精品解析：河北省石家庄二中教育集团2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

石家庄二中教育集团2024-2025学年度高二年级第二学期 期中考试数学试卷 （时间：120分钟，分值；150分 命题人：李延军 审题人：马燕） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列求导运算正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式判断A、C、D，根据复合函数的求导法则判断B. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D错误. 故选：A 2. 随机变量的分布列为为常数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由分布列的性质求得，进而可求解. 【详解】由题意可得：， 所以， 所以， 故选：D 3. 已知函数的导函数的部分图象如图，则下列说法正确的为（ ） A. B. C. 有三个零点 D. 有三个极值点 【答案】A 【解析】 【分析】根据导函数图象得到单调性和极值，进而推出极值点个数，比较函数值大小即可. 【详解】根据导函数图象知道： 正 0 非正 0 正 增 极大值 减 极小值 增 对于A，函数在上单调递减，所以，A正确； 对于B，函数在上单调递减，所以，B错误； 对于C，函数只知单调性、函数值情况不明确，不能确定零点个数，C错误； 对于D，函数有两个极值点，D错误. 故选：A． 4. 用数字，，，，组成的没有重复数字的三位数且是偶数的个数为（ ） A. 60 B. 30 C. 36 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】通过个位数分别为，，，讨论即可； 【详解】由题意可知，这三位数是偶数，则说明其个位数为偶数，即，，，有3种选择， 因为这是一个三位数，所以百位数不能是0. ①当个位数为0时，有种， ②当个位数为2或4时，有种.综上，有30种. 故选：B. 5. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，求导分析单调性，可得与的大小关系，又，结合余弦函数的单调性，可得与的大小关系． 【详解】令， 则， 令，得， 所以在上，单调递增，在上，单调递减， 所以， 所以，即， 所以，即， 因为， 所以，即 所以． 故选：C． 6. 今年春节，《哪吒2》、《唐探1900》、《熊出没之重启未来》和《射雕英雄传：侠之大者》这四部影片引爆了电影市场．小明和他的同学一行四人决定去看电影，若小明要看《哪吒2》，其他同学任选一部，则恰有两人看同一部影片的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用排列组合知识，结合古典概型的概率公式求解． 【详解】分以下两种情况讨论： （1）小明和其中一人同时看《哪吒2》，另外两人看剩余三部电影中的两部， 此时所求概率为， （2）观看《哪吒2》只有小明一人，只需将剩余三人分为两组，再将这两组人分配给两部电影， 此时所求概率为， 综上所述，恰有两人看同一部影片的概率为． 故选：C． 7. 若函数与函数的图象在公共点处有相同的切线，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出两个函数图象的公共点坐标，利用导数的几何意义建立关系求解即得. 【详解】设函数与函数的图象公共点坐标为， 求导得，依题意，，于是， 令函数，显然函数在上单调递增，且， 则当时，，因此在中，，此时，经检验符合题意， 所以. 故选：B 8. 已知函数，则下列结论正确的为（ ） A. 当时，在处取得极大值 B. 当时，有且只有两个零点 C. 若恒成立，则 D. 若恒成立，则 【答案】D 【解析】 【分析】选项A、B；当时，，结合导数研究函数的单调性，求解函数的极值、零点问题；选项C、D：利用导数解决函数恒成立问题. 【详解】选项A、B：当时，，当，单调递减； 当，单调递增；故在处取得极小值，故A错误； 又因为，所以 ，有且只有一个零点，故B错误； 选项C、D:恒成立，当时，； 当时，即 恒成立， 构造函数，，令， ，在单调递减，又， 所以，所以在上单调递减， ，综上可得 ，故C错误； 函数，函数单调递减，则， 故有 ,即； 即恒成立，时，; ，，又，所以选项D正确； 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 从含有3道代数题和2道几何题的5道试题中随机抽取2道题，每次从中随机抽出1道题抽出的题不再放回，则（ ） A. “第1次抽到代数题”与“第2次抽到代数题”相互独立 B. “第1次抽到代数题”与“第1次抽到几何题”是互斥事件 C. “第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”的概率是 D. “在抽到有代数题的条件下，两道题都是代数题”的概率是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据互斥事件，独立事件的定义判断AB，利用条件概率公式计算判断CD． 【详解】第一次抽到代数题为，第二次抽到代数题为 即不独立，故A错误； “第一次抽到代数题”与“第一次抽到几何体”是互斥事件，故B正确； ，故C正确； 记“抽到有代数题”为，两道题都是代数题为 ，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知，则下列说法正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用变量赋值可得系数关系，即可判断AC，对于B通过展开式通项公式可求得指定项系数再来判断，对于D就得用等式两边求导思想，再赋值就可得到结果． 【详解】令，代入得：，故选项A正确的； 由通项公式可得：即，，由于，所以，故选项B是错误的； 令时， ， 又， 所以，C正确； 对， 求导可得：， 再令可得：，正确， 故选：ACD 11. 已知函数有四个零点，则（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数零点转化为方程的根，令，即方程有两根，利用导数分析得的图像性质，根据一元二次方程根与系数的关系，结合函数图象、指数函数与对数函数的性质逐项分析即可得答案. 【详解】由题意知有四个不同的根，显然，则， 令，则，即， 另外，， 当时，；当时，； 故在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当时，，当时，，则的大致图像如图所示： 根据题意知存在两根，，不妨设， 则满足，，即有，， 则由图象可知，所以，故A错误； 由于方程的两根，满足， 所以，解得，故B正确； 由，，得， 两边取自然对数得，故C正确； 由，两边取自然底数得， 若，则， 所以， 令，则，恒成立， 所以在上单调递减，又，， 所以，故D正确. 故选：BCD． 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为__________. 【答案】30 【解析】 【分析】先将看作一个整体，求出其展开式的通项确定的次数，再确定的次数即可求解. 【详解】由， 其展开式的通项为，，， 令，得的展开式的通项为，，， 令，得， 则的展开式中的系数为. 故答案为：30. 13. 某学校有两家餐厅，甲同学第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.7；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.9，则甲同学第二天去餐厅用餐的概率为______． 【答案】0.8## 【解析】 【分析】设 “第一天去餐厅用餐”， “第一天去餐厅用餐”， “第二天去餐厅用餐”，根据题意求出，然后根据全概率公式可求得答案. 【详解】设 “第一天去餐厅用餐”， “第一天去餐厅用餐”， “第二天去餐厅用餐”， 根据题意得，，， 由全概率公式，得， 所以王同学第二天去餐厅用餐的概率为. 故答案为：. 14. 已知，若过点的动直线与有三个不同交点，自左向右分别为，则线段的中点纵坐标的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将直线与的方程联立，化简后得到关于的一元二次方程，利用韦达定理、中点坐标公式即可得线段的中点横坐标，再求出过点的两条切线，结合图像，即可求得线段的中点纵坐标的取值范围． 【详解】设，，线段的中点，，易得在上， 由，得， 故，为方程的两个根，所以，故点在直线上， ，，解得或；，解得， ∴在和上单调递增，在上单调递减，，， 过作的切线，设切点坐标为， 则有，即，解得， 此时切线斜率，切线方程为． 又，则点处的切线方程． 如图所示， 两条切线与的交点纵坐标分别为，， 故． 故答案为：． 【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，辨析清楚“在点”与“过点”的切线方程的求法是解题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）求函数在上的最大值和最小值（其中是自然对数的底数）. 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）的最大值为0，最小值为. 【解析】 【分析】 （1）求出的定义域和，分别令，可得答案. （2）由（1）得在上单调递增，在上单调递减，求出极值和函数的端点值可得答案. 【详解】（1），的定义域为. ∵，∴，， ∴在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）得在上单调递增，在上单调递减， ∴在上的最大值为. 又，，且. ∴在上的最小值为. ∴在上的最大值为0，最小值为. 【点睛】把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了. 函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的，函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个. 16. 已知二项式的展开式中仅第5项的二项式系数最大，且第4项，第5项，第6项的系数成等差数列． （1）求和n的值； （2）当，，时，若恰好能被6整除，求的最小值． 【答案】（1），或 （2）5 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数的特征求出，再写出展开式的通项，根据等差中项的性质得到方程，解得即可； （2）依题意可得，利用二项式定理写出的展开式，即可求出的取值，从而得解. 【小问1详解】 因为二项式的展开式中仅第项的二项式系数最大，所以， 因为二项式，展开式的通项公式为（且）， 所以第项，第项，第项的系数分别为，，， 由，又，所以，解得或． 【小问2详解】 因为，所以． 当时，． 因为 ， 且恰好能被整除，所以，． 因为，所以的最小值为． 17. 我校高二年级组织“风华杯”篮球比赛，甲、乙两班进入决赛．规定：先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛．在规则允许的情况下，甲班球员M都会参赛，他上场与不上场甲班一场比赛获胜的概率分别为和，且球员M每场比赛犯规4次以上的概率为． （1）求甲班第二场比赛获胜的概率； （2）用X表示比赛结束时比赛场数，求X的分布列； （3）已知球员M在第一场比赛中犯规4次以上，求甲班比赛获胜的概率． 【答案】（1） （2）X的分布列为： X P （3）【解析】 【分析】（1）根据全概率公式，即可求解； （2）由题意可得，3，从而再根据对立事件的概率与独立事件的概率公式，即可求解X的分布列； （3）根据对立事件与独立事件的概率公式，条件概率公式，即可求解． 【小问1详解】 设为“第场甲队获胜“，为“球员第场上场比赛“，，2，3， 根据全概率公式可得； 【小问2详解】 由题意可得，3， 又，由（1）知， ，， ， ， 所以X的分布列为： X P 【小问3详解】，此时， 所求概率为：． 18. 已知函数． （1）若函数在其定义域内单调递增，求实数的取值范围； （2）若，且有两个极值点，其中，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意结合导数与函数单调性的关系可转化条件为在上恒成立，利用基本不等式求得的最小值即可得解； （2）由题意结合函数极值点的概念可得，，进而可得，转化条件为，令（），利用导数求得函数的值域即可得解. 【小问1详解】 的定义域为， ∵在上单调递增， ∴在上恒成立，即在上恒成立， 又，当且仅当时等号成立， ∴，即. 【小问2详解】 由题意， ∵有两个极值点， ∴为方程的两个不相等的实数根， 由韦达定理得，， ∵，∴， 又，解得， ∴ ， 设（）， 则， ∴在上单调递减， 又，， ∴， 即的取值范围为. 19. 已知函数，. （1）讨论函数极值点的个数； （2）设，若且对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） 当时，有且仅有一个极值点；当时，有三个极值点. （2） 【解析】 【分析】（1）求导后，令，利用导数可求得单调性，并得到；①当时，可知，由此可得正负，得到单调性，由极值点定义得到结论；②当时，结合零点存在定理可得到单调性，由极值点定义得到结论； （2）令，利用导数可求得，可知，由单调性可得，分离变量可得；令，可化简得到，利用导数可求得，由此可得结论. 【小问1详解】 ； 令，则；令，解得：； 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， ； ①当，即时，恒成立， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， 有且仅有一个极值点； ②当，即时，，当时，， ，，使得；又， 当时，；当时，； 在，上单调递减，在，上单调递增， 有、和三个极值点； 综上所述：当时，有且仅有一个极值点；当时，有三个极值点. 【小问2详解】 由（1）知：当时，在上单调递减，在上单调递增； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，， ，则； 又，由得：， 在上恒成立； ，， 令，由得：，， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，， ，即的取值范围为. 【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到极值点的讨论、恒成立问题的求解；求解恒成立问题的基本思路是通过分离变量的方式将问题转化为变量与函数最值的大小关系的问题，利用导数求解函数最值即可得到结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄二中教育集团2024-2025学年度高二年级第二学期 期中考试数学试卷 （时间：120分钟，分值；150分 命题人：李延军 审题人：马燕） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列求导运算正确的为（ ） A. B. C. D. 2. 随机变量的分布列为为常数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的导函数的部分图象如图，则下列说法正确的为（ ） A. B. C. 有三个零点 D. 有三个极值点 4. 用数字，，，，组成的没有重复数字的三位数且是偶数的个数为（ ） A. 60 B. 30 C. 36 D. 21 5. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 今年春节，《哪吒2》、《唐探1900》、《熊出没之重启未来》和《射雕英雄传：侠之大者》这四部影片引爆了电影市场．小明和他的同学一行四人决定去看电影，若小明要看《哪吒2》，其他同学任选一部，则恰有两人看同一部影片的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数与函数的图象在公共点处有相同的切线，则实数（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则下列结论正确的为（ ） A. 当时，在处取得极大值 B. 当时，有且只有两个零点 C. 若恒成立，则 D. 若恒成立，则 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 从含有3道代数题和2道几何题的5道试题中随机抽取2道题，每次从中随机抽出1道题抽出的题不再放回，则（ ） A. “第1次抽到代数题”与“第2次抽到代数题”相互独立 B. “第1次抽到代数题”与“第1次抽到几何题”是互斥事件 C. “第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”的概率是 D. “在抽到有代数题的条件下，两道题都是代数题”的概率是 10. 已知，则下列说法正确的为（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数有四个零点，则（ ） A. B. C. D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为__________. 13. 某学校有两家餐厅，甲同学第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.7；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.9，则甲同学第二天去餐厅用餐的概率为______． 14. 已知，若过点的动直线与有三个不同交点，自左向右分别为，则线段的中点纵坐标的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）求函数在上的最大值和最小值（其中是自然对数的底数）. 16. 已知二项式的展开式中仅第5项的二项式系数最大，且第4项，第5项，第6项的系数成等差数列． （1）求和n的值； （2）当，，时，若恰好能被6整除，求的最小值． 17. 我校高二年级组织“风华杯”篮球比赛，甲、乙两班进入决赛．规定：先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛．在规则允许的情况下，甲班球员M都会参赛，他上场与不上场甲班一场比赛获胜的概率分别为和，且球员M每场比赛犯规4次以上的概率为． （1）求甲班第二场比赛获胜的概率； （2）用X表示比赛结束时比赛场数，求X的分布列； （3）已知球员M在第一场比赛中犯规4次以上，求甲班比赛获胜的概率． 18. 已知函数． （1）若函数在其定义域内单调递增，求实数的取值范围； （2）若，且有两个极值点，其中，求的取值范围． 19. 已知函数，. （1）讨论函数极值点的个数； （2）设，若且对任意的恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $