精品解析：云南省煤炭第一中学2024－2025学年九年级下学期4月月考数学试卷

2025年云南省煤炭第一中学九年级4月月考数学试卷 注意事项: 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中考所用的排球重量有严格标准，现有四个排球，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（ ） A. B. C. D. 2. 蛇年新春，五湖四海的游客竞相奔赴南京过大年．春节期间，秦淮区接待游客量超过500万人次，约占全市三分之一，旅游总收入突破50亿元，超全市四分之一，均创历史新高．将500万和50亿用科学记数法分别表示为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 一种路灯的示意图如图所示，灯杆与底部支架所成的．顶部支架与灯杆所成的，若底部支架与吊线平行，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 下列关于反比例函数的描述中，正确的是（ ） A. 图像在第二、四象限； B. 当时，随的增大而减小； C. 点在反比例函数的图像上； D. 当时，. 5. 已知：无论取何值时，都成立，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，若，为上一点，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 2 7. 端午节是中国的传统节日之一，有着悠久的历史和丰富的文化内涵，如图是某品牌粽子的一种包装盒，它的主视图为（　　） A. B. C. D. 8. 下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有5个小圆圈，第②个图形中一共有7个小圆圈，第③个图形中一共有9个小圆圈．．．．．．，按此规律，第⑧个图形中小圆圈的个数为（ ） A. 15 B. 17 C. 19 D. 21 9. 九（1）班同学设计用频率估计概率的试验如下：在一个不透明的口袋中，装有12个球，它们除颜色外其余均相同，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．通过大量重复摸球试验，统计了摸到红球的频率，绘出的统计表如图所示，则口袋中红球的个数最可能是（ ） 摸球总次数 10 50 100 1000 摸到红球的频率 A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 10个 10. 如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 博物馆作为一个国家和民族的精神家园，是了解本土文化和历史遗产的最佳场所，各博物馆标志也独具特色．下列博物馆标志中，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝30°，则∠E的度数是（　　） A. 45° B. 30° C. 20° D. 15° 13. 美术兴趣小组在中秋节这一天人人相互送一个月饼，共送出56个月饼，美术兴趣小组人数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 6 14. 已知二次根式与是同类二次根式，则的值可以是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 15. 估计的值应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 因式分解：________． 17. 如图，在中，点在线段上，添加一个条件，使得，则添加的条件是________．（只填一个） 18. 如图，在一圆柱铁桶内底面的点处有一飞虫，在其上边沿的点处有一面包残渣，已知是点正下方的桶内底面上一点，已知劣弧的长为，铁桶的底面直径为，桶高为60cm，则该飞虫从点到达的最短路径是____________cm． 19. 为了了解我市七年级学生的体能状况，从某校七年级甲、乙两班中各抽取27名女生进行一分钟跳绳次数测试，测试数据统计结果如表．如果每分钟跳绳次数次的为优秀，那么甲、乙两班的优秀率的关系是：甲的优秀率 _______乙的优秀率．（填“”“ ”或“” 班级 人数 中位数 平均数 甲班 27 104 97 乙班 27 106 96 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 20. 计算：． 四、解答题：本题共7小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 如图，在四边形中，，交于点，已知，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，判断四边形的形状，并说明理由． 22. 为弘扬开州举子园文化，某纪念品店最初用750元购进了“文峰塔”主题文创笔记本，很快销售完．该纪念品店又用1800元购进了第二批该款笔记本，由于供货紧张，每本笔记本的进货价比第一次多1元，所购数量是第一批购进数量的2倍． （1）该专卖店购进的第一批笔记本每份的进价是多少元？ （2）如果两批笔记本按相同的标价销售，要使两批笔记本全部售完后利润不低于1050元，那么每份笔记本的标价至少是多少元? 23. 小希和小辰做转盘游戏，规则如下：如图，有甲、乙两个标有数字的转盘，同时转动甲、乙两个转盘，当转盘停止后，两个指针所指区域的数字之和为正数时，小希胜；否则小辰胜（若指针恰好指在分割线上，则重转，直到指针指向某一区域为止）． （1）小希转动一次甲转盘，指针指向的数字是偶数的概率是__________． （2）请用画树状图或列表的方法说明这个游戏规则对双方是否公平． 24. 如图，为的直径，在位于异侧的上分别取点，，连接，，，，交于点，射线交的延长线于点，延长交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，，求的半径及线段的长 25. 琪琪根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是琪琪的探究过程，请补充完整： （1）下表是与的几组对应值，请直接写出：_______，_______； … 0 1 2 3 4 … … 0 … （2）如图所示，在平面直角坐标系中，描出上表中的点，然后用平滑的曲线连接起来，画出函数的图象； （3）由图象可知，当时，对应的自变量有______个值． 26. 如图所示，图象由图象和组成，其中图象是函数的图象，图象是函数的图象． （1）若点在图象上，求的值； （2）已知直线与轴平行，且与图象有三个不同的交点，从左至右依次为点、、，若，求点的坐标； （3）当图象上的点满足时，记此时的取值范围为．设，若在中总存在，使得，求此时实数的取值范围． 27. 在中，，点是边上一点，以为半径的与边相交于点． （1）如图1，当过点时，取边中点，连接，求证：是的切线； （2）如图2，若，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年云南省煤炭第一中学九年级4月月考数学试卷 注意事项: 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中考所用的排球重量有严格标准，现有四个排球，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的实际意义，掌握绝对值的意义解题的关键． 根据绝对值的意义，即可解题． 【详解】解：由题意可得各数的绝对值分别为，，，， ， 最接近标准质量的是， 故选：D． 2. 蛇年新春，五湖四海的游客竞相奔赴南京过大年．春节期间，秦淮区接待游客量超过500万人次，约占全市三分之一，旅游总收入突破50亿元，超全市四分之一，均创历史新高．将500万和50亿用科学记数法分别表示为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于 10 时，是非负数，当原数绝对值小于 1 时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：用科学记数法可将数据500万表示为， 用科学记数法可将数据50亿表示为， 故选：C． 3. 一种路灯的示意图如图所示，灯杆与底部支架所成的．顶部支架与灯杆所成的，若底部支架与吊线平行，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，过E作，根据平行线的传递性可得，然后根据平行线的性质依次求出，，即可． 【详解】解：过E作， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 4. 下列关于反比例函数的描述中，正确的是（ ） A. 图像在第二、四象限； B. 当时，随的增大而减小； C. 点在反比例函数的图像上； D. 当时，. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质依次进行判断即可得． 【详解】解：A、，，则图像在第一、三象限，选项说法错误，不符合题意； B、，，则图像在第一、三象限，所以当时，随的增大而减小，选项说法正确，符合题意 C、，点不在反比例函数的图像上，选项说法错误，不符合题意； D、，图像在第一、三象限，当时，，选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图像与性质，解题的关键是掌握反比例函数的图像与性质． 5. 已知：无论取何值时，都成立，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的法则，根据题意，正确计算，进而求出，是解题关键． 先对原式进行多项式乘以多项式，得出，，再将化成，再代入即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ，， ． 故选：B． 6. 如图，在中，若，为上一点，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，从而得到，进而得到，可证得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． 故选：A 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，根据题意得到是解题的关键． 7. 端午节是中国的传统节日之一，有着悠久的历史和丰富的文化内涵，如图是某品牌粽子的一种包装盒，它的主视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可．从正面看得到的图形是主视图． 【详解】解：包装盒的主视图为 故选：A． 8. 下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有5个小圆圈，第②个图形中一共有7个小圆圈，第③个图形中一共有9个小圆圈．．．．．．，按此规律，第⑧个图形中小圆圈的个数为（ ） A. 15 B. 17 C. 19 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化规律可知，每个图形都比前一个多2个小圆圈，总结出第个图的表达式即可．总结出图形的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由题知，第①个图形中一共有个小圆圈， 第②个图形中一共有个小圆圈， 第③个图形中一共有个小圆圈， ， 第个图形中一共有个小圆圈， 第⑧个图形中小圆圈的个数为， 故选：C． 9. 九（1）班同学设计用频率估计概率的试验如下：在一个不透明的口袋中，装有12个球，它们除颜色外其余均相同，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．通过大量重复摸球试验，统计了摸到红球的频率，绘出的统计表如图所示，则口袋中红球的个数最可能是（ ） 摸球总次数 10 50 100 1000 摸到红球的频率 A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 10个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，正确运用概率公式是解题关键． 根据表格中信息可得到红球的概率，再根据概率公式解答即可． 【详解】解：从给出的表格中可以看到，随着摸球总次数的增加，摸到红球的频率逐渐稳定在左右， 设口袋中红球有个， 由于摸到红球的频率稳定值可近似看作摸到红球的概率，即， 解得：， 所以口袋中红球的个数最可能是个， 故选：B． 10. 如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握相关知识．由，可得，推出，根据垂径定理可得，推出，最后根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：， ， ， 交于点， ， ， ， ， 故选：B． 11. 博物馆作为一个国家和民族的精神家园，是了解本土文化和历史遗产的最佳场所，各博物馆标志也独具特色．下列博物馆标志中，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟悉掌握轴对称的特点是解题的关键． 根据轴对称的特点逐一判断即可． 【详解】解：A：不是轴对称图形，故A错误； B：是轴对称图形，故B正确； C：不是轴对称图形，故C错误； D：不是轴对称图形，故D错误； 故选：B． 12. 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝30°，则∠E的度数是（　　） A. 45° B. 30° C. 20° D. 15° 【答案】D 【解析】 【分析】连接，由矩形性质可得、，知，而，可得度数 【详解】解：连接，如图所示： 四边形是矩形， ，，且， ， 又， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查矩形性质、等腰三角形的性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键． 13. 美术兴趣小组在中秋节这一天人人相互送一个月饼，共送出56个月饼，美术兴趣小组人数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】考查一元二次方程的应用；得到月饼总数的等量关系是解决本题的关键．等量关系为：小组的人数小组人数，把相关数值代入计算即可． 【详解】解：设美术兴趣小组人数为x人． ， 解得（不合题意，舍去）， 故选：B． 14. 已知二次根式与是同类二次根式，则的值可以是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】把选项中的数分别代入二次根式进行化简，然后看被开方数是否是2即可． 【详解】解：，A、当时，，所以与不是同类二次根式； B、当时，，所以与是同类二次根式； C、当时，，所以与不是同类二次根式； D、当5时，=，所以与不是同类二次根式． 故选B． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式的判断，注意同类二次根式是指化简后被开方数相同的二次根式． 15. 估计的值应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的混合运算进行化简，进而估算即可求解． 【详解】解：原式 ∵， ∴， 即， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无数的估算，正确的计算是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提公因式法和公式法进行因式分解成为解题的关键． 先提取公因式y，然后运用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 17. 如图，在中，点在线段上，添加一个条件，使得，则添加的条件是________．（只填一个） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查添加条件使两个三角形相似，涉及两个三角形相似的判定定理，根据图形，结合两个三角形相似的判定定理添加条件即可得到答案，熟记两个三角形相似的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：①两角对应相等的两个三角形相似： ， 当时，； 当时，； ②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似： ， 当时，； 综上所述，添加或或，使得， 故答案为：（答案不唯一）． 18. 如图，在一圆柱铁桶内底面的点处有一飞虫，在其上边沿的点处有一面包残渣，已知是点正下方的桶内底面上一点，已知劣弧的长为，铁桶的底面直径为，桶高为60cm，则该飞虫从点到达的最短路径是____________cm． 【答案】 【解析】 【分析】连接AC、AB、OA、OC，作OD⊥AC于点D，先由弧长公式求出∠AOC的度数，然后得到∠AOD的度数，然后利用勾股定理求出AD，然后得到AC，再利用勾股定理求出AB即可. 【详解】解：根据题意，连接AC、AB、OA、OC，作OD⊥AC于点D，如图： ∵劣弧的长为，， ∴， 解得：， 即∠AOC=120°， ∵OD⊥AC， ∴∠AOD=∠AOC=60°， ∴∠OAD=30°， ∴OD=OA=10， ∴， ∴， 在Rt△ABC中，，由勾股定理得： ； ∴该飞虫从点到达的最短路径是cm； 故答案为：. 【点睛】本题考查了最短路径问题，也考查了弧长公式，垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握弧长公式和垂径定理，利用勾股定理正确求出AC的长度. 19. 为了了解我市七年级学生的体能状况，从某校七年级甲、乙两班中各抽取27名女生进行一分钟跳绳次数测试，测试数据统计结果如表．如果每分钟跳绳次数次的为优秀，那么甲、乙两班的优秀率的关系是：甲的优秀率 _______乙的优秀率．（填“”“ ”或“” 班级 人数 中位数 平均数 甲班 27 104 97 乙班 27 106 96 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用中位数解决实际问题，只需学生熟练掌握中位数的概念，即可完成．要比较甲乙两班的优秀率，只要比较一下中位数即可，甲乙两班的中位数都为第13位同学的成绩，所以，通过比较甲乙两班的中位数即可比较优秀率． 【详解】解：根据甲乙两班的中位数可以初步判断乙班优秀的人数人，而甲班的优秀人数个，通过比较可以确定甲的优秀率乙的优秀率． 故答案为：． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了实数运算及特殊角三角函数值，正确化简各数是解题关键． 利用绝对值的性质和特殊角三角函数值，乘方运算，分别化简计算求解即可． 【详解】解： ． 四、解答题：本题共7小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 如图，在四边形中，，交于点，已知，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）=证明：∵AB∥CD， ，， 又， ， ． 四边形是平行四边形； （2） 解：四边形是菱形， 理由：平分， ∴， 又， ， ， 又四边形是平行四边形， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定是解题的关键． （1）先证明，则，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求证； （2）先根据平行线加角平分线得到等腰三角形，继而根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 为弘扬开州举子园文化，某纪念品店最初用750元购进了“文峰塔”主题文创笔记本，很快销售完．该纪念品店又用1800元购进了第二批该款笔记本，由于供货紧张，每本笔记本的进货价比第一次多1元，所购数量是第一批购进数量的2倍． （1）该专卖店购进的第一批笔记本每份的进价是多少元？ （2）如果两批笔记本按相同的标价销售，要使两批笔记本全部售完后利润不低于1050元，那么每份笔记本的标价至少是多少元? 【答案】（1）专卖店购进的第一批笔记本每份的进价是5元 （2）每份笔记本的标价至少是8元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设该专卖店购进的第一批笔记本每份的进价是元，则第二批笔记本每份的进价是元，根据某纪念品店最初用750元购进了“文峰塔”主题文创笔记本，很快销售完．该纪念品店又用1800元购进了第二批该款笔记本，所购数量是第一批购进数量的2倍，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设每份笔记本的标价是元，根据某纪念品店最初用750元购进了“文峰塔”主题文创笔记本，很快销售完．该纪念品店又用1800元购进了第二批该款笔记本，两批笔记本按相同的标价销售，要使两批笔记本全部售完后利润不低于1050元，结合（1）的结论，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设该专卖店购进的第一批笔记本每份的进价是元，则第二批笔记本每份的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， 答：该专卖店购进的第一批笔记本每本的进价是5元； 【小问2详解】 解：设每份笔记本的标价是元， 第二批笔记本每份的进价为：（元， 由题意得：， 解得：， 答：每份笔记本的标价至少是8元． 23. 小希和小辰做转盘游戏，规则如下：如图，有甲、乙两个标有数字的转盘，同时转动甲、乙两个转盘，当转盘停止后，两个指针所指区域的数字之和为正数时，小希胜；否则小辰胜（若指针恰好指在分割线上，则重转，直到指针指向某一区域为止）． （1）小希转动一次甲转盘，指针指向的数字是偶数的概率是__________． （2）请用画树状图或列表的方法说明这个游戏规则对双方是否公平． 【答案】（1） （2） 这个游戏规则对双方不公平，理由如下： 画树状图如下： 共有12种等可能的情况，其中两个指针所指区域的数字之和为正数的结果有7种，两个指针所指区域的数字之和不为正数的结果有5种， ∴小希胜的概率，小辰胜的概率， ∴小希胜的概率小辰胜的概率， ∴这个游戏对双方不公平． 【解析】 【分析】此题考查了游戏公平性的判断以及列表法与树状图法求概率，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能的情况，其中两个指针所指区域的数字之和为正数的结果有7种，两个指针所指区域的数字之和不为正数的结果有5种，再由概率公式求出小希胜的概率小辰胜的概率，即可得出结论． 【小问1详解】 解：小希转动一次甲转盘，指针指向的数字是偶数的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 略 24. 如图，为的直径，在位于异侧的上分别取点，，连接，，，，交于点，射线交的延长线于点，延长交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，，求的半径及线段的长 【答案】（1） 证明：连接， ∵，∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴且为的半径， ∴是的切线； （2）的半径为3，． 【解析】 【分析】（1）连接，利用圆周角定理结合等边对等角求得，再利用圆周角定理求得，证得，即可证明是的切线； （2）先证明，利用勾股定理求得，证明，求得，，，再证明，求得，证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴的半径为3， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 【点睛】本题考查切线的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，二次根式的混合运算．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 25. 琪琪根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是琪琪的探究过程，请补充完整： （1）下表是与的几组对应值，请直接写出：_______，_______； … 0 1 2 3 4 … … 0 … （2）如图所示，在平面直角坐标系中，描出上表中的点，然后用平滑的曲线连接起来，画出函数的图象； （3）由图象可知，当时，对应的自变量有______个值． 【答案】（1）， （2） 作出函数的图象如下． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象，作函数图象，熟练掌握相关知识点是解题关键． （1）根据表格求出当、时，y的值即可； （2）描点，连线，画出函数图像即可； （3）根据图象即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意，结合图象， 令，直线与函数图象有三个交点． 当时，对应的自变量有个值． 故答案为：． 26. 如图所示，图象由图象和组成，其中图象是函数的图象，图象是函数的图象． （1）若点在图象上，求的值； （2）已知直线与轴平行，且与图象有三个不同的交点，从左至右依次为点、、，若，求点的坐标； （3）当图象上的点满足时，记此时的取值范围为．设，若在中总存在，使得，求此时实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）求出当时的值，即可得解； （2）求出图象的顶点坐标为，图象与轴的交点坐标为和，图象与轴的交点坐标为，设直线的解析式为，则， 令，则，从而得出，设，，则，，表示出，求出，得到直线的解析式为，联立，求解即可； （3）先求出的取值范围为，结合题意可得二次函数在上的最大值大于即可，求出对称轴为直线，抛物线开口向下，再分三种情况：当时，在上随着的增大而减小；当时，此时当时，有最大值；当时，此时在上随着的增大而增大，分别求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：在中，当时，， 即； 【小问2详解】 解：∵， ∴图象的顶点坐标为， 令，则， 解得：，， ∴图象与轴的交点坐标为和， 在中，令，则， 解得：， ∴图象与轴的交点坐标为 ∵直线与轴平行， ∴设直线的解析式为， ∵直线与图象有三个不同的交点，从左至右依次为点、、， ∴，画出图象如图所示： 令，则， ∴， 设，，则，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：在中，当时，， ∵，， ∴， 令，则， 解得：或（不符合题意，舍去）， 在中，令，则， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∵， ∴图象的顶点坐标为， ∴的取值范围为， ∵在中总存在，使得， ∴二次函数在上的最大值大于即可， ∵， ∴对称轴为直线，抛物线开口向下， 当，即时，在上随着的增大而减小， ∴当时，有最大值， ∴， 解得：； 当，即时，此时当时，有最大值， ∴， 解得：或， ∵， ∴此时无解； 当，即时，此时在上随着的增大而增大， ∴当时，有最大值， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，实数的取值范围为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系、解一元一次不等式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 27. 在中，，点是边上一点，以为半径的与边相交于点． （1）如图1，当过点时，取边中点，连接，求证：是的切线； （2）如图2，若，，求的值． 【答案】（1） 证明：如图，连接，， 是直径， ， 点是中点， ， ， ∵， ∴， ∴，  ， ∵为的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理的推论，切线的判定，垂径定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． （1）连接，，先得出，结合点是中点，得出，得出，再判定 ，即可证明； （2）延长交于点，连接，，利用垂径定理得出，利用圆内接四边形得出，再证明，证明，得出，由，，设，，，求出，，，，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，延长交于点，连接，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ， ， ∴， 则， ∴， 由，， 设，，， ∴， 则， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $