精品解析：福建省泉州市鲤城区泉州中远学校2024-2025学年高一下学期第一阶段教学质量检测数学试题

泉州中远学校2025年春季第一阶段教学质量检测试题 高一数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 测试范围：人教A版2019必修第一册5.5~5.7+必修第二册6.1~6.3 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，，则（ ） A. B. C. D. 3. 的值是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，为边上的中线，为的中点.则（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，则函数的递增区间是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 在中，，则一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 8. 已知函数的图象与直线交于A，B两点，为坐标原点，若面积的最小值为1，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则（ ）. A. B. 向量在向量上的投影向量是 C. D. 与向量方向相同的单位向量是 10. 已知为第一象限角，，则下列各式正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 函数的最小正周期是2 B. C. D. 函数的图象向右平移个单位得到一个偶函数的图象 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知单位向量满足，则向量的夹角为______． 13. 已知函数在区间上恰有一个零点，则的取值范围______． 14. 如图，在平面四边形中，，，，且，则___________，若是线段上的一个动点，则的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 已知向量，，向量、的夹角为. （1）求的值； （2）求﹒ 16. 已知，，，. （1）求； （2）求. 17. 已知，． （1）若，且，求的值； （2）设，求的周期及单调减区间． 18. 已知向量是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，且，求向量的坐标； （2）若是单位向量，且，求与的夹角； （3）在（2）问的条件下求在上的投影向量的坐标. 19. 如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．已知在仿射坐标系下，． （1）求向量，的仿射坐标； （2）当时，求； （3）设，若对恒成立，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州中远学校2025年春季第一阶段教学质量检测试题 高一数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 测试范围：人教A版2019必修第一册5.5~5.7+必修第二册6.1~6.3 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由列方程求解即可. 【详解】因为向量，，且， 所以，解得. 故选：B 2. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量夹角余弦的计算公式即可求得的值. 【详解】， 故选：A. 3. 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由诱导公式和两角差的余弦公式化简计算. 【详解】 故选：C 4. 在中，为边上的中线，为的中点.则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可. 【详解】因为为边上的中线，所以， 又因为为的中点，所以 ， 故选：A. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦二倍角公式和同角的三角函数关系计算即可. 【详解】. 故选：A 6. 将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，则函数的递增区间是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据平移得，进而根据整体法即可求解单调区间. 【详解】根据题意可知， 令,解得，， 故的递增区间是，， 故选：D 7. 在中，，则一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】应用投影向量的定义得出三角形形状即可. 【详解】由， 可知在上的投影向量为， 即点在边上的投影为边的中点， 所以，为等腰三角形． 故选：B. 8. 已知函数的图象与直线交于A，B两点，为坐标原点，若面积的最小值为1，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】当面积的最小值为1时，取最小值2，因此，关于取得最大值时的对称轴对称，据此求解. 【详解】易知坐标原点到直线的距离为1，当面积的最小值为1时，取最小值2． 要使的最小值为2，则点，关于取得最大值时的对称轴对称． 设，且， 则， 两式相减得，，所以. 故选：A． 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则（ ）. A. B. 向量在向量上的投影向量是 C. D. 与向量方向相同的单位向量是 【答案】ABC 【解析】 【分析】运用向量垂直结论判定A；运用投影向量计算B；运用模长公式判定C；运用单位向量概念判定D. 【详解】，所以，所以，故A正确； 在上投影向量为，故B正确； ，所以，故C正确； 与方向相同的单位向量，故D错误． 故选：ABC. 10. 已知为第一象限角，，则下列各式正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用已知和求出、，逐项判断可得答案. 【详解】由得， 代入得， 解得或， 因为为第一象限角，所以，， 所以，， ，. 故选：AC. 11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 函数的最小正周期是2 B. C. D. 函数的图象向右平移个单位得到一个偶函数的图象 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象可得选项A正确；根据最小正周期可得选项B错误；将点代入函数解析式可得选项C正确；根据函数图象平移求出平移之后的函数解析式，结合偶函数的定义可得选项D正确. 【详解】A.由图可知，最小正周期，A正确. B.由，得，故，B错误. C.将点代入中，得， ∴，即， ∵，∴，C正确. D.由题意得，， 的图象向右平移个单位，所得函数解析式为， 由函数定义域为，得为偶函数，D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知单位向量满足，则向量的夹角为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量数量积的公式即可求出向量的夹角. 【详解】解：已知为单位向量，则， ， ， 故答案为：. 13. 已知函数在区间上恰有一个零点，则的取值范围______． 【答案】． 【解析】 【分析】先求出的取值范围，再结合正弦函数的性质，根据函数在给定区间上恰有一个零点来确定的取值范围. 【详解】已知，，则，所以.  因为函数（）在区间上恰有一个零点. 正弦函数的零点为，. 当时，； 当时，. 要使函数在上恰有一个零点，则. 解不等式可得：.  的取值范围是. 故答案为：. 14. 如图，在平面四边形中，，，，且，则___________，若是线段上的一个动点，则的取值范围是___________. 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】根据题意求出，，再根据平面向量数量积的定义可得；设，将和化为、、表示，利用定义求出关于的二次函数，根据二次函数知识可求得结果. 【详解】因为，，所以为正三角形，所以，， 因为，所以， 因为，所以，所以. 因为是线段上的一个动点，所以可设， 所以 ， 因为，所以时，取得最小值，当时，取得最大值， 所以的取值范围是. 故答案为：4； 【点睛】关键点点睛：将和化为、、表示，利用定义求出是解题关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 已知向量，，向量、的夹角为. （1）求的值； （2）求﹒ 【答案】（1）2； （2）6﹒ 【解析】 【分析】(1)根据向量数量积的运算律和定义即可计算； (2)根据即可计算. 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 . 16. 已知，，，. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先由同角三角函数关系求出、，再由两角差的正弦公式计算可得； （2）首先求出，再根据及两角差的正弦公式计算可得. 【小问1详解】 因为，即， 解得或， 又，所以， 则； 【小问2详解】 因为，，所以， 又，所以， 所以 . 17. 已知，． （1）若，且，求的值； （2）设，求的周期及单调减区间． 【答案】，． 【解析】 【分析】（1）结合向量的数量积利用三角恒等变换即可求解； （2）先求的解析式，进而利用正弦函数的单调性即可求解. 【详解】（1）∵， ∴， 即 ， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴ （2）由，∴． 的单调减区间为， ∴ ， ∴ ， ∴ 原函数单调减区间为． 18. 已知向量是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，且，求向量的坐标； （2）若是单位向量，且，求与的夹角； （3）在（2）问的条件下求在上的投影向量的坐标. 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，由，且，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）由，求得，利用向量的夹角公式，求得，即可求解； （3）由（2），结合投影向量的概念计算即可求解. 【小问1详解】 设，因为，且， 可得，解得或， 所以或. 【小问2详解】 因为，且为单位向量，可得，， 又因为，可得，所以， 则， 因为，所以. 【小问3详解】 设，由（2）可得 解得或，即或， 所以在上的投影向量为， 所以在上的投影向量坐标为或. 19. 如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．已知在仿射坐标系下，． （1）求向量，的仿射坐标； （2）当时，求； （3）设，若对恒成立，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）向量的线性运算计算即可； （2）应用向量夹角公式计算即可； （3）先把恒成立转化为向量的数量积求出向量的模，再结合余弦函数的值域求解. 【小问1详解】 由已知得，所以的仿射坐标为， 同理，所以的仿射坐标为． 【小问2详解】 当时，，，， 所以， ， ， 所以． 【小问3详解】 ， ， ， 由得． 得对恒成立， 又．所以，得． 此时． 因为，，所以， 所以，所以， 所以的最大值为． 【点睛】方法点睛：先把恒成立转化为向量的数量积求出向量的模，再结合余弦函数的值域求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $