2025年中考数学专题突破系列：方程（组）与不等式的实际应用

2025年中考数学专题突破系列：方程（组）与不等式的实际应用 1．某商店销售，两种型号的商品，销售1台型和2台型商品的利润和为400元，销售2台型和1台型商品的利润和为320元． (1)求每台型和型商品的销售利润； (2)商店计划购进，两种型号的商品共10台，其中型商品数量不少于型商品数量的一半，设购进型商品台，这10台商品的销售总利润为元，求该商店购进，两种型号的商品各多少台，才能使销售总利润最大？ 2．清明假期，明明和妹妹都参加了某网络平台发起的“阅读悦听”活动，该平台为了鼓励孩子们阅读，推出两种打卡领取听书时长的奖励方式： 方式一：每天打卡可领取相同分钟的听书时长； 方式二：第一天打卡可领取一些分钟的听书时长，之后每天打卡领取的听书时长比前一天增加50%． 明明选择了方式一，妹妹选择了方式二，他们发现：打卡第2天时，明明和妹妹打卡领取的听书时长相同，打卡第3天时，妹妹打卡领取的听书时长比明明打卡领取的听书时长多15分钟，求第一天明明和妹妹领取的时长分别为多少分钟？ 3．某校七年级为了表彰“数学素养水平测试”中表现优秀的同学，准备用480元钱购进笔记本作为奖品．若种笔记本买20本，本笔记本买30本，则钱还缺40元；若种笔记本买30本，种笔记本买20本，则钱恰好用完． (1)求，两种笔记本的单价； (2)由于实际需要，需要增加购买单价为6元的种笔记本若干本．若购买，，三种笔记本共75本（每种笔记本都有购买），钱恰好全部用完，求种笔记本购买了多少本． 4．随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了顾客的购物效率和满意度．某商场计划分别用27000元和12000元购进A，B两种型号的智能机器人，已知计划购进A型机器人比购进B型机器人多2台，且A型机器人的单价比B型机器人的单价每台高． (1)A，B两种型号机器人的单价各是多少？ (2)春节将至，为应对购物高蜂，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机器人共5台，并要求再次购买的A型机器人的数量不少于B型机器人的数量．该商场应如何采购这批机器人？总费用是多少？ 5．为更好地落实“双减”要求，提高课后延时服务质量，某校根据学校实际，决定增设更多运动课程，让更多学生参加体育锻炼，各班自主选择购买两种体育器材．下面是某班班长和售货员的对话信息． 班长：阿姨您好！我要买12个足球和10根跳绳，是不是一共1240元？ 售货员：不对呀，一共应该是1400元． 班长：……我明白了，您是对的，我刚才把足球和跳绳的数量弄反了． (1)根据对话信息，求每个足球和每根跳绳的售价； (2)由于足球和跳绳需求量增大，该班计划再次购进足球和跳绳共10件，合计费用不超过650元，其中足球至少购进3个，则有哪几种购进方案？并求出每种方案所花的费用． 6．刀鱼馄饨是江苏江阴的特色美食，被誉为“初春第一鲜”．清明节前后是刀鱼馄饨销售的高峰，某电商平台推出，两种型号的刀鱼馄饨礼盒，第一天售出礼盒8个、礼盒5个，总计收入1400元，第二天售出礼盒6个、礼盒10个，总计收入1800元； (1)，两种型号的刀鱼馄饨礼盒每盒的售价分别是多少元？ (2)李叔叔在澄务工，清明假期计划同时购买这两种礼盒赠予亲朋（，都需要购买），预算为1300元．请你帮助他设计预算资金恰好用完时的购买方案． 7．“黎侯虎”是一种传统手工艺品，起源于山西省黎城县，因黎城古称黎侯国而得名某网店销售，两款黎侯虎工艺品摆件，已知款黎侯虎工艺品摆件的单价比款黎侯虎工艺品摆件单价的倍少元，购买个款黎侯虎工艺品摆件所需费用比购买个款黎侯虎工艺品摆件所需费用多元． (1)求，两款黎侯虎工艺品摆件的单价． (2)某校历史社团组织全校开展“山西民俗我知道”的知识竞赛活动该校历史社团打算购买这两款黎侯虎工艺品摆件共个作为知识竞赛的奖品，且该历史社团的预算不超过元求该历史社团最多能购买款黎侯虎工艺品摆件的数量． 8．近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”全球票房达到了一百五十四亿，某商家推出种哪吒纪念娃娃、种敖丙纪念娃娃．已知购进3件种娃娃和购进4件种娃娃的费用相同；每个种娃娃的进价比每个种娃娃的进价多3元，且种娃娃售价为18元/个，种娃娃售价为12元/个． (1)每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ (2)根据网上预约的情况，该商家计划用不超过2400元的资金购进、两种娃娃共250个，若这250个娃娃全部售完，选择哪种进货方案商家获利最大？最大利润是多少元？ 9．快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．某快递员星期一的送件数和揽件数分别为120件和45件，报酬为270元；他星期二的送件数和揽件数分别为90件和25件，报酬为185元．如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元？ 10．某小区在小区内安装垃圾分类的A型固定垃圾箱和B型移动垃圾箱，已知购买3个A型固定垃圾箱和2个B型移动垃圾箱共需560元，1个A型固定垃圾箱和1个B型移动垃圾箱共需200元． (1)求A型固定垃圾箱和B型移动垃圾箱的单价各是多少元； (2)如果需要购买A型固定垃圾箱和B型移动垃圾箱共90个，且费用不超过6000元，问：那该小区最多可以购买A型固定垃圾箱多少个？ 11．为提升学生对人工智能的了解，激发学生对科技的探索热情，某学校计划采购两种人工智能学习套件．已知购买套套件和套套件共需元，购买套套件和套套件共需元． (1)求两种人工智能学习套件的单价； (2)该校计划购买两种人工智能学习套件共套，总费用不超过元，那么至少可购买种人工智能学习套件多少套？ 12．为解决学生课桌面乱堆乱放现象，班主任王老师计划从文具店购进A，B两种不同型号的书挂袋给学生使用，每名学生1只（班级共40名学生）．已知：购买3只A种书挂袋、2只B种书挂袋需要110元，购买5只A种书挂袋、4只B种书挂袋需要200元． (1)求文具店A种、B种书挂袋售价各为多少元？ (2)已知文具店A，B两种书挂袋的进货价分别为16元和18元．目前正在对B种书挂袋进行促销活动：购买B种书挂袋数量在10只以内（包括10只）时，不优惠；购买B种书挂袋数量不低于10只时，每超过1只，购买的所有B种书挂袋单价均降低元（最低不低于成本），问：王老师的班级选择A，B两种书挂袋各几只时，文具店获利最大？最大利润是多少元？ 13．为实现乡村振兴目标，某乡镇制定了“以产业带动发展”的策略，开发出了A，B两种新型农产品，并投入市场试销了3天，第一天销售产品100件，产品80件，销售额为4600元；第二天销售产品120件，产品100件，销售额为5600元． (1)求试销期间A，B两种产品的单价； (2)三天后开始网上试销，网上每天销售A，B两种型号的产品共200件，且每天销售B产品的数量不少于产品的数量的一半，产品价格保持市场销售价格不变．已知产品每件成本12元，产品每件成本8元，问两种型号产品各销售多少件时，可以使销售利润最大？ 14．某商店计划购买一批水果出售，据了解1箱苹果、3箱梨的进价共计204元；4箱苹果、2箱梨的进价共计336元． (1)求每箱苹果、梨两种水果的进价分别为多少元？ (2)某商店需要购买苹果12箱，梨10箱，现商家推出活动，优惠一：苹果满10箱打8折；优惠二：总购物金额满1200元减100元（两种优惠不同时享受），问该商店如何购买更划算？ 15．2025年2月7日，第九届亚冬会在冰城——哈尔滨盛大开幕，吉祥物“滨滨”“妮妮”特许商品惊喜亮相，特许商品店有A，B两种不同价格的吉祥物，供不同人群购买．已知购买4个A种吉祥物和3个B种吉祥物共需560元；购买2个A种吉祥物和5个B种吉祥物共需700元． (1)求A，B两种吉祥物每件的售价分别是多少元． (2)某公司举行“追梦新时代  巾帼绽芳华”三八节活动，共设一、二等奖40名，其中一等奖名，奖励一件B种吉祥物，二等奖不多于名，奖励一件A种吉祥物．公司如何购买最省钱？ (3)在（2）最省钱的基础上，特许商品店推出A种吉祥物打九折，B种吉祥物打九五折的促销活动，该公司共能省多少钱？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年中考数学专题突破系列：实际问题与二元一次方程组》参考答案 1．(1)型利润80元/台，型利润160元/台 (2)型4台，型6台，总利润最大 【分析】本题考查一次函数和二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出一次函数解析式． （1）设型利润元/台，型利润元/台，由“销售1台型和2台型商品的利润和为400元，销售2台型和1台型商品的利润和为320元”建立方程组求解； （2）设型台，则型台，由总利润等于两种型号打印机利润之和列出利润W关于m的函数解析式，根据函数的增减性确定利润的最大值即可． 【详解】（1）解：设型利润元/台，型利润元/台 ， 答：型利润80元/台，型利润160元/台； （2）解：设型台，则型台， 型数量不少于型数量的一半， ， ， ， 随增大而减小 当时，， 答：型4台，型6台，总利润最大． 2．第一天明明和妹妹领取的时长分别为分钟和分钟． 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用．设第一天明明和妹妹领取的时长分别为分钟和分钟，打卡第2天时，明明和妹妹打卡领取的听书时长相同，打卡第3天时，妹妹打卡领取的听书时长比明明打卡领取的听书时长多15分钟，据此列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设第一天明明和妹妹领取的时长分别为分钟和分钟， 则， 即， 解得， 答：第一天明明和妹妹领取的时长分别为分钟和分钟． 3．(1)种笔记本的单价为元，种笔记本的单价为2元 (2)A种笔记本购买了本或本或本或本． 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，根据题意列出方程（组）是解题的关键． （1）设种笔记本的单价为元，种笔记本的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设购买种笔记本本，种笔记本本，则购买种笔记本本，根据题意列出二元一次方程，根据整数解求得的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：设种笔记本的单价为元，种笔记本的单价为元， 依题意，得：， 解得：， 答：种笔记本的单价为元，种笔记本的单价为元． （2）解：设购买种笔记本本，种笔记本本，则购买种笔记本本， 依题意，得：， ∴，则， ∵，均为正整数， ∴，或，或，或，， 答：A种笔记本购买了本或本或本或本． 4．(1)A型机器人的单价为4500元；B型机器人的单价为3000元 (2)商场应购买A型机器人3台，B型机器人2台，总费用为19500元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确的列出二元一次方程组和一元一次不等式组并求解是解题的关键． （1）设型机器人的进价为元，则型机器人进价为元，设购进型机器人台，则购进型机器人台，根据题意列出方程组，解方程组即可． （2）设再次购买型机器人台，则购买型机器人台，根据题意列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设型机器人进价为元，购进型机器人台，则型机器人进价为元，购进型机器人台， 根据题意，可列方程， 解得， 即型机器人进价为 3000 元，型机器人进价为元． （2）解：设再次购买型机器人台，则购买型机器人台， 根据题意，得， 解得， 由于为整数，所以， 总费用为元， 故商场应购买型机器人 3 台，型机器人 2 台，总费用为 19500 元． 5．(1)每个足球售价为100元，每个跳绳售价为20元 (2)有三种方案：①购进足球3个，跳绳7根，费用为元，②购进足球4个，跳绳6根，费用为元，③购进足球5个，跳绳5根，费用为元 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，确定相等关系与不等关系是解本题的关键． （1）设每个足球的售价为x元，每个跳绳售价为y元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设再次购进足球个，则购进跳绳根，根据费用不超过650元，其中足球至少购进3个，再列不等式组即可． 【详解】（1）解：设每个足球的售价为x元，每个跳绳售价为y元，根据题意得∶ ， 解得：， 答：每个足球售价为100元，每个跳绳售价为20元； （2）解：设再次购进足球个，则购进跳绳根，则 ， 解得：， ∵为整数， ∴或或； ∴有三种方案： ①购进足球3个，跳绳7根，费用为（元）， ②购进足球4个，跳绳6根，费用为（元）， ③购进足球5个，跳绳5根，费用为（元）． 6．(1)型号礼盒每盒100元，型号礼盒每盒120元 (2)有两种方案：型号礼盒购买7个，型号礼盒购买5个或型号礼盒购买1个，型号礼盒购买10个 【分析】本题主要考查了二元一次方程组以及二元一次方程的应用． （1）设型号礼盒每盒元，型号礼盒每盒元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． （2）设购买型号礼盒购买个，型号礼盒购买个，根据题意列出关于m，n的二元一次方程，然后根据、为非负整数，得出，或，即可得出两种方案． 【详解】（1）解：设型号礼盒每盒元，型号礼盒每盒元， 根据题意，得 解得 答：型号礼盒每盒100元，型号礼盒每盒120元； （2）解：设购买型号礼盒购买个，型号礼盒购买个， 由题意可得：， ∵、为非负整数， ∴，或，， ∴有两种方案：型号礼盒购买7个，型号礼盒购买5个或型号礼盒购买1个，型号礼盒购买10个． 7．(1)款黎侯虎工艺品摆件的单价为元，款黎侯虎工艺品摆件的单价为元 (2)该历史社团最多能购买款黎侯虎工艺品摆件个 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，关键是根据题意找到关系式． （1）设款黎侯虎工艺品摆件的单价为元，款黎侯虎工艺品摆件的单价为元，根据款黎侯虎工艺品摆件的单价比款黎侯虎工艺品摆件单价的倍少元，购买个款黎侯虎工艺品摆件所需费用比购买个款黎侯虎工艺品摆件所需费用多元，列出方程组进行求解即可； （2）设该历史社团购买款黎侯虎工艺品摆件个，然后根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设款黎侯虎工艺品摆件的单价为元，款黎侯虎工艺品摆件的单价为元． 根据题意得，， 解得， 答：款黎侯虎工艺品摆件的单价为元，款黎侯虎工艺品摆件的单价为元； （2）设该历史社团购买款黎侯虎工艺品摆件个． 根据题意，得． 解得． 为正整数， 的最大值为． 答：该历史社团最多能购买款黎侯虎工艺品摆件个． 8．(1)每个A种娃娃的进价是12元，每个B种娃娃的进价是9元 (2)当购进50个A种娃娃，200个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是900元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，代数式的值，找准等量关系，正确的列出方程组，不等式，代数式，是解题的关键： （1）设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是y元，根据购进3件种娃娃和购进4件种娃娃的费用相同；每个种娃娃的进价比每个种娃娃的进价多3元，列出方程组进行求解即可； （2）设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃，根据题意，列出不等式，求出的取值范围，设这250个娃娃全部售完获得的总利润为w元，用m的代数式表示w，得到变化规律，求最值即可． 【详解】（1）解：设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每个A种娃娃的进价是12元，每个B种娃娃的进价是9元； （2）解：设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃， 根据题意得：， 解得：． 设这250个娃娃全部售完获得的总利润为w元， 则， 即， ∵， ∴w的值随m的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，最大值为，此时（个）． 答：当购进50个A种娃娃，200个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是900元． 9．这名快递员每送一件的报酬是1.5元，每揽一件的报酬是2元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设这名快递员每送一件的报酬为x元，每揽一件的报酬为y元，根据“快递员星期一的送件数和揽件数分别为120件和45件，报酬为270元；他星期二的送件数和揽件数分别为90件和25件，报酬为185元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设这名快递员每送一件的报酬为x元，每揽一件的报酬为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：这名快递员每送一件的报酬是1.5元，每揽一件的报酬是2元． 10．(1)A型固定垃圾箱的单价是160元，B型移动垃圾箱的单价是40元 (2)该小区最多可以购买A型固定垃圾箱20个 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设A型固定垃圾箱的单价是元，B型移动垃圾箱的单价是元，再结合题意列出二元一次方程组，即可作答． （2）设购买A型固定垃圾箱个，则购买B型移动垃圾箱个．再结合题意列出一元一次不等式，即可作答． 【详解】（1）解：设A型固定垃圾箱的单价是元，B型移动垃圾箱的单价是元， 根据题意，得， 解得， 答：A型固定垃圾箱的单价是160元，B型移动垃圾箱的单价是40元． （2）解：设购买A型固定垃圾箱个，则购买B型移动垃圾箱个． 根据题意，得， 解得． 的最大值为20． 答：该小区最多可以购买A型固定垃圾箱20个． 11．(1)种人工智能套件的单价是元，种人工智能套件的单价是元； (2)至少可购买种人工智能套件套． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （）设种人工智能套件的单价是元，种人工智能套件的单价是元，根据题意列出方程组，然后解方程组即可； （）设购买种人工智能套件套，则购买种人工智能套件套，根据题意列出不等式，然后解不等式即可． 【详解】（1）解：设种人工智能套件的单价是元，种人工智能套件的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 答：种人工智能套件的单价是元，种人工智能套件的单价是元； （2）解：设购买种人工智能套件套，则购买种人工智能套件套， 根据题意得：， 解得：， ∴的最小值为，       答：至少可购买种人工智能套件套． 12．(1)文具店A种、B种书挂袋售价各为20元、25元 (2)当A、B两种书挂袋都是20只时，文具店获利最大，最大利润是200元 【分析】本题考查了二元一次方程组、一次函数和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系正确列式是解题的关键． （1）设文具店A种、B种书挂袋售价各为x元、y元，根据题意得关于x和y的二元一次方程组，求解即可． （2）设B为m只时，文具店获利最大，则A为只，分两种情况计算：①当只时，计算文具店的利润；②当只时，计算文具店的利润，最后比较得出答案． 【详解】（1） 解：设文具店A种、B种书挂袋售价各为x元、y元，根据题意得： ， 解得：． 答：文具店A种、B种书挂袋售价各为20元、25元． （2） 设B种挂书袋为m只，则A种挂书袋为只，根据题意可知： ①当只时，文具店的利润为： ， ∴当只时，利润最大为190元； ②当只时，文具店的利润为： ， ∵， ∴当只时，文具店的最大利润为200元，此时A为20只． ∵， ∴A、B两种书袋均取20只．答：当A、B两种书挂袋都是20只时，文具店获利最大，最大利润是200元． 13．(1)试销期间A产品的单价为30元，B产品的单价为20元； (2)销售A产品133件、B产品67件时，销售利润最大． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、一元一次不等式以及一次函数的应用，正确找出题中的相等关系和不等关系是解题的关键． （1）设试销期间A，B两种产品的单价分别为m元、n元．根据“第一天销售A产品100件，B产品80件，销售额为4600元；第二天销售A产品120件，B产品100件，销售额为5600元．”列方程组求解即可； （2）设销售A产品x件；则销售B产品件，销售利润为y元，列一次函数求解即可． 【详解】（1）解：设试销期间A，B两种产品的单价分别为m元、n元． 依题意得 解得 答：试销期间A产品的单价为30元，B产品的单价为20元； （2）解：设销售A产品x件；则销售B产品件，销售利润为y元． 根据题意得． 由，解得， ∴正整数x的最大值为133． ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值，此时． 答：销售A产品133件、B产品67件时，销售利润最大． 14．(1)每箱苹果的进价分别为60元，每箱梨的进价分别为48元 (2)该商店选择优惠一购买更划算 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设每箱苹果的进价为元，每箱梨的进价为元，根据“1箱苹果、3箱梨的进价共计204元；4箱苹果、2箱梨的进价共计336元”列方程组求解； （2）分别计算两种方案的费用从而作出比较． 【详解】（1）解：设每箱苹果的进价为元，每箱梨的进价为元， 根据题意得：，解得， 答：每箱苹果的进价分别为60元，每箱梨的进价分别为48元； （2）解：选择优惠一所需费用为：（元）； 选择优惠二所需费用为：（元）； ， ∴该商店选择优惠一购买更划算． 15．(1)A种吉祥物每件的售价是50元，B种吉祥物每件的售价是120元 (2)购进A种吉祥物28件，B种吉祥物12件时，公司最省钱 (3)特许商品店打折后，该公司共能省212元 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识点，根据题意正确列出二元一次方程和一元一次不等式成为解题的关键． （1）设A种吉祥物每件的售价是元，B种吉祥物每件的售价是元，然后根据题意列二元一次方程求解即可； （2）根据题意列一元一次不等式并求最小整数值，再根据一次函数求最小值，即可解答； （3）根据题意列算式计算即可． 【详解】（1）解：设A种吉祥物每件的售价是元，B种吉祥物每件的售价是元， 由题意可知， 解得， 答：A种吉祥物每件的售价是50元，B种吉祥物每件的售价是120元； （2）解：由题意可知：， ， 设总费用为元，则， ， 随的增大而增大， 当时，取最小值， ， 购进A种吉祥物28件，B种吉祥物12件时，公司最省钱； （3）解：（元）， 答：特许商品店打折后，该公司共能省212元． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$