精品解析：辽宁省沈阳市虹桥中学教育集团2024--2025学年下学期八年级数学4月月考试卷

2024−2025学年度下学期沈阳市虹桥中学教育集团 八年级学情调研（一） 数学学科 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知等腰三角形的一个底角为，则它的顶角为（ ） A. B. C. D. 或 3. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 用反证法证明“在中，若，则”，应假设（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，线段的端点分别为，将线段平移到，且点的坐标为，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（ ） A. 25 B. 22 C. 19 D. 18 8. 若不等式组的解集为，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，将绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使得点C，A，在同一条直线上，那么旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形网格中，三角形①绕某点旋转一定角度得到三角形②，其旋转中心是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知是关于的一元一次不等式，则的值为__________． 12. 如图，沿方向平移得到，已知，，则平移的距离是________． 13. 如图，和的图象交于点P，P的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是______． 14. 阳春三月，正值放风筝的好时节．某商店以80元的进价购进一款风筝，标价为120元出售，为扩大销量，计划打折出售，但其利润率不能少于．请你帮助该商店老板计算，这款风筝最多可以按______折销售． 15. 如图，在中，，，，点P为上一点，将线段绕点P顺时针旋转得线段，点Q在射线上，当的垂直平分线经过一边中点时，的长为___． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解不等式（组） （1）解不等式： （2）解不等式组： 17. 如图，已知点A，B，C的坐标分别为，，． （1）将沿着x轴向左平移5个单位后得到，请画出； （2）平移过程中，线段扫过的面积________． （3）将绕着O顺时针旋转后得到，请画出； （4）线段在x轴上运动（点D在点E左边），且，直接写出四边形周长的最小值________． 18. 如图所示，是等边三角形，点是的中点，延长到，使． （1）用尺规作图的方法，过点作，垂足是M（不写作法，保留作图痕迹）． （2）求证：． 19. 证明：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于． 20. 近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了90亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进4件A种娃娃和购进5件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，且A种娃娃售价为15元/个，B种娃娃售价为10元/个． （1）每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元？ （2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1700元的资金购进A、B两种娃娃共200个，若这200个娃娃全部售完，选择哪种进货方案，商家获利最大？最大利润是多少元？ 21. 若一个不等式组A有解且解集为，则称为不等式组A的解集中点值，若不等式组A的解集中点值是不等式（组）B的解，则称不等式（组）B对于不等式组A中点包含． （1）已知关于x的不等式组A：和不等式B：， ①不等式组A的解集中点值为________． ②不等式B对于不等式组A________（填“是”或“不是”），中点包含． （2）已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若不等式组D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围． 22. 定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“倍角三角形”． （1）下列三角形一定是“倍角三角形”的有______（只填写序号）． ①顶角是的等腰三角形； ②等腰直角三角形； ③有一个角是的直角三角形． （2）如图，在中，，，将沿边所在的直线翻折得到，延长到点，连接． ①若，求证：是“倍角三角形”； ②点在线段上，连接．若，分所得的两三角形中，一个是等腰三角形，一个是“倍角三角形”，请直接写出的度数． 23. 【发现问题】 如图1，点P在等边三角形内，且，，求的长．小明发现，以为边作等边三角形，连接，得到；由等边三角形的性质，可证，得；由已知，可知的大小，进而可求得的长． （1）请回答：在图1中， ， ． 【问题解决】 （2）参考小明思考问题的方法，解决下面问题： 如图2，中，，，点P在内，且，， ，求和的长． 【灵活运用】 （3）如图3，某公园中有一块四边形空地，连接．已知，，，，公园规划部计划在四边形内种植郁金香以供游客观赏，并将修建成观赏栈道，为保证观赏效果，要使的长度尽可能大（的宽度不计），求此时种植郁金香的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024−2025学年度下学期沈阳市虹桥中学教育集团 八年级学情调研（一） 数学学科 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：A． 2. 已知等腰三角形的一个底角为，则它的顶角为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，理解和掌握等腰三角形的性质和三角形的内角和定理是解答此题的关键． 【详解】解：当底角是时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴这个等腰三角形的顶角为． 故选：C． 3. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质．不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、∵ ∴，故本选项不符合题意； B、∵，∴，故本选项不符合题意； C、∵，∴，故本选项不符合题意； D、∵，∴，故本选项符合题意． 故选：D． 4. 用反证法证明“在中，若，则”，应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反证法，熟悉掌握反证法的步骤是解题的关键． 根据反证法是假设结论不成立，反面成立进行判断即可． 【详解】解：∵在中，若，则”， 反证法是假设结论不成立，反面成立， ∴应假设， 故选：D． 5. 在平面直角坐标系中，线段的端点分别为，将线段平移到，且点的坐标为，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，根据点的坐标平移后所得点的坐标得到平移规律，再根据平移规律可得点的坐标，确定平移规律是解题的关键． 【详解】解： ∵向右平移个单位，向上平移一个单位得到， ∴向右平移个单位，向上平移一个单位得到， 故选：A． 6. 如图，在中，，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对边相等，再结合周长公式列式计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 则的周长为， 故选：C． 7. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（ ） A. 25 B. 22 C. 19 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由垂直平分线的性质可得BD＝CD，由△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC得到答案． 【详解】解：由作图的过程可知，DE是BC的垂直平分线， ∴BD＝CD， ∵，， ∴ △ABD的周长＝AB＋AD＋BD ＝AB＋AD＋CD ＝AB＋AC ＝19． 故选：C 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 8. 若不等式组的解集为，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式组解集的求解口诀：“同小取小”确定m的取值范围即可． 【详解】解：∵不等式组的解集为，根据“同小取小”可得， ∴m的取值范围是． 故选：C． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解答本题的关键． 9. 如图，在中，，，将绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使得点C，A，在同一条直线上，那么旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得为旋转角、，然后根据邻补角的定义即可得． 【详解】解：在中，，， ， 由旋转的性质得：为旋转角，， 点C、A、在同一条直线上， ， 即旋转角等于， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质等知识点，掌握理解旋转的性质是解题关键． 10. 如图，在正方形网格中，三角形①绕某点旋转一定角度得到三角形②，其旋转中心是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，旋转中心的确定． 根据旋转的性质，找出两组对应顶点的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：如图：作出三角形①和三角形②两组对应点所连线段的垂直平分线，交于点B， ∴点B为旋转中心． 故选：B． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知是关于的一元一次不等式，则的值为__________． 【答案】﹣2 【解析】 【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值． 【详解】依题意得：|m|−1＝1且m-2≠0， 解得m＝-2． 故答案为：-2． 【点睛】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键． 12. 如图，沿方向平移得到，已知，，则平移的距离是________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查图形的平移，掌握平移的性质是关键． 根据平移的性质得到线段就是平移距离，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵沿方向平移得到， ∴平移的距离是1． 故答案为：1 13. 如图，和的图象交于点P，P的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系根据两函数的交点坐标，结合图象即可确定出所求不等式的解集．从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【详解】解：由图知：当直线的图象在直线的下方时，不等式成立； 由于两直线的交点横坐标为：， 观察图象可知，当时，，即不等式的解集为． 故答案为：． 14. 阳春三月，正值放风筝的好时节．某商店以80元的进价购进一款风筝，标价为120元出售，为扩大销量，计划打折出售，但其利润率不能少于．请你帮助该商店老板计算，这款风筝最多可以按______折销售． 【答案】8 【解析】 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是：根据利润的要求，列出相关的关系式，从而求解． 设打折销售，根据题目意思，列出关于的不等式进行求解即可． 【详解】解：设打折销售，则售价为元，利润为元， 由题意得：， 解得：， 此种商品可以按最多打8折销售， 故答案是：8． 15. 如图，在中，，，，点P为上一点，将线段绕点P顺时针旋转得线段，点Q在射线上，当的垂直平分线经过一边中点时，的长为___． 【答案】2或3或5 【解析】 【分析】分三种情况，当分别经过、、的中点时，分别求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， 的垂直平分线经过一边中点，可分为以下三种情况：经过的中点D；经过的中点E；经过的中点F． 当经过的中点D时，交于点G，如图：， ∵绕点P顺时针旋转得线段， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； 当经过的中点E时，交于点G，如图：， ∵，垂直， ∴， ∴， 在中，，设，则， 由题意可得：，即 ∴， ∴， ∵点G在上， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴由勾股定理得：； 当经过的中点F时，交于点F（G），如图：， 同理可证：， 在中，，， ∴． 综上：的长为：2或5或3． 故答案为：2或3或5． 【点睛】此题考查了旋转的性质，含直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，综合性比较强，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，利用分类讨论的思想求解． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解不等式（组） （1）解不等式： （2）解不等式组： 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式的步骤． （1）利用解不等式的步骤进行求解即可； （2）利用解不等式组的步骤进行求解即可． 【小问1详解】 解：， 去括号得， 移项合并得， 解得； 【小问2详解】 解：， 解不等式得； 解不等式得； ∴该不等式组的解集为． 17. 如图，已知点A，B，C的坐标分别为，，． （1）将沿着x轴向左平移5个单位后得到，请画出； （2）平移过程中，线段扫过的面积________． （3）将绕着O顺时针旋转后得到，请画出； （4）线段在x轴上运动（点D在点E左边），且，直接写出四边形周长的最小值________． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）5 （3） 如图，即为所求； ； （4） 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换，平移变换，勾股定理，轴对称的性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型． （1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用平移的性质即可求得线段扫过的面积； （3）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）连接，，当取得最小值时，四边形周长有最小值，取点左侧一格点，连接，作点关于轴的对称点，连接，当共线时，取得最小值，最小值为的长，据此求解即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：平移过程中，线段扫过的面积； 故答案为：5； 【小问3详解】 解：略． 【小问4详解】 解：连接，， 四边形周长 ， 当取得最小值时，四边形周长有最小值， 取点左侧一格点，连接， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 作点关于轴的对称点，连接， ∴， ∴， ∴当共线时，取得最小值，最小值为的长， ， ∴四边形周长有最小值． 18. 如图所示，是等边三角形，点是的中点，延长到，使． （1）用尺规作图的方法，过点作，垂足是M（不写作法，保留作图痕迹）． （2）求证：． 【答案】（1） 作图如下： （2） 证明：是等边三角形，是的中点 平分（三线合一） 又 又 又 ． 【解析】 【分析】本题考查了过直线外一点作已知直线的垂线及考查了等边三角形和等腰三角形的性质；作图题要注意保留做题痕迹．证得是正确解答本题的关键． （1）按照过直线外一点作已知直线的垂线步骤来作图； （2）要证可证，根据三线合一得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 证明：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于． 【答案】 已知：在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝AB， 求证：∠B＝30°. 证明：取AB中点D，连接CD， ∵△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°， ∴CD＝AB＝AD＝BD， ∵AC＝AB， ∴AC＝AD＝CD， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠A＝60°， ∴∠B＝180°−90°−60°＝30°． 【解析】 【分析】画出图形，写出已知，求证，取AB中点D，连接CD，根据直角三角形斜边上中线性质得出AC＝AD＝CD，得出等边三角形ACD，求出∠A，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线性质，等边三角形性质和判定，三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力． 20. 近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了90亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进4件A种娃娃和购进5件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，且A种娃娃售价为15元/个，B种娃娃售价为10元/个． （1）每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元？ （2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1700元的资金购进A、B两种娃娃共200个，若这200个娃娃全部售完，选择哪种进货方案，商家获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）每个A种娃娃的进价是10元，每个B种娃娃的进价是8元 （2）当购进50个A种娃娃，150个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是550元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组，不等式，函数解析式，是解题的关键： （1）设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是y元，根据购进4件A种娃娃和购进5件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，列出方程组进行求解即可； （2）设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃，根据题意，列出不等式，求出的取值范围，设这200个娃娃全部售完获得的总利润为w元，列出函数关系式，利用一次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每个A种娃娃的进价是10元，每个B种娃娃的进价是8元； 【小问2详解】 解：设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃， 根据题意得：， 解得：． 设这200个娃娃全部售完获得的总利润为w元， 则， 即， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，最大值为，此时（个）． 答：当购进50个A种娃娃，150个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是550元． 21. 若一个不等式组A有解且解集为，则称为不等式组A的解集中点值，若不等式组A的解集中点值是不等式（组）B的解，则称不等式（组）B对于不等式组A中点包含． （1）已知关于x的不等式组A：和不等式B：， ①不等式组A的解集中点值为________． ②不等式B对于不等式组A________（填“是”或“不是”），中点包含． （2）已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若不等式组D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围． 【答案】（1）①5，②是 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，由不等式组的解集情况求参数，理解新定义是解题的关键． （1）①求出不等式组A的解集，再根据解集中点值的定义求出的解集中点值即可；②根据不等式组B的解集判断即可求解； （2）求出不等式组C和D的解集，进而得到，据此即可求解． 【小问1详解】 解：①， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∴不等式组A的解集中点值为； 故答案为：5 ②∵在的范围内， ∴不等式B对于不等式组A是中点包含． 故答案为：是 【小问2详解】 解：， 解得：， ∴不等式组A的解集中点值为， ， 解得：， ∵不等式组D对于不等式组C中点包含， ∴， ∴． 22. 定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“倍角三角形”． （1）下列三角形一定是“倍角三角形”的有______（只填写序号）． ①顶角是的等腰三角形； ②等腰直角三角形； ③有一个角是的直角三角形． （2）如图，在中，，，将沿边所在的直线翻折得到，延长到点，连接． ①若，求证：是“倍角三角形”； ②点在线段上，连接．若，分所得的两三角形中，一个是等腰三角形，一个是“倍角三角形”，请直接写出的度数． 【答案】（1）②③ （2） ①证明：， ， 将沿边所在的直线翻折得到， ，，， ， ， ， ， ， ， 是“倍角三角形”； ②的度数为或或或 【解析】 【分析】（1）利用“倍角三角形”的定义依次判断即可求解； （2）由折叠的性质和等腰三角形的性质可求，由等腰三角形的性质可得，可得结论；分两种情况讨论，由三角形内角和定理和“倍角三角形”的定义可求解． 【小问1详解】 解：若一个三角形是顶角为的等腰三角形， 则两个底角均为， ， 顶角是的等腰三角形不是“倍角三角形”； 若一个三角形是等腰直角三角形， 则三个角分别为，，， ， 等腰直角三角形是“倍角三角形”； 若一个三角形是有一个角为的直角三角形， 则另两个角分别为，， ， 有一个的直角三角形是“倍角三角形”， 故答案为：②③； 【小问2详解】 略 ②解：由可得， 如图， 若是等腰三角形，则是“倍角三角形”， 是等边三角形， ， ， ， 是“倍角三角形”， 或， 或； 若是等腰三角形，则是“倍角三角形”， 或或或， 当时， ， ； 当时，， ； 当时，， ， ； 当时，， ， ； 综上所述：的度数为或或或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质等，理解“倍角三角形”的定义是解题的关键． 23. 【发现问题】 如图1，点P在等边三角形内，且，，求的长．小明发现，以为边作等边三角形，连接，得到；由等边三角形的性质，可证，得；由已知，可知的大小，进而可求得的长． （1）请回答：在图1中， ， ． 【问题解决】 （2）参考小明思考问题的方法，解决下面问题： 如图2，中，，，点P在内，且，， ，求和的长． 【灵活运用】 （3）如图3，某公园中有一块四边形空地，连接．已知，，，，公园规划部计划在四边形内种植郁金香以供游客观赏，并将修建成观赏栈道，为保证观赏效果，要使的长度尽可能大（的宽度不计），求此时种植郁金香的面积． 【答案】（1），5；（2）； ；（3）种植郁金香的面积为70． 【解析】 【分析】（1）由等边可得，，由全等易得，所以可得为直角三角形，里用勾股可求线段的长度； （2）利用第一问的思路构造旋转全等，唯一不同的是由等边三角形变成等腰直角三角形，其他思路基本一致，其中证明A、P、G三点共线是求的关键． （3）这一问是对上述思路的运用，利用旋转构造出全等之后，将已知线段进行转化，并放在一个三角形中（这是线段问题的主要思路），从而利用三边关系得出的范围．此时是A、P、C三点共线，利用第二问思路可得为直角三角形，将四边形面积转化为两个三角形，再求面积即可． 【详解】解：（1）∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 在中，． 故答案为：，5； （2）如图，将绕点C逆时针旋转得到，连接． 则． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且． ∵， ∴， ∴． 此时，即A、P、G三点共线． ∴， 在中，， 又∵为等腰直角三角形， ∴． 综上：；； （3）如图，过B作，使． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴在中，根据三边关系可得： （三点共线时取等），即， ∴如图，当、、三点共线时，最大． ∵，， ∴， ∴． ∴， 过B作于点H， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴ ． ∴当最大时，四边形的面积为70，即种植郁金香的面积为70． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $