精品解析：天津市东丽区鉴开中学共同体2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024-2025（二）天津市东丽区鉴开共同体阶段性质量调查 八年级数学学科 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 要使二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是(    ) A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 6，8，10 D. 5，12，13 4. 直角三角形中，两直角边长分别为12和5，则斜边上的中线长是（ ） A. 26 B. 13 C. 8.5 D. 6.5 5. 如图，数轴上点A对应的数为2，于A，且，以O为圆心，以为半径画圆，交数轴于点C，则长为（ ） A. B. C. D. 3 6. 估计值在( ) A. 和之间 B. 和之间 C. 和6之间 D. 6和之间 7. 下列计算错误的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 9. 下列命题，其中是真命题的为（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 一组邻边相等的矩形是正方形 10. 在菱形中，，分别是，的中点，如果，那么线段的长是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 11. 如图，在直角三角形ABC中，，，，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作于点E，于点F，若点P是的中点，则CP的最小值是（ ） A. 1.2 B. 1.5 C. 2.4 D. 2.5 12. 如图，在正方形中，是对角线上一点，且满足．连接并延长交于点，连接，过点作于点，延长交于点．在下列结论中：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 计算；______． 14. 已知，则代数式的值为 __________． 15. 如图，在平行四边形中，，的平分线交于点E，则的长为_______． 16. 矩形的对角线、相交于点，，两条对角线夹角，矩形周长为_________________． 17. 如图，在菱形中，，，则边上的高的长是______． 18. 如图，在边长为6的正方形中，点M为的中点，点E在上，，等腰三角形中，． （1）的面积为______； （2）若N为的中点，则的值为______． 三、解答题（本大题共7个小题，共66分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 如图，在四边形中，，，，，且．求的度数． 21. 如图，在平行四边形中，连接，是延长线上的点，是延长线上的点，且，连接交于点．求证：． 22. 已知：如图，四边形是矩形，分别延长，到点E，F，使，，连接． （1）求证：四边形菱形； （2）连接，如果四边形周长是，，求的长． 23. 已知：如图，点为中边的延长线上一点，且，连接，分别交，于点，，连接交于点，连接，猜想：与的关系，并证明你的结论． 24. 如图，在矩形中，，对角线交于点O，点E，F分别是延长线上点，且，连接，点G为的中点．连接，交于点H，连接． （1）猜想： H是 的中点吗？ 并加以证明； （2）求的长． 25. 将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系内，边、分别在轴、轴上，点坐标是且、满足，点是线段上的动点，将沿翻折得到． （1）求点和的坐标． （2）如图①，当点落在线段上时，求点的坐标． （3）如图②，当点为线段中点时，求线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025（二）天津市东丽区鉴开共同体阶段性质量调查 八年级数学学科 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 要使二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式有意义条件得到不等式，求解即可． 【详解】二次根式有意义， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0，熟练掌握知识点是解题的关键． 2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、是最简二次根式，故本选项符合题意； C、的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、的被开方数中含有能开方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：被开方数中的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式． 3. 如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是(    ) A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 6，8，10 D. 5，12，13 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理逐项判定即可． 【详解】解：A.22+32≠42， 故不能组成直角三角形； B.32+42=52， 故能组成直角三角形； C.62+82=102， 故能组成直角三角形； D.52+122=132， 故能组成直角三角形． 故答案为：A. 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解答关键是判断两个较小的边长平方和是否等于最长边的平方． 4. 直角三角形中，两直角边长分别为12和5，则斜边上的中线长是（ ） A. 26 B. 13 C. 8.5 D. 6.5 【答案】D 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 【详解】解：∵直角三角形中，两直角边分别是12和5， ∴斜边为：， ∴斜边上的中线长为×13＝6.5， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理的应用，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 5. 如图，数轴上点A对应的数为2，于A，且，以O为圆心，以为半径画圆，交数轴于点C，则长为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先在直角中，根据勾股定理求出，再根据同圆的半径相等即可求解．本题考查了实数与数轴，勾股定理，关键是求出长． 【详解】解：在直角中，． ． ． 故选：A． 6. 估计的值在( ) A. 和之间 B. 和之间 C. 和6之间 D. 6和之间 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的估算得出的大小范围，即可得答案. 【详解】∵16<23<25， ∴，即4<<5， 故选B. 【点睛】本题考查的是估算无理数的大小，根据题意估算出的大小范围是解答此题的关键． 7. 下列计算错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，不是同类二次根式，无法合并，计算错误. 故选：B. 8. 如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（　　） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解． 【详解】A、根据两组对边分别平行四边形是平行四边形，可以判定，不符合题意； B、无法判定，四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形,符合题意； C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定，不符合题意； D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 9. 下列命题，其中是真命题的为（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 一组邻边相等的矩形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定判断A选项，根据菱形的判定判断B选项，根据矩形的判定判断C选项，根据正方形的判定判断D选项，真命题选择选项说法正确的即可． 【详解】解：A选项，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A选项错误，不符合题意； B选项，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B选项错误，不符合题意； C选项，对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项错误，不符合题意； D选项，一组邻边相等的矩形是正方形，故D选项正确，符合题意 故选D． 【点睛】本题考查了真命题、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定的知识点，熟练掌握这些判定是解答本题的关键． 10. 在菱形中，，分别是，的中点，如果，那么线段的长是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形中位线的性质，掌握菱形的四条边相等是解题的关键． 先证明是的中位线，再根据三角形中位线的性质求出长，再根据菱形的性质作答即可． 【详解】解：，分别是，的中点， 是的中位线， ． ， ． 四边形是菱形， ． 故选：A． 11. 如图，在直角三角形ABC中，，，，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作于点E，于点F，若点P是的中点，则CP的最小值是（ ） A. 1.2 B. 1.5 C. 2.4 D. 2.5 【答案】A 【解析】 【分析】先由勾股定理求出，再证四边形CEMF是矩形，得，当时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，然后由三角形面积求出，即可得出答案． 【详解】解：连接CM，如图所示： ∵，，， ∴， ∵，，， ∴四边形CEMF是矩形， ∴， ∵点P是EF的中点， ∴， 当CM⊥AB时，CM最短， 此时EF也最小，则CP最小， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、三角形面积以及最小值等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 12. 如图，在正方形中，是对角线上一点，且满足．连接并延长交于点，连接，过点作于点，延长交于点．在下列结论中：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先判断出∠DAE＝∠ABH，再判断△ADE≌△CDE得出∠DAE＝∠DCE＝22.5°，∠ABH＝∠DCF，再判断出△ABH≌△DCF从而得到①正确，根据三角形的外角求出∠AEF＝45°，得出②正确；结合①②可得DF＝DE，根据AH＝DF即可得③正确；连接HE，判断出S△EFH≠S△EFD得出④错误． 【详解】解：∵BD是正方形ABCD的对角线， ∴∠ABE＝∠ADE＝∠CDE＝45°，AB＝BC， ∵BE＝BC， ∴AB＝BE， ∵BG⊥AE， ∴BH是线段AE的垂直平分线，∠ABH＝∠DBH＝22.5°， 在Rt△ABH中，∠AHB＝90°﹣∠ABH＝67.5°， ∵∠AGH＝90°， ∴∠DAE＝∠ABH＝22.5°， 在△ADE和△CDE中， ， ∴△ADE≌△CDE（SAS）， ∴∠DAE＝∠DCE＝22.5°， ∴∠ABH＝∠DCF， 在△ABH和△DCF中， ， ∴△ABH≌△DCF（ASA）， ∴AH＝DF，∠CFD＝∠AHB＝67.5°， ∵∠CFD＝∠EAF+∠AEF， ∴67.5°＝22.5°+∠AEF， ∴∠AEF＝45°，故①②正确； ∵∠FDE＝45°，∠DFE＝∠FAE+∠AEF＝22.5°+45°＝67.5°， ∴∠DEF＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°， ∴DF＝DE， ∵AH＝DF， ∴AH＝DE，故③正确； 如图，连接HE， ∵BH是AE垂直平分线， ∴AG＝EG， ∴S△AGH＝S△HEG， ∵AH＝HE， ∴∠AHG＝∠EHG＝67.5°， ∴∠DHE＝45°， ∵∠ADE＝45°， ∴∠DEH＝90°，∠DHE＝∠HDE＝45°， ∴EH＝ED， ∴△DEH是等腰直角三角形， ∵EF不垂直DH， ∴FH≠FD， ∴S△EFH≠S△EFD， ∴S四边形EFHG＝S△HEG+S△EFH＝S△AHG+S△EFH≠S△DEF+S△AGH，故④错误， ∴正确的是①②③． 故选：C 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是判断出△ADE≌△CDE，难点是作出辅助线． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 计算；______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，平方差公式，熟知相关计算法则是解题的关键． 14. 已知，则代数式的值为 __________． 【答案】 【解析】 【分析】直接把的值代入，利用二次根式的混合运算法则计算得出答案． 【详解】解：， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确掌握二次根式的性质是解题的关键． 15. 如图，在平行四边形中，，的平分线交于点E，则的长为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质结合角平分线平分角，推出，再用求出即可． 【详解】解：∵平行四边形中，， ∴， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 16. 矩形的对角线、相交于点，，两条对角线夹角，矩形周长为_________________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据矩形的性质以及已知条件得出是等边三角形，进而勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：如图所示， 依题意，，则， ∵四边形是矩形， ∴，，, ∴是等边三角形， ∴，，则 在中， ∴矩形周长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 17. 如图，在菱形中，，，则边上的高的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】由对角线，交于点，则为直角三角形，在中，已知，，根据勾股定理即可求得的长，根据菱形面积不同的计算方法可以求得的长度，即可解题．本题考查了菱形面积的计算方法，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理计算的值是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线，交于点， 为直角三角形 ∵，， 则．， ， 菱形的面积根据边长和高可以计算，根据对角线长也可以计算， 即， 解得：， 故答案为：9.6． 18. 如图，在边长为6正方形中，点M为的中点，点E在上，，等腰三角形中，． （1）的面积为______； （2）若N为的中点，则的值为______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】（1）如图1，作的延长线于，则，，由，可得，则，根据，计算求解即可； （2）如图2，连接交的延长线于，作的延长线于，连接，则四边形是矩形，则，，，证明，则，，，是的中点，是的中位线，则，由勾股定理得，，进而可求． 【详解】（1）解：如图1，作的延长线于， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图2，连接交的延长线于，作的延长线于，连接，则四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴，是的中点， 又∵N为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴由勾股定理得，； ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，正弦，全等三角形的判定与性质，中位线，勾股定理，矩形的判定与性质等知识．熟练掌握正方形的性质，正弦，全等三角形的判定与性质，中位线，勾股定理，矩形的判定与性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共7个小题，共66分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可求解； （2）先根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式，即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 20. 如图，在四边形中，，，，，且．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理得，根据可得为直角三角形，． 【详解】解：在中，根据勾股定理：， 在中，，， ， 直角三角形， ． 【点睛】此题考查勾股定理的定义和勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，掌握勾股定理逆定理是解题关键． 21. 如图，在平行四边形中，连接，是延长线上的点，是延长线上的点，且，连接交于点．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质，证明，即可得证． 【详解】证明：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴． 22. 已知：如图，四边形是矩形，分别延长，到点E，F，使，，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，如果四边形的周长是，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据对角线互相平分的得到平行四边形，再附加对角线垂直的四边形是菱形进行证明； （2）根据勾股定理得到，再根据矩形的性质得到长，解勾股定理求出线段长． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是是平行四边形， 又∵是矩形， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形的周长是， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是矩形， ∴，°， ∴． 【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，解题的关键是掌握矩形的性质和勾股定理． 23. 已知：如图，点为中边的延长线上一点，且，连接，分别交，于点，，连接交于点，连接，猜想：与的关系，并证明你的结论． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，证明，得到，进而得到是的中位线，进而得到，即可． 【详解】解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴． 24. 如图，在矩形中，，对角线交于点O，点E，F分别是延长线上的点，且，连接，点G为的中点．连接，交于点H，连接． （1）猜想： H是 的中点吗？ 并加以证明； （2）求的长． 【答案】（1）H是 的中点 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点M，连接，根据矩形的性质可以证明，从而证明，即可求解； （2）连接，根据勾股定理求出的长，再由中位线定理即可求解． 【小问1详解】 证明：H是 的中点； 取中点M，连接，如图， ∵四边形是矩形，对角线交于点O， ∴点O是的中点， ∵点M是的中点， ∴，， ∴ ∵ ∴， ∴，即H是 的中点； 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵点M是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点G是的中点，点H是的中点， ∴． 【点睛】本题考查矩形的性质、中位线的性质、勾股定理、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 25. 将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系内，边、分别在轴、轴上，点坐标是且、满足，点是线段上的动点，将沿翻折得到． （1）求点和的坐标． （2）如图①，当点落在线段上时，求点的坐标． （3）如图②，当点为线段中点时，求线段的长度． 【答案】（1），；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）先根据二次根式和平方根的非负性列式求出a、b的值，再通过矩形的特点确定A、C的坐标即可； （2）通过折叠和矩形的平行线推出AO=AP，再在Rt△ABP中利用勾股定理求出BP的长，再确定点P的坐标即可； （3）连接CC'交PO于点D，再利用折叠性质易知D为CC'中点，再利用三角形中位线性质即可求出BC'的长即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，解得， ∴， ∴，； （2）∵，点， ∴，， 由翻折可知：，∵， ∴，∴， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴； （3）如图②，连接交于， 在中，∵，， ∴， ∵垂直平分线段，∴， ∴，， ∵，， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了折叠的基本性质、勾股定理、三角形中位线的性质等知识点，正确作出辅助线、灵活运用相关性质是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$