的直径，即， ， 设该圆锥的底面圆的半径为， ∴， 解得， 即该圆锥的底面圆的半径为． 故答案为：． 12. 如图，点E是矩形的对角线上的动点，过点E作于点F，已知，若上一点G能使以E，F，G为顶点的三角形是等腰直角三角形，则的长为_________． 【答案】3或1或 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分、，、，三种情况，分别根据题意作出图形，利用等腰三角形的定义、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质解答即可． 【详解】解：由题意可知，需分三种情况讨论∶ ①如图（1），当、时， 此时点G与点B重合， 即； ②如图(2)，当，时， ∵，，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∴． ③如图（3），当时，过点G作于点H，则四边形是矩形， ∵，， ∴ ∴四边形是正方形， ∴．，即，． ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∴． 综上，的长为3或1或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：． （2）如图，在中，为的中点，连接并延长至点，使得．求证：． 【答案】（1）； （2）证明：为的中点， ． 在与中， ． 【解析】 【分析】（1）本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，先进行开方，特殊角的三角函数值，零指数的运算，再进行加减运算即可； （2）本题考查全等三角形的判定，利用证明三角形全等即可． 【详解】解：（1）原式． （2）略 14. 赣南脐橙闻名于世，每年都会举办脐橙节．在2024年的脐橙节上，某商家设置了一个趣味抽奖活动．抽奖箱里有5个外观相同的球，其中3个球上标有“赣南脐橙”字样，2个球上标有“赣州旅游纪念品”字样． （1）若从抽奖箱中随机摸出一个球，摸出标有“赣州旅游纪念品”字样球是____事件.（填“必然”“不可能”或“随机”） （2）若从抽奖箱中随机摸出一个球后不放回，再随机摸出一个球，求两次都摸出标有“赣南脐橙”字样球的概率．（请用列表法或树状图法求解） 【答案】（1）随机 （2）两次抽到标有“赣南脐橙”字样的概率为 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图，基本事件以及概率公式，熟练掌握概率试卷进行解答即可． （1）根据基本事件的定义进行判断即可； （2）根据列表法或树状图进行计算即可． 【小问1详解】 解：若从抽奖箱中随机摸出一个球，摸出标有“赣州旅游纪念品”字样球是随机事件， 故答案为：随机． 【小问2详解】 解： 脐橙 脐橙 脐橙 纪念品 纪念品 脐橙 （脐橙，脐橙） （脐橙，脐橙） （纪念品，脐橙） （纪念品，脐橙） 脐橙 （脐橙，脐橙） （脐橙，脐橙） （纪念品，脐橙） （纪念品，脐橙） 脐橙 （脐橙，脐橙） （脐橙，脐橙） （纪念品，脐橙） （纪念品，脐橙） 纪念品 （脐橙，纪念品） （脐橙，纪念品） （脐橙，纪念品） （纪念品，纪念品） 纪念品 （脐橙，纪念品） （脐橙，纪念品） （脐橙，纪念品） （纪念品，纪念品） 一共有种等可能的情况，其中两次都摸出标有“赣南脐橙”字样球有种等可能的情况， 故两次都摸出标有“赣南脐橙”字样球的概率为． 15. 化简求值：，再从，，0，1，2中选取一个合适的数代入求值． 【答案】，取，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ． ∵要使分式有意义， ∴，， ∴， 当时，原式； 或当时，原式． 16. 如图，在四边形中，，点E是的中点，请仅用无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹）： （1）在图1中，作出的垂直平分线； （2）在图2中，作出的垂直平分线． 【答案】（1） 如图：直线即为所求； （2） 如图：直线即为所求； 【解析】 【分析】本题主要考查了无刻度尺作图、垂直平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图：连接相交于点F，连接相交于点G，过作直线即为所求； （2）如图：连接相交于点N，连接交于点H，连接并延长交于M，过作直线即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 学校拟购进一批手动喷淋消毒设备，已知1个A型喷雾器和2个B型喷雾器共需90元；2个A型喷雾器和3个B型喷雾器共需165元． （1）问一个A型喷雾器和一个B型喷雾器的单价各是多少元? （2）学校决定购进两种型号的喷雾器共60个，并且要求B型喷雾器的数量不能多于A型喷雾器的4倍，请你设计出最为省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】（1）一个A型喷雾器的单价为60元，一个B型喷雾器的单价为15元；（2）最省钱的购买方案为：购买A型喷雾器12个，B型喷雾器48个． 【解析】 【分析】（1）设一个A型喷雾器的单价为元，一个B型喷雾器的单价为元，根据1个A型喷雾器和2个B型喷雾器共需90元；2个A型喷雾器和3个B型喷雾器共需165元列出方程组进行求解即可； （2）设购进A型喷雾器个，则购进B型喷雾器个，根据题意先求出m的取值范围，再设这些喷雾器的总费用为W元，得到W关于m的函数解析式，利用一次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）设一个A型喷雾器的单价为元，一个B型喷雾器的单价为元，由题意可得： 解之得：， 答：一个A型喷雾器的单价为60元，一个B型喷雾器的单价为15元； （2）设购进A型喷雾器个，则购进B型喷雾器个，由题意可得： ≤ 解之得：≥12 设购买这些喷雾器的总费用为W元，则有： ∵ ∴W随的增大而增大 ∴当时，W取得最小值，及最省钱． （个） 答：最省钱的购买方案为：购买A型喷雾器12个，B型喷雾器48个． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，涉及了二元一次方程组，不等式的应用等，弄清题意，找准各量间的关系是解题的关键． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，平行于轴的直尺（一部分）与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，连接，点的刻度分别为，直尺的宽度为，． （1）求反比例函数解析式； （2）求直线解析式； （3）平行于轴的直线与交于点，与反比例函数图象交于点，当这条直线左右平移时，线段的长为，此时的值是_____． 【答案】（1）反比例函数的解析式 （2）直线的解析式 （3）或 【解析】 【分析】（）求出点坐标，再利用待定系数法解答即可； （）求出点坐，再利用待定系数法解答即可； （）当时，求出点和点的纵坐标，进而列出方程解答即可； 本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，反比例函数的几何应用，利用待定系数法求出一次函数与反比例函数的解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵点的刻度分别为， ∴， ∵， ∴， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数解析式； 【小问2详解】 解：∵直尺的宽度为， ∴， 把代入得，， ∴， 设直线解析式的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线解析式的解析式； 【小问3详解】 解：当时，点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∵线段的长为，， ∴， 整理得，， 解得或， 故答案为：或． 19. 如图1是一种可折叠单面字展架，其主体部分的示意图如图2，由展板、支架（可绕点转动）和活动杆（均为可转动支点）组成．该展架是通过改变的大小使其打开或收拢，在使用该展架时为了防止倾倒，不得小于．现测得，，． （1）求支架底端张开的最大距离． （2）工作人员转动支点，使与垂直后并固定（如图3），请你判断此时是否符合规范使用的要求？并说明理由．（参考数据：，，，，，） 【答案】（1） （2） 解：不符合要求，连接，如图： ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 此时不符合规范使用的要求． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形的解题关键． （1）当，，三点共线时，最大，根据锐角三角函数即可解答； （2）连接，先根据锐角三角函数求出，即可求出，再判断即可． 【小问1详解】 解：当，，三点共线时，最大，过点作，如图： 由等腰三角形的性质可知经过点， ，， ，， ，即， 解得， ； 【小问2详解】 略 20. 【课本再现】 如图1是人教版九年级上册课本102页的一题配图．一次数学探究活动上，小肖延长，交于点F，得到如图2之后对这道题进行再思考，设置了如下问题，请你帮忙解答． 【习题再探】 如图2，已知是的直径，点C是弧中点，于点D． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若已知，，求的半径． 【答案】（1） 解：直线与相切 理由如下： 连， 点是弧的中点， ， ， ， ， ， ， 直线与相切； （2）的半径为3 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线判定定理，角平分线的性质，解直角三角形，勾股定理，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）连，根据点是弧的中点，以及，得到，证明出，即可得到结论； （2）令的半径为，则，根据勾股定理求出，再由相似三角形的性质得到，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：令的半径为，则， 在中， 即， ∵，， ， ∴， ， ， 即， ， 的半径为3． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 为培养学生的网络安全意识，提高学生防诈反诈能力，某学校开展了“防范于心，反诈于行”知识竞赛，并从七、八年级各随机选取了20名同学的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用x表示，其中， ， ， ，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息： 七年级C组同学的分数分别为：94，92，93，91； 八年级C组同学的分数分别为：91，92，93，93，94，94，94，94，94． 七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七 91 a 95 m 八 91 93 b （1）填空：__________，__________，__________． （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“防范于心，反诈于行”知识竞赛中，哪个年级学生的了解情况更好？请说明理由．（写出一条理由即可） （3）该校现有学生七年级1200名，八年级1000名，请估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． 【答案】（1）； （2）解：八年级学生了解情况更好，理由如下： ， ∴八年级学生了解情况更好； （3）这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数约为人． 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是正确理解中位数与众数的定义． （1）结合条形统计图、扇形统计图、七、八年级组同学的分数可得； （2）对比优秀率求解即可； （3）求出七、八年级优秀人数，再相加可得． 【小问1详解】 解： ∵从七、八年级各随机选取了20名同学的竞赛成绩 ∴中位数是第10位、第11位的平均数，观察条形统计图可得，中位数在组， ， 观察扇形统计图和八年级C组同学的分数可得，，， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：七年级优秀人数为（人）， 八年级优秀人数为（人）， （人）， ∴这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数约为人． 22. 【题目背景】 《哪吒之魔童闹海》是今年爆火的电影，目前跻身全球影史票房榜第五，为首部亚洲前五榜电影．某玩具厂商利用卡通哪吒制作了一款“不倒翁”玩具，以下简称“哪不倒”．“哪不倒”造型分为上下两个部分，如图1，其下半部分的纵截面边缘近似形成一条抛物线的一部分．将“哪不倒”立在桌面上，如图2，最低点A距离矩形桌面左边缘，此时，粘在玩具上的标签点距桌面的铅直距离和距桌面左边缘的水平距离均为．已知“不倒翁”的下半部分的最高点距桌面的铅直距离为． 【问题解决】 （1）在图2中，以桌面左边缘为原点，以“哪不倒”玩具下半部纵截面边缘上的点与桌面左边缘的水平距离为x，与桌面的铅直距离为y，建立的平面直角坐标系，如图3，求出y与x的函数关系式； （2）通过计算说明“哪不倒”左右摇动时，是否有一部分会超出桌子左边缘? （3）如图，现厂商设想将混天绫丝带以下部装饰带的形式进行重新设计，要在“哪不倒”玩偶的下半部分画些平行于桌面的装饰带 (不计装饰带的宽度)，且每两条相邻装饰带的长度之差为，请直接写出最多可画出_______条装饰带． 【答案】（1） （2）是有一部分会超出桌子左边缘 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数实际应用．理解题意，将生活问题转化为函数问题是解题的关键． （1）设，再将代入，求出的值即可； （2）令，则，即可求解； （3）设两条相邻装饰带的半径分别为，，则，即，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，设， ∵点距桌面的铅直距离和距桌面左边缘的水平距离均为， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴与 的函数关系式为； 【小问2详解】 解：∵“哪不倒”的下半部分的最高点距桌面的铅直距离为， 当时，则， 解得：，， ∴“哪不倒”的下半部分的最高点与桌子左边缘平齐， ∴“哪不倒”左右摇动时，是有一部分会超出桌子左边缘的部分； 【小问3详解】 解：设两条相邻装饰带的半径分别为，， ∵要在“哪不倒”玩偶的下半部分画一些平行于桌面的装饰带，且每两条相邻装饰带的长度之差为， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴， ∴最多可画出条装饰带． 故答案为：． 六、解答题（本大题12分） 23. 【图形定义】 如图1，先绕自身的顶点旋转一定的角度，再将旋转后的三角形以点为位似中心放大或缩小，得到．称这种变换为自旋转位似变换，和互为“旋转位似图形” 【特例感知】 （1）如图2，若与互为“旋转位似图形”，且，连结，，则，的数量关系是_____． （2）图3中，自旋转位似变换后得到，若，，，连接，，求的值． 【拓展提高】 （3）如图4，在四边形中，，于，，求证：与互为“旋转位似图形”： （4）如图5，为等腰直角三角形，点为的中点，点是上一点，是延长线上一点，点在线段上，且自旋转位似变换后得到，若，，求和的长． 【答案】（1）； （2）； （3）证明：∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴绕点A逆时针旋转的度数后与构成位似图形， ∴和互为“旋转位似图形”． （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等知识点，掌握“旋转位似图形”的定义是解题的关键． （1）根据“旋转位似图形”的定义判断可得，证明，结合，即可求解． （2）根据“旋转位似图形”可得，根据相似三角形的性质列比例式求解即可，进而证明，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可． （3）先证明可得，再先后证明、，最后根据“旋转位似图形”的定义即可证明结论； （4）如图：如图，过E作于点H，根据等腰直角三角形的性质易得，再根据“旋转位似图形”的定义可得可得，再解直角三角形可得、，然后说明，最后运用勾股定理即可解答． 【详解】（1）∵与互为“旋转位似图形”， ∴ ∴ ∴即， ∴ 又， ∴ ∴； （2）如图：连接， ∵与互为“旋转位似图形”， ∴，， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为： ． （3）略 （4）解：如图：如图，过E作于点H， ∵为等腰直角三角形，点G为中点， ∴，， ∵与互为“旋转位似图形”， ∴， ∴， ∴，解得：， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赣州经开区2024-2025学年第二学期九年级数学期中测试卷 说明：1.全卷满分120分，考试时间120分钟． 2.请将答案写在答题卷上，否则不给分． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 3月27日，金融机构支持赣州经开区经济高质量发展2025年一季度产融对接活动举行．现场共进行22个民营企业项目签约，为企业提供元资金支持．这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 某商场的休息椅如图所示，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将一张长方形纸片先沿短边对折，再沿长边对折，最后在字母x处打一个洞，将纸片展开后所得图象为（ ） A. B. C. D. 6. 十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME﹣14的举办年份．小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，n的值为（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 请写出一个无理数____． 8. 因式分解：__________． 9. 已知方程的两个根分别为，则的值为 _____． 10. 小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是______． 11. 如图，从一个直径为的圆形铁片中剪出一个圆心角为的扇形，再将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为______． 12. 如图，点E是矩形的对角线上的动点，过点E作于点F，已知，若上一点G能使以E，F，G为顶点的三角形是等腰直角三角形，则的长为_________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：． （2）如图，在中，为的中点，连接并延长至点，使得．求证：． 14. 赣南脐橙闻名于世，每年都会举办脐橙节．在2024年的脐橙节上，某商家设置了一个趣味抽奖活动．抽奖箱里有5个外观相同的球，其中3个球上标有“赣南脐橙”字样，2个球上标有“赣州旅游纪念品”字样． （1）若从抽奖箱中随机摸出一个球，摸出标有“赣州旅游纪念品”字样球是____事件.（填“必然”“不可能”或“随机”） （2）若从抽奖箱中随机摸出一个球后不放回，再随机摸出一个球，求两次都摸出标有“赣南脐橙”字样球的概率．（请用列表法或树状图法求解） 15. 化简求值：，再从，，0，1，2中选取一个合适的数代入求值． 16. 如图，在四边形中，，点E是的中点，请仅用无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹）： （1）在图1中，作出的垂直平分线； （2）在图2中，作出的垂直平分线． 17. 学校拟购进一批手动喷淋消毒设备，已知1个A型喷雾器和2个B型喷雾器共需90元；2个A型喷雾器和3个B型喷雾器共需165元． （1）问一个A型喷雾器和一个B型喷雾器的单价各是多少元? （2）学校决定购进两种型号的喷雾器共60个，并且要求B型喷雾器的数量不能多于A型喷雾器的4倍，请你设计出最为省钱的购买方案，并说明理由． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，平行于轴的直尺（一部分）与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，连接，点的刻度分别为，直尺的宽度为，． （1）求反比例函数解析式； （2）求直线解析式； （3）平行于轴的直线与交于点，与反比例函数图象交于点，当这条直线左右平移时，线段的长为，此时的值是_____． 19. 如图1是一种可折叠单面字展架，其主体部分的示意图如图2，由展板、支架（可绕点转动）和活动杆（均为可转动支点）组成．该展架是通过改变的大小使其打开或收拢，在使用该展架时为了防止倾倒，不得小于．现测得，，． （1）求支架底端张开的最大距离． （2）工作人员转动支点，使与垂直后并固定（如图3），请你判断此时是否符合规范使用的要求？并说明理由．（参考数据：，，，，，） 20. 【课本再现】 如图1是人教版九年级上册课本102页的一题配图．一次数学探究活动上，小肖延长，交于点F，得到如图2之后对这道题进行再思考，设置了如下问题，请你帮忙解答． 【习题再探】 如图2，已知是的直径，点C是弧中点，于点D． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若已知，，求的半径． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 为培养学生的网络安全意识，提高学生防诈反诈能力，某学校开展了“防范于心，反诈于行”知识竞赛，并从七、八年级各随机选取了20名同学的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用x表示，其中， ， ， ，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息： 七年级C组同学的分数分别为：94，92，93，91； 八年级C组同学的分数分别为：91，92，93，93，94，94，94，94，94． 七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七 91 a 95 m 八 91 93 b （1）填空：__________，__________，__________． （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“防范于心，反诈于行”知识竞赛中，哪个年级学生的了解情况更好？请说明理由．（写出一条理由即可） （3）该校现有学生七年级1200名，八年级1000名，请估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． 22. 【题目背景】 《哪吒之魔童闹海》是今年爆火的电影，目前跻身全球影史票房榜第五，为首部亚洲前五榜电影．某玩具厂商利用卡通哪吒制作了一款“不倒翁”玩具，以下简称“哪不倒”．“哪不倒”造型分为上下两个部分，如图1，其下半部分的纵截面边缘近似形成一条抛物线的一部分．将“哪不倒”立在桌面上，如图2，最低点A距离矩形桌面左边缘，此时，粘在玩具上的标签点距桌面的铅直距离和距桌面左边缘的水平距离均为．已知“不倒翁”的下半部分的最高点距桌面的铅直距离为． 【问题解决】 （1）在图2中，以桌面左边缘为原点，以“哪不倒”玩具下半部纵截面边缘上的点与桌面左边缘的水平距离为x，与桌面的铅直距离为y，建立的平面直角坐标系，如图3，求出y与x的函数关系式； （2）通过计算说明“哪不倒”左右摇动时，是否有一部分会超出桌子左边缘? （3）如图，现厂商设想将混天绫丝带以下部装饰带的形式进行重新设计，要在“哪不倒”玩偶的下半部分画些平行于桌面的装饰带 (不计装饰带的宽度)，且每两条相邻装饰带的长度之差为，请直接写出最多可画出_______条装饰带． 六、解答题（本大题12分） 23. 【图形定义】 如图1，先绕自身的顶点旋转一定的角度，再将旋转后的三角形以点为位似中心放大或缩小，得到．称这种变换为自旋转位似变换，和互为“旋转位似图形” 【特例感知】 （1）如图2，若与互为“旋转位似图形”，且，连结，，则，的数量关系是_____． （2）图3中，自旋转位似变换后得到，若，，，连接，，求的值． 【拓展提高】 （3）如图4，在四边形中，，于，，求证：与互为“旋转位似图形”： （4）如图5，为等腰直角三角形，点为的中点，点是上一点，是延长线上一点，点在线段上，且自旋转位似变换后得到，若，，求和的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $