精品解析：陕西省渭南市富平县迤山中学2024-2025学年高二下学期第二次月考数学试题

迤山中学高二年级第二次月考 数学试题 命题人：路涛涛 审题人：刘文清 第I部分（选择题共58分） 一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知等比数列满足，公比，则（ ） A. 32 B. 64 C. 128 D. 256 4. 已知函数（是的导函数），则（ ） A. 21 B. 20 C. 16 D. 11 5. 下列求导正确的有（ ） ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 6. 已知等差数列的前项和为，且，若，，成等比数列，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 函数是定义在上的偶函数，且，当时，有恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 若直线与曲线相切，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 10. 已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 使的最小正整数n为13 D. 的最小值为 11. 已知函数那么下列说法正确的是（ ） A. ，在点处有相同的切线 B. 函数有一个极值点 C. 对任意恒成立 D. ，的图象有且只有两个交点 第II部分（非选择题共92分） 三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列中，，且满足，则______. 13. 设，，，，若，则＝________. 14. ，且恒成立，则的取值范围为__________. 四.解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，在三棱锥中，是线段的中点，是线段上的一点. （1）若平面，试确定在上的位置，并说明理由； （2）若，证明：. 16. 已知函数 （1）求的定义域； （2）判断函数的奇偶性并予以证明； （3）求不等式的解集. 17. 设函数． （1）求在区间的最值； （2）若有且只有两个零点，求的值． 18. 已知数列满足． （1）求的通项公式； （2）在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和． （3）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围． 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若函数的图象在点处的切线的倾斜角为45°，对于任意的，函数在区间上总不是单调函数，求m的取值范围； （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 迤山中学高二年级第二次月考 数学试题 命题人：路涛涛 审题人：刘文清 第I部分（选择题共58分） 一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先计算复数的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可. 【详解】由题意可得， 则. 故选：B. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将集合化简，再由交集的运算，即可得到结果. 【详解】因为，即，解得， 所以，则， 故选：C. 3. 已知等比数列满足，公比，则（ ） A. 32 B. 64 C. 128 D. 256 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的性质计算可得. 【详解】因为，公比， 所以. 故选：B 4. 已知函数（是的导函数），则（ ） A. 21 B. 20 C. 16 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知求出，即得解. 【详解】解：由题得， 所以. 故选：B 5. 下列求导正确的有（ ） ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】利用求导公式及导数的运算法则逐一求解判断. 【详解】对于①，，①正确；对于②，，②错误； 对于③，，③错误；对于④，，④正确； 对于⑤，，⑤错误；对于⑥，，⑥错误； 对于⑦，，⑦正确；对于⑧，，⑧正确， 因此求导正确的个数是4. 故选：C 6. 已知等差数列的前项和为，且，若，，成等比数列，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由题意首先求得数列的，再结合等比中项即可求解. 【详解】根据题意，设等差数列公差为d， 则， 又， 所以， 即， 若，，成等比数列，则， 则， 即 解得： 故选：C 7. 函数是定义在上的偶函数，且，当时，有恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设函数，根据题意可知为偶函数且在上单调递减，根据函数性质解不等式即可. 【详解】设函数，则， 当时，恒成立，则，可知在上单调递增， 且，可知， 当时，，则； 当时，，则； 且函数是定义在上的偶函数，，所以不等式解集为. 故选：A. 8. 若直线与曲线相切，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助导数的几何意义计算可得，借助导数得到函数的值域即可得解. 【详解】因为，则， 设切点为，则切线斜率， 可得切线方程为，即， 则，可得， 构建，则， 当时，；当时，； 可知在上单调递增，在上单调递减， 则， 又当趋向于时，趋向于， 所以，即. 故选：A. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 【答案】AD 【解析】 【分析】利用函数的导函数图象，可判断函数的单增区间与单减区间，进而可得极大值点，从而可得结论. 【详解】由函数的导函数的图象可知， 当时，，所以在上单调递增，故B错误； 当时，，所以在上单调递减， 即函数在上单调递减，故A正确； 所以函数在处取得极大值，不是极小值点，故C错误，D正确. 故选：AD. 10. 已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 使的最小正整数n为13 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，根据与关系，求出通项判断；对B，利用裂项求和得解可判断；对C，令求得答案；对D，求出，利用对勾函数单调性求最值. 【详解】对于A，由，当时，， 当时，， ，故A错误； 对于B，因为，， 所以，故B正确； 对于C，由，即，解得，故C正确； 对于D，，时，， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， ∴当或4时，取得最小值为，故D正确． 故选：BCD. 11. 已知函数那么下列说法正确的是（ ） A. ，在点处有相同的切线 B. 函数有一个极值点 C. 对任意恒成立 D. ，的图象有且只有两个交点 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，利用导数证明切线斜率不同否定即可，对于B，构造新函数，用导数判断极值点即可，对于C，举反例否定即可，对于D，先将交点问题转化为零点问题，求出确定的零点，并证明其唯一性，再利用零点存在性定理找到另一个零点即可. 