专题12.4 多边形的内角和定理与外角和定理【九大题型】-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册举一反三系列（苏科版2024）

专题12.4 多边形的内角和定理与外角和定理【九大题型】 【苏科版2024】 【题型1 多边形的内角和的计算】 1 【题型2 正多边形的内角问题】 3 【题型3 多（少）算一个角问题】 6 【题型4 多边形截角后的内角和问题】 8 【题型5 复杂图形的内角和】 10 【题型6 多边形外角和的实际应用】 14 【题型7 多边形内（外）角和与平行线的综合运用】 17 【题型8 多边形内（外）角和与角平分线的综合运用】 26 【题型9 平面镶嵌】 32 知识点：多边形的内角和与外角和 （1）边形内角和等于．正多边形的每个内角的度数为(n≥3)． （2）在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关. 【题型1 多边形的内角和的计算】 【例1】（24-25七年级·广东汕头·期末）如图，在五边形中，，、分别平分、，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形的内角和以及角平分线的定义，解题时注意：多边形内角和（且n为整数）． 先根据五边形内角和求得，再根据角平分线求得，最后根据三角形内角和求得的度数． 【详解】解：∵在五边形中，， ∴， 又∵、分别平分、， ∴， ∴中，． 故选：C． 【变式1-1】（24-25七年级·福建厦门·期末）图是鼓浪屿八卦楼的航拍图，八卦楼的名称源于其屋顶逐层凸起的八边形造型和八棱红色穹顶，则八边形的内角和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，解答本题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式． 根据多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：八边形的内角和为：， 故选：． 【变式1-2】（24-25七年级·新疆阿克苏·期末）若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以画出4条对角线，则这个多边形的内角和是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多边形的内角和，多边形的对角线（连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线）．解题的关键：边形从一个顶点出发可引出条对角线，其内角和为．据此解答即可． 【详解】解：设多边形的边数为， ∵从这个多边形的一个顶点出发最多可以画4条对角线， ∴， 解得：， ∴， ∴这个多边形的内角和为． 故选：A． 【变式1-3】（24-25七年级·四川绵阳·期末）如图1所示的是一把木工使用的六角尺．它能提供常用的几种测量角度，如图2中的六角尺示意图中，x的值应是（　　） A．100 B．112.5 C．120 D．125 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的内角和，根据多边形的外角和列出方程式，进而得出答案． 【详解】解： 解得：． 故答案为：B． 【题型2 正多边形的内角问题】 【例2】（24-25八年级·重庆渝北·期末）如图，在正七边形中延长交于点P，那么 °． 【答案】/ 【分析】本题考查了正多边形内角和三角形外角的性质，熟记正多边形内角和公式是解题的关键； 延长交于点H，根据正多边形内角和公式得出每个内角度数，然后得出邻补角，再根据三角形外角的性质，等量代换即可解答． 【详解】解：如图延长交于点H， ，正七边形的每个内角为 ， ， ，， ， 故答案为：． 【变式2-1】（24-25七年级·河北保定·期末）珍珍在硬纸板中通过如图所示的方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖纸盒（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕，正六边形的四周是长方形），则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正六边形的性质，正六边形的每个内角都为，再根据点B对应的周角为360度，可计算出的度数． 【详解】解：由题意可得， ∴， 故选：B． 【变式2-2】（24-25七年级·河北廊坊·期末）将边长相等的正六边形和正五边形按如图所示的方式叠合在一起，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和是解答本题的关键． 根据正多边形的内角和定理求得正五边形和正六边形的内角，再作差即可解答． 【详解】解：由题意得：正六边形的每个内角都等于，正五边形的每个内角都等于， ， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25七年级·河南新乡·期末）如图，六边形是正六边形，直线与边交于点，直线与边交于点，且．若，那么的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，正多边形的内角和公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点作交于点，然后求出，结合平行线的性质，则，，即可作答． 【详解】解：如图，过点作交于点． 又， ， 在正六边形中，， ， ， ， ， 故选：B． 【题型3 多（少）算一个角问题】 【例3】（24-25七年级·湖北恩施·期中）小明在计算多边形内角和时，把其中一个内角多加了一次，得到内角和为，则多加的这个内角的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角和公式，理解题意，把一个内角多加一次即为整除之后的余数是解答本题的关键．根据多边形内角和公式，内角和应是的倍数，且每个内角应大于而小于，根据这些条件进行分析求解． 【详解】解：由多边形内角和公式知， 多边形的内角和是的倍数， 多加的一个内角是的余数 即为 故答案为 【变式3-1】（24-25七年级·湖南永州·期中）小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角！则小红少加的这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】边形的内角和是，少计算了一个内角，结果得．则内角和是与的差一定小于180度，并且大于0度． 【详解】解：设多边形的边数为，小红少加的这个角的度数是， 则有， 则， 因为， 所以， 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式．解答此题的关键是把所求的角正确的分解为与一个正整数的积再减去一个小于的角的形式，再根据多边形的内角和公式即可求解． 【变式3-2】（24-25七年级·湖北孝感·期中）小明计算一个多边形的内角和时误把一个外角加进去了，得其和为2620°. （1）求这个多加的外角的度数. （2）求这个多边形的边数. 【答案】（1）100；（2）16 【分析】根据多边形的内角和公式（n-2）•180°可知，多边形的内角和是180°的倍数，然后求出多边形的边数以及多加的外角的度数即可得解． 【详解】解：设多边形的边数为n，多加的外角度数为α，则 （n-2）•180°=2620°-α， 又∵2620°=14×180°+100°，内角和应是180°的倍数， ∴小明多加的一个外角为100°， ∴这是14+2=16边形的内角和． 故这个多加的外角的度数为100°，这个多边形的边数是16． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，根据多边形的内角和公式判断出多边形的内角和公式是180°的倍数是解题的关键． 【变式3-3】（24-25七年级·安徽安庆·期中）马小虎在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了2个内角，其和等于，则该多边形的边数是(　　) A．7 B．8 C．7或8 D．无法确定 【答案】C 【分析】n边形的内角和是（n-2）•180°，即为180°的（n-2）倍，多边形的内角一定大于0度，小于180度，因而多边形中，除去2个内角外，其余内角和与180度的商加上2，以后所得的数值，比这个数值大1或2的整数就是多边形的边数． 【详解】设少加的2个内角和为x度，边数为n． 则（n-2）×180=830+x， 即（n-2）×180=4×180+110+x， 因此x=70，n=7或x=250，n=8． 故该多边形的边数是7或8． 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，正确理解多边形内角的大小的特点，以及多边形的内角和定理是解决本题的关键． 【题型4 多边形截角后的内角和问题】 【例4】（2024·上海徐汇·二模）如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数不可能是（　　） A．180° B．270° C．360° D．540° 【答案】B 【分析】分四边形剪去一个角，边数减少1，不变，增加1，三种情况讨论求出所得多边形的内角和，即可得解． 【详解】解：剪去一个角，若边数减少1，则内角和＝（3﹣2）×180°＝180°， 若边数不变，则内角和＝（4﹣2）×180°＝360°， 若边数增加1，则内角和＝（5﹣2）×180°＝540°， 所以，所得多边形内角和的度数可能是180°，360°，540°，不可能是270°． 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，要注意剪去一个角有三种情况． 【变式4-1】（24-25七年级·河南商丘·期中）如图，在正方形中，截去、后，、、、的和为 ． 【答案】 【分析】根据多边形内角和定理求出截去、后六边形的内角和，再减去∠B和∠D的度数，即可求出、、、的和． 【详解】∵四边形ABCD是正方形 ∴ ∵截去、后，组成的图形是六边形 ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形的角度问题，掌握多边形内角和定理和正方形的性质是解题的关键． 【变式4-2】（24-25七年级·河北石家庄·期末）如图，沿着虚线将四边形纸片剪成两部分，如果所得两个图形的内角和相等，则符合条件的剪法是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】根据多边形内角和定理逐一判断即可得答案． 【详解】三角形内角和为180°，四边形内角和为360°，五边形内角和为（5-2）×180°=540°， ①剪开后的两个图形是四边形，它们的内角和都是360°，符合条件， ②剪开后的两个图形是五边形和三角形，它们的内角和分别是540°和180°，不符合条件， ③剪开后的两个图形都是三角形，它们的内角和是180°，符合条件， ④剪开后的两个图形是三角形和四边形，它们的内角和分别是180°和360°，不符合条件， ∴符合条件的剪法是①③， 故选：B． 【点睛】本题考查多边形的内角和定理，多边形内角和=（n-2）×180°（n≥3）；熟练掌握多边形内角和公式是解题关键． 【变式4-3】（24-25七年级·山西吕梁·期中）已知一个包装盒的底面是内角和为720°的多边形，它是由另一个多边形纸片剪掉一个角以后得到的，则原多边形是 边形． 【答案】五或六或七 【分析】首先求得内角和为的多边形的边数，再分三种情况考虑截角，即可得出答案． 【详解】解：设内角和为的多边形的边数是， ， 解得：， 包装盒的底面是六边形， 如图1所示，截线不过顶点和对角线，则原来的多边形是五边形； 如图2所示，截线过一个顶点，则来的多边形是六边形； 如图3所示，截线过一条对角线，则来的多边形是七边形． 故答案为：五或六或七． 【点睛】本题考查多边形知识，注意截去一个角有三种情况需要考虑． 【题型5 复杂图形的内角和】 【例5】（24-25七年级·江苏无锡·期中）图1是二环三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360，图2是二环四边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A8=720，图3是二环五边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A10=1080…聪明的同学，请你直接写出二环十边形，S＝_____________度（       ）    A．1440 B．1800 C．2880 D．3600 【答案】C 【分析】本题只看图觉得很复杂，但从数据入手，就简单了，从图2开始，每个图都比前一个图多360度．抓住这点就很容易解决问题了． 【详解】解：依题意可知，二环三角形，S＝360度； 二环四边形，S＝720＝360×2＝360×（4﹣2）度； 二环五边形，S＝1080＝360×3＝360×（5﹣2）度； … ∴二环十边形，S＝360×（10﹣2）＝2880度． 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，本题可直接根据S的度数来找出规律，然后根据规律表示出二环十边形的度数． 【变式5-1】（24-25七年级·江苏扬州·期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ． 【答案】540° 【分析】连接ED，由三角形内角和可得∠A+∠B=∠BED+∠ADE，再由五边形的内角和定理得出结论． 【详解】连接ED， ∵∠A+∠B=180°-∠AOB，∠BED+∠ADE=180°-∠DOE，∠AOB=∠DOE， ∴∠A+∠B=∠BED+∠ADE， ∵∠CDE+∠DEF+∠C+∠F+∠G=(5-2) ×180°=540°， 即∠CDO+∠ADE+BED+∠BEF+∠C+∠F+∠G=540°， ∴∠A+∠B+∠C+∠CDO+∠BEF+∠F+∠G=540°． 故答案为：540°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和公式，以及多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为(n-2)×180°是解答本题的关键． 【变式5-2】（24-25七年级·江苏南京·期中）如图，已知两块三角板如图摆放，点和点分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点在另一块三角板的边上，且，，，则 ． 【答案】68 【分析】延长交于D，延长交于G， 根据外角的性质得到根据四边形的内角和和邻补角的定义得到于是得到结论． 【详解】解：延长BE交AC于D，延长CF交BD于G， 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，四边形的内角和，邻补角的定义，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 【变式5-3】（24-25七年级·安徽芜湖·期中）（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= ． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G= ． 【答案】 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求得； （2）根据四边形内角和可求得， ，再利用三角形内角关系可得 ，进而可求得． 【详解】解：（1）∵在中，， 在中，， ∴， 故答案为； （2）如图，∵， ， ∴． ∵， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理及多边形内角和定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 【题型6 多边形外角和的实际应用】 【例6】（24-25七年级·安徽合肥·期中）[应用意识]清晨，小明沿着一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，如图．    (1)小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角，在图上标出； (2)他每跑一圈，身体转过的角度之和是多少？ (3)你是怎么得到的？ 【答案】(1)图见解析， (2)他每跑一圈，身体转过的角度之和是 (3)五边形的外角和等于 【分析】（1）根据图形进行解答即可； （2）根据多边形外角和进行解答即可； （3）多边形的外角和等于． 【详解】（1）解：如图，小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是．    （2）解：他每跑一圈，身体转过的角度之和是 （3）解：五边形的外角和等于． 【点睛】本题主要考查了多边形的外角，解题的关键是熟练掌握多边形的外角和等于． 【变式6-1】（24-25七年级·四川成都·期末）如图，蚂蚁先从点A出发前进，向右转，再前进，又向右转，…，这样一直走下去，那么蚂蚁第一次回到出发点A时，一共走了 ．    【答案】30 【分析】本题主要考查了多边形内角与外角的应用，解题的关键是判断出蚂蚁所走的路线为正多边形，牢记任何一个多边形的外角和都是，正多边形的每一个外角都相等． 由题意可知蚂蚁所走的路线为正多边形，根据多边形的外角和定理即可求出答案． 【详解】解：蚂蚁从点出发最后回到出发点时正好走了一个正多边形， 根据外角和定理可知正多边形的边数为， 则一共走了（厘米）． 故答案为：30． 【变式6-2】（24-25七年级·山西吕梁·阶段练习）《红楼梦》是我国四大名著之一，文学社团的同学在搜集相关资料时发现一张如图所示的《红楼梦》纪念币图案（将纪念币的正面图案和背面图案拼到一起），这个图案可以抽象成有公共边的两个正八边形，如图，则的度数是 ． 【答案】/90度 【分析】此题考查了正多边形的外角性质，利用正多边形的外角性质以及外角和是即可求出答案，解题的关键是熟练掌握正多边形的外角性质以及外角和是． 【详解】∵正八边形的外角和是，共八个外角且每个外角都相等， ∴每个外角都是， ∴正八边形的两个外角的和， 故答案为：． 【变式6-3】（24-25七年级·山东济南·期末）如图1，小红沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，小红每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．    (1)该五边形广场的内角和是 度； (2)她跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是 度； (3)如图2，小红参加“全民健身，共筑健康中国”活动，从点A起跑，绕湖周围的小路跑至终点E，若，且，求行程中小红身体转过的角度的和（图的值）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据五边形内角和求解即可； （2）跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和； （3）延长NE交AB于点F，再在五边形中计算即可． 【详解】（1）五边形广场的内角和， 故答案为：； （2）∵跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和， ∴跑步方向改变的角度的和是度， 故答案为：； （3）延长NE交AB于点F    ∵ ∴ ∵ ∴ ∵在五边形中 ∴ 【点睛】考查了多边形内角与外角，关键是熟练掌握多边形的外角和等于360度的知识点． 【题型7 多边形内（外）角和与平行线的综合运用】 【例7】（24-25七年级·重庆沙坪坝·期中）已知在中，是边上的高，是的角平分线． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，平分交于点F，交外角平分线于点P，过F作交于G，请猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，过点P作于点G，若，且，过点P作交的延长线于点H，求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）先求解，，，再结合三角形的高可得答案； （2）先证明结合，可得，结合，从而可得结论； （3）设，可得，，，，结合（2）可得，，求解，结合，再建立方程进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∵是边上的高， ∴， ∴． （2）．理由如下： ∵，分别平分和的外角， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）设， ∴， ∴，，， ∴由（2）可得， ∵平分， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ 在四边形中，． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，四边形的内角和定理的应用，角平分线的含义，理清各角度之间的关系是解本题的关键． 【变式7-1】（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图，一束太阳光平行照射在正n边形上，若，则 ．    【答案】6 【分析】过作，根据平行线的性质可得，，求得，设正多边形的内角为x，则满足，推得，即可求得，得到，即可求出正多边形的边数． 【详解】解：过作，    则， ∵ ∴ 设正多边形的内角为x，则 ∴ ∴ ∵，解得 ∴ ∴这个正多边形的边数为 故答案为：6． 【点睛】本题考查了根据正多边形外角求正多边形的边数，平行线的性质等知识，熟练掌握正多边形的外角性质是解题的关键． 【变式7-2】（24-25七年级·吉林长春·期中）在中，．点D、E分别在的边上，且均不与的顶点重合，连接，将沿折叠，使点A的对称点始终落在四边形的外部，交边于点F，且点与点C在直线的异侧． (1)如图①，则_______． (2)如图②，则_______． (3)如图③，设图②中的．求的度数； (4)当的某条边与或垂直时，直接写出的度数． 【答案】(1)48 (2)222 (3) (4)或 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，四边形的内角和定理，平行的性质和折叠的性质，熟悉相关性质并能熟练应用是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理可得的度数； （2）根据四边形内角和定理可得的度数； （3）由（2）的结论可得，由折叠可得，由三角形内角和定理可得，两式相减，可得答案； （4）分两种情况：或或时，分别求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：48； （2）解： ， ， 故答案为：222； （3）解：由（2）知， ， 由折叠知， ， ， 得：； （4）解：如图，当时， ， ， ， 由（3）知， ， 由折叠知， ； 如图，当时， ； 如图，当时，点与点C在直线的同侧，不合题意； 综上可知，的度数为或． 【变式7-3】（24-25七年级·江苏扬州·期末）已知在四边形中，，（，）． (1)_______（用含、的代数式表示）． (2)如图①，若，平分，平分与相邻的外角，请写出与的位置关系，并说明理由． (3)如图②，为与、相邻的外角平分线所在直线构成的锐角． ①当时，若，试求、； ②小明在作图时，发现不一定存在，请指出、满足什么条件时，不存在． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)①，；②当且时，不存在． 【分析】（1）根据四边形内角和等于直接计算即可得到答案； （2）根据（1）与时，，结合得到，根据平分，平分，得到，根据，即可得到答案； （3）①连接并延长至点，根据得到，结合平分得到，同理得到，即可得到，即可得到答案；②过点作，由①得：，，结合得到，表示出，由（1）结论及表示出，即可得到答案； 【详解】（1）解：∵在四边形中， ∴， ∵，， ∴； （2）解：，理由：如答图①，延长交于点， 由（1）知：， ∴当时，， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， 又∵， ， ∵，， ∴， .∴， ∴； （3）解：①如答图②，连接并延长至点， ∵， ∴， ∵平分， ∴ 同理可证，. ∵，， ∴， ，； ②如答图③，过点作， 由①得：，， ∵， ∴， ∴. 又∵， ∴当时，， ∴. ∴， ， ， ， 此时，与没有交点， ∴当且时，不存在； 【点睛】本题考查根据角平分线求解，四边形内角和定理，平行线性质与判定，解题的关键是作出辅助线及注意整体代换的思想． 【题型8 多边形内（外）角和与角平分线的综合运用】 【例8】（24-25七年级·湖北武汉·开学考试）在四边形中，O在其内部，满足，． (1)如图1，当时，如果，直接写出的度数______； (2)当时，M、N分别在、的延长线上，下方一点P，满足，， ①如图2，判断与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图3，延长线段、交于点Q，中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接写出的度数为______． 【答案】(1) (2)①见解析②或 【分析】本题考查四边形的内角和及角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟知四边形的内角和是是解题的关键． （1）首先根据四边形的内角和及角平分线的定义，求出，进而根据三角形的内角和定理即可求解； （2）①首先由已知求出，，根据平角的定义得出，同理，根据四边形的内角和定理即可求解；②在中，由①得，根据题意分二种情况进行讨论：，，分别求解即可． 【详解】（1）解：，， 当时，，， ，， ，， ， ， ； 故答案为：； （2）①． 证明：，， 当时，，， ，， ，， ， 同理， ， ． ②由①得：，， 如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分二种情况： 当， ， ，则， ， ， ，， ， ； 当， ， ，则， ， ， ，， ， ． 综上所述，的度数为：或． 故答案为：或． 【变式8-1】（24-25七年级·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，和的平分线交于点P，则的度数为（    ）    A．200° B．210° C．220° D．230° 【答案】D 【分析】先根据角平分线的定义得出，，根据三角形的外角得出，进而求出，根据，进而可得出答案． 【详解】解：∵和的平分线交于点P， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在四边形中，， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查角平分线的定义，四边形的内角和，三角形的外角，正确理解题意是解题的关键． 【变式8-2】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，点E是上的点，于点D，的平分线交于点F，连接交于点H，的角平分线交的延长线于点P，若，，则 . 【答案】 【分析】本题考查了四边形内角和定理，三角形内角和定理，角平分线的定义．设，则，由四边形内角和定理得，求得．进一步计算即可求解． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 由四边形内角和定理得， 解得． ∴， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式8-3】（24-25七年级·山东日照·期末）已知：多边形的外角和的平分线分别为BM，DN． (1)若多边形为四边形ABCD． ①如图①，，BM与DN交于点P，求的度数； ②如图②，猜测当和满足什么数量关系时，，并证明你的猜想． (2)如图③，若多边形是五边形ABCDG，已知，BM与DN交于点P，求的度数． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①由，可推出，由角平分线的性质可得，再由求解即可； ②连接，由可得，进而可得，，求解即可； （2）延长交于点Q，根据五边形的内角和可得，进而可得，再根据角平分线的性质进一步推导出，求解即可． 【详解】（1）①∵， ∴在四边形ABCD中，， ， ∵多边形的外角和的平分线分别为BM，DN， ∴， ； ②当时，， 证明：如图，连接， ∵， ， ， 即， ， ， ∴； （2）如图，延长交于点Q， ∵，， ， ∴， ∵平分，平分， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，角平分线的定义，平行线的判定和性质，能够准确找到角之间的关系是解题的关键． 【题型9 平面镶嵌】 【例9】（24-25七年级·四川遂宁·期末）如图是用边长相等的正三角形和正多边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则这种正多边形地砖的边数是（　　） A．12 B．10 C．18 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了平面镶嵌，多边形内角和公式，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．根据平面镶嵌的条件，先求出正多边形的一个内角的度数，再根据内角和公式求出边数即可． 【详解】解：设正多边形的边数为， 根据题意可知，该正边形的一个内角为 则有： 解得： 故选：A． 【变式9-1】（24-25七年级·河南郑州·期末）边长相等的下列两种正多边形的组合，不能作平面镶嵌的是 （请填序号）． ①正方形与正三角形②正五边形与正三角形③正六边形与正三角形④正八边形与正方形 【答案】② 【分析】分别求出各个正多边形每个内角的度数，再结合镶嵌的条件即可作出判断． 【详解】解：正三角形的每个内角是，正方形的每个内角是，，能作平面镶嵌； 正三角形的每个内角是，正五边形每个内角是，，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能作平面镶嵌； 正三角形的每个内角是，正六边形的每个内角是，，能作平面镶嵌； 正八边形的每个内角是，正方形的每个内角是，，能作平面镶嵌． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．掌握镶嵌的条件是解题的关键． 【变式9-2】（24-25七年级·四川乐山·期末）在乡村振兴建设中，某村欲利用两种边长相等的正多边形地砖来铺设地面，美化公园．现已购买了一部分正方形地砖，还需购买另一种正多边形地砖搭配使用才能铺满地面，则购买的正多边形是（    ） A．正五边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形 【答案】C 【分析】本题考查平面镶嵌问题，考查的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除，任意几种多边形能否进行镶嵌，看它们能否组成的角．分别各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断． 【详解】解：A、正五边形每个内角是，与无论怎样也不能组成的角，不能密铺，不符合题意； B、正七边形每个内角是，与无论怎样也不能组成的角，不能密铺，不符合题意； C、正八边形每个内角是，，能密铺，符合题意． D、正九边形每个内角是，与无论怎样也不能组成的角，不能密铺，不符合题意； 故选：C 【变式9-3】（24-25七年级·广东深圳·期末）如图所示的地面由正六边形和四边形两种地砖镶嵌而成，则的度数为 ． 【答案】/120度 【分析】本题考查平面镶嵌（密铺），根据正六边形内角和定理，求出每个内角度数，然后根据周角求出答案．几何图形镶嵌成平面的关键：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 【详解】解：正六边形内角和 ， 所以每个内角度数， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12.4 多边形的内角和定理与外角和定理【九大题型】 【苏科版2024】 【题型1 多边形的内角和的计算】 1 【题型2 正多边形的内角问题】 2 【题型3 多（少）算一个角问题】 3 【题型4 多边形截角后的内角和问题】 3 【题型5 复杂图形的内角和】 4 【题型6 多边形外角和的实际应用】 5 【题型7 多边形内（外）角和与平行线的综合运用】 7 【题型8 多边形内（外）角和与角平分线的综合运用】 8 【题型9 平面镶嵌】 10 知识点：多边形的内角和与外角和 （1）边形内角和等于．正多边形的每个内角的度数为(n≥3)． （2）在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关. 