期末复习专题— 导数（基础篇）（6大考点）-2024-2025学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第二册）

期末复习专题—导数（基础篇） 【考点1：导数的概念】 1 【考点2：导数的几何意义】 2 【考点3：导数的运算】 4 【考点4：利用导数研究函数的单调性】 7 【考点5：利用导数研究函数的极值或最值】 9 【考点6：利用导数解决实际问题】 13 【考点1：导数的概念】 【知识点：导数的概念】 1．瞬时速度 (1)平均速度 设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在到+t这段时间内的平均速度为=. (2)瞬时速度 ①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. ②一般地，当t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当t趋近于0时，的极限 是v，这时v就是物体在t=时的瞬时速度，即瞬时速度v==. 2．函数的平均变化率 函数平均变化率的定义 对于函数y=f(x)，设自变量x从变化到+x，相应地，函数值y就从f()变化到f(+x).这时，x 的变化量为x，y的变化量为y=f(+x)- f ().我们把比值，即=叫做函数y=f(x)从到+x的平均变化率. 3．导函数的定义 从求函数y=f(x)在x=处导数的过程可以看到，当x=时，f'()是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'=. 1．（24-25高二下·湖北武汉·期中）已知某质点位移与时间满足函数，则质点在时的瞬时速度为（    ） A．2 B．2.5 C．4 D．4.5 2．（安徽省滁州市2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题）在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则该运动员在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 3．（天津市部分区2024-2025学年高二下学期期中练习数学试题）一个做直线运动的质点的位移与时间的关系式为，若该质点的瞬时速度为时，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·福建福州·期中）设函数的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·四川绵阳·期中）若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·广东珠海·期中）已知函数，则（    ）. A． B． C． D． 【考点2：导数的几何意义】 【知识点：导数的几何意义】 1．函数在某点处的导数的几何意义 (1)切线的定义 在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点(,f())时，割线 P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线T(T是直线T上的一点)称为曲线y=f(x)在点处的切线. (2)函数在某点处的导数的几何意义 函数y=f(x)在x=处的导数f'()就是切线的斜率，即f'().这就是导数的几何意义.相应地，切线方程为. 2. 在曲线上一点的切线方程—解题秘籍： ①求出切点的坐标 ②求出函数在点处的导数 ③得切线方程. 3. 过一点的切线方程—解题秘籍： 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，∵过点，∴然后解出的值，有几个值，就有几条切线. 1．（24-25高三上·浙江金华·期中）曲线在处的切线方程为 . 2．（新疆喀什市2024-2025学年高二下学期期中质量监测数学试卷）已知抛物线在点处的切线的斜率为，则点的坐标为 ． 3．（甘肃省酒泉市四校联考2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·北京通州·期中）过点作曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）过点作曲线的切线，切点为，则点的横坐标不可能是（    ） A．2 B． C． D． 6．（24-25高二下·江西南昌·期中）过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·宁夏·期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，. 8．（24-25高二下·山东·期中）已知函数的图象在点处的切线方程为. (1)求； (2)求在上的值域. 【考点3：导数的运算】 【知识点：导数的运算】 1．基本初等函数的导数公式 函数 导数 （c为常数） 2．导数的运算法则 符号表达 文字叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方 3．复合函数的导数 (1)复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函 数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). (2)复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 =，即y对x的导数等于y 对u的导数与u对x的导数的乘积. 4．导数的运算的方法技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 1．（甘肃省酒泉市四校联考2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·湖北武汉·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（24-25高二下·贵州黔西·阶段练习）下列求导结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（24-25高二下·湖北武汉·期中）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（24-25高二下·四川绵阳·期中）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（新疆喀什市2024-2025学年高二下学期期中质量监测数学试卷）求下列函数的导数： (1) (2) (3) (4) (5) 【考点4：利用导数研究函数的单调性】 【知识点：利用导数研究函数的单调性】 1．函数的单调性与导数的关系 函数在某个区间内可导： (1)若，则在这个区间内单调递增； (2)若，则在这个区间内单调递减； 导数法研究函数在内单调性的步骤 (1)求； (2)确定在内的符号； (3)作出结论：时为增函数；时为减函数． [提醒]研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．　　 由函数的单调性求参数取值范围的方法 (1)可导函数在区间上单调，实际上就是在该区间上(或)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围，注意检验等号成立时导数是否在上恒为0. (2)可导函数在区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集，即(或)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围． (3)若已知在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围． 1．（24-25高二下·天津·期中）的单调递增区间为 2．（甘肃省酒泉市四校联考2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 ． 3．（24-25高二下·江西宜春·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·广东潮州·阶段练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·山东淄博·期中）已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（多选）（24-25高二下·广东中山·期中）已知函数的图象在处切线的斜率为9，则下列说法正确的是（ ） A． B．在上单调递减 C． D．的图象关于原点中心对称 7．（24-25高二下·新疆喀什·期中）函数 (1)求在点处的切线方程. (2)求的单调区间. 8．（24-25高二下·福建福州·期中）设函数． (1)求在处的切线方程； (2)求在区间上的单调区间和最值． 【考点5：利用导数研究函数的极值或最值】 【知识点：利用导数研究函数的极值或最值】 1．函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近的其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．函数的极值 极小值点和极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． [方法技巧]　　　利用导数求函数极值的步骤 [方法技巧] 已知函数极值点或极值求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．　 4. 函数的最值与导数 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值，函数的最大值和最小值一定产生在极值点或闭区间的端点处． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． (3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： [方法技巧] 利用导数求函数在某区间上最值的规律 (1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值． (2)若函数在闭区间[a，b]上有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成． (3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．　　 1．（甘肃省酒泉市四校联考2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题）已知函数在处有极大值，则（    ） A． B． C．2 D．6 2．（24-25高二下·重庆·期中）函数在时取得极值，则当时，的最大值为（   ） A．-9 B．2 C．10 D．5 3．（广东省江门市广雅中学等校2024-2025学年高二下学期4月期中检测数学试题）若函数有极值，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（24-25高二下·安徽芜湖·期中）已知为函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则（    ） A．有个极值点 B．是的极大值点 C．是的极大值点 D．在上单调递减 5．（24-25高二下·福建福州·期中）设函数． (1)求在处的切线方程； (2)求在区间上的单调区间和最值． 6．（新疆喀什市2024-2025学年高二下学期期中质量监测数学试卷）已知函数的单调减区间． (1)求曲线在处的切线方程 (2)求函数的极值； 7．（24-25高二下·湖北武汉·期中）已知函数，其中. (1)若在点处的切线与直线垂直，求a的值； (2)当时，求函数在区间上的最值. 8．（24-25高二下·江苏常州·期中）已知函数（其中为常数）在处取得极值. (1)当时，求的极值； (2)若在上的最大值为2，求的值. 【考点6：利用导数解决实际问题】 【知识点：利用导数解决实际问题】 1．（24-25高二下·福建福州·期中）如图，将一张的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则剪下的小正方形的边长为_ cm时，这个纸盒的容积最大. 2．（24-25高二下·山东聊城·期中）某小学生在一次手工课上，把体积为的橡皮泥，摔成表面中有正方形的一个长方体，再把该长方体的表面贴上彩色包装纸，则所用彩色包装纸的面积的最小值为 ． 3．（2025·上海宝山·二模）某分公司经销一产品，每件产品的成本为5元，且每件产品需向总公司交2元的管理费，预计每件产品的售价为元时，一年的销售量为万件，则每件产品售价为 元时，该分公司一年的利润达到最大值.（结果精确到1元） 4．（多选）（24-25高二下·江西南昌·期中）如图所示，设铁路，B、C之间距离为8，现将货物从运往，已知单位距离铁路费用为3，公路费用为5，如果在上点M处修筑公路至，可使运费由至最省．则下列正确的是（    ） A．点M到B的距离为 B．由A至C运费最省时，运费是212 C．点M到C的距离为12 D．由点M到C的公路运费是50 5．（2025高二下·全国·专题练习）某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为，问x、y分别为多少时用料最省？ 6．（24-25高二下·河北张家口·阶段练习）某电子产品工厂，生产某型号电子产品的固定成本为1000（单位：万元），生产万件的生产成本为（单位：万元）；已知产品单价（单位：元）的平方与成反比，且生产100万件这样的产品时，单价为50元. (1)写出总利润（单位：万元）的函数关系式； (2)为使总利润最大，产量应定为多少？ 7．（24-25高二下·宁夏·阶段练习）工厂需要围建一个面积为的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，我们知道，砌起的新墙的总长度（单位：）是利用原有墙壁长度（单位：）的函数． (1)写出关于的函数解析式，并确定的取值范围； (2)当堆料场的长、宽比为多少时，需要砌起的新墙用的材料最省？（运用导数知识解决） 8．（24-25高二下·江苏无锡·期中）某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成（如图1）．每座帐篷的体积为 m3，且分上下两层，其中上层是半径为r（）（单位：m）的半球体，下层是半径为r m，高为h m的圆柱体（如图2）．经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元，设所有帐篷的总建造费用为y千元．（提示：球体积公式：） (1)求y关于r的函数解析式，并指出该函数的定义域； (2)当半径r为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习专题—导数（基础篇） 【考点1：导数的概念】 1 【考点2：导数的几何意义】 3 【考点3：导数的运算】 9 【考点4：利用导数研究函数的单调性】 13 【考点5：利用导数研究函数的极值或最值】 18 【考点6：利用导数解决实际问题】 26 【考点1：导数的概念】 【知识点：导数的概念】 1．瞬时速度 (1)平均速度 设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在到+t这段时间内的平均速度为=. (2)瞬时速度 ①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. ②一般地，当t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当t趋近于0时，的极限 是v，这时v就是物体在t=时的瞬时速度，即瞬时速度v==. 2．函数的平均变化率 函数平均变化率的定义 对于函数y=f(x)，设自变量x从变化到+x，相应地，函数值y就从f()变化到f(+x).这时，x 的变化量为x，y的变化量为y=f(+x)- f ().我们把比值，即=叫做函数y=f(x)从到+x的平均变化率. 3．导函数的定义 从求函数y=f(x)在x=处导数的过程可以看到，当x=时，f'()是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'=. 1．（24-25高二下·湖北武汉·期中）已知某质点位移与时间满足函数，则质点在时的瞬时速度为（    ） A．2 B．2.5 C．4 D．4.5 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再求出瞬时速度. 【详解】函数，求导得， 所以质点在时的瞬时速度为. 故选：C 2．（安徽省滁州市2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题）在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则该运动员在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数来求瞬时速度即可求解. 【详解】因为，所以，令，得， 即该运动员在时的瞬时速度为. 故选：C. 3．（天津市部分区2024-2025学年高二下学期期中练习数学试题）一个做直线运动的质点的位移与时间的关系式为，若该质点的瞬时速度为时，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】质点在某个时刻的瞬时速度即函数在该时刻的导函数值，故先将位移对时间进行求导，再由求即可. 【详解】质点在某个时刻的瞬时速度即函数在该时刻的导函数值，故先将位移对时间进行求导，有 ， 该质点的瞬时速度为时，有. 故选：. 4．（24-25高一下·福建福州·期中）设函数的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的定义，变形求解. 【详解】因为，所以 故选：B 5．（24-25高二下·四川绵阳·期中）若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的概念可得结果. 【详解】. 故选：D. 6．（24-25高二下·广东珠海·期中）已知函数，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的极限定义，结合求导公式计算即得. 【详解】由可得， 则. 故选：B. 【考点2：导数的几何意义】 【知识点：导数的几何意义】 1．函数在某点处的导数的几何意义 (1)切线的定义 在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点(,f())时，割线 P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线T(T是直线T上的一点)称为曲线y=f(x)在点处的切线. (2)函数在某点处的导数的几何意义 函数y=f(x)在x=处的导数f'()就是切线的斜率，即f'().这就是导数的几何意义.相应地，切线方程为. 2. 在曲线上一点的切线方程—解题秘籍： ①求出切点的坐标 ②求出函数在点处的导数 ③得切线方程. 3. 过一点的切线方程—解题秘籍： 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，∵过点，∴然后解出的值，有几个值，就有几条切线. 1．（24-25高三上·浙江金华·期中）曲线在处的切线方程为 . 【答案】 【分析】求得，所以，，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】由函数，可得，所以，， 所以曲线在处的切线方程为，即. 故答案为：. 2．（新疆喀什市2024-2025学年高二下学期期中质量监测数学试卷）已知抛物线在点处的切线的斜率为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据函数，求导，再令求解即可. 【详解】由可得， 由，得，， 所以点M坐标为， 故答案为：. 3．（甘肃省酒泉市四校联考2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对函数求导，再利用导数的几何意义求切线方程 【详解】因为，，所以， 所以．又， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 故选：D． 4．（24-25高二下·北京通州·期中）过点作曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出切点坐标并对函数求导，求得在切点处的切线方程并代入点坐标解方程即可. 【详解】易知函数的定义域为， 设切点坐标为，则可得， 此时切线斜率为，因此切线方程为， 代入点可得，即， 解得，即切点坐标为. 故选：C 5．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）过点作曲线的切线，切点为，则点的横坐标不可能是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数的几何意义结合斜率公式得到一元三次方程，再利用试根法得到一个根后对方程进行因式分解，得到其它的根，进而判断不可能是原方程的根，最后得到结论即可. 【详解】设切点为，而切线也过点， 由斜率公式得， 因为，所以， 由导数的几何意义得， 故成立，化简得， 得到，即， 显然是方程的根，则方程可化为， 解得或，而原方程最多有三个根， 则不可能是原方程的根，即点的横坐标不可能是. 故选：B 6．（24-25高二下·江西南昌·期中）过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点，利用导数求出切线方程，代入点，可得，过点可以做三条直线与曲线相切，即方程有三个不等的实数根，令，利用导数判断单调性，求极值，即可求得实数的取值范围. 【详解】设切点为，，， 点处的切线斜率， 则过点的切线方程为， 又切线过点，所以，化简得， 过点可以作三条直线与曲线相切， 方程有三个不等实根． 令，求导得到， 令，解得，， 则当时，，在上单调递减，且时，， 当时，，在上单调递增，且，， 当时，，在上单调递减，且时，， 如图所示，    故，即． 故选：A． 7．（24-25高二下·宁夏·期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由函数的解析式求，利用导数的几何意义求曲线在点处的切线斜率，再根据点斜式求切线方程； （2）设，，利用导数求函数的范围，由此证明结论. 【详解】（1）由已知函数的定义域为，， 函数的导函数为， 所以， 所以曲线在点处的切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即， （2）设， ，又， 则，， 所以， 所以当时，，函数在上单调递增， 所以当时，， 所以当时，. 8．（24-25高二下·山东·期中）已知函数的图象在点处的切线方程为. (1)求； (2)求在上的值域. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）对求导，结合条件，利用导数的几何意义可得，即可求出，进而可求出，再利用切点在切线上，即可求解； （2）由（1）知，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，即可求解. 【详解】（1）因为，所以. 又在点处的切线方程为， 所以，解得，所以， 则，又切点在切线上，所以，解得， 所以，. （2）由（1）知，则. 令，得或， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为，，，所以在上的值域为. 【考点3：导数的运算】 【知识点：导数的运算】 1．基本初等函数的导数公式 函数 导数 （c为常数） 2．导数的运算法则 符号表达 文字叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方 3．复合函数的导数 (1)复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函 数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). (2)复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 =，即y对x的导数等于y 对u的导数与u对x的导数的乘积. 4．导数的运算的方法技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 1．（甘肃省酒泉市四校联考2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由导数的四则运算即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：B． 2．（24-25高二下·湖北武汉·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求导，计算，最后计算即可. 【详解】由有， 所以， 所以， 故选：A. 3．（多选）（24-25高二下·贵州黔西·阶段练习）下列求导结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】直接利用求导公式和法则计算导数. 【详解】对于A选项，，故A正确； 对于B选项，，故B错误； 对于C选项，，故C正确； 对于D选项，，故D正确． 故选：ACD． 4．（多选）（24-25高二下·湖北武汉·期中）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据导数的运算法则即可求解. 【详解】，故A错误；，故B正确； ，故C正确； ，故D正确. 故选：BCD. 5．（多选）（24-25高二下·四川绵阳·期中）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用复合函数的求导法则可判断AB选项；利用导数的求导法则可判断CD选项. 【详解】对于A选项，，A对； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项， ，D错. 故选：AC. 6．（新疆喀什市2024-2025学年高二下学期期中质量监测数学试卷）求下列函数的导数： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】根据导数的运算法则及复合函数的求导法则，结合初等函数的导数，求解即可. 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） 【考点4：利用导数研究函数的单调性】 【知识点：利用导数研究函数的单调性】 1．函数的单调性与导数的关系 函数在某个区间内可导： (1)若，则在这个区间内单调递增； (2)若，则在这个区间内单调递减； 导数法研究函数在内单调性的步骤 (1)求； (2)确定在内的符号； (3)作出结论：时为增函数；时为减函数． [提醒]研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．　　 由函数的单调性求参数取值范围的方法 (1)可导函数在区间上单调，实际上就是在该区间上(或)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围，注意检验等号成立时导数是否在上恒为0. (2)可导函数在区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集，即(或)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围． (3)若已知在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围． 1．（24-25高二下·天津·期中）的单调递增区间为 【答案】 【分析】根据导函数为正得出函数增区间. 【详解】因为，，所以. 单调递增区间为. 故答案为： 2．（甘肃省酒泉市四校联考2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据函数在区间上单调递增，得在上恒成立，由，计算即可求解. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 因为函数，，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即实数的取值范围为． 故答案为：. 3．（24-25高二下·江西宜春·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式即可. 【详解】函数的定义域为，又， 令，即，解得， 所以函数的单调递减区间是. 故选：B 4．（24-25高二下·广东潮州·阶段练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题给条件可得在恒成立，利用参变分离以及正弦函数的值域即可求解实数的取值范围. 【详解】，则 因为函数在上单调递增， 所以在恒成立，则在恒成立. 在最大值为，所以. 故选：A. 5．（24-25高二下·山东淄博·期中）已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导后讨论单调性，再根据题意可得，进而解不等式即可. 【详解】由题知函数的定义域为， ， 所以，当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 因为函数在区间上不单调， 所以，，解得， 所以，实数的取值范围是. 故选：D． 6．（多选）（24-25高二下·广东中山·期中）已知函数的图象在处切线的斜率为9，则下列说法正确的是（ ） A． B．在上单调递减 C． D．的图象关于原点中心对称 【答案】ABC 【分析】根据导数的几何意义求得a的值，即可判断A；根据函数单调性与导数的关系，即可判断B；由导数的定义可判断C；由函数的对称性即可判断D. 【详解】，则， 因函数的图像在处的切线斜率为9， 所以，解得，故A正确. ，， 令，得， 所以在上单调递减，故B正确. 由于，故C正确. 函数，，， 所以，则的图象关于点中心对称，故D错误. 故选：ABC 7．（24-25高二下·新疆喀什·期中）函数 (1)求在点处的切线方程. (2)求的单调区间. 【答案】(1) (2)单调递增区间是，单调递减区间是 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，继而由点斜式求得切线方程； （2）利用导函数的符号确定原函数的单调区间即可. 【详解】（1）因， 则， 又，即切点为， 故在点处的切线方程为，即. （2）因的定义域为， 令 得   ，令 得， 故得的单调递增区间是，单调递减区间是. 8．（24-25高二下·福建福州·期中）设函数． (1)求在处的切线方程； (2)求在区间上的单调区间和最值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求切线方程； （2）根据导函数分析单调性和最值. 【详解】（1）函数．即切点为， 由已知，则， 即曲线在点处的切线方程为， 即． （2）令，即，得， 令，则得或， 即在，上单调递减，在上单调递增， 即的极大值点为，， 的极小值点为，， 又，， 故在，单调递减，在上单调递增， 在区间上的最大值为97，最小值为． 【考点5：利用导数研究函数的极值或最值】 【知识点：利用导数研究函数的极值或最值】 1．函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近的其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．函数的极值 极小值点和极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． [方法技巧]　　　利用导数求函数极值的步骤 [方法技巧] 已知函数极值点或极值求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．　 4. 函数的最值与导数 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值，函数的最大值和最小值一定产生在极值点或闭区间的端点处． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． (3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： [方法技巧] 利用导数求函数在某区间上最值的规律 (1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值． (2)若函数在闭区间[a，b]上有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成． (3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．　　 1．（甘肃省酒泉市四校联考2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题）已知函数在处有极大值，则（    ） A． B． C．2 D．6 【答案】A 【分析】由求得或．并验证即可. 【详解】因为，所以． 因为在处有极大值， 所以，解得或． 当时，，解，得或， 当，，当，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 在处有极小值，不符合题意； 当时，，解，得或， 当，，当，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在处有极大值， 符合题意．故， 故选：A． 2．（24-25高二下·重庆·期中）函数在时取得极值，则当时，的最大值为（   ） A．-9 B．2 C．10 D．5 【答案】C 【分析】求出函数的导数，由极值点求出，进而求出最大值. 【详解】函数，求导得， 由函数在时取得极值，得，解得， ，当时，，当时，， 则是的极值点，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，的最大值为. 故选：C 3．（广东省江门市广雅中学等校2024-2025学年高二下学期4月期中检测数学试题）若函数有极值，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由导数存在变号零点，构造不等式即可求解. 【详解】， 因为函数有极值， 所以存在变号零点， 可得：， 解得：或， 所以a的取值范围是， 故选：D 4．（多选）（24-25高二下·安徽芜湖·期中）已知为函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则（    ） A．有个极值点 B．是的极大值点 C．是的极大值点 D．在上单调递减 【答案】AB 【分析】根据函数的图像可得函数的单调区间，进而判断各选项. 【详解】根据函数的图象可知， 在区间，，，单调递增； 在区间，，，单调递减. 所以有个极值点、是的极大值点、在上单调递增，是的极小值点， 所以A，B选项正确； 故选：AB. 5．（24-25高二下·福建福州·期中）设函数． (1)求在处的切线方程； (2)求在区间上的单调区间和最值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求切线方程； （2）根据导函数分析单调性和最值. 【详解】（1）函数．即切点为， 由已知，则， 即曲线在点处的切线方程为， 即． （2）令，即，得， 令，则得或， 即在，上单调递减，在上单调递增， 即的极大值点为，， 的极小值点为，， 又，， 故在，单调递减，在上单调递增， 在区间上的最大值为97，最小值为． 6．（新疆喀什市2024-2025学年高二下学期期中质量监测数学试卷）已知函数的单调减区间． (1)求曲线在处的切线方程 (2)求函数的极值； 【答案】(1) (2)没有极大值，极小值为1 【分析】（1）根据导数的几何意义可求得切线斜率为，再由点斜式求切线方程即可； （2）求导后，根据导函数求得单调区间，即可求函数极值. 【详解】（1）由题意，函数的定义域为， 导函数为，且， 所以切线斜率， 故切线方程为，即. （2）由（1）可得， 令，解得， 令，解得， 所以函数在单调递减，在单调递增， 故函数的极小值为，无极大值. 7．（24-25高二下·湖北武汉·期中）已知函数，其中. (1)若在点处的切线与直线垂直，求a的值； (2)当时，求函数在区间上的最值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先求导，计算，由切线与直线垂直即可求解； （2）利用导数研究函数的单调性，进而求得函数的最值. 【详解】（1）的定义域为， ， ∴， 由题意知， ∴. （2）当时， ∴， 又，当时，，当时，， ∴在单调递减，在单调递增， ∴， 又， ， ∴， ∴， ∴. 8．（24-25高二下·江苏常州·期中）已知函数（其中为常数）在处取得极值. (1)当时，求的极值； (2)若在上的最大值为2，求的值. 【答案】(1)极大值为：，极小值 (2)或. 【分析】（1）由函数的解析式，可求出函数导函数的解析式，进而根据是的一个极值点，可构造关于，的方程，根据求出值；可得函数导函数的解析式，分析导函数值大于0和小于0时，的范围，可得函数的单调区间； （2）对函数求导，写出函数的导函数等于0的的值，列表表示出在各个区间上的导函数和函数的情况，做出极值，把极值同端点处的值进行比较得到最大值，最后利用条件建立关于的方程求得结果. 【详解】（1）因为，所以， 因为函数在处取得极值，， 当时，，， ，随的变化情况如下表： 1 + 0 - 0 + 增 极大值 减 极小值 增 所以的单调递增区间为，；单调递减区间为， 极大值为：，极小值， （2）当时，由，可知， ，， 易知当时，，当时，， 所以，在单调递增，在单调递减， 此时最大值为，不符合题意， 当时，由，得到， 所以， 令，，， 因为在处取得极值，所以， 当时，易得在上恒成立， 在上单调递减； 所以在区间上的最大值为， 令，解得， 当，； 当时，易得在恒成立， 在上单调递增， 所以，解得，符合； 当时， 由得，由得 所以在上单调递减，上单调递增， 所以最大值2可能在或处取得，而， 所以， 解得，与矛盾 当时，可以在恒成立， 所以在单调递减， 所以最大值2可能在处取得，而，矛盾 综上所述，或. 【考点6：利用导数解决实际问题】 【知识点：利用导数解决实际问题】 1．（24-25高二下·福建福州·期中）如图，将一张的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则剪下的小正方形的边长为_ cm时，这个纸盒的容积最大. 【答案】1 【分析】设剪下的小正方形的边长为，根据条件得到，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，即可求解. 【详解】设剪下的小正方形的边长为， 由题知纸盒的容积为， 则，令，得到（舍）或， 所以当时，，当时，， 则的增区间为，减区间为 所以在处取到最大值，最大值为. 故答案为：. 2．（24-25高二下·山东聊城·期中）某小学生在一次手工课上，把体积为的橡皮泥，摔成表面中有正方形的一个长方体，再把该长方体的表面贴上彩色包装纸，则所用彩色包装纸的面积的最小值为 ． 【答案】216 【分析】设长方体表面中的正方形边长为，高为，则，表示出长方体的表面积为，然后利用导数可求出其最小值. 【详解】设长方体表面中的正方形边长为，高为， 则由题意得，得， 所以长方体的表面积为， 则， 当时，，当时，， 所以函数在上递减，在上递增， 所以当时取得最小值为， 所以所用彩色包装纸的面积的最小值为216. 故答案为：216 3．（2025·上海宝山·二模）某分公司经销一产品，每件产品的成本为5元，且每件产品需向总公司交2元的管理费，预计每件产品的售价为元时，一年的销售量为万件，则每件产品售价为 元时，该分公司一年的利润达到最大值.（结果精确到1元） 【答案】 【分析】根据条件确定函数关系式，由函数的最值与函数的导数的关系，求出该函数的最大值即可. 【详解】分公司一年的利润 (万元)与售价的函数关系式为， 所以， 令，即，解得或（舍）， 当时，，此时在上单调递增， 当时，，此时在单调递减， 又因为结果精确到1元，且当时，，且当时，， 于是：当每件产品的售价为9元时，该分公司一年的利润最大. 故答案为：9. 4．（多选）（24-25高二下·江西南昌·期中）如图所示，设铁路，B、C之间距离为8，现将货物从运往，已知单位距离铁路费用为3，公路费用为5，如果在上点M处修筑公路至，可使运费由至最省．则下列正确的是（    ） A．点M到B的距离为 B．由A至C运费最省时，运费是212 C．点M到C的距离为12 D．由点M到C的公路运费是50 【答案】BD 【分析】设，利用函数表示出运费，求导数，利用导数求出最小值及对应的，即可得解. 【详解】设，铁路上的运费为， 公路上的运费为， 则由到的总运费为. 则. 令，解得，(舍). 当时，，当时，. 故当时，取得最小值，， 即当在距离点为的点处修筑公路至时总运费最小， 此时，，点M到C的公路运费是50， 故选：BD 5．（2025高二下·全国·专题练习）某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为，问x、y分别为多少时用料最省？ 【答案】 【分析】根据框架围成的总面积求出，进而表示出框架用料长度的表达式，求导，利用导数判断函数单调性，即可求得x、y分别为多少时用料最省. 【详解】依题意，上部等腰直角三角形的直角边长为，则有， 所以， 于是框架用料长度为， 则，令，即， 解得，(舍去)， 当时，； 当时，， 所以，当时，l取得最小值． 即当时，用料最省. 6．（24-25高二下·河北张家口·阶段练习）某电子产品工厂，生产某型号电子产品的固定成本为1000（单位：万元），生产万件的生产成本为（单位：万元）；已知产品单价（单位：元）的平方与成反比，且生产100万件这样的产品时，单价为50元. (1)写出总利润（单位：万元）的函数关系式； (2)为使总利润最大，产量应定为多少？ 【答案】(1) (2)万件 【分析】（1）利用题干的反比关系求出单价与产量的关系，再用总售价减去总成本即可得到总利润的函数表达式； （2）利用导数的方法研究总利润关于产量的函数的单调性，即可得出结果. 【详解】（1）设产品单价为元，根据题意有（为比例系数），当时，， 所以，从而有，故. 设总利润为（单位：万元），则. （2）由，可得， 令，得，当时，；当时，， 所以当时，取得最大值.故要使总利润最大，产量应定为万件. 7．（24-25高二下·宁夏·阶段练习）工厂需要围建一个面积为的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，我们知道，砌起的新墙的总长度（单位：）是利用原有墙壁长度（单位：）的函数． (1)写出关于的函数解析式，并确定的取值范围； (2)当堆料场的长、宽比为多少时，需要砌起的新墙用的材料最省？（运用导数知识解决） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用矩形堆料场的面积可整理得到函数关系式，结合实际意义可得的范围； （2）利用导数可求得函数的单调性，得到函数的最值点，进而得到长宽比. 【详解】（1）由题意知：与原有墙壁垂直的新墙长度为，的取值范围为， 则，整理可得：， 关于的函数解析式为. （2）由（1）可得：， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， 当时，，此时， 当堆料场的长、宽比为时，需要砌起的新墙用的材料最省. 8．（24-25高二下·江苏无锡·期中）某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成（如图1）．每座帐篷的体积为 m3，且分上下两层，其中上层是半径为r（）（单位：m）的半球体，下层是半径为r m，高为h m的圆柱体（如图2）．经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元，设所有帐篷的总建造费用为y千元．（提示：球体积公式：） (1)求y关于r的函数解析式，并指出该函数的定义域； (2)当半径r为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值． 【答案】(1)，定义域为 (2)，最小值为 【分析】（1）根据题意，由圆柱的表面积公式以及球的表面积公式代入计算，即可得到函数关系式； （2）根据题意，求导可得，利用导数即可得到最值，从而得到结果. 【详解】（1）由题意可得，所以h， 所以 ， 即 ， 因为，，所以，则， 所以定义域为. （2）设， 则，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，取得极小值，即最小值， 且，总费用最小值为， 所以当半径r为时，建造费用最小，最小为千元． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$