2025年中考数学二轮复习-梯形中位线定理的综合训练

2025年中考数学二轮复习 梯形中位线定理的综合训练 1．已知如图，的外切等腰梯形的中位线，求梯形的腰长．（梯形中位线是指连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线，梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半）． 2．如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底的长为，下底长为，上下底相距，在两腰中点连线处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，甬道面积是梯形面积的，（提示：梯形的中位线是连接梯形两腰中点的线段，其长度等于两底和的一半） (1)梯形的中位线长是____________m； (2)梯形花坛的面积是____________； (3)甬道的宽应是多少米？ 3．如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长，下底长，上下底相距在两腰中点连线处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．甬道的面积是梯形面积的六分之一．甬道的宽应是多少米（结果保留小数点后两位）？（可利用梯形的中位线求解．梯形的中位线是连接梯形两腰中点的线段，其长度等于两底和的一半） 4．如图，在矩形中，点为边上一点，连接，过点作，交边于点，，． (1)求证：四边形为矩形； (2)若点为边的中点，求证：平分； (3)当四边形为正方形时，记正方形的面积为，矩形ABCD的面积为．若，求的值． 5．已知梯形中，，点E，点F分别为，的中点. (1)请直接写出与，之间的位置关系和数量关系； (2)请证明（1）的结论. 6．如图，梯形中，，是中位线，于G，于H，梯形的高．沿着，分别把，剪开，然后按图中箭头所指方向，分别绕着点E，F旋转，将会得到一个什么样的四边形？简述理由． 7．如图，在梯形中，，，若． (1)试说明和相似； (2)试求梯形的中位线的长度． 8．已知：如图，直线经过矩形顶点，分别过顶点、作的垂线，垂足分别为点E和点F，且，连接． (1)求证：； (2)连接和，求证：． 9．已知为两对角线的交点，直线过顶点，且绕点顺时针旋转，过点，分别作直线的垂线，垂足为点，． (1)如图1，若直线过点，求证：； (2)如图2，若，，求的度数； (3)如图3，若为菱形，，，，直接写出的长． 10．如图，的直径，有一条定长为的动弦在上滑动（点C与A，点D与B不重合），交于F，交于E． (1)求证：； (2)在动弦滑动的过程中，四边形的面积是否为定值？若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由． 11．已知矩形纸片，，．将矩形纸片折叠，点的对应点为点，折痕为． 操作一：如图①，如果折痕分别与、交于点、，且点E落在上，，则___________． 操作二：如图②，如果折痕分别与、交于点、，连结，设交于点，点的对应点为点． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）连结，若点到直线的距离与的长相等，则___________． 12．四边形是正方形，是等腰直角三角形，．G为的中点，连接．    (1)如图，若点E在边的延长线上，试判断与的位置与数量关系，并证明． (2)将绕点B顺时针旋转至图2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程．若不成立，请说明理由． 13．如图1，在矩形中，，分别以为边向外作正方形和正方形，连接交于点N，连接交于点M．      (1)求证：； (2)连接 ，求的长； (3)如图2，将正方形绕C点旋转，当F落在边上时（点D旋转到），请直接写出的长为 ． 14．如图，在四边形中，，．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)点E为边的中点，连接，过E作交边于点F，连接． ①求证：； ②若，，，求与的值． 15．如图，在等腰梯形中，，，，中位线交于G，交于H．    (1)求的长度． (2)对角线，垂足为点，求梯形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年中考数学二轮复习-梯形中位线定理的综合训练》参考答案 1． 【分析】本题考查了梯形的中位线、圆外切四边形的性质，先根据梯形中位线的性质可得，再根据圆外切四边形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵圆外切等腰梯形的中位线是， ∴， ∵等腰梯形是的外切等腰梯形， ∴， ∴， 即梯形的腰长为． 2．(1)70 (2)4200 (3)甬道的宽度为5米 【分析】本题考查梯形的中位线，梯形的面积，一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点，正确的列出方程是解题的关键： （1）根据梯形的中位线的计算方法进行求解即可； （2）根据梯形的面积公式进行计算即可； （3）设甬道的宽度为，根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：花坛上底的长为，下底长为， ∴梯形的中位线为：； 故答案为：70； （2）∵花坛上底的长为，下底长为，上下底相距， ∴梯形花坛的面积为：； 故答案为：4200． （3）设甬道的宽度为米，由题意，得： ， 解得：或（舍去）； 答：甬道的宽度为5米． 3．甬道的宽约为 【分析】本题涉及一元二次方程的应用，难度中等．设甬道的宽为，则甬道面积为，由题意可列出方程，求解即可． 【详解】解：设甬道的宽为，由题意，得 ， 整理，得， （舍去）， 答：甬道的宽约为． 4．(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)或． 【分析】（）由，可得四边形为平行四边形，再由即可求证； （）连接，交于点，由矩形的性质可得，得到，又由为边的中点可得为梯形的中位线，得到，即得，得到，即可求证； （）证明，得到，设，，则，可得，，由得，即得，得到，进而得到或，据此即可求解； 本题考查了矩形的判定和性质，梯形的中位线性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为矩形； （2）证明：连接，交于点， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵点为边的中点， ∴为梯形的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，，则， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或， 当时， ∴； 当时，， ∴； ∴的值为或． 5．(1)， (2)证明见解析 【分析】本题考查梯形中位线定理的证明，掌握全等三角形的判定与性质和三角形中位线定理是解题的关键． （1）根据题干条件猜想出结论即可； （2）连接，并延长交的延长线于点，证明，得到，，再根据三角形中位线定理证明即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：连接，并延长交的延长线于点， ， ， 点E为的中点， ， ， ， ，， 点E为的中点， 点F为的中点， ，， ，． 6．见解析 【分析】考查旋转的性质，正方形的判定及梯形的中位线的综合运用．熟练掌握他们的性质是解题的关键； 根据，，得，再根据旋转性质得，是梯形的高，结合证所给的梯形的高在证旋转后图形为矩形，结合梯形的中位线定理即证明矩形的一组邻边相等，即是正方形． 【详解】解：将会得到一个正方形，理由如下： ∵，， ∴ ∵是梯形的中位线， ∴，， ∴， ∵梯形的高， ∴梯形的高， 设绕点E旋转后点G落在处，绕点F旋转后，点H落在处则，，在所在的直线上． ∴是梯形的高， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， 7．(1)见解析 (2)6.5 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、梯形中位线定理、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行线的性质可得，结合即可判定； （2）由相似三角形的性质得出，求出，根据梯形中位线定理求出即可． 【详解】（1）解：， ， 又， ； （2）解：， ， ， ， ， 梯形的中位线是． 8．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定和性质，根据梯形中位线定理得出是解题关键． （1）连接交于点O，得是梯形的中位线，进而可得，再证明，由相似三角形性质即可得出结论， （2）根据垂直平分即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，连接交于点O， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， （2）由（1）得，， ∴， 又∵， ∴ 9．(1)证明见解析 (2) (3)的长为 【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）连接，并延长交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据等边三角形的判定与性质即可得； （3）过点作于点，过点作于点，先根据矩形的判定与性质可得，设，则，再利用勾股定理可得，由此可求出的值，然后判断出是梯形的中位线，根据梯形中位线定理求解即可得． 【详解】（1）证明：点为两对角线的交点， ， ∵直线过顶点，过点分别作直线的垂线，垂足为点， ， 在和中， ， ， ． （2）解：如图，连接，并延长交于点， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ∴在中，， ， ， ， ∴在中，， ， 是等边三角形， ． （3）解：如图，过点作于点，过点作于点， 则四边形是矩形， ， 设，则， 在中，， ， 在中，，即， 解得， ， ， ，即， 是梯形的中位线， ，即， 解得， 所以的长为7． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、三角形全等的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、梯形中位线定理等知识，较难的是题（3），通过作辅助线，构造矩形和直角三角形是解题关键． 10．(1)见解析 (2)四边形的面积是定值，值为 【分析】（1）要证：，就要从点向作垂线，然后利用垂径定理和平行线等分线段定理可知； （2）是定值，要求四边形的面积就要分析这个四边形是什么形状的，从图中可以看出是梯形，那就要利用梯形的计算公式计算，即（上底下底）高，从图中给出的数量关系可知，上底与下底和是定值，高也是定值，所以面积是定值． 【详解】（1）解：如图，作于H， ∵，O是圆心，是圆O的弦， ∴， ∵，，， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴， ∴． （2）解：四边形的面积是定值． 连结， ∵直径 ∴， 由（1）知，，， ∴，是梯形的中位线， ∴ ∵， ． 【点睛】本题综合考查了垂径定理、平行线等分线段定理及勾股定理、梯形的中位线性质和面积公式等知识点． 11．操作一：；操作二：（1）四边形是菱形，理由见解析；（2） 【分析】本题考查了矩形的折叠问题，菱形的判定，勾股定理，梯形的中位线定理，灵活运用这些知识是解题的关键． 操作一：利用折叠的性质和勾股定理求解即可； 操作二：（1）利用折叠的性质，矩形的性质和菱形的判定定理解答即可； （2）利用折叠的性质，直角三角形的斜边上的中线的性质，勾股定理和梯形的中位线定理解答即可. 【详解】操作一：在矩形中，． 根据轴对称的性质，得． ∴． 在中， ， 故答案为：； 操作二：（1）四边形是菱形．理由是： 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． （2）连接，过点作于点，如图， 则， 由（1）知， ∴是梯形的中位线， ∴， 设，则， ， 在中，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为： 12．(1)，证明见解析 (2)结论还成立，理由见解析 【分析】（1）过作于，推出，求出为中点，根据梯形的中位线求出，，推出，根据直角三角形的判定推出是等腰直角三角形即可； （2）延长到，使，连接、，过作的垂线，延长，证，推出，，求出，证出，推出，，求出是等腰直角三角形，即可得出答案． 【详解】（1）解： ，， 理由是：过作于， 由题意得：， ， 为中点， 为中点， ，， 即， ， ，， ， 即； （2）解：结论还成立， 理由是：如图2，延长到，使，连接、，过作的垂线，延长与交于点Q，延长交于点N， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， 为的中点， ，， 即（1）中的结论仍然成立．    【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，梯形的中位线，等腰直角三角形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力． 13．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明，从而得出结论； （2）取的中点Q，连接，可得是梯形的中位线，从而得出的长，进而求得的长，进一步得出的长，进而得出结果； （3）延长，交于R，作于T，可得出，，可得，进而得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形和是正方形 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图1，    取的中点Q，连接， 由（1）得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图2，    延长，交于R，作于T， 可得矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理（1）可得：， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，梯形的中位线定理，勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形． 14．(1)见解析 (2)①见解析；②； 【分析】（1）根据，，证明即可解答； （2）①取的中点N，连接，根据梯形中位线的性质可得，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，故可证明； ②，利用①中结论求得的长，再根据勾股定理求得的长，即可得到和的长，证明，可得，从而可求得的长． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， （2）①证明：如图，取的中点N，连接， ， 四边形是梯形， 是的中点，点E为边的中点， 是梯形的中位线， ， ， ， ； ②解： 四边形为平行四边形， ，， 根据①中结论可得得， ，， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， , ．    【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，梯形的中位线性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确画出辅助线是解题的关键． 15．(1)， (2) 【分析】（1）先根据梯形中位线定理得到，，再由E、F分别为的中点，得到，则； （2）如图所示，过点C作交延长线于M，先证明四边形是平行四边形，得到，，，进而证明，由等腰梯形的性质得到，则，证明，得到是等腰直角三角形，则可求出，由此可得． 【详解】（1）解：∵在等腰梯形中，，，，中位线交于G，交于H， ∴，， ∵E、F分别为的中点， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点C作交延长线于M， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∵梯形是等腰梯形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴．    【点睛】本题主要考查了梯形中位线定理，平行四边形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，三角形中位线定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$