【详解】对于A，，，，故A错误. 对于B，令，， 令，，令，， 所以在上单调递减；在上单调递增， 所以有极小值，无极大值， 故函数有一个极值点，故B正确: 对于C，，显然，故C错误: 对于D，若，的图象有且只有两个交点，则有2个零点， ，结合， 显然，故是函数的一个零点，而易知， 且在上单调递减，故在该区间上不存在其它零点， 而易知在上单调递增，且， 故由零点存在性定理得一定存在作为零点， 综上有2个零点，也即，的图象有且只有两个交点，故D正确. 故选：BD 第II部分（非选择题共92分） 三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列中，，且满足，则______. 【答案】 【解析】 【分析】取倒数即可得为等差数列，即可根据等差数列的通项求解. 【详解】由可得， 故为等差数列，且公差为2，首项为2， 故，故， 故答案为： 13. 设，，，，若，则＝________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的四则运算对函数进行求导，再代入，即可求出的值. 【详解】解：由题意知，，，， ， ， ， . 故答案为：. 14. ，且恒成立，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意把原不等式转化为恒成立，构造函数，利用导数判断出单增，得到. 记.利用导数求出，即可求出实数的取值范围. 【详解】因为关于的不等式恒成立，即为恒成立， 可化为， 即为， 亦即：， 构造， 所以原不等式转化为：. 因为，所以在上单调递增， ， 记， 所以，令，解得；令，解得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 所以， 所以， 又，所以. 故实数的范围为. 故答案为： 四.解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，在三棱锥中，是线段的中点，是线段上的一点. （1）若平面，试确定在上的位置，并说明理由； （2）若，证明：. 【答案】（1） 是的中点，理由如下： 若平面，由平面，平面平面， 得，又是的中点，在上， 所以是的中点； （2） 取的中点，连接，， 因为，为中点， 所以，， 因为，平面，所以平面， 因为平面， 所以． 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理得，从而根据是线段的中点即可确定点的位置； （2）通过等腰三角形的性质证得，，从而利用线面垂直的判定定理得平面，最后利用线面垂直的性质定理即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 已知函数 （1）求的定义域； （2）判断函数的奇偶性并予以证明； （3）求不等式的解集. 【答案】（1） （2） 函数是奇函数， 证明：由（1）知的定义域关于原点对称， 所以函数是奇函数. （3） 【解析】 【分析】（1）由对数的真数大于零可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域； （2）判断出函数为奇函数，利用函数奇偶性的定义可证得结论成立； （3）由对数函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得所求不等式的解集. 【小问1详解】 对于函数，有，解得， 所以函数的定义域为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意，当时，，解得， 所以所求不等式的解集是. 17. 设函数． （1）求在区间的最值； （2）若有且只有两个零点，求的值． 【答案】（1），；（2）或 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，利用导数方法判断出函数在区间上的单调性，即可求出其最值； （2）先由函数有两零点，可得有两不等实根，令，求出函数单调性，作出其简图，结合图像即可得出结果. 【详解】（1），令可得：或（舍去）， 因为， 所以时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 又因为，，， 所以， ． （2）令，可得． 设，则， 令，得或，列表如下： x (-∞,1) 1 (1,3) 3 (3,+∞) f′(x) - 0 + 0 - f(x) 递减 有极小值-4 递增 有极大值0 递减 所以的大致图象如下： 要使有且只有两个零点， 只需直线与的图象有两个不同交点， 所以或． 【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，由导数的方法判定函数的单调性，求函数的最值等，属于常考题型. 18. 已知数列满足． （1）求的通项公式； （2）在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和． （3）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据递推式，写出前项和项的和，进而作差求通项公式即可； （2）根据等差数列性质求得，再应用错位相减法、等比数列前项和公式求和． （3）即得，分为奇数和为偶数两种情况对进行变形，将不等式恒成立问题转化为求最值问题，结合数列的单调性即可解答. 【小问1详解】 ∵①， 当时，②， ①②，得． 所以， 当时，，满足上式， 所以的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）知，得， 则③， ④， ③④得， 所以． 【小问3详解】 得， 又因为 当为奇数时，由对任意的恒成立，得 ，即 当为偶数时，由对任意的恒成立，得 ，即， 所以. 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若函数的图象在点处的切线的倾斜角为45°，对于任意的，函数在区间上总不是单调函数，求m的取值范围； （3）求证：． 【答案】（1） 当时，的单调增区间为，减区间为； 当时，的单调增区间为，减区间为； 当时，为常数函数； （2） （3）证明：令此时，所以， 由（1）知在上单调递增， ∴当时，即， ∴对一切成立， ∵，，则有， ∴ ∴ 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，然后分，和讨论导数的正负，从而可求得函数的单调区间； （2）点处的切线的倾斜角为45°，即切线斜率为1，即，可求a值，代入得的解析式，由，且在区间上总不是单调函数可知：，于是可求m的范围． （3）由（1）可得对一切成立，所以，，则有，则，然后累乘可得结论． 【小问1详解】 当时，当时，，当时，，所以的单调增区间为，减区间为； 当时，当时，，当时，，所以的单调增区间为，减区间为； 当时，，所以为常数函数； 【小问2详解】 得， ∴， ∴ ∵在区间上总不是单调函数，且 ∴ 由题意知：对于任意的，恒成立， 所以有：，即， ∴； 【小问3详解】 略. 【点睛】方法点睛：此题考查利用导数研究函数的单调性；考查利用导数研究曲线上某点切线方程；考查利用导数证明不等式，属于较难题. 利用导数求函数的单调区间的方法步骤是①求导函数；②解（或）；③得到函数的增区间（或减区间）， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $