精品解析：2025年云南省楚雄彝族自治州楚雄市中考三模数学试题

2025年云南省初中学业水平考试标准模拟卷（四） 数学 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 随着时代的进步，微信、支付宝等移动支付给人们带来很大方便，若凡凡微信收入50元，记作“”元，则他骑共享单车支付2元，记作（ ） A. 元 B. 48元 C. 元 D. 52元 2. 云南是全国植物种类最多的省份，热带、亚热带、温带、寒带等植物类型都有分布，生长着19000多种高等植物，列入国家一、二级重点保护的植物就有150多种，用科学记数法表示19000为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 反比例函数的图象在（ 　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第一、三象限 D. 第二、四象限 5. 下列运算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图,在中,,分别为,的中点,若,则是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是某几何体的主视图、左视图和俯视图，则该几何体是（ ） A. 球体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 三棱锥 8. 按一定规律排列的多项式：，，，，，…，第n个多项式是（ ） A. B. C. D. 9. 为了更好地落实课后延时服务工作，某校决定根据学生的兴趣爱好采购一批体育用品供学生使用．该校团委随机抽取了该校100名学生就体育兴趣爱好情况进行调查，并将收集到的数据整理绘制成如图所示的统计图．若该校共有学生1500人，则该校喜欢足球的学生大约有（ ） A. 100人 B. 150人 C. 200人 D. 250人 10. 如图，在中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 11. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为万元，4月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 青花瓷是我国四大名瓷之首，下图中是四个青花瓷图案，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 13. 如图，在中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 14. 若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15. 若一个等腰三角形的腰长为8，底边长为12，那么这个等腰三角形的底边上高在（ ） A. 3与4之间 B. 4与5之间 C. 5与6之间 D. 7与8之间 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 分解因式：=____. 17. 如图，线段交于点O，请你添加一个条件：________，使． 18. 某校开展了以“爱我家乡”为主题的艺术活动，从九年级5个班收集到的艺术作品数量（单位:件）分别为48，50，47，44，50，则这组数据的中位数是________． 19. 一个圆锥的母线长为3，侧面积为6π，则该圆锥的底面圆的半径为 _____． 三、解答题（本大题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 计算：． 21. 已知：如图，，，．求证：． 22. 第九届亚冬会将于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨市举办，本届亚冬会的吉祥物是一对可爱的东北虎“滨滨”和“妮妮”．某商场销售“滨滨”和“妮妮”两种纪念品．若用1500元购买“滨滨”纪念品的数量比用1800元购买“妮妮”纪念品的数量多5个，且一个“妮妮”纪念品的价格是一个“滨滨”纪念品价格的1.5倍．求“滨滨”和“妮妮”两种纪念品的单价分别是多少元． 23. 为了举荐九年级一班的小明和小亮代表班级在周一升旗时致辞，老师准备了如图所示的两个可以自由转动的转盘、 ，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每一个扇形内标上数字．规定：同时转动两个转盘，但转盘停止后，两个指针所指区域的数字之和为奇数时，小明致辞；数字之和为偶数时，小亮致辞，如果指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止． （1）用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果； （2）这个规则公平吗？请说明理由． 24. 如图，在矩形中（），对角线相交于点O，延长到点E，使得，连接，点F是的中点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若矩形的周长为20，，求四边形的面积． 25. “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．我校为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵30元，买5套甲型号“文房四宝”和10套乙型号“文房四宝”共用900元． （1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ （2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过5870元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，请问共有几种购买方案？最低费用是多少？ 26. 已知函数（k为正整数）． （1）若函数的图象与坐标轴有3个不同的交点，且交点的横、纵坐标均为整数，求此函数的解析式； （2）无论k为何值，该函数都经过定点，且，求的值． 27. 如图，是四边形的外接圆，是四边形的对角线，恰为的直径，，点在劣弧上，过点作，交的延长线于点，平分． （1）求的度数； （2）求证：是的切线； （3）若，P是劣弧CD上的一个动点，不与C，D重合，连接AP，CP，DP，DG⊥AP于点G，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年云南省初中学业水平考试标准模拟卷（四） 数学 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 随着时代的进步，微信、支付宝等移动支付给人们带来很大方便，若凡凡微信收入50元，记作“”元，则他骑共享单车支付2元，记作（ ） A. 元 B. 48元 C. 元 D. 52元 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正负数在实际中的应用，正确理解题意是关键．根据正负数的意义解答即可． 【详解】解：若微信收入50元，记作“”元，则他骑共享单车支付2元，记作元． 故选：A． 2. 云南是全国植物种类最多的省份，热带、亚热带、温带、寒带等植物类型都有分布，生长着19000多种高等植物，列入国家一、二级重点保护的植物就有150多种，用科学记数法表示19000为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，运用科学记数法进行解答，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：因为， 故选：C 3. 如图，直线，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，由平角的定义可得，再利用平行线的性质即可求的度数． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵ ∴． 故选：B． 4. 反比例函数的图象在（ 　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第一、三象限 D. 第二、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】对于的图象，当时，函数的图象在二，四象限，当时，函数的图象在一，三象限，根据知识点直接作答即可. 【详解】解：由中 所以的图象在第二，第四象限， 故选D 【点睛】本题考查的是反比例函数的图象的分布，掌握“的图象，当时，函数的图象在二，四象限”是解本题的关键. 5. 下列运算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的除法和幂的乘方计算即可． 【详解】解：A选项：，故A错误； B选项：，故B正确； C选项：，故C错误； D选项：，故D错误； 故选：B． 【点睛】此题考查合并同类项法则、幂的乘方、同底数幂相除，熟练掌握运算法则进行计算是解此题的关键． 6. 如图,在中,,分别为,的中点,若,则是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质,根据题意判定,再利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可得到本题答案． 【详解】解:∵,分别为,的中点, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, 故选:C． 7. 如图是某几何体的主视图、左视图和俯视图，则该几何体是（ ） A. 球体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 三棱锥 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，掌握常见几何体的三视图是解题的关键．根据主视图与左视图是三角形，俯视图是圆，即可得出该几何体是圆锥，据此即可求解． 【详解】解：主视图与左视图是三角形，俯视图是圆， 该几何体是圆锥． 故选：． 8. 按一定规律排列的多项式：，，，，，…，第n个多项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多项式规律探究，理解题意，认真分析，找到规律是解决本题的关键．根据所给的多项式的项数，次数，即可找到规律，根据规律即可求解． 【详解】解：由题意可知：所给的多项式为二项式，第一项的系数都为1，a的指数分别为连续正整数，b的指数为1，常数项为连续正整数， 故第n个多项式为， 故选：B． 9. 为了更好地落实课后延时服务工作，某校决定根据学生的兴趣爱好采购一批体育用品供学生使用．该校团委随机抽取了该校100名学生就体育兴趣爱好情况进行调查，并将收集到的数据整理绘制成如图所示的统计图．若该校共有学生1500人，则该校喜欢足球的学生大约有（ ） A. 100人 B. 150人 C. 200人 D. 250人 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查读条形统计图的能力和样本估计总体，利用该校总人数乘以样本中喜欢足球的学生人数所占的百分比求解即可． 【详解】解：（人）． ∴该校喜欢足球的学生大约有150人． 故选：B． 10. 如图，在中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；据此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴； 故选：B． 11. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为万元，4月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用该款燃油汽车今年4月份的售价=该款燃油汽车今年2月份的售价该款汽车这两月售价的月平均降价率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：， 故选：A． 12. 青花瓷是我国四大名瓷之首，下图中是四个青花瓷图案，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的概念对选项逐一分析即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，故不符合题意； C、不是轴对称图形，故符合题意； D、是轴对称图形，故不符合题意； 故选：C． 13. 如图，在中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数的求值方法，勾股定理，掌握三角函数的计算方法，图形几何分析是解题的关键．根据，设，则，运用勾股定理可求出的值，根据正弦值的定义即可求解． 【详解】解：∵，则， ∴设，则， ∵是直角三角形，， ∴， ∴在中，， 故答案为：A． 14. 若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题的关键．根据分母不等于零求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选：D． 15. 若一个等腰三角形的腰长为8，底边长为12，那么这个等腰三角形的底边上高在（ ） A. 3与4之间 B. 4与5之间 C. 5与6之间 D. 7与8之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、无理数的估算等知识点，根据等腰三角形的性质以及勾股定理求得腰上的高成为解题的关键 如图：根据等腰三角形的性质和勾股定理可得，然后再进行无理数估算即可解答 【详解】解：如图： ∵是等腰三角形，是高， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴，即这个等腰三角形的底边上高在5与6之间 故选C. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 分解因式：=____. 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可． 【详解】． 故答案为： 17. 如图，线段交于点O，请你添加一个条件：________，使． 【答案】．（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 有一对对顶角与，添加，即得结论． 【详解】解： ∵（对顶角相等），， ∴． 故答案为：．(答案不唯一) 18. 某校开展了以“爱我家乡”为主题的艺术活动，从九年级5个班收集到的艺术作品数量（单位:件）分别为48，50，47，44，50，则这组数据的中位数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中位数的概念和计算方法，中位数是将一组数据按从大到小（从小到大）顺序排列，如果这组数据的个数是奇数，位于中间位置的数是中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中位数是中间两个数的平均数． 将数据按从小到大顺序排列，中间的数就是中位数． 【详解】解：∵数据按从小到大顺序排列为， ∴中位数是， 故答案为： ． 19. 一个圆锥的母线长为3，侧面积为6π，则该圆锥的底面圆的半径为 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查求圆锥底面圆的半径．根据圆锥的侧面积公式，进行求解，是解题的关键． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为，由题意，得：， ∴； 故答案为：2． 三、解答题（本大题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，二次根式的化简，掌握相关运算法则是解本题的关键．先根据负整数指数幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数值，零指数幂化简各项，再计算加减，即可解题． 【详解】解： ． 21. 已知：如图，，，．求证：． 【答案】 证明：， ， . ， ， 又， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直接利用证明即可． 【详解】略 22. 第九届亚冬会将于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨市举办，本届亚冬会的吉祥物是一对可爱的东北虎“滨滨”和“妮妮”．某商场销售“滨滨”和“妮妮”两种纪念品．若用1500元购买“滨滨”纪念品的数量比用1800元购买“妮妮”纪念品的数量多5个，且一个“妮妮”纪念品的价格是一个“滨滨”纪念品价格的1.5倍．求“滨滨”和“妮妮”两种纪念品的单价分别是多少元． 【答案】“滨滨”纪念品单价为60元，“妮妮”纪念品的单价为90元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是掌握分式方程的知识，根据题意，设一个“滨滨”纪念品价格为x元，则一个“妮妮”纪念品的价格为元，列出方程，进行解答，即可． 【详解】解：设“滨滨”纪念品单价为x元，则“妮妮”纪念品的单价为元， ∵用1500元购买“滨滨”纪念品的数量比用1800元购买“妮妮”纪念品的数量多5个， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴“妮妮”纪念品的单价为（元）， 答：“滨滨”纪念品单价为60元，“妮妮”纪念品的单价为90元． 23. 为了举荐九年级一班的小明和小亮代表班级在周一升旗时致辞，老师准备了如图所示的两个可以自由转动的转盘、 ，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每一个扇形内标上数字．规定：同时转动两个转盘，但转盘停止后，两个指针所指区域的数字之和为奇数时，小明致辞；数字之和为偶数时，小亮致辞，如果指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止． （1）用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果； （2）这个规则公平吗？请说明理由． 【答案】（1） 解：画树状图得： ∵共有种等可能的结果，分别为：、、、、、、、、、、、； （2） 公平． 理由：∵两个指针所指区域的数字之和为奇数有种情况，数字之和为偶数有种情况， ∴（小明致辞），（小亮致辞）， ∴（小明致辞）＝（小亮致辞）， ∴这个游戏规则对小明、小亮双方公平． 【解析】 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断， （1）根据题意画出树状图，然后由树状图求得两个指针所指区域的数字之和即可； （2）根据（1）的结果并利用概率公式分别求得小明致辞、小亮致辞的概率，比较大小，即可得这个游戏规则对小明、小亮双方是否公平； 解题的关键是掌握：判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，在矩形中（），对角线相交于点O，延长到点E，使得，连接，点F是的中点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若矩形的周长为20，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵矩形中， ∴，，，， ∴， ∵， ∴点是线段的中点， ∵点F是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）菱形的面积9． 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质求得，再证明是的中位线，推出，，得到四边形是平行四边形，据此即可证明四边形是菱形； （2）先求得，在中，利用勾股定理列式计算求得，，再利用菱形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵矩形中， ∴，，， ∵矩形的周长为20， ∴， ∴， ∴， 在中，，即， 解得或， ∵， ∴，， ∴， ∴菱形的面积． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算．证明四边形是菱形是解题的关键． 25. “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．我校为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵30元，买5套甲型号“文房四宝”和10套乙型号“文房四宝”共用900元． （1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ （2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过5870元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，请问共有几种购买方案？最低费用是多少？ 【答案】（1）每套甲型号“文房四宝”的价格是80元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是50元 （2）共有4种购买方案，最低费用是5780元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式组的应用，一次函数的应用． （1）设每套甲型号“文房四宝”的价格是元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元，根据买套甲型号和10套乙型号共用900元列一元一次方程求解即可； （2）设需购进乙种型号“文房四宝”套，则需购进甲种型号“文房四宝”套， 根据总费用不超过5870元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的倍列一元一次不等式组求解得，再设总费用为元，列出一次函数，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每套甲型号“文房四宝”的价格是元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元， 由题意可得， 解得，． 答：每套甲型号“文房四宝”的价格是80元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是50元； 【小问2详解】 解：设需购进甲种型号“文房四宝”套，则需购进乙种型号“文房四宝”套， 由题意可得：， 解得， 又为正整数， 可以取26，27，28，29； 共有4种购买方案， 设总费用为元，则， ， 随着的增大而增大， 当时，最小，最小值为， 答：共有4种购买方案，最低费用是5780元． 26. 已知函数（k为正整数）． （1）若函数的图象与坐标轴有3个不同的交点，且交点的横、纵坐标均为整数，求此函数的解析式； （2）无论k为何值，该函数都经过定点，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与坐标轴的交点问题，幂的混合运算等知识． （1）先解，解出，．根据已知条件即可得出，进而求出函数的解析式． （2）由二次函数与y轴的交点可知函数图象经过定点，结合条件可得出，再计算幂的混合运算，最后代入求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，令，则， 解得，． ∵函数图象与坐标轴有3个不同的交点，且交点的横、纵坐标均为整数，k为正整数， ∴， ∴该函数的解析式为． 【小问2详解】 解：∵当时，， ∴函数图象经过定点， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 27. 如图，是四边形的外接圆，是四边形的对角线，恰为的直径，，点在劣弧上，过点作，交的延长线于点，平分． （1）求的度数； （2）求证：是的切线； （3）若，P是劣弧CD上的一个动点，不与C，D重合，连接AP，CP，DP，DG⊥AP于点G，求的值． 【答案】（1） （2）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴为的切线； （3） 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理可得，，再利用三角形的内角和定理可得答案； （2）如图，连接，证明，可得，结合，可得，从而可得结论； （3）先证明，可得，如图，过作交的延长线于，证明，可得，可得，，证明，，证明，在中，证明，从而可得结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，过作交的延长线于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴ ， ∴， 在中， ， ∴． 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，平行线的判定与性质，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，切线的判定，本题难度较大，是中考压轴题，作出合适的辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $