精品解析：新疆喀什市2024-2025学年高一下学期期中质量监测数学试卷

喀什市2024-2025学年第二学期期中质量监测试卷 高一 数学 注意事项： 1．本试卷共150分，考试用时120分钟． 2．本试卷为问答分离式试卷，其中问卷4页．所有答案一律写在答题卷上，在问卷上答题无效． 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，，则在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若，，，的夹角为，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 各棱长均为三棱锥的表面积为 A. B. C. D. 5. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 如图，在中，，点是的中点．设，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知平面向量，若，则向量与向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 8. 桂林日月塔又称金塔银塔､情侣塔，日塔别名叫金塔，月塔别名叫银塔，所以也有金银塔之称.如图1，这是金银塔中的金塔，某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底的同一水平面上的两点处进行测量，如图2.已知在处测得塔顶的仰角为60°，在处测得塔顶的仰角为45°，米，，则该塔的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 50米 D. 米 二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知是平面内的一组基底，则下列向量中能作为一组基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 11. 已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（ ） A. 复数的虚部等于 B. C. D. 若是实数，是纯虚数，则 12. 八卦是中国文化中的哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，给出下列结论：（ ） A. B. C. D. 三、填空题（共4小题，每题5分，共20分） 13. 复数共轭复数是__________． 14. 已知向量，，且，则实数__． 15. 已知向量，的夹角为且，，则在上投影向量的坐标为______． 16. 如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是______． 四、解答题（共6小题，共70分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 18. 已知复数，（为虚数单位）． （1）当时，求； （2）若为纯虚数，求的值； （3）若复数在复平面内对应点位于第三象限，求的取值范围． 19. 已知向量与的夹角为，，. （I）若，求实数k的值； （II）是否存在实数k，使得？说明理由. 20. 在中，，，． （1）求面积； （2）求及的值． 21. 如图，已知在正四棱锥中，，. （1）求四棱锥的表面积； （2）求四棱锥的体积. 22. 在中，，． （1）求的大小； （2）在下列条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度． 条件①：的周长为；条件②：的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 喀什市2024-2025学年第二学期期中质量监测试卷 高一 数学 注意事项： 1．本试卷共150分，考试用时120分钟． 2．本试卷为问答分离式试卷，其中问卷4页．所有答案一律写在答题卷上，在问卷上答题无效． 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：C 2. 已知复数，，则在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由复数，，则， 则复数在复平面内对应的点为，位于第二象限. 故选：B. 3. 若，，，的夹角为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的定义，即可得出答案. 【详解】由已知可得，. 故选：B. 4. 各棱长均为的三棱锥的表面积为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断三棱锥是正四面体，它表面积就是四个三角形的面积，求出一个三角形的面积即可求解本题. 【详解】由题意可知三棱锥是正四面体，各个三角形的边长为a，三棱锥的表面积就是四个全等三角形的面积，即， 所以C选项是正确的. 【点睛】本题考查棱锥表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题. 5. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理结合特殊角的三角函数值即可求得的值. 【详解】由正弦定理可得， 由，，可得，则，又，则. 故选：C 6. 如图，在中，，点是的中点．设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算即可求得答案. 【详解】由题意在中，，点是的中点， 故 ， 故选：A 7. 已知平面向量，若，则向量与向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对式子两边同时平方，得到，再利用两个向量的数量积代入数值即可求得结果. 【详解】因为，所以， 又因为，， 即，解得， 解得.又因为，故向量与向量的夹角为. 故选：B 8. 桂林日月塔又称金塔银塔､情侣塔，日塔别名叫金塔，月塔别名叫银塔，所以也有金银塔之称.如图1，这是金银塔中的金塔，某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底的同一水平面上的两点处进行测量，如图2.已知在处测得塔顶的仰角为60°，在处测得塔顶的仰角为45°，米，，则该塔的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 50米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】利用仰角的定义及锐角三角函数，结合余弦定理即可求解. 【详解】由题意可知，,, 设米，则 在中，米， 在中，米. 由余弦定理可得，即，解得. 因为米，所以米. 故选：B. 二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知是平面内的一组基底，则下列向量中能作为一组基底的是（ ） A. 和 B. 和 C 和 D. 和 【答案】ABD 【解析】 【分析】判断出两向量是否共线，从而得到答案. 【详解】对于A，设，故，无解， 故与不共线，故可作为一组基底，故A正确； 对于B，设，故，无解， 和不共线，故可作为一组基底，故B正确； 对于C,，故和共线，故不能作为一组基底，故C错误； 对于D，设，无解，故和不共线，故可作为一组基底，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由两个平面向量平行、垂直的坐标公式计算可分别判断A项、B项，由平面向量的模、数量积的坐标公式计算可分别判断C项、D项. 【详解】对于A项，若，则，得，故A项不正确. 对于B项，若，则，得，故B项正确. 对于C项，若，则，得，故C项不正确. 对于D项，若，则，故D项正确. 故选：BD. 11. 已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（ ） A. 复数的虚部等于 B. C. D. 若是实数，是纯虚数，则 【答案】CD 【解析】 【分析】先化简复数，然后根据复数的虚部概念，纯虚数，共轭复数，及复数的运算逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，复数， 对于A项：，所以复数的虚部等于，故A错误； 对于B项：，故B错误； 对于C项：，故C正确； 对于D项：因为是纯虚数且是实数，即为纯虚数，所以，解得，故D正确． 故选：CD. 12. 八卦是中国文化中的哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，给出下列结论：（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图形关系，根据向量线性运算的运算法则依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，， 由正八边形性质知：且，即， 所以，又， 所以，正确； 对于B，由正八边形性质知：，，设， 因为，所以为中点，所以， 因为，所以，所以， 又，所以，正确； 对于C，，错误； 对于D，，正确. 故选：ABD 三、填空题（共4小题，每题5分，共20分） 13. 复数的共轭复数是__________． 【答案】. 【解析】 【分析】由共轭复数的定义可得答案. 【详解】复数的共扼复数为. 故答案为：. 14. 已知向量，，且，则实数__． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出、的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，，所以， ， 因为，所以，解得. 故答案为： 15. 已知向量，的夹角为且，，则在上投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合向量模的坐标运算及数量积的定义，根据向量的投影公式求解即可. 【详解】因为，所以， 则在上投影向量为. 故答案为：. 16. 如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直观图中的位置关系以及线段长度还原出原图形，即可计算出面积. 【详解】由题意， 所以原图形中，且，如下图所示： 因此其面积为. 故答案： 四、解答题（共6小题，共70分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） 【解析】 【分析】（1）根据向量的数乘运算求解； （2）根据向量的数乘和加减法运算律求解即可； （3）根据复数的乘法运算求解即可； （4）根据复数的除法运算求解即可； （5）根据向量的加减法法则求解即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ； 【小问4详解】 ； 【小问5详解】 ． 18. 已知复数，（为虚数单位）． （1）当时，求； （2）若为纯虚数，求的值； （3）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）代入，根据复数共轭的概念及复数模的运算求解即可； （2）根据纯虚数的充要条件列方程求解即可； （3）根据复数对应的点第三象限实部为负，虚部为负求解不等式即可. 【小问1详解】 当时，，故，所以. 【小问2详解】 因为为纯虚数，所以， 解得或； 【小问3详解】 若复数在复平面内对应的点位于第三象限， 则，解得， 所以的取值范围为． 19. 已知向量与的夹角为，，. （I）若，求实数k的值； （II）是否存在实数k，使得？说明理由. 【答案】（1） ;（2） 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）先求出，由即可得出，结合即可求出的值；（Ⅱ）根据共线向量基本定理，若，则有，可得，从而可求出实数的值. 试题解析：（Ⅰ）∵向量与的夹角为， 又且 ， （Ⅱ）若，则，使 又向量与不共线 解得： 存在实数时，有． 20. 在中，，，． （1）求的面积； （2）求及的值． 【答案】（1）22 （2）， 【解析】 【分析】（1）由平方关系先算出，然后直接由三角形面积公式即可求解. （2）先由余弦定理算出，然后由正弦定理即可求解. 【小问1详解】 因为在中，，， 结合平方关系，可知， 从而由三角形面积公式，可知的面积为. 【小问2详解】 因为在中，，，， 所以由余弦定理有， 又，所以解得， 由（1）可知， 所以由正弦定理有，即， 解得. 21. 如图，已知在正四棱锥中，，. （1）求四棱锥的表面积； （2）求四棱锥的体积. 【答案】（1）84 （2） 【解析】 【分析】（1）根据表面积公式即可求解， （2）根据体积公式即可求解. 【小问1详解】 连接相交于，连接 过点作于点，连接，则是斜高， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ， ． 所以正四棱锥的表面积为84． 【小问2详解】 ， 所以正四棱锥的体积为； 22. 在中，，． （1）求的大小； （2）在下列条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度． 条件①：的周长为；条件②：的面积为． 【答案】（1） （2）任选一条件长度皆为 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合已知得，然后根据角的范围可解得； （2）选择条件①根据三角形角的关系及周长得，然后根据余弦定理求解即可； 选择条件②由三角形的面积公式求得，然后根据余弦定理求解即可． 【小问1详解】 在中，因为，又，所以． 因为，所以．因为，所以． 【小问2详解】 选择条件①：因为中，，，， 所以，即为等腰三角形，其中． 因为，所以．所以． 设点为线段的中点，在中，． 因中， ， 所以，即边上的中线的长度为． 选择条件②：因为中，，，， 所以，即为等腰三角形，其中． 因为的面积为，即， 所以． 设点为线段的中点，在中，． 因为中， ， 所以，即边上的中线的长度为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$