精品解析：辽宁省本溪市第十二中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题

辽宁省本溪市第十二中学2022-2023学年八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，共20分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为【 】 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 将点A（1，﹣1）向上平移2个单位后，再向左平移3个单位，得到点B，则点B的坐标为（　　） A. （2，1） B. （﹣2，﹣1） C. （﹣2，1） D. （2，﹣1） 4. 如图，﹣3x≤9的解集在数轴上可表示为（　　） A. B. C. D. 5. 下列因式分解正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于45°”，应先假设（　　） A. 直角三角形中两个锐角都大于45° B. 直角三角形中两个锐角都不大于45° C. 直角三角形中有一个锐角大于45° D 直角三角形中有一个锐角不大于45° 7. 如图，在△ABC中，∠BAC＝55°，∠C＝20°，将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0α180°）得到△ADE，若DEAB，则α的值为（　　） A. 65° B. 75° C. 85° D. 130° 8. 小明拿40元购买雪糕和矿泉水，已知每瓶矿泉水2元，每支雪糕1.5元，他买了5瓶矿泉水，x支雪糕，则列出关于x的不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，，，点D在x轴上，若在线段包括两个端点上找点P，使得点A，D，P构成等腰三角形的点P恰好只有1个,下列选项中满足上述条件的点D坐标不可以是　　 A. B. C. D. 10. 已知等腰三角形的周长是10，底边长y是腰长x的函数，则下列图象中，能正确反映y与x之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，共24分） 11. 一个等腰三角形的一个内角是，则这个等腰三角形的底角是______． 12. 如图，，添加一个条件：____________（写出一个条件即可），可使与全等． 13. 不等式2x<6非负整数解为__. 14. 在直角三角形中，，则m的值是__________． 15. 如图，一次函数 与一次函数的图象交于点 ，则关于 的不等式 的解集是____． 16. 如图，长方形地块周长为104米，在长方形地块内修筑同样宽两条“之”字路，当道路宽为2米时，道路的总面积为 ____________． 17. 如图，是等边三角形，是边上中线，点在上，且，则的度数为 ____________． 18. 如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，若，则下列说法中：①是的平分线；②；③点在的中垂线上；④．正确的序号是 ____________． 三、解答题（19题（1）4分，（2）6分共10分，20题6分） 19. （1）因式分解； （2）先因式分解再求值，其中． 20. 解不等式组． 四、解答题（21题6分，22题8分共14分 21. 如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上． （1）在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形； （2）在图2中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形； （3）在图3中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形． 22. 学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买A奖品单价为30元，购买B奖品单价为15元．学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的．请利用所学的函数和不等式的有关知识设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 五、解答题（23题满分8分） 23. 如图，在中，，点在上运动，点在上，始终保持与相等，的垂直平分线交于点，交于， （1）判断与位置关系，并说明理由； （2）若，，，求线段的长. 六、解答题（24题满分8分） 24. 如图，ABC中，于，，若点为的中点，点为线段延长线上一动点，连结，将绕着点按顺时针方向旋转，交线段延长线于点，回答下列问题： （1）求证：； （2）的值是否发生变化？若发生变化，请求出该值的取值范围；若不变化，请求出该值． 七、解答题（25题满分10分） 25. 已知，如图，在中，，，，是角平分线，与相交于点F，，，垂足分别为M，N， （1）请求出的度数． （2）求证：． （3）若，请直接写出的长为_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 辽宁省本溪市第十二中学2022-2023学年八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，共20分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为【 】 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】略 【详解】∵∠B=∠C，AB=5， ∴AB=AC=5． 故选D． 【点睛】略 2. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可． 【详解】A． 将已知不等式的两边同时加上5，得，故本选项符合题意； B． 将已知不等式的两边同时乘，得，故本选项不符合题意； C． 将已知不等式的两边同时乘，得，故本选项不符合题意； D． 不能得出，故本选项不符合题意． 故选A． 【点睛】此题考查的是不等式的变形，掌握不等式的基本性质是解决此题的关键． 3. 将点A（1，﹣1）向上平移2个单位后，再向左平移3个单位，得到点B，则点B的坐标为（　　） A. （2，1） B. （﹣2，﹣1） C. （﹣2，1） D. （2，﹣1） 【答案】C 【解析】 【分析】让A点的横坐标减3，纵坐标加2即为点B的坐标． 【详解】解：由题中平移规律可知：点B的横坐标为1-3=-2；纵坐标为-1+2=1， ∴点B的坐标是（-2，1）． 故选C． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移变换是中考的常考点，平移中点的变化规律是：左右移动改变点的横坐标，左减右加；上下移动改变点的纵坐标，下减上加． 4. 如图，﹣3x≤9的解集在数轴上可表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据不等式的基本性质求出不等式的解集，并在数轴上表示出来，找出符合条件的选项即可． 【详解】不等式的两边同时除以﹣3得， x≥﹣3， 在数轴上表示为： 故选：D． 【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键． 5. 下列因式分解正确的是（　　） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的因式分解，掌握因式分解的方法是解决问题的关键． 分解每一个整式，根据分解结果得结论． 【详解】解：A．，故选项A因式分解不正确； B．，故选项B因式分解不正确； C．，故选项C因式分解不正确； D．，故选项D因式分解正确． 故选：D． 6. 用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于45°”，应先假设（　　） A. 直角三角形中两个锐角都大于45° B. 直角三角形中两个锐角都不大于45° C 直角三角形中有一个锐角大于45° D. 直角三角形中有一个锐角不大于45° 【答案】A 【解析】 【分析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可． 【详解】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设两个锐角都大于45°． 故选：A． 【点睛】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 7. 如图，在△ABC中，∠BAC＝55°，∠C＝20°，将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0α180°）得到△ADE，若DEAB，则α的值为（　　） A. 65° B. 75° C. 85° D. 130° 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质及题意易得∠EAB的度数，然后直接进行求解即可． 【详解】解：∵在△ABC中，∠BAC＝55°，∠C＝20°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C═180°﹣55°﹣20°＝105°， ∵将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0＜α＜180°）得到△ADE， ∴∠ADE＝∠ABC＝105°， ∵DE∥AB， ∴∠ADE+∠DAB＝180°， ∴∠DAB＝180°﹣∠ADE＝75° ∴旋转角α的度数是75°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行线的性质及旋转的性质，关键是根据旋转得到角的关系，然后由平行线的性质即可求解． 8. 小明拿40元购买雪糕和矿泉水，已知每瓶矿泉水2元，每支雪糕1.5元，他买了5瓶矿泉水，x支雪糕，则列出关于x的不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据题意得：2×5+1.5x≤40．故选D． 9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，，，点D在x轴上，若在线段包括两个端点上找点P，使得点A，D，P构成等腰三角形的点P恰好只有1个,下列选项中满足上述条件的点D坐标不可以是　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用勾股定理计算出AB＝5，然后利用等腰三角形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：∵A（4，0），B（0，3）， ∴AB＝5， 当D点坐标为（−3，0）时，只能作以PD、PA为腰等腰三角形； 当D点坐标为（−1，0）时，可作以PD、PA为腰的等腰三角形也可作AP＝AD（此时P点在B点）； 当D点坐标为（5，0）时，只能作以AP、AD为腰的等腰三角形； 当D点坐标为（9，0）时，只能作以AP、AD为腰的等腰三角形（此时P点在B点）． 故选B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．也考查了坐标与图形性质． 10. 已知等腰三角形的周长是10，底边长y是腰长x的函数，则下列图象中，能正确反映y与x之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据三角形的周长公式求出函数关系式，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出x的取值范围，然后选择即可． 【详解】由题意得，2x+y=10， 所以，y=-2x+10， 由三角形的三边关系得，， 解不等式①得，x＞2.5， 解不等式②的，x＜5， 所以，不等式组的解集是2.5＜x＜5， 正确反映y与x之间函数关系的图象是D选项图象． 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，共24分） 11. 一个等腰三角形的一个内角是，则这个等腰三角形的底角是______． 【答案】或 【解析】 【分析】由题意知，分的角是顶角和底角两种情况求解，根据三角形内角和定理以及等腰三角形的定义进行计算求解即可． 【详解】解：由题意知，分的角是顶角和底角两种情况求解： ①当的角是顶角， 则等腰三角形的底角为， ②当角是底角， 则等腰三角形的底角为， 综上，等腰三角形的底角为或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理．解题的关键在于分情况求解． 12. 如图，，添加一个条件：____________（写出一个条件即可），可使与全等． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查对直角三角形全等的判定定理，根据直角三角形全等的判定定理HL即可推出答案．能熟练地根据定理进行推理是解此题的关键． 【详解】解：条件是（答案不唯一）， ∵， 在和中 ， ∴， 故答案为：答案不唯一）． 13. 不等式2x<6的非负整数解为__. 【答案】0,1,2 【解析】 【分析】先解不等式，再根据要求找出合适的解. 【详解】2x<6 非负整数解有0,1,2 故答案为0,1,2 【点睛】此题重点考查学生对不等式解的应用，掌握非负整数解是解题的关键. 14. 在直角三角形中，，则m的值是__________． 【答案】2或6##6或2 【解析】 【分析】因为直角三角形，没有说明哪两个角是直角，这里应分两种情况求解：①是直角；②是直角． 【详解】解：∵是直角三角形， ∴分两种情况： ①是直角时，则， ∵， ∴此时， ∴， ∴， 此时； ②是直角时，则， ∵ ∴此时； 故答案为：2或6． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角互余，并注意分类讨论． 15. 如图，一次函数 与一次函数的图象交于点 ，则关于 的不等式 的解集是____． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数图象，写出一次函数的图象在一次函数的图象上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据图象得，当时，， 即：关于的不等式的解集为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 16. 如图，长方形地块周长为104米，在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，当道路宽为2米时，道路的总面积为 ____________． 【答案】100平方米## 【解析】 【分析】本题主要考查利用平移解决实际问题，熟练掌握平移的性质是解题的关键．利用平移将道路平移到边缘后可得道路的长度，再利用道路的长度乘以其宽度进行计算即可． 【详解】解：将道路平移后，如图： ∵长方形地块周长为104米，道路宽为2米， ∴道路的总长度（米）， ∴道路的总面积（平方米）． 故答案为：100平方米． 17. 如图，是等边三角形，是边上的中线，点在上，且，则的度数为 ____________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查等边三角形性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质，由是等边三角形，可得，由是边上的中线，可得，，由，，可求，由三角形外角性质可求． 【详解】解：是等边三角形， ，， 是边上的中线， ，， ， ，， ， 是的外角， ． 故答案为：． 18. 如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，若，则下列说法中：①是的平分线；②；③点在的中垂线上；④．正确的序号是 ____________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】利用基本作图对①进行判断；再证明，则可计算出，从而得到，则可对②进行判断；接着利用得到，然后根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可判断点在的垂直平分线上，则可对③进行判断；然后利用得到，所以，然后根据三角形面积公式可对④进行判断． 【详解】解：由作法得平分，所以①正确； ， ，， ， ， ， ， ，所以②正确； ， ， 点在的垂直平分线上，所以③正确； 在中，， ， ， ， ，所以④错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，等角对等边，含角的直角三角形的性质等，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 三、解答题（19题（1）4分，（2）6分共10分，20题6分） 19. （1）因式分解； （2）先因式分解再求值，其中． 【答案】（1）；（2）； 96． 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解： （1）提出公因式，即可求解； （2）先利用提公因式法解答，再把代入，即可求解． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 当时，原式． 20. 解不等式组． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先分别解一元一次不等式，再根据口诀：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到确定不等式组的解集即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， 故不等式组的解集为． 四、解答题（21题6分，22题8分共14分 21. 如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上． （1）在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形； （2）在图2中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形； （3）在图3中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形． 【答案】（1）如图所示见解析；（2）如图所示见解析；（3）如图所示见解析. 【解析】 【分析】（1）根据中心对称的定义画图即可. （2）根据轴对称的定义画出图形，注意与已知三角形有公共边. （3）明白顺时针的方向，根据要求画图即可. 【详解】（1）如图所示， △DCE为所求作； （2）如图所示， △ACD为所求作； （3）如图所示 △ECD为所求作． 【点睛】本题是一道画图题，考查动手能力，解题关键是掌握轴对称，中心对称等定义． 22. 学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买A奖品单价为30元，购买B奖品单价为15元．学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的．请利用所学的函数和不等式的有关知识设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】最省钱的购买方案为：购买8个A奖品，22个B奖品，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，根据各数量之间的关系找出总费用关于购买A奖品数量的函数关系式是解题的关键．设购买个A奖品，则购买个B奖品，根据A奖品的数量不少于B奖品数量的，可列出关于的一元一次不等式，即可解出的的取值范围．设学校购买30个奖品的总费用为元，利用总价等于单价乘上以数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】解：最省钱的购买方案为：购买8个A奖品，22个B奖品，理由如下： 设购买个A奖品，则购买个B奖品， 根据题意得：， 解得：． 设学校购买30个奖品的总费用为元，则， 即， ， 随的增大而增大， 又，且为正整数， 当时，取得最小值，此时（个）． 最省钱的购买方案为：购买8个A奖品，22个B奖品． 五、解答题（23题满分8分） 23. 如图，在中，，点在上运动，点在上，始终保持与相等，的垂直平分线交于点，交于， （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，，求线段的长. 【答案】（1）．理由见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据得到∠A=∠PDA，根据线段垂直平分线的性质得到，利用，得到，于是得到结论； （2）连接PE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8-x，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）．理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 即. （2） 连接，设， 由（1）得，，又，， ∵， ∴， ∴， 解得，即． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线解题的关键． 六、解答题（24题满分8分） 24. 如图，ABC中，于，，若点为的中点，点为线段延长线上一动点，连结，将绕着点按顺时针方向旋转，交线段延长线于点，回答下列问题： （1）求证：； （2）的值是否发生变化？若发生变化，请求出该值的取值范围；若不变化，请求出该值． 【答案】（1）见解析 （2）不发生改变，4 【解析】 【分析】（1）连接，由等腰直角三角形的性质得出，，，则，证出．证，然后利用全等三角形的性质即可求解： （2）由（1）知道，得，由此即可得出答案． 本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ，，为的中点， ，，， ，， ． ， 即， ． 在和中， ， ， ， 而， ， ； 【小问2详解】 解：的值不发生改变，等于4．理由如下： ， ， ． 七、解答题（25题满分10分） 25. 已知，如图，在中，，，，是角平分线，与相交于点F，，，垂足分别为M，N， （1）请求出的度数． （2）求证：． （3）若，请直接写出的长为_________． 【答案】（1）； （2）见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理即可解决问题； （2）连接，证明，即可解决问题； （3）证明，得，根据，得，所以，设，然后利用含30度角的直角三角形的性质求出，进而可以解决问题． 【小问1详解】 解：在中，，， ∴， ∵、分别是、的平分线， ∴，， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，连接， ∵三角形的三条角平分线交于一点， ∴点在的角平分线上， ∴平分， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴， ∴， 设，由（1）可知，则， ∴， ∵是角平分线，， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$