【题型1 多边形的内角和的计算】 【例1】（24-25七年级·广东汕头·期末）如图，在五边形中，，、分别平分、，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25七年级·福建厦门·期末）图是鼓浪屿八卦楼的航拍图，八卦楼的名称源于其屋顶逐层凸起的八边形造型和八棱红色穹顶，则八边形的内角和为 ． 【变式1-2】（24-25七年级·新疆阿克苏·期末）若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以画出4条对角线，则这个多边形的内角和是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25七年级·四川绵阳·期末）如图1所示的是一把木工使用的六角尺．它能提供常用的几种测量角度，如图2中的六角尺示意图中，x的值应是（　　） A．100 B．112.5 C．120 D．125 【题型2 正多边形的内角问题】 【例2】（24-25八年级·重庆渝北·期末）如图，在正七边形中延长交于点P，那么 °． 【变式2-1】（24-25七年级·河北保定·期末）珍珍在硬纸板中通过如图所示的方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖纸盒（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕，正六边形的四周是长方形），则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25七年级·河北廊坊·期末）将边长相等的正六边形和正五边形按如图所示的方式叠合在一起，则的度数为 ． 【变式2-3】（24-25七年级·河南新乡·期末）如图，六边形是正六边形，直线与边交于点，直线与边交于点，且．若，那么的大小为（   ） A． B． C． D． 【题型3 多（少）算一个角问题】 【例3】（24-25七年级·湖北恩施·期中）小明在计算多边形内角和时，把其中一个内角多加了一次，得到内角和为，则多加的这个内角的大小为 ． 【变式3-1】（24-25七年级·湖南永州·期中）小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角！则小红少加的这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25七年级·湖北孝感·期中）小明计算一个多边形的内角和时误把一个外角加进去了，得其和为2620°. （1）求这个多加的外角的度数. （2）求这个多边形的边数. 【变式3-3】（24-25七年级·安徽安庆·期中）马小虎在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了2个内角，其和等于，则该多边形的边数是(　　) A．7 B．8 C．7或8 D．无法确定 【题型4 多边形截角后的内角和问题】 【例4】（2024·上海徐汇·二模）如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数不可能是（　　） A．180° B．270° C．360° D．540° 【变式4-1】（24-25七年级·河南商丘·期中）如图，在正方形中，截去、后，、、、的和为 ． 【变式4-2】（24-25七年级·河北石家庄·期末）如图，沿着虚线将四边形纸片剪成两部分，如果所得两个图形的内角和相等，则符合条件的剪法是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【变式4-3】（24-25七年级·山西吕梁·期中）已知一个包装盒的底面是内角和为720°的多边形，它是由另一个多边形纸片剪掉一个角以后得到的，则原多边形是 边形． 【题型5 复杂图形的内角和】 【例5】（24-25七年级·江苏无锡·期中）图1是二环三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360，图2是二环四边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A8=720，图3是二环五边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A10=1080…聪明的同学，请你直接写出二环十边形，S＝_____________度（       ）    A．1440 B．1800 C．2880 D．3600 【变式5-1】（24-25七年级·江苏扬州·期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ． 【变式5-2】（24-25七年级·江苏南京·期中）如图，已知两块三角板如图摆放，点和点分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点在另一块三角板的边上，且，，，则 ． 【变式5-3】（24-25七年级·安徽芜湖·期中）（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= ． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G= ． 【题型6 多边形外角和的实际应用】 【例6】（24-25七年级·安徽合肥·期中）[应用意识]清晨，小明沿着一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，如图．    (1)小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角，在图上标出； (2)他每跑一圈，身体转过的角度之和是多少？ (3)你是怎么得到的？ 【变式6-1】（24-25七年级·四川成都·期末）如图，蚂蚁先从点A出发前进，向右转，再前进，又向右转，…，这样一直走下去，那么蚂蚁第一次回到出发点A时，一共走了 ．    【变式6-2】（24-25七年级·山西吕梁·阶段练习）《红楼梦》是我国四大名著之一，文学社团的同学在搜集相关资料时发现一张如图所示的《红楼梦》纪念币图案（将纪念币的正面图案和背面图案拼到一起），这个图案可以抽象成有公共边的两个正八边形，如图，则的度数是 ． 【变式6-3】（24-25七年级·山东济南·期末）如图1，小红沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，小红每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．    (1)该五边形广场的内角和是 度； (2)她跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是 度； (3)如图2，小红参加“全民健身，共筑健康中国”活动，从点A起跑，绕湖周围的小路跑至终点E，若，且，求行程中小红身体转过的角度的和（图的值）． 【题型7 多边形内（外）角和与平行线的综合运用】 【例7】（24-25七年级·重庆沙坪坝·期中）已知在中，是边上的高，是的角平分线． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，平分交于点F，交外角平分线于点P，过F作交于G，请猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，过点P作于点G，若，且，过点P作交的延长线于点H，求的度数． 【变式7-1】（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图，一束太阳光平行照射在正n边形上，若，则 ．    【变式7-2】（24-25七年级·吉林长春·期中）在中，．点D、E分别在的边上，且均不与的顶点重合，连接，将沿折叠，使点A的对称点始终落在四边形的外部，交边于点F，且点与点C在直线的异侧． (1)如图①，则_______． (2)如图②，则_______． (3)如图③，设图②中的．求的度数； (4)当的某条边与或垂直时，直接写出的度数． 【变式7-3】（24-25七年级·江苏扬州·期末）已知在四边形中，，（，）． (1)_______（用含、的代数式表示）． (2)如图①，若，平分，平分与相邻的外角，请写出与的位置关系，并说明理由． (3)如图②，为与、相邻的外角平分线所在直线构成的锐角． ①当时，若，试求、； ②小明在作图时，发现不一定存在，请指出、满足什么条件时，不存在． 【题型8 多边形内（外）角和与角平分线的综合运用】 【例8】（24-25七年级·湖北武汉·开学考试）在四边形中，O在其内部，满足，． (1)如图1，当时，如果，直接写出的度数______； (2)当时，M、N分别在、的延长线上，下方一点P，满足，， ①如图2，判断与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图3，延长线段、交于点Q，中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接写出的度数为______． 【变式8-1】（24-25七年级·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，和的平分线交于点P，则的度数为（    ）    A．200° B．210° C．220° D．230° 【变式8-2】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，点E是上的点，于点D，的平分线交于点F，连接交于点H，的角平分线交的延长线于点P，若，，则 . 【变式8-3】（24-25七年级·山东日照·期末）已知：多边形的外角和的平分线分别为BM，DN． (1)若多边形为四边形ABCD． ①如图①，，BM与DN交于点P，求的度数； ②如图②，猜测当和满足什么数量关系时，，并证明你的猜想． (2)如图③，若多边形是五边形ABCDG，已知，BM与DN交于点P，求的度数． 【题型9 平面镶嵌】 【例9】（24-25七年级·四川遂宁·期末）如图是用边长相等的正三角形和正多边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则这种正多边形地砖的边数是（　　） A．12 B．10 C．18 D．6 【变式9-1】（24-25七年级·河南郑州·期末）边长相等的下列两种正多边形的组合，不能作平面镶嵌的是 （请填序号）． ①正方形与正三角形②正五边形与正三角形③正六边形与正三角形④正八边形与正方形 【变式9-2】（24-25七年级·四川乐山·期末）在乡村振兴建设中，某村欲利用两种边长相等的正多边形地砖来铺设地面，美化公园．现已购买了一部分正方形地砖，还需购买另一种正多边形地砖搭配使用才能铺满地面，则购买的正多边形是（    ） A．正五边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形 【变式9-3】（24-25七年级·广东深圳·期末）如图所示的地面由正六边形和四边形两种地砖镶嵌而成，则的度数为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$