精品解析：江苏省苏州市苏州大学附属中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

苏大附中2024-2025学年第二学期期中检测 高一年级数学试卷 （考试时间：120分钟 总分150分） 命题人：徐开 审卷人：徐雅菲 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则z的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 2. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，D是AB边上的中点，则=（ ） A. B. C. D. 4. 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C对边，若，则=（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为在方向上的投影向量为，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 6. 函数的图象向右平移个单位长度后，其图象关于轴对称，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，隔河可以看到对岸两目标A，B，但不能到达，现在岸边取相距4km的C，D两点，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，则两目标A，B间的距离为km. A. B. C. D. 2 8. 若，其中，，，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的值为 B. 的值为 C. 函数在区间上单调递增 D. 当时，取最大值 10. 在中，，D为边BC上一动点，则（ ） A. B. △ABC的外接圆半径为 C. 当D为BC中点时， D. 当AD为角A的角平分线时， 11. 已知等边的边长为4，点D，E满足，，与CD交于点，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数在复平面内对应的点在第二象限，且，则___________.(写出满足条件的一个复数即可) 13. 已知向量满足，，，且，则________. 14. 已知函数，若在区间内没有最值，则的取值范围是________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，是同一平面内的三个向量，其中. （1）若，且，求的坐标； （2）若，且与垂直，求与的夹角. 16. 已知均为锐角，且. （1）求的值： （2）求的值. 17. 已知函数的最小值为1 （1）求a的值； （2）求在上的单调递增区间； （3）若，使得成立，求m的取值范围. 18. 如图，在梯形ABCD中，，，，且，E是线段AB上一点，且，F为线段BC上一动点． （1）求的大小； （2）若F为线段BC的中点，直线AF与DE相交于点M，求； （3）求的取值范围． 19. 在面积为S的中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求C的值； （2）若，求周长的最大值； （3）若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏大附中2024-2025学年第二学期期中检测 高一年级数学试卷 （考试时间：120分钟 总分150分） 命题人：徐开 审卷人：徐雅菲 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则z的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的相关概念判断即可. 【详解】复数的虚部为. 故选：A 2. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得. 【详解】因为，所以函数的最小正周期. 故选：B 3. 在中，D是AB边上的中点，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可. 【详解】 故选：C 【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单. 4. 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C对边，若，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理可得，又因为，所以，即可得，再根据特殊角正切值求解即可. 【详解】因为，由正弦定理得： ，因为， 所以, ，因为， 所以，即，因为，所以. 故选：A. 5. 已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为在方向上的投影向量为，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，即可求解. 【详解】在方向上的投影向量为，即，① 在方向上的投影向量为，即，② 由①②得，又，所以. 故选：C 6. 函数的图象向右平移个单位长度后，其图象关于轴对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】写出平移后函数解析式，利用它关于轴对称（函数为偶函数）求得值． 【详解】把函数（）的图象向右平移个单位长度， 所得图象对应的函数是（），且它是偶函数， 所以（），，（）， 又因为，所以. 故选：B． 7. 如图所示，隔河可以看到对岸两目标A，B，但不能到达，现在岸边取相距4km的C，D两点，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，则两目标A，B间的距离为km. A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可求，，由正弦定理可求的值，在中，，由正弦定理可求的值，进而由余弦定理可求的值． 【详解】由已知，中，，， 由正弦定理，， 所以， 在中，， 由正弦定理，， 所以， 在中，由余弦定理，，解得：． 所以与的距离. 故选B 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题． 8. 若，其中，，，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】经过换元，二倍公式，降幂公式得到，然后利用正弦函数的有界性求出最值 【详解】设， 所以，即， 所以， 所以， 因为，所以， 将方程两边除以得， 所以， 令，， 所以， 其中，又， 所以， 则的最大值为. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的值为 B. 的值为 C. 函数在区间上单调递增 D. 当时，取最大值 【答案】AD 【解析】 【分析】对于，由确定，； 对于，由图可知是该函数单调递减区间上的一个零点，代入表达式得到，再根据确定的值； 对于，由函数的表达式确定其单调性即可； 对于，由函数的表达式确定函数值最大时的取值即可. 【详解】对于选项，由图可知，故正确； 对于选项，由图可知是该函数单调递减区间上的一个零点，故，则，又，可知，故错误； 对于选项，由前两选项可知，，令，可得, ，故错误； 对于选项，由，令，则，故正确. 故选：. 10. 在中，，D为边BC上一动点，则（ ） A. B. △ABC的外接圆半径为 C. 当D为BC中点时， D. 当AD为角A的角平分线时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】由余弦定理，求得，可判定A正确；根据弦定理，求得的外接圆的半径，可判定B正确；取的中点，得到，由余弦定理，求得，可判定C不正确；由为角的平分线，根据，列出方程，求得的长，可判定D正确. 【详解】对于A，由余弦定理，可得， 所以，所以A正确； 对于B，由正弦定理，可得， 所以的外接圆的半径为，所以B正确； 对于C，如图所示，取的中点，连接，则，可得， 在中，由余弦定理，可得 ，可得，所以C不正确； 对于D，因为为角的平分线，设， 由，可得， 可得，所以D正确. 故选：ABD. 11. 已知等边的边长为4，点D，E满足，，与CD交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，向量共享定理的推论，得出为中点，为上靠近点的四等分点，对选项进行判断，得出答案. 【详解】 对于A选项，，故A正确； 对于B选项，因为为等边三角形，，为中点，所以， 所以，即，所以 ，故B正确； 对于C选项，设， 由（1）得，所以， 又三点共线，所以，解得，所以为上靠近点的四等分点，故C错误； 对于D，，设，则， 所以，又三点共线，所以，解得， 所以为中点，所以，故D正确， 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数在复平面内对应的点在第二象限，且，则___________.(写出满足条件的一个复数即可) 【答案】(答案不唯一). 【解析】 【分析】根据复数模的运算公式，结合复数在复平面内对应的点的特征进行求解即可. 【详解】设，，， 因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以，， 又因为，所以，显然当时，符合题意， 故答案为： 13. 已知向量满足，，，且，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知条件依次求出，接着求出、即可结合向量夹角余弦公式 【详解】， 所以， ， 所以， ， 所以， 所以， ， ， 所以， 故答案为： 14. 已知函数，若在区间内没有最值，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数，由函数在上单调列式求解作答. 【详解】因为， 函数的单调区间为， 由， 所以函数在上单调， 因为在区间内没有最值，则函数在上单调， 所以，则， 取时，且，所以， 取时，且，所以， 所以的取值范围是， 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，是同一平面内的三个向量，其中. （1）若，且，求的坐标； （2）若，且与垂直，求与的夹角. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据有的关系得到，从而得到的坐标； （2）由与垂直得，根据向量夹角公式求解. 【小问1详解】 由，得， 又，所以 因为，所以， 所以或 【小问2详解】 因为与垂直，所以， 即， 将，代入，得， 所以， 又，得，即与的夹角为. 16. 已知均为锐角，且. （1）求的值： （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1），然后根据两角差的余弦公式展开，结合题目条件，分别算出每个量即可； （2）结合（1）的结果，求出，然后利用正切的角差公式，二倍角公式计算. 【小问1详解】 因为为锐角且， 所以， 因为，且， 所以 所以. 【小问2详解】 ，是锐角，则， 于是， 所以， 所以. 17. 已知函数的最小值为1 （1）求a的值； （2）求在上的单调递增区间； （3）若，使得成立，求m的取值范围. 【答案】（1）3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式与辅助角公式化简函数解析式，再根据最值求解即可； （2）利用整体角代换求解函数单调区间即可； （3）将有解问题转化为函数最值问题求解参数范围. 【小问1详解】 ， 由题意得， 【小问2详解】 由（1）得， 令，因为，所以， 因为在的单调递增区间， 由，得；，得， 所以在上的单调递增区间为， 【小问3详解】 由题意知，，即 当时，， 所以时，即时，， 所以， m的取值范围为， 18. 如图，在梯形ABCD中，，，，且，E是线段AB上一点，且，F为线段BC上一动点． （1）求的大小； （2）若F为线段BC的中点，直线AF与DE相交于点M，求； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，，根据与的夹角和与的夹角相同，并设为，，结合题意、平面向量的线性运算、数量积公式、模长公式即可求解，进而得到的大小； （2）如图，过点作于，先求得，的值，则以为原点，以，所在的直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，再根据平面向量的夹角公式即可求解； （3）结合（2），设，，得到点的坐标，从而得到，，进而得到表示为关于的二次函数，再根据二次函数的性质即可得到的取值范围． 【小问1详解】 连接，， 由，，， 则，， 所以与的夹角和与的夹角相同，并设为，， 则 ， 又，即，得， 又，则，即． 【小问2详解】 如图，过点作于， 则，， 故以为原点，以，所在的直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系， 则，，，，， 又F为线段BC的中点，则， 所以，， 所以． 【小问3详解】 结合（2），得， 设，，则， 所以，， 所以， 又，则当时，；当时，， 所以的取值范围为． 19. 在面积为S的中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求C的值； （2）若，求周长的最大值； （3）若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和三角形面积公式化角为边后，再运用余弦定理即可求得； （2）根据余弦定理化简后，利用基本不等式即可求得的最大值，即得周长最大值； （3）利用三角形面积相等得到，根据正弦定理，将边分别用角表示，利用三角恒等变换将三角形面积表示成，求得的取值范围，利用正弦函数的值域即可求得面积的取值范围. 【小问1详解】 由和正弦定理，三角形面积公式可得，， 因，故得，， 由余弦定理，，因，则； 【小问2详解】 由余弦定理，，即， 整理得，，当且仅当时等号成立，即， 于是，，即当时，周长的最大值为； 【小问3详解】 由可得， 由正弦定理，，即得，，, 则 , 由为锐角三角形可得，，解得，， 则，由正弦函数的图象知，，故得， 即面积的取值范围为. 【点睛】思路点睛：对于三角形的周长最大值，可考虑余弦定理和基本不等式相结合解决；对于三角形面积的范围，一般考虑利用正、余弦定理将面积化成与正弦型函数相关的解析式，利用三角函数的值域求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $