精品解析：广东省江门市广雅中学等校2024-2025学年高二下学期4月期中检测数学试题

广东高二教学期中检测 数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章到选择性必修第三册第六章6.2占，必修第一册到选择性必修第二册第四章占. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某天小李要坐动车或高铁从广州出发去北京，已知当天动车的车次有2个，高铁的车次有10个，则小李当天从广州出发去北京的车次的选择共有（ ） A. 2种 B. 10种 C. 12种 D. 20种 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 现有一组数据1.3，1.2，1.2，1.4，1.6，1.3，1.1，则这组数据的分位数为（ ） A. 1.2 B. 1.3 C. 1.4 D. 1.6 4. 若函数有极值，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 某中学4位任课老师和班上10名学生站成一排，则4位任课老师站在一起的排法种数可以用排列数表示为（ ） A. B. C. D. 6. 已知下列四个图象之一是函数在某区间的图象，且的导函数在该区间的图象如图所示，则在该区间的图象是（ ） A. B. C. D. 7. 若，，是圆上不同的三点，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数为奇函数，且的导函数的图象关于点对称，，且，则曲线在点处的切线斜率为（ ） A. B. C. D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. 为纯虚数 D. z在复平面内对应的点位于第二象限 10. 已知点，点在曲线上，则（ ） A. 曲线由虚轴长相等的两条双曲线组成 B. 存在无数个点，使得 C. 存在无数个点，使得 D. 存在8个点，使得 11. 下列判断正确的是（ ） A. 方程有两个不同的实数解 B. 方程的正整数解共有126组 C. 方程有唯一实数解 D. 方程的非负整数解共有3003组 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若点，，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为______. 13. 将2个i，2个n，2个o与1个p随机排成一排，得到一个字母串，则所得字母串恰为单词opinion的概率为______. 14. 《九章算术•商功》中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.在堑堵中，，，则堑堵体积的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求； （2）若函数，求曲线在点处的切线方程. 16. 已知数列的前n项和为，且. （1）求； （2）求的通项公式，并证明为等差数列； （3）若，求. 17. 已知12名运动员中有5人只擅长篮球，4人只擅长足球，另外3人篮球与足球都擅长. （1）若从这12名运动员中选派2人，求这2人都擅长足球的选派方法种数； （2）若让这12名运动员中所有擅长篮球的运动员排成一排拍照，求其中还擅长足球的运动员互不相邻的排法种数； （3）从这12名运动员中选派4人参加某项活动，要求这4人有2人擅长篮球，有2人擅长足球，求满足条件的选派方法种数. 18. 已知函数. （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）讨论的单调性； （3）若在上有个零点，求的取值范围. 19. 已知曲线，直线. （1）若，判断直线与曲线公共点的个数； （2）已知直线与曲线相交于两点. ①求的取值范围； ②证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东高二教学期中检测 数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章到选择性必修第三册第六章6.2占，必修第一册到选择性必修第二册第四章占. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某天小李要坐动车或高铁从广州出发去北京，已知当天动车的车次有2个，高铁的车次有10个，则小李当天从广州出发去北京的车次的选择共有（ ） A. 2种 B. 10种 C. 12种 D. 20种 【答案】C 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理计算可得. 【详解】根据分类加法计数原理可知小李当天从广州出发去北京的车次的选择共有种. 故选：C 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解指数方程化简集合，求出函数定义域化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】由，得，则， 函数有意义，则，则， 所以. 故选：B 3. 现有一组数据1.3，1.2，1.2，1.4，1.6，1.3，1.1，则这组数据的分位数为（ ） A. 1.2 B. 1.3 C. 1.4 D. 1.6 【答案】B 【解析】 【分析】由百分位数的计算公式求解即可. 【详解】从小到大排序：1.1 1.2 1.2 1.3 1.3 1.4 1.6， ， 所以第60百分位数为第五个数1.3， 故选：B 4. 若函数有极值，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由导数存在变号零点，构造不等式即可求解. 【详解】， 因为函数有极值， 所以存在变号零点， 可得：， 解得：或， 所以a的取值范围是， 故选：D 5. 某中学4位任课老师和班上10名学生站成一排，则4位任课老师站在一起的排法种数可以用排列数表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析题给条件用捆绑法即可，再根据分步乘法计算可得排列种数. 【详解】4位任课老师站在一起的排法种数为， 将排完的4位任课教师作为一个整体，与剩下的10名学生站成一排的排法种数有， 再根据分步乘法得排列种数为. 故选：A. 6. 已知下列四个图象之一是函数在某区间的图象，且的导函数在该区间的图象如图所示，则在该区间的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由的图象得到的单调性，即可判断C、D，再由导数的几何意义及的图象排除A. 【详解】不妨设在区间（，可为，也可为）内的图象， 由的图象可知，当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减，故排除C、D； 又在上单调递减，则在上切线的斜率逐渐减小， 且由的图象可知当时趋近于一个常数（正数）， 所以的切线斜率不趋近于，故排除A. 故选：B 7. 若，，是圆上不同的三点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到半径，再由同角三角函数的基本关系求出，最后由正弦定理计算可得. 【详解】圆，即， 所以圆心为，半径， 因为，又，解得（负值舍去）， 在中由正弦定理，所以. 故选：C 8. 已知定义在上的函数为奇函数，且的导函数的图象关于点对称，，且，则曲线在点处的切线斜率为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得关于对称，即可求出，结合对称性及复合函数的求导法则得到，再由，即可推导出是以为周期的周期函数，根据周期性计算可得. 【详解】因为函数为奇函数，所以， 所以，则关于对称， 因为，所以，则， 又，则，即， 所以， 又的图象关于点对称，即，即，则， 所以，即， 所以，即是以为周期的周期函数， 所以， 又，所以， 所以，即曲线在点处的切线斜率为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. 为纯虚数 D. z在复平面内对应的点位于第二象限 【答案】AB 【解析】 【分析】化简，再逐项判断即可. 【详解】， 对于A：正确， 对于B： 正确， 对于C：，错误， 对于D：z在复平面内对应的点，第四象限，错误， 故选：AB 10. 已知点，点在曲线上，则（ ） A. 曲线由虚轴长相等的两条双曲线组成 B. 存在无数个点，使得 C. 存在无数个点，使得 D. 存在8个点，使得 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线的定义判断ABC；求出点的轨迹，借助数形结合法判断D. 【详解】由，得或， 则曲线由双曲线与双曲线组成， 对于A，双曲线与双曲线的实轴长都为4，虚轴长不等，A错误； 对于B，点是双曲线的两个焦点，则存在无数个点，使得，B正确； 对于C，点是双曲线的两个焦点，则存在无数个点，使得，C正确； 对于D，由，得点的轨迹是以为焦点，为长轴长的椭圆， 由图知，该椭圆与曲线共有8个交点，因此存在8个点，使得，D正确. 故选：BCD 11. 下列判断正确的是（ ） A. 方程有两个不同的实数解 B. 方程的正整数解共有126组 C. 方程有唯一实数解 D. 方程的非负整数解共有3003组 【答案】BCD 【解析】 【分析】构造函数，利用导数探讨函数最小值判断AC；利用隔板法列式求解判断BD. 【详解】对于A，令函数，求导得，当时，； 当时，，函数在上递减，在上递增，， 因此有唯一解，A错误； 对于B，将10个相同小球排成一列，用5块隔板将10个小球分成5部分，每种分法的5个结果 即为一组正整数解，共有，B正确； 对于C，函数定义域为，求导得 ，令函数，函数在上递增，， ，则存在唯一实数，使得，即， 当时，，即；当时，，即， 函数在上递减，在递增，， 因此方程有唯一实数解，C正确； 对于D，原方程化为， 将16个相同小球排成一列，用5块隔板将16个小球分成5部分，每种分法的5个结果 即对应一组非负整数解，共有，D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若点，，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由线面夹角公式即可求解. 【详解】由条件可得：， 直线与平面所成角的正弦值为：， 故答案为： 13. 将2个i，2个n，2个o与1个p随机排成一排，得到一个字母串，则所得字母串恰为单词opinion的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】把2个i看作不相同的i，2个n看作不相同的n，2个o看作不相同的o，求出字母串的总数，再求出恰为单词opinion的字符串数，最后由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】把2个i看作不相同的i，2个n看作不相同的n，2个o看作不相同的o， 即7个不同字母全排列可得个字母串； 其中字母串恰为单词opinion的有个， 所以所得字母串恰为单词opinion的概率. 故答案为： 14. 《九章算术•商功》中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.在堑堵中，，，则堑堵体积的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由棱柱的体积公式结合基本不等式的推论即可求解. 【详解】 由题意，则，令， 由，得， 堑堵体积， 当且仅当，即时取等号， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求； （2）若函数，求曲线在点处的切线方程. 【答案】（1）6； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的定义求出极限值. （2）求出函数及其导数，再利用导数的几何意义求解. 【小问1详解】 函数，求导得， 所以. 【小问2详解】 函数，， 求导得，则， 所以曲线在点处的切线方程为. 16. 已知数列的前n项和为，且. （1）求； （2）求的通项公式，并证明为等差数列； （3）若，求. 【答案】（1） （2），证明： 令，所以， 由的通项公式可得：， 由通项公式可知：。 所以为等差数列； （3） 【解析】 【分析】（1）令即可求解； （2）通过作差法即可求的通项公式，再由通项公式结构可证等差数列； （3）由裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 令可得：， 即 【小问2详解】 由， 可得：， 两式相减可得：，， 当时，不满足， 所以的通项公式为， 【小问3详解】 由（2）知，当时， ， 所以 17. 已知12名运动员中有5人只擅长篮球，4人只擅长足球，另外3人篮球与足球都擅长. （1）若从这12名运动员中选派2人，求这2人都擅长足球的选派方法种数； （2）若让这12名运动员中所有擅长篮球的运动员排成一排拍照，求其中还擅长足球的运动员互不相邻的排法种数； （3）从这12名运动员中选派4人参加某项活动，要求这4人有2人擅长篮球，有2人擅长足球，求满足条件的选派方法种数. 【答案】（1）21 （2）14400 （3）465 【解析】 【分析】（1）设只擅长篮球的5人设为组，只擅长足球的4人设为组，篮球与足球都擅长的3人设为组，分三种情况，进行求解，相加即可； （2）将组的5人先全排列，再利用插空法进行求解； （3）选出的4人中无组人员，有1人，2人，3人来自组，再细分为将其归为擅长篮球人员或擅长足球人员，求出每种情况下的方法数，相加即可. 【小问1详解】 设只擅长篮球的5人设为组，只擅长足球的4人设为组， 篮球与足球都擅长的3人设为组， 若选出的2人均来自组，有种方法， 若选出的2人均来自组，有种方法， 若选出的2人均1人来自组，1人来自组，有种方法， 故这2人都擅长足球的选派方法有种； 【小问2详解】 将组的5人先全排列，有种方法，5人共形成6个空， 再将组的3人去插空，有种方法， 故共有种方法； 【小问3详解】 若选出的4人中无组人员， 则选派方法有种， 若选出的4人中有1人来自组，并将其归为擅长篮球人员， 则再从组选出1人，组选出2人，共种方法， 若选出的4人中有1人来自组，并将其归为擅长足球人员， 则再从组选出2人，组选出1人，共种方法， 若选出的4人中有2人来自组，并将其归为擅长篮球人员， 则再从组选出2人，共种方法， 若选出的4人中有2人来自组，并将其归为擅长足球人员， 则再从组选出2人，共种方法， 若选出的4人中有2人来自组，并将1人归为擅长篮球人员，1人归为擅长足球人员， 则再从组选出1人，则再从组选出1人， 共种方法， 若选出的4人中有3人来自组，并将其中2人归为擅长篮球人员，将1人归为擅长足球人员， 再从组选出1人，共种方法， 若选出的4人中有3人来自组，并将其中2人归为擅长足球人员，将1人归为擅长篮球人员， 则再从再从组选出1人，共种方法， 综上，满足条件的方法共种. 18. 已知函数. （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）讨论的单调性； （3）若在上有个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增 （3）. 【解析】 【分析】（1）由在上单调递增，可得对恒成立，转化为对恒成立，即可直接求出的取值范围； （2）利用导数直接分类讨论，分析导函数的正负，即可得到含参函数的单调性； （3）由（2）中单调性，首先排除，故，要使得在上有个零点，需满足且，构造函数，结合导数求出恒成立，所以只需满足，求出结果即可. 【小问1详解】 依题意得对恒成立， 即对恒成立， 所以，即的取值范围是. 【小问2详解】 由题知，的定义域为， 又， 当时，在上单调递增. 当时，令，得，令，得， 则在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）知，当时，在上单调递增， 则在上至多有个零点，则不符合题意. 当时，要使得在上有个零点， 则，即， 且， 设函数， 则， 所以在上，单调递增， 在上，单调递减， 所以. 由，得. 即的取值范围为. 19. 已知曲线，直线. （1）若，判断直线与曲线公共点的个数； （2）已知直线与曲线相交于两点. ①求的取值范围； ②证明：. 【答案】（1） 1 （2） ①； ②证明：由题可知是的零点.不妨设，则， 从而要证，只需证， 即证.由（1）可知在上单调递减， 则需证. 因为，所以需证，即证. 令，则. 因为，当且仅当时，等号成立，所以在上恒成立， 则在上单调递增，则， 从而，证毕. 【解析】 【分析】（1）构造函数求函数的导函数，根据导函数正负得出函数单调性及最值即可判断 （2）①构造，构造函数求函数的导函数，根据导函数正负得出函数单调性及最值即可判断；②构造结合基本不等式计算证明. 【小问1详解】 令，则. 由，得， 当时，单调递减，当时，单调递增， 则，从而直线与曲线的公共点个数为1. 【小问2详解】 ①解：令，则. 由，得，当时，单调递减，当时，单调递增， 则，且当时，，当时，. 因为直线与曲线相交于两点，所以， 得，故的取值范围为. ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $