精品解析：重庆市巴川中学校2024-2025学年下学期八年级期中考试数学试题

重庆市巴川中学校2024-2025学年度春期八年级半期考试 数学试题 （总分150分 考试时间120分钟） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. 3.2 B. C. D. 2. 下列函数不是一次函数的是（ ） A. B. C D. 3. 下列各组数，能作为直角三角形的三边的是（ ） A. 1，2，3 B. C. D. 4. 若点在第二象限，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 估计的值应在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C 3和4之间 D. 4和5之间 6. 如图，点，，分别是各边的中点，连接，，．下列说法错误的是（ ） A. 四边形是平行四边形 B. 若，则四边形是矩形 C. 若，则四边形是菱形 D. 若平分，则四边形正方形 7. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，，若菱形的面积为，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，并以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，若，则n的值为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 9. 如图，在正方形中，点E，F分别在上，连接若，，则（ ） A. B. C. D. 10. 对代数式M定义新运算：．对于若干个数，先将任意两个数求和，再将这些和分别进行新运算，最后再将新运算的结果求和，称此为“新运算操作”．例如，对1，2，3进行“新运算操作”，得以下结论正确的有（ ） ①若，则； ②在实数范围内存在x，使得进行“新运算操作”的结果为8； ③a，b，c的“新运算操作”化简结果可能存在的不同表达式共有6种． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若在实数范围内有意义，则_________． 12. 若直线经过点，则_______（填“”或“”）． 13. 导体两端的电压U与通过其电流I成正比，当某导体两端电压为时，通过该导体的电流为；当通过该导体的电流为时，该导体两端电压为_________． 14. 如图，一个长方体形状的饮料盒的底面长为，宽为，高为，在它的一角处开一个插吸管的小孔，将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为，则此吸管的总长度为_____． 15. 如图，在四边形中，，，，动点E从点A出发沿射线以的速度运动，同时点F从点B出发沿射线以的速度运动，当点F运动到点C时，两个点均停止运动．当运动时间_____时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 16. 如图，已知点，过点A往两个坐标轴作垂线，垂足分别为点B，点C，过点O的直线与交于点D，将四边形沿着翻折，点A落在处，点B落在E处，与交于点G，连接，则图中阴影部分的面积为_____． 17. 若关于的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为整数．则所有符合条件的的值之和为__________． 18. 如果一个四位数M满足各个数位的数字互不相同且均不为0，千位数字与百位数字之和为5，十位数字与个位数字之差为1，那么称这个四位数M为“五一数”．将“五一数”M的千位数字与十位数字对调后，再将百位数字去掉，得到一个三位数记为N，记．例如：四位数1265，∵，1265不是“五一数”；又如：四位数1465，∵，，1465是“五一数”，．若M是最小的“五一数”，则_______；对于“五一数”，若能被11整除，记，则符合条件的的值为_______． 三、解答题：（本大题1个小题，每小题8分，共8分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 20. 学习了平行四边形后，爱探究的小巴同学发现：平行四边形对角线的交点到任意一组对边的距离相等．于是他想出了如下证明方法，请根据他的思路完成以下作图与填空． 如图，四边形是平行四边形． （1）用直尺和圆规作图：连接交于点O，过点O作的垂线交于点N，交于点M．（不写作法，不下结论，只保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：． 证明：四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴ ∵ ② ∵ ∴ ( ③ ) ∴ ∵ ∴ 小巴同学进一步研究发现，过平行四边形对角线交点的直线被任意一组对边（或对边所在直线）截得的线段，被对角线的交点 ⑤ 21. 先化简，然后从，0，5中选择一个合适数代入并求值． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，点在上，且满足． （1）求直线的函数解析式； （2）若点是直线上一点，且，求点的坐标． 23. 如图，在中，，点是边上的中点，过点C作，，连接、，交于点F． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的面积． 24. 李先生从家（A处）出发，到位于正北方向的公司（B处）上班，共有两条路线可供选择．如图所示，路线1：；路线2：．经测量，点C在点A正东方向，点D在点A正西方向，点E在点D正北方向；点B在点C的北偏西方向上且距离C点1200米，在点E东北方向上且距离E点米． （1）求的长度；（结果保留根号） （2）李先生上班的两条路线中，路线1有部分下坡路，行走平均速度是每小时8千米；路线2大部分为平路，行走平均速度是每小时5千米；请通过计算说明李先生选择那条路更省时？（参考数据：，结果保留1位小数） 25. 阅读下列材料： 材料1：集合是数学中最基本的概念之一，指具有某种特定性质的对象的总体．这些对象称为集合的元素（或成员），且满足以下特性： （1）确定性：任一元素要么属于集合，要么不属于集合（不存在模糊状态）； （2）互异性：集合中的元素互不相同； （3）无序性：元素排列顺序不影响集合本身． 例如：集合均是集合P的元素，因此1，2，3均属于集合P，0不是集合P的元素，因此0不属于集合P． 材料2：集合的表示方法： （1）列举法：直接列出元素．例如：； （2）描述法：通过条件定义元素．例如：是偶数 材料3：集合间的关系：（1）若，则A，B两个集合中的元素完全一样．例如：若，，则、（2）若 (读作：A包含于B），则集合A中的每个元素都属于集合B．例如：，，若，则，即 请根据上述材料完成下列问题： （1） 整数集合， 有理数集合；（填序号） ①属于；②不属于． （2）已知，若，求x，y的值； （3）已知，，若；直接写出的取值范围． 26. 如图平行四边形中，，过点C作交于点E，连接． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，过点E作交于点F，连接，若，求证：； （3）如图3，在直线上有一动点P，连接，过点A向下方作，且，过点Q作交于点H，连接，若，，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市巴川中学校2024-2025学年度春期八年级半期考试 数学试题 （总分150分 考试时间120分钟） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. 3.2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，解答本题的关键是熟练掌握最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义解答即可； 【详解】解：A、3.2不二次根式，故该选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C、是最简二次根式，故该选项符合题意； D、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列函数不是一次函数的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的定义，即一般地，形如（，是常数）的函数，叫做一次函数． 根据一次函数的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、是一次函数，故选项不符合题意； B.、不是一次函数，故选项符合题意； C、是一次函数，故选项不符合题意； D、是一次函数，故选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列各组数，能作为直角三角形的三边的是（ ） A. 1，2，3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形的三边关系，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．根据勾股定理的逆定理、三角形的三边关系逐项判断即可得． 【详解】解：A、，不能构成三角形，则此项不符合题意； B、，能作为直角三角形的三边，则此项符合题意； C、，不能作为直角三角形的三边，则此项不符合题意； D、因为，所以，不能构成三角形，则此项不符合题意； 故选：B． 4. 若点在第二象限，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与其系数的关系，第二象限内的点的坐标特点，第二象限内的点，横坐标为负，纵坐标为正，则，对于一次函数，当时，一次函数经过第一、二、三象限，当时，一次函数经过第一、三、四象限， 当时，一次函数经过第一、二、四象限，当时，一次函数经过第二、三、四象限，据此可得答案． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴函数的图象经过第一、二、四象限， ∴四个选项中，只有B选项的函数图象符合题意， 故选：B． 5. 估计的值应在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的乘法运算，无理数的估算．先根据二次根式的乘法法则计算并化简二次根式，再估算的大小，即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的值应在2和3之间， 故选：B． 6. 如图，点，，分别是各边的中点，连接，，．下列说法错误的是（ ） A. 四边形是平行四边形 B. 若，则四边形是矩形 C. 若，则四边形是菱形 D. 若平分，则四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、正方形、矩形、菱形和平行四边形的判定，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，，则可证四边形是平行四边形，由此可判断A正确；再根据矩形和菱形的判定可得B和C正确；先根据等腰三角形的判定可得，再根据菱形的判定可得四边形是菱形，由此即可判断D错误． 【详解】解：∵点，，分别是各边的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形，则选项A正确； 若，则四边形是矩形，选项B正确； 若，则， ∴四边形是菱形，选项C正确； 若平分，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵在题中，与不一定垂直， ∴无法得出四边形是正方形，则选项D错误； 故选：D． 7. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，，若菱形的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等等，正确根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长是解题的关键． 根据直角三角形的性质得到，再根据菱形面积公式求出，进而求出，，利用勾股定理求出，利用菱形的面积即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∵菱形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ 故选B． 8. 如图，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，并以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，若，则n的值为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先求出，，再利用勾股定理可得，则可得，同样的方法可得，，归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：∵正方形的边长为，其面积标记为， ∴，， ∵以为斜边作等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵以为边向外作正方形，其面积标记为， ∴， 同理可得：，， 归纳类推得：（其中，为正整数）， ∵， ∴， ∴，即， 故选：C． 9. 如图，在正方形中，点E，F分别在上，连接若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得，，将绕点A顺时针旋转，得，证明，根据全等三角形的性质可得，进一步根据求解即可． 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，涉及旋转的性质，添加合适的辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， 在正方形中，，， 将绕点A顺时针旋转，得，则，，， ∴， ∴G、B、E三点共线，如图所示： ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10. 对代数式M定义新运算：．对于若干个数，先将任意两个数求和，再将这些和分别进行新运算，最后再将新运算的结果求和，称此为“新运算操作”．例如，对1，2，3进行“新运算操作”，得以下结论正确的有（ ） ①若，则； ②在实数范围内存在x，使得进行“新运算操作”的结果为8； ③a，b，c的“新运算操作”化简结果可能存在的不同表达式共有6种． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了新定义实数运算、二次根式的化简等知识．根据二次根式的性质化简逐项进行解答判断即可． 【详解】解：①∵， ∴， ∴或， 解得或， 故①错误； ②进行“新运算操作”得到， ∵在实数范围内存在x，使得进行“新运算操作”的结果为8； ∴， 则， ∵在数轴上和的距离为8， ∴在数轴上找不到一个数，使得到和的距离之和为6， ∴无解， 故②错误， a，b，c的“新运算操作”结果为， 当，，时，原式； 当，，时，原式； 当，，时，原式； 当，，时，原式； 当，，时，原式； 当，，时，原式； 当，，时，原式； 当，，时，原式； 根据a，b，c的取值范围，化简结果可能存在的不同表达式共有8种． 故③错误， 故选：A 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若在实数范围内有意义，则_________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件“二次根式的被开方数是非负的”、一元一次不等式组的应用，熟练掌握二次根式的被开方数是非负的是解题关键．根据二次根式的被开方数是非负的可得，由此即可得． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故答案为：5． 12. 若直线经过点，则_______（填“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题关键．先判断出随的增大而增大，再根据直线经过点，且即可得． 【详解】解：在一次函数中，， ∴随的增大而增大， ∵直线经过点，且， ∴， 故答案为：． 13. 导体两端的电压U与通过其电流I成正比，当某导体两端电压为时，通过该导体的电流为；当通过该导体的电流为时，该导体两端电压为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的应用，正确求出正比例函数的解析式是解题关键．设，将点代入求出正比例函数的解析式，再将代入计算即可得． 【详解】解：由题意，设， 将点代入得：， 解得， 则， 将代入得：， 即当通过该导体的电流为时，该导体两端电压为， 故答案为：． 14. 如图，一个长方体形状的饮料盒的底面长为，宽为，高为，在它的一角处开一个插吸管的小孔，将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为，则此吸管的总长度为_____． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．如图（见解析），连接，不妨设，利用勾股定理可得，，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，不妨设， 由题意得：，，，，， ∴在中，， ∴在中，， ∵将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为， ∴此吸管的总长度为， 故答案为：16． 15. 如图，在四边形中，，，，动点E从点A出发沿射线以的速度运动，同时点F从点B出发沿射线以的速度运动，当点F运动到点C时，两个点均停止运动．当运动时间_____时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】3 【解析】 【分析】考查了平行四边形的判定，根据题意得：，，则，当时，四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：根据题意得：，， 则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即， 解得：； 故答案为：3． 16. 如图，已知点，过点A往两个坐标轴作垂线，垂足分别为点B，点C，过点O的直线与交于点D，将四边形沿着翻折，点A落在处，点B落在E处，与交于点G，连接，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、折叠的性质、正比例函数的应用等知识，熟练掌握矩形和折叠的性质是解题关键．过点作轴于点，先求出，，，，再求出，则可得，然后根据折叠性质可得，，证出，在中，利用勾股定理可得的长，最后根据图中阴影部分的面积等于求解即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵点，轴于点，轴于点，轴轴， ∴四边形和四边形都是矩形，， ∴，，，， 将代入函数得：，解得， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质得：，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， ∴图中阴影部分的面积为 ， 故答案为：． 17. 若关于的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为整数．则所有符合条件的的值之和为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组、分式方程，熟练掌握不等式组和分式方程的解法是解题关键．先解一元一次不等式组可得，再解分式方程可得，根据分式方程有解，且解为整数可得所有符合条件的的值，由此即可得． 详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵这个不等式组的解集为， ∴， 解得， ∴， ， 方程两边同乘以得：， 解得， ∵这个分式方程有解， ∴，即， ∴， 又∵这个分式方程的解为整数， ∴所有符合条件的的值为， ∴所有符合条件的的值之和为， 故答案为：． 18. 如果一个四位数M满足各个数位的数字互不相同且均不为0，千位数字与百位数字之和为5，十位数字与个位数字之差为1，那么称这个四位数M为“五一数”．将“五一数”M的千位数字与十位数字对调后，再将百位数字去掉，得到一个三位数记为N，记．例如：四位数1265，∵，1265不是“五一数”；又如：四位数1465，∵，，1465是“五一数”，．若M是最小的“五一数”，则_______；对于“五一数”，若能被11整除，记，则符合条件的的值为_______． 【答案】 ①. 1432 ②. ## 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，定义新运算，根据“五一数”确定最小值即可；再表示出，然后逐个讨论得出符合题意的结果，最后根据解答即可． 【详解】解：根据“五一数”的定义可知最小的“五一数”是1432； ∵“五一数”， ∴， 则， 当，，，不符合题意； 当，，则，不符合题意； 当，，，不符合题意； 当，，，不符合题意； 当，，则，不符合题意； 当，，则，不符合题意； 当，，则，不符合题意； 当，，则，不符合题意； 当，，不符合题意； 当，，，不符合题意； 当，，，不符合题意； 当，，则，不符合题意； 当，，则，不符合题意； 当，，则，不符合题意； 当，，则，不符合题意； 当，，则，不符合题意； 当，，则，不符合题意； 当，，不符合题意； 当，，，不符合题意； 当，，则，不符合题意； 当，，则，不符合题意； 当，，则，不符合题意； 当，，则，不符合题意； 当，，则，不符合题意； 当，，，不符合题意； 当，，则，不符合题意； 当，，不符合题意； 当，，，不符合题意； 当，，则，不符合题意； 当，，则，不符合题意； 当，，则，不符合题意； 当，，则，符合题意. 可知符合题意的是， 所以. 故答案为：1432，． 三、解答题：（本大题1个小题，每小题8分，共8分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则，进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 20. 学习了平行四边形后，爱探究的小巴同学发现：平行四边形对角线的交点到任意一组对边的距离相等．于是他想出了如下证明方法，请根据他的思路完成以下作图与填空． 如图，四边形是平行四边形． （1）用直尺和圆规作图：连接交于点O，过点O作的垂线交于点N，交于点M．（不写作法，不下结论，只保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：． 证明：四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴ ∵ ② ∵ ∴ ( ③ ) ∴ ∵ ∴ 小巴同学进一步研究发现，过平行四边形对角线交点的直线被任意一组对边（或对边所在直线）截得的线段，被对角线的交点 ⑤ 【答案】（1）见解析 （2）；垂直的定义；两直线平行，内错角相等；；平分 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）连接交于点O，再根据垂线的作法过点O作的垂线即可； （2）根据平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质可得答案． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求． 【小问2详解】 证明：四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴ ∵ (垂直的定义) ∵ ∴ (两直线平行，内错角相等) ∴ ∵ ∴ 小巴同学进一步研究发现，过平行四边形对角线交点的直线被任意一组对边（或对边所在直线）截得的线段，被对角线的交点平分． 故答案为：；垂直的定义；两直线平行，内错角相等；；平分． 21. 先化简，然后从，0，5中选择一个合适的数代入并求值． 【答案】，选择，值为 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值、分式有意义的条件、二次根式的分母有理化，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号内的分式的减法，再计算分式的除法，然后根据分式有意义的条件选择的值，代入计算即可得． 【详解】解：原式 ， ∵，即， ∴选择代入得：原式． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，点在上，且满足． （1）求直线的函数解析式； （2）若点是直线上一点，且，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式、一次函数的几何应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）先分别求出点的坐标和的长，再求出点的坐标，然后利用待定系数法求解即可得； （2）先求出的面积，从而可得的面积，再设点的坐标为，利用三角形的面积公式建立方程，解方程即可得． 【小问1详解】 解：将代入函数得：，解得， ∴， 将代入函数得：， ∴， ∵， ∴， 又∵点在轴上，点在上， ∴， 设直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， 所以直线的函数解析式为． 【小问2详解】 解：由题意，画出图形如下： 由（1）已得：直线的函数解析式为，，，， ∴，， ∵， ∴， ∵点是直线上一点， ∴可设点坐标为， ∴的边上的高为， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， ∴点的坐标为或． 23. 如图，在中，，点是边上的中点，过点C作，，连接、，交于点F． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的三线合一、勾股定理、二次根式的应用等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． （1）先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据平行线的判定可得，然后根据平行四边形的判定即可得证； （2）先根据等腰三角形的三线合一可得，，再根据平行四边形的性质可得，，然后设，则，，利用勾股定理可得的值，从而可得的长，最后利用三角形的面积公式计算即可得． 【小问1详解】 证明：∵在中，，点是边上的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：∵在中，，点是边上的中点， ∴，， 由（1）已证：四边形是平行四边形， ∴，， 设，则，， 在中，， 在中，， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴，， ∴的面积为． 24. 李先生从家（A处）出发，到位于正北方向的公司（B处）上班，共有两条路线可供选择．如图所示，路线1：；路线2：．经测量，点C在点A正东方向，点D在点A正西方向，点E在点D正北方向；点B在点C的北偏西方向上且距离C点1200米，在点E东北方向上且距离E点米． （1）求的长度；（结果保留根号） （2）李先生上班的两条路线中，路线1有部分下坡路，行走平均速度是每小时8千米；路线2大部分为平路，行走平均速度是每小时5千米；请通过计算说明李先生选择那条路更省时？（参考数据：，结果保留1位小数） 【答案】（1）米 （2）李先生选择路线1更省时 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）连接，过点作于点，先得出四边形是矩形，再根据含30度角的直角三角形的性质、勾股定理可得的长，然后根据等腰三角形的判定和勾股定理可得的长，最后根据求解即可得； （2）根据可得的长，再分别求出路线1和路线2所需的时间，由此即可得． 【小问1详解】 解：如图，连接，过点作于点， 由题意得：点在同一条直线上，，，米，米， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，，， ∴， ∴米， ∴米， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（米）， ∴米， 答：的长度为米． 【小问2详解】 解：由（1）已得：米，米，米， ∵路线1有部分下坡路，行走平均速度是每小时8千米；路线2大部分为平路，行走平均速度是每小时5千米，且米，米， ∴路线1所需时间为（小时）， 路线2所需时间为（小时）， 因为小时分钟，小时分钟分钟， 所以李先生选择路线1更省时． 25. 阅读下列材料： 材料1：集合是数学中最基本的概念之一，指具有某种特定性质的对象的总体．这些对象称为集合的元素（或成员），且满足以下特性： （1）确定性：任一元素要么属于集合，要么不属于集合（不存在模糊状态）； （2）互异性：集合中的元素互不相同； （3）无序性：元素排列顺序不影响集合本身． 例如：集合均是集合P的元素，因此1，2，3均属于集合P，0不是集合P的元素，因此0不属于集合P． 材料2：集合的表示方法： （1）列举法：直接列出元素．例如：； （2）描述法：通过条件定义元素．例如：是偶数 材料3：集合间的关系：（1）若，则A，B两个集合中的元素完全一样．例如：若，，则、（2）若 (读作：A包含于B），则集合A中的每个元素都属于集合B．例如：，，若，则，即 请根据上述材料完成下列问题： （1） 整数集合， 有理数集合；（填序号） ①属于；②不属于． （2）已知，若，求x，y的值； （3）已知，，若；直接写出的取值范围． 【答案】（1）①，② （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查了无理数与有理数、二次根式、立方根、一元一次不等式组等知识，正确理解集合的定义和特性是解题关键． （1）根据整数、无理数与有理数、集合的定义即可得； （2）先根据集合的特性和二次根式有意义的条件可得，再根据可得，从而可得，然后根据可得，即，利用立方根的性质可得的值，由此即可得； （3）先解一元一次不等式组可得，再根据可得，，由此即可得． 【小问1详解】 解：∵整数包括正整数、0和负整数， ∴属于整数集合， ∵是无理数， ∴不属于有理数集合， 故答案为：①，②． 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵，，且， ∴这个不等式组有解， ∴， ∴， 又∵，且， ∴，， ∴，． 26. 如图平行四边形中，，过点C作交于点E，连接． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，过点E作交于点F，连接，若，求证：； （3）如图3，在直线上有一动点P，连接，过点A向下方作，且，过点Q作交于点H，连接，若，，直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得为等腰直角三角形，即可得出，由平行四边形的性质可得，，从而可得，即，设，则，，再由勾股定理计算即可得解； （2）由题意可得为等腰直角三角形，即可得出，由平行四边形的性质可得，，，从而可得，即，作交的延长线于，则，证明，得出，，证明，得出，，结合，求出，从而可得，由直角三角形的性质可得，即可得证； （3）由题意可得为等腰直角三角形，推出，，由平行四边形的性质可得，，，，，推出，即，由勾股定理可得，，求出，以为直角边作等腰直角，连接，令交于，交于，交于，则，，证明，求出，作直线，令直线交于，则点在直线上运动，，为值，则为等腰直角三角形，四边形为矩形，得出，，，，作点关于直线的对称点，取，连接交直线于，连接，则四边形为平行四边形，得出，由轴对称的性质可得，，， 即可推出，由两点之间，线段最短可得，当、、在同一直线上时，的值最小，为，作交的延长线于，则四边形为矩形，求出，，由勾股定理可得，即的最小值为，即可得解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，即， ∵， ∴设，则， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴，即， 如图，作交的延长线于， 则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，以为直角边作等腰直角，连接，令交于，交于，交于， 则，， ∵，且， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 作直线，令直线交于，则点在直线上运动，，为值， ∴为等腰直角三角形，四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 作点关于直线的对称点，取，连接交直线于，连接， 则四边形为平行四边形， ∴， 由轴对称的性质可得，，， ∴， 由两点之间，线段最短可得，当、、在同一直线上时，的值最小，为， 作交的延长线于， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即的最小值为， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$