专题02 反比例函数综合问题（压轴题专练，8大题型+强化训练）（山东专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题02 反比例函数综合问题 命题预测 根据2025年山东省16市的中考数学卷分析，反比例函数的综合问题是山东省中考数学解答题的压轴常考题，选择填空压轴也是高频考点；预计在2026年中考数学中，反比例函数与几何问题综合考查形式仍是重点，考生应多投入到反比例函数与一次函数综合、特殊图形存在性问题、面积问题等，考生要想拿高分，这一块内容一定要吃透！ 高频考法 1.反比例函数系数k的几何意义 2.反比例函数与一次函数综合 3.反比例函数的存在性问题——三角形相关 4.反比例函数的存在性问题——四边形相关 5.反比例函数的存在性问题——相似相关 6.反比例函数的面积问题 7.反比例函数与旋转问题综合 8.反比例函数、一次函数与几何问题综合 典例·靶向·突破 题型01 反比例函数系数k的几何意义 1．（2026·山东济宁·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A为函数的图象上一点，连接，点B为的中点，将点B向右平移到函数图象上的点C处．若的面积为2，则k的值为（    ） A． B．4 C． D．6 2．（25-26九年级下·山东威海·期中）如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为，连接．若四边形的面积为12，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26九年级下·山东济宁·月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴，轴正半轴上，点在线段上，且，函数的图象经过点及矩形的对称中心，顺次连接点若的面积为3，则的值为（   ） A．6 B．4 C．3 D．2 题型02 反比例函数与一次函数综合 4．（2026·山东临沂·一模）如图，直线：与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数解析式； (2)将直线向上平移，在轴上方与反比例函数图象交于点，连接，，当与负半轴的夹角和与正半轴的夹角相等时，求点的坐标及直线向上平移的距离． 5．（2026·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，经过点、点的直线与反比例函数的图象在第三象限交于点，是以为斜边的直角三角形． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图1，当点在轴的正半轴时，求的面积； (3)如图2，若平分，求点的坐标． 6．（25-26九年级下·山东烟台·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数y=的图象在第二象限交于、D两点，，交x轴于点E．其中=． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求四边形的面积； (3)直接写出的x的取值范围． 题型03 反比例函数的存在性问题——三角形相关 7．（25-26九年级上·山东淄博·月考）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)点P是在y轴上一动点，连接，若是等腰三角形，直接写出点P的坐标． 8．（25-26九年级上·山东泰安·期末）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，若，且． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)若点为轴上一点，是等腰三角形，求点的坐标． 9．（25-26九年级上·山东威海·期中）如图，一次函数和的图象相交于点A，反比例函数的图象经过点A． (1)求反比例函数的表达式； (2)在x轴上是否存在点P，使为直角三角形，若存在请求出P点坐标，若不存在，请说明理由． 题型04 反比例函数的存在性问题——四边形相关 10．（25-26九年级上·山东济南·月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．（，，为常数） (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)连接，求面积； (3)点是平面内任意一点，若以、、、为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标． 11．（25-26九年级上·山东济宁·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)直接写出时，的取值范围； (3)若在第一象限内存在一点，使得以为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标． 12．（2026·山东德州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图像上，点D的坐标为（4，3），设AB所在直线解析式为． (1)求反比例和一次函数解析式． (2)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，在平移中若反比例函数图像与菱形的边AD始终有交点，求m的取值范围． (3)在直线AB上是否存在M、N两点，使以MNOD四点的四边形构成矩形？若不存在，请说明理由，若存在直接求出M、N（点M在点N的上方）两点的坐标． 题型05 反比例函数的存在性问题——相似相关 13．（2026·山东菏泽·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求与的值； (2)连接并延长，与反比例函数的图象交于点，点在轴上，若以O、C、D为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 14．（2026·山东济南·一模）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点．一次函数的图象过点与反比例函数交于另一点，与轴交于点，其中，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式 (2)求的面积； (3)连接，在直线上是否存在点，使以为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 15．（2026·山东聊城·模拟预测）点和点是一次函数的图象与反比例函数的图象的交点，并且一次函数的图象与坐标轴分别交于点和点． (1)求点和点的坐标； (2)求一次函数的表达式； (3)若点是轴上一动点，且满足与相似时，求点的坐标． 题型06 反比例函数的面积问题 16．（2026·山东济南·模拟预测）如图1，直线的图象与轴、轴分别交于两点，点是线段上一点，过点分别作的垂线，垂足分别是，矩形的面积为，且． (1)求点坐标； (2)将矩形以个单位/秒的速度向右平移，平移后记为矩形，记平移时间为秒． ①如图2，当矩形的面积被直线平分时，求的值； ②矩形的边与反比例函数的图象有两个交点，记为，若梯形的面积是矩形的面积的，求的值． 17．（24-25九年级上·山东枣庄·月考）如图所示，直线与双曲线交于A、B两点，已知点B的纵坐标为，直线与轴交于点，与轴交于点，，． (1)直接写出不等式的解集_____． (2)求直线的解析式； (3)求三角形的面积 (4)若点是轴上的一点，使的面积是的面积的2倍，求点的坐标； 18．（24-25九年级上·山东淄博·月考）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式及的面积； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)若点P是坐标轴上的一点，且满足面积等于的面积的3倍，直接写出点P的坐标． 题型07 反比例函数与旋转问题综合 19．（2026·山东济南·一模）将一副三角板按图1方式摆放在平面直角坐标系中，含角的三角板的直角边落在轴上，，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)将三角板绕点顺时针旋转至， ①如图1，点为三角板边上一点，旋转后点的对应点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标； ②如图2，若将三角板绕点顺时针旋转至，使点落在边上，请判断点旋转后的对应点是否在反比例函数图象上，并说明理由． 20．（2026·山东德州·一模）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点，，，反比例函数的图象经过的中点． (1)求反比例函数的表达式： (2)已知点，将点绕点逆时针旋转，若旋转后的点恰好落在的图象上，求的值． 21．（2025·山东威海·模拟预测）如图，等边和等边的一边都在x轴上，双曲线经过的中点C和的中点D．已知等边的边长为4． (1)求k的值； (2)求等边的边长； (3)将等边绕点A任意旋转，得到等边，P是的中点（如图2所示），连结，直接写出的最大值． 题型08 反比例函数、一次函数与几何问题综合 22．（25-26九年级上·山东威海·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，． (1)求一次函数及反比例函数的表达式； (2)当时，直接写出x的取值范围： ； (3)若点P为直线上一点，当时，求点P的坐标． 23．（25-26九年级上·山东聊城·期末）如图，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，D 是边上的一个动点（不与C，B重合），反比例函数的图象经过点 D 且与边交于点E，连接． (1)如图1，若， ①求反比例函数的表达式； ②连接．求证： (2)如图2，将沿折叠，点B关于的对称点为点，连接，求出的最小值． 24．（2026·山东济南·一模）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点在线段的延长线上． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点作轴的平行线，与的图象交于点，与轴交于点，当时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，如图2，连接并延长交轴于点，点为轴上一点，且满足，请求出所有符合条件的点坐标． 1．（2026·山东济宁·一模）如图，线段的两端点分别在轴正半轴和轴负半轴上，且的面积为，若双曲线恰好经过线段的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山东临沂·一模）如图，在平面直角坐标系中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点M，与边BC交于点N（M，N不重合）．给出下面五个结论：①与的面积一定相等；②；③与的面积不可能相等；④可能是钝角三角形；⑤可能是等边三角形．上述结论中，所有正确结论的个数有（  ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于A、B两点，点C在x轴上，且，若，则k的值为（   ） A． B． C． D．8 4．（2026·山东日照·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在x轴的负半轴，y轴的正半轴上，点B在第二象限．将矩形绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形与相交于点M．若经过点M的反比例函数的图象交于点N，矩形的面积为18，，则k的值为______． 5．（2026·山东东营·一模）如图，反比例函数和正比例函数的图象交于，两点，若，则x的取值范围是_____． 6．（2026·山东济南·二模）正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于点． (1)求m和k的值； (2)点B为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m，过点B作x轴的垂线，交直线于点C，交x轴于点D． ①如图1，连接，当平分时，求的面积； ②如图2，连接，当是以为底的等腰三角形时，求点B的坐标． 7．（2026·山东烟台·一模）如图，直线与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点B． (1)根据所给条件，请直接写出不等式的解集______； (2)求反比例函数的表达式； (3)轴于点C，点P为反比例函数图象上的一点，且位于点A的右侧，连接、、，当时，求的面积． 8．（2026·山东济南·二模）如图，反比例函数与一次函数的图象相交于和两点． (1)求这两个函数的解析式： (2)如图，直线与反比例函数的图象的另一个交点为点，点是第四象限反比例函数图象上的一点，当的面积为6时，求点的坐标； (3)在第（2）问的条件下，若点为轴上的点，则在反比例函数的图象上是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标：若不存在，请说明理由． 9．（2026·山东淄博·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数的图象上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（2026·山东临沂·二模）在平面直角坐标系中，已知一次函数与反比例函数满足以下条件： ①一次函数的图象经过点； ②一次函数与反比例函数图象的一个交点坐标为； ③在反比例函数中，当时，随的增大而减小． 请解答下列问题： (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)设一次函数与反比例函数图象的另一个交点为，求的面积． 11．（2026·山东德州·一模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，且与y轴交于点B，第二象限内的点C在反比例函数图象上，且以点C为圆心的圆与轴、y轴分别相切于点D、B． (1)求和的值； (2)根据图象，当时，直接写出x的取值范围． 12．（2026·山东济南·一模）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，；与x轴交于点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点P在y轴上，且满足，求点P的坐标； (3)我们将有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．反比例函数在第四象限的图象上是否存在点Q，使得是不以为“半直角边”的“半直角三角形”？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（25-26九年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点和点． (1)求的值； (2)如图1，若点为线段上一点，过点作轴交反比例函数的图象于点，连接，若的面积为，求点的坐标； (3)如图2，连接，并延长至点，使，作的角平分线交轴于点，过点作于点，求点的坐标． 14．（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，一次函数的图象与该反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)定义：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记该反比例函数图象在点A，B之间的部分与线段围成的区域（不含边界）为． ①当时，区域内的有整点__________个； ②若区域内恰有3个整点，请结合函数图象，直接写出的取值范围． 15．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求、的值； (2)直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，连接． ①求的面积； ②点在反比例函数的图象上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点坐标． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 反比例函数综合问题 命题预测 根据2025年山东省16市的中考数学卷分析，反比例函数的综合问题是山东省中考数学解答题的压轴常考题，选择填空压轴也是高频考点；预计在2026年中考数学中，反比例函数与几何问题综合考查形式仍是重点，考生应多投入到反比例函数与一次函数综合、特殊图形存在性问题、面积问题等，考生要想拿高分，这一块内容一定要吃透！ 高频考法 1.反比例函数系数k的几何意义 2.反比例函数与一次函数综合 3.反比例函数的存在性问题——三角形相关 4.反比例函数的存在性问题——四边形相关 5.反比例函数的存在性问题——相似相关 6.反比例函数的面积问题 7.反比例函数与旋转问题综合 8.反比例函数、一次函数与几何问题综合 典例·靶向·突破 题型01 反比例函数系数k的几何意义 1．（2026·山东济宁·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A为函数的图象上一点，连接，点B为的中点，将点B向右平移到函数图象上的点C处．若的面积为2，则k的值为（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】C 【分析】设，则，则，，再利用的面积为2，列式求解即可． 【详解】解：设点，点A为函数的图象上一点， 则，即， 又点B为的中点，则， 将点B向右平移到函数图象上的点C处， 所以，即， 所以点， 因为的面积为2， 所以，即， 整理得， 解得． 2．（25-26九年级下·山东威海·期中）如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为，连接．若四边形的面积为12，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】解：延长交轴于点，根据，轴，轴，证得四边形为矩形，设点，则得到，，由四边形的面积为12，得到，得到，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交轴于点， ∵，轴， ∴轴， ∴四边形为矩形， ∵点在反比例函数的图象上， ∴设点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形的面积为12， ∴， ∴， 即，解得． 3．（25-26九年级下·山东济宁·月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴，轴正半轴上，点在线段上，且，函数的图象经过点及矩形的对称中心，顺次连接点若的面积为3，则的值为（   ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】过点M作于点E，设交于点F，设，则，证明，则有，根据梯形面积计算公式可得，，从而求得k值． 【详解】解：如图，过点M作于点E，设交于点F， ∵矩形的顶点A，C分别在y轴，x轴正半轴上， 又∵点D在线段上，函数的图象经过点D， ∴设，则， ∵， ∴， ∴， ∵点M为矩形的对称中心， ∴． ∵函数的图象经过点D及矩形的对称中心M， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， 即， ∵的面积为３， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型02 反比例函数与一次函数综合 4．（2026·山东临沂·一模）如图，直线：与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数解析式； (2)将直线向上平移，在轴上方与反比例函数图象交于点，连接，，当与负半轴的夹角和与正半轴的夹角相等时，求点的坐标及直线向上平移的距离． 【答案】(1)一次函数为 ，反比例函数解析式为； (2)，直线向上平移的距离为． 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）过作轴于点，过作轴于点，由题意可得，即，设，则，然后求得，所以，设一次函数平移后的直线对应的解析式为 ，再把代入得 ，求出的值即可． 【详解】（1）解：∵直线：与反比例函数的图象交于点， ∴ ， ， 解得：，， ∴一次函数为 ，反比例函数解析式为； （2）解：如图，过作轴于点，过作轴于点， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴，即， 设，则， ∴， ∵在图象上， ∴ ，解得：（负值已舍去）， ∴， 设一次函数平移后的直线对应的解析式为 ， 把代入得： ，解得：， ∴直线向上平移的距离为， 综上可得：，直线向上平移的距离为． 5．（2026·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，经过点、点的直线与反比例函数的图象在第三象限交于点，是以为斜边的直角三角形． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图1，当点在轴的正半轴时，求的面积； (3)如图2，若平分，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为 【分析】（1）将代入一次函数求出，再代入反比例函数求出，得到解析式； （2）利用中心对称、直角三角形斜边中线定理求出再求出，然后用底高法求面积； （3）先构造全等三角形，再根据等腰三角形的性质，用坐标法列方程求，再由中点坐标公式求出点． 【详解】（1）解：∵一次函数经过点， ∴， ∴点， ∵反比例函数经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：作轴于点，轴于点， ∴，， ∵直线与双曲线关于原点中心对称， ∴点，点关于原点中心对称， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为且， ∴在中，， ∴， ∴， ∵，是斜边上的中线， ∴， 一次函数，当时，， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：延长交的延长线于点， ∵平分， ∴， ∵为直角三角形，且斜边，点在第二象限， ∴． 在和中，， ∴， ∴，， 即点是的中点， ∵点在直线上， ∴设点， ∵点在第二象限， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， ∴点， ∵点是的中点， ∴点的坐标为． 6．（25-26九年级下·山东烟台·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数y=的图象在第二象限交于、D两点，，交x轴于点E．其中=． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求四边形的面积； (3)直接写出的x的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）先利用待定系数法求反比例函数解析式，然后结合相似三角形的判定和性质求得D点坐标，再利用待定系数法求函数关系式； （2）根据一次函数图象上点的坐标特征并结合待定系数法求得A点和E点坐标，然后用的面积减去的面积求解； （3）根据图象，找到反比例函数的图象处于一次函数图象上方的自变量的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：把点代入中得：， ， 反比例函数的表达式为， 过点作轴，轴，垂足为点， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，， ， 点的坐标为， 把点，代入中得：，解得：， 一次函数的表达式为； （2）解：设直线的表达式为：， 把点代入其中得：， ， ， ， 直线的表达式可以设为：， 把点代入其中得：， ， ， 当时，，解之得：， 点的坐标为， 当时，，解之得：， 点的坐标为， ， ； （3）解：∵，， ∴当或时，反比例函数的图象处于一次函数图象上方， ∴即的x的取值范围是或． 题型03 反比例函数的存在性问题——三角形相关 7．（25-26九年级上·山东淄博·月考）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)点P是在y轴上一动点，连接，若是等腰三角形，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)，，， 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，等腰三角形的性质，熟练掌握分类讨论是解答本题的关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先利用待定系数法求出直线解析式，继而求出直线与轴的交点坐标，根据代入数据计算即可； （3）分四种情况讨论，分别求出满足条件的点坐标即可． 【详解】（1）解：已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点， ， ，， 反比例函数解析式为：； （2）解：，在一次函数图象上， ，解得， 一次函数解析式为：， 设一次函数与轴交点为，则，， ； （3） 解：在轴上存在点，使是等腰三角形， 设点，， ， 分四种情况考虑，如图所示： 当时，为等腰三角形， 则，即， 解得 ； 当时， 则， 此时； 当时，， 此时； 当时， 则， 此时； 综上，满足题意坐标为，，，． 8．（25-26九年级上·山东泰安·期末）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，若，且． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)若点为轴上一点，是等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或或或 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的综合性问题，关键在于第二问中的等腰三角形，要分为腰和底，为腰时又要分顶点是还是． （1）根据可计算出A点的纵坐标，进而利用勾股定理计算出A点的横坐标，代入可得一次函数和反比例函数的解析式． （2）根据题意可得有三种情况，一种是为底，一种是为腰，以A为顶点，一种是为腰，以B为顶点． 【详解】（1）解：过点A作轴于点D， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ， 经过点， ， ， 反比例函数表达式为， 经过点，点， ， 解得， 一次函数表达式为， （2）解：①当以为腰，且点为顶角顶点时，可得点的坐标为、， ②当以为腰，且以点为顶角顶点时，点关于的对称点即为所求的点， ∴点的横坐标为， ∴点为， ③当以为底时，作线段的中垂线交轴于点，交于点，则点即为所求 在直线中，当时， ， ， 在中， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，点的坐标为或或或． 9．（25-26九年级上·山东威海·期中）如图，一次函数和的图象相交于点A，反比例函数的图象经过点A． (1)求反比例函数的表达式； (2)在x轴上是否存在点P，使为直角三角形，若存在请求出P点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在， 、、、 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、勾股定理的应用，解题的关键是联立函数解析式求交点坐标，利用勾股定理列方程分析直角三角形的存在性． （1）联立一次函数解析式求出交点A的坐标，将A点代入反比例函数解析式求出k值； （2）设出x轴上点P的坐标，利用两点间距离公式表示出、、，分三种直角情况列方程求解，判断方程是否有解以确定P点坐标． 【详解】（1）解：依题得解得，即 将代入得，即反比例函数解析式为：； （2）解：如图，假设在x轴上存在使为直角三角形， 联立解得：或， 即，， ， ，． 分三种直角情况讨论： 情况1：为直角 ∵， 化简得 ，即 ， 解得 ，对应点 、． 情况2：为直角 则，即 化简得 ，解得 ，对应点 ． 情况3：为直角 则，即， 化简得 ，解得 ，对应点 ． ∴x轴上存在点 、、、，使为直角三角形． 题型04 反比例函数的存在性问题——四边形相关 10．（25-26九年级上·山东济南·月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．（，，为常数） (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)连接，求面积； (3)点是平面内任意一点，若以、、、为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为； (2) (3)，，． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求一次函数、反比例函数的解析式，平行四边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把代入，求出，再求出，然后把和都代入，求出，即可作答． （2）设一次函数与x轴交点为点，根据一次函数解析式得出点C，再利用，即可求解． （3）根据平行四边形的对角线互相平分，则进行分类讨论，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，将点的坐标代入， 得：， 反比例函数的解析式为； ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点， ∴把代入反比例函数， 得：， ∴， 则将和分别代入， 得， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：如图，连接，设一次函数与x轴交点为点， 把代入，得， ， ， ． （3）解：①以为对角线时：， ∴中点的坐标为． 平行四边形对角线互相平分， ，即为的中点． ∵， 点坐标为． ②当为对角线时， ∴中点的坐标为． 平行四边形对角线互相平分， ，即为的中点． ∵， 点坐标为， ③以为对角线时， ∴中点的坐标为． 平行四边形对角线互相平分， ，即为的中点． ∵， ∴点坐标为． 满足条件的点有三个，坐标分别是，，． 11．（25-26九年级上·山东济宁·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)直接写出时，的取值范围； (3)若在第一象限内存在一点，使得以为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2)或 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法求函数解析式，根据图象写出不等式的解集，求出两个函数解析式是解题的关键． （1）根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据图象上的点满足函数解析式，可得A点坐标，再根据待定系数法，可得一次函数的解析式； （2）由（1）可得，，再结合函数图象即可得解； （3）连接，交于点M，首先利用平行四边形的性质求得中点M的坐标为，进而推导出P点坐标． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴反比例函数的表达式为， ∵在反比例函数的图象上， ∴， 解得，（舍去）， ∴点A的坐标为， ∵点A，B在一次函数的图象上， 把点，分别代入，得： ， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：由（1）可得，， 根据图象可知，时，的取值范围为或； （3）解：如图，连接，交于点M， ∵四边形是平行四边形， ∴点是线段、的中点， ∵，， ∴， ∴点P的坐标为． 12．（2026·山东德州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图像上，点D的坐标为（4，3），设AB所在直线解析式为． (1)求反比例和一次函数解析式． (2)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，在平移中若反比例函数图像与菱形的边AD始终有交点，求m的取值范围． (3)在直线AB上是否存在M、N两点，使以MNOD四点的四边形构成矩形？若不存在，请说明理由，若存在直接求出M、N（点M在点N的上方）两点的坐标． 【答案】(1)， (2)0≤m≤ (3)点N坐标为（，）；点M的坐标为（，） 【分析】（1）延长AD交x轴于F，根据菱形的性质和勾股定理得到A、B的坐标，利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）根据平移性质，只需求得点D平移后落在反比例函数图像上时的坐标即可求解； （3）延长AD交x轴于F，过点N作NH⊥y轴于H，证明△ONB≌△OFD（AAS）得到S△ONB=S△OFD，求出NH即可求得点N坐标，设M（x，），利用中点坐标公式即可求出点M坐标． 【详解】（1）解：延长AD交x轴于F， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OB=OD=AD，AD∥OB， 则AF⊥x轴， ∵点D坐标为（4，3）， ∴OF=4，DF=3， ∴OD=5，即OB=AD=5， ∴A（4，8），B（0，5）， ∴k=4×8=32， ∴反比例函数的解析式为； 将A、B坐标代入中，得 ，解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：由题意知，将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，使得点D落在反比例函数的图像D′处， ∵点D平移后的坐标为D′（4+m，3）， ∴， ∴m= ， ∴满足条件的m的取值范围为0≤m≤． （3）解：存在，理由为： 如图，延长AD交x轴于F，过点N作NH⊥y轴于H，则∠NHO=∠OFD=90°， 由题意，∠ONB=∠NOD=∠HOF=90°， 则∠NOB=∠FOD， 又∠ONB=∠OFD=90°，OB=OD， ∴△ONB≌△OFD（AAS）， ∴S△ONB=S△OFD，则， ∴NH=， ∵点N在直线AB上， ∴当x=时，， ∴点N坐标为（，）； 设M（x，），则x+0=+4， 解得：x=，， ∴点M的坐标为（，）． 题型05 反比例函数的存在性问题——相似相关 13．（2026·山东菏泽·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求与的值； (2)连接并延长，与反比例函数的图象交于点，点在轴上，若以O、C、D为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)点的坐标为或． 【分析】（）将点的坐标代入关系式，求出的值，即可得出答案； （）令得到点的坐标，然后分情况根据相似三角形的对应边成比例求出答案即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴， 解得：，； （2）解：由（1）知一次函数解析式为， 当时，， ∴点， ∴ 当点落在轴的正半轴上， 则， ∴与不可能相似． 当点落在轴的负半轴上， 若， ∴ ∵， ∴， ∴， 若， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述：点的坐标为或． 14．（2026·山东济南·一模）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点．一次函数的图象过点与反比例函数交于另一点，与轴交于点，其中，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式 (2)求的面积； (3)连接，在直线上是否存在点，使以为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，或． 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，相似三角形的性质，两点距离计算公式，勾股定理的逆定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （）把点坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，则可求出点坐标，再把点和点坐标代入一次函数的解析式中求出一次函数的解析式； （）求出点的坐标，再利用三角形面积计算公式求解即可； （）利用对称性可得点坐标，利用两点距离计算公式和勾股定理的逆定理可证明，则只存在和这两种情况，当时，则，此时点D为的中点，利用中点坐标公式可得答案；当时，则，可求出，；设，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入到中得：，解得， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴； 把，代入到中得：，解得， ∴一次函数的表达式为， （2）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵直线经过原点， ∴由反比例函数的对称性可得点的坐标为，， ∵，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴与不垂直， ∵与相似， ∴只存在和这两种情况， 当时，则，， ∴，， ∴此时点D为的中点， ∴点D的坐标为； 当时，则，， ∴，， 设， ∴， 解得， ∴， ∴点D的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 15．（2026·山东聊城·模拟预测）点和点是一次函数的图象与反比例函数的图象的交点，并且一次函数的图象与坐标轴分别交于点和点． (1)求点和点的坐标； (2)求一次函数的表达式； (3)若点是轴上一动点，且满足与相似时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)一次函数的表达式为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）把，代入反比例函数求出m、n的值即可； （2）待定系数法求出一次函数解析式即可； （3）先求出点，， 分两种情况：当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵点和点是一次函数的图象与反比例函数的图象的交点， ， ， ； （2）解：依题意，将代入中， 得， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； （3）解：在中，当时，， 即， 当时，， 解得：，即， 与相似， ∴当时，， ∵点是轴上一动点， ∴此时点的坐标为； 当时，， 设，则， ， 由勾股定理可得：， ， 解得：， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 题型06 反比例函数的面积问题 16．（2026·山东济南·模拟预测）如图1，直线的图象与轴、轴分别交于两点，点是线段上一点，过点分别作的垂线，垂足分别是，矩形的面积为，且． (1)求点坐标； (2)将矩形以个单位/秒的速度向右平移，平移后记为矩形，记平移时间为秒． ①如图2，当矩形的面积被直线平分时，求的值； ②矩形的边与反比例函数的图象有两个交点，记为，若梯形的面积是矩形的面积的，求的值． 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）假设，利用矩形的面积为以及可求出点坐标； （2）①设，根据矩形的面积被直线平分可列方程求解即可； ②设，根据梯形的面积是矩形的面积的，列方程求解即可. 【详解】（1）解：设， ∵矩形的面积为， ∴， 解得：或， 当时，，此时， 当时，，此时， ∵， ∴，即； （2）①设、和直线分别交于点，， 设， 则， ∴， ∵矩形的面积被直线平分， ∴， ∴， 即：， 解得：； ②设， ∵由题意可知：， ∴， 解得：（舍）， ∴． 17．（24-25九年级上·山东枣庄·月考）如图所示，直线与双曲线交于A、B两点，已知点B的纵坐标为，直线与轴交于点，与轴交于点，，． (1)直接写出不等式的解集_____． (2)求直线的解析式； (3)求三角形的面积 (4)若点是轴上的一点，使的面积是的面积的2倍，求点的坐标； 【答案】(1)或 (2) (3) (4)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解直角三角形，三角形面积，掌握函数图象的交点坐标满足两个函数解析式是解题关键． （1）利用解直角三角形得到点坐标，再待定系数法求出反比例函数解析式，进而求得的坐标，结合函数图象，即可求解； （2）待定系数法求解析式，即可求解； （3）连接，根据三角形的面积公式，即可求解． （4）先求出三角形面积，设，则，代入三角形面积公式求出值即可得到点坐标． 【详解】（1）解：作轴，垂足为， 在中，，， 设，则，由勾股定理得： ， 解得：（舍去， ， 将代入得：，解得， ∴， ∵点B的纵坐标为， 当时，， 点， 根据函数图象可得：的解集为或； （2）点在一次函数图象上， 设直线解析式为：， 将代入得， 解得：， 直线的解析式为：． （3）解：如图，连接 ∵，，， ∴， ∴ （4）解：如图， ∵，， ∴ 设，则， 又的面积是的面积的2倍， ∴ 解得：或 ∴或 18．（24-25九年级上·山东淄博·月考）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式及的面积； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)若点P是坐标轴上的一点，且满足面积等于的面积的3倍，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)；4 (2)或 (3)或或或 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键； （1）分别把点A、B代入反比例函数解析式求出m、n的值，然后根据待定系数法可进行求解； （2）根据图象可直接进行求解； （3）由题意易得，然后可分当点P在x轴上和在y轴上，进而分类求解即可 【详解】（1）解：反比例函数的图象与一次函数的图象交于 两点． 将A与坐标代入反比例解析式得：， ， 代入一次函数解析式得：， 解得：， 一次函数的解析式为， 直线与轴、轴的交点坐标为， ； （2）解：， 观察图象可知，不等式的解集是或． （3）解：， ， 设，即， ， 解得：或， 则、， 同理可得、， ∴点P的坐标为或或或． 题型07 反比例函数与旋转问题综合 19．（2026·山东济南·一模）将一副三角板按图1方式摆放在平面直角坐标系中，含角的三角板的直角边落在轴上，，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)将三角板绕点顺时针旋转至， ①如图1，点为三角板边上一点，旋转后点的对应点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标； ②如图2，若将三角板绕点顺时针旋转至，使点落在边上，请判断点旋转后的对应点是否在反比例函数图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)①，②在反比例函数图象上，理由见解析 【分析】（1）把的坐标为代入反比例函数即可得到答案； （2）①过点作于点，由旋转得，将代入反比例函数表达式，进而即可求解； ②过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，先证明， 结合旋转的性质可得， 再把代入反比例函数表达式进行检验即可 【详解】（1）解：将代入反比例函数表达式得：， ∴， ∴反比例函数表达式为； （2）解：①如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， 由旋转得， 将代入反比例函数表达式，得：， ∴， ∴， ∴； ②如图，过点作轴于点，过点作，交的延长线于点， ∴， ∴，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， 由（1）知，， 由旋转得：，， ∴在中，，， ∴，， ∴， 将代入反比例函数表达式，得：， ∴在反比例函数图象上． 20．（2026·山东德州·一模）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点，，，反比例函数的图象经过的中点． (1)求反比例函数的表达式： (2)已知点，将点绕点逆时针旋转，若旋转后的点恰好落在的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得，再求得，然后运用待定系数法求解即可； （2）连接，，，再证明可得，即，然后代入（1）所得的函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：等腰直角三角形的顶点，， ，轴， ， 又∵点是的中点，设点， ， ， 反比例函数的图象经过点， ，解得：， 反比例函数的表达式为． （2）解：如图：连接，，， ， ∴， 是等腰直角三角形，点是的中点， ，，， ，即 将点绕点逆时针旋转， ，即， ， ， 恰好落在的图象上， ， 21．（2025·山东威海·模拟预测）如图，等边和等边的一边都在x轴上，双曲线经过的中点C和的中点D．已知等边的边长为4． (1)求k的值； (2)求等边的边长； (3)将等边绕点A任意旋转，得到等边，P是的中点（如图2所示），连结，直接写出的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点C作于G，利用特殊角的三角函数值求出和的长，可得点C的坐标，从而得出k的值； （2）过点D作于点H，设，可得，表示出点D的坐标，根据点D在双曲线上，可得关于a的方程，从而得出答案； （3）连接，由（2）得：，由勾股定理可得，再利用的三边关系可得答案． 【详解】（1）解：过点C作于G， ∵点C是等边边的中点，等边的边长为4 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入得：； （2）解：过点D作于点H，设， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点D是双曲线上的点， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴等边的边长； （3）解∶连接， 由（2）得：， ∵点P是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴最大值为． 题型08 反比例函数、一次函数与几何问题综合 22．（25-26九年级上·山东威海·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，． (1)求一次函数及反比例函数的表达式； (2)当时，直接写出x的取值范围： ； (3)若点P为直线上一点，当时，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)或 (3)点P的坐标为或 【分析】（1）把点坐标代入解方程得到反比例函数的表达式为，把点坐标代入求得，把点坐标，点坐标代入得解方程组得到一次函数的表达式为； （2）根据一次函数及反比例函数的图象交于点，点，即可得到结论； （3）分两种情况：①若在线段上，过点作平行于轴的直线，过点作垂直于直线于点，过点作垂直于直线于点．②当点在点的下方时，过点作平行于轴的直线，过A点作垂直于直线于点，过点作垂直的延长线于点．分别求解即可． 【详解】（1）解：把点坐标代入得， ， ， 反比例函数的表达式为， 把点坐标代入得，，解得， ， 把点坐标，点坐标代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：∵一次函数及反比例函数的图象交于点，点， ∴当时，的取值范围为或； （3）解：①若在线段上, 过点作平行于轴的直线，过点作垂直于直线于点，过点作垂直于直线于点． 设， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 解得： ∴点的坐标为 ②当点在点的下方时， 过点作平行于轴的直线，过点作垂直于直线于点，过点作垂直于的延长线于点． 设， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得： ∴点的坐标为． 综上所述：点的坐标为或． 23．（25-26九年级上·山东聊城·期末）如图，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，D 是边上的一个动点（不与C，B重合），反比例函数的图象经过点 D 且与边交于点E，连接． (1)如图1，若， ①求反比例函数的表达式； ②连接．求证： (2)如图2，将沿折叠，点B关于的对称点为点，连接，求出的最小值． 【答案】(1)①；②见解析 (2) 【分析】（1）①根据题意，求出，再根据待定系数法即可求解；②根据两边成比例及夹角相等，证明，得，即可求证； （2）连接，，易证，再证，根据“垂线段最短”，得当时，取最小值，可证，得，计算即可． 【详解】（1）①解：矩形，点B的坐标为， ，则， ， 反比例函数的图象经过点 D， ， 反比例函数的表达式为； ②证明：设点，代入，得， 点， ， ， ， ， 又，， ， ； （2）解：如图，连接，，交于点F， 由折叠可得，垂直平分， ， ， 设点，代入，得，则 当时，，则点， ，， ，， ， 又，， ， ， ， ， ， 在中，，， 则， 根据垂线段最短，得当时，取最小值， ， ，则，即， ， 的最小值为． 24．（2026·山东济南·一模）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点在线段的延长线上． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点作轴的平行线，与的图象交于点，与轴交于点，当时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，如图2，连接并延长交轴于点，点为轴上一点，且满足，请求出所有符合条件的点坐标． 【答案】(1) (2) (3)点G坐标为或 【分析】（1）先求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）设点，则，根据，列出方程进行求解即可； （3）先求出点坐标，分点G在x轴正半轴和点G在x轴负半轴上两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴； 将代入，得， ∴； （2）解：设点，则， ∴，， ∵， ∴， ∴，（舍）， ∴． （3）解：设直线的解析式为， 把，，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为：， ∴当时，解得， ∴； ①点G在x轴正半轴， ∵，， ∴， ∴． 设， 则 ∴，（舍） ∴． ②点在x轴负半轴， 此时，， ∴ 过点A作轴于点，则是中点， ∴； 综上所述，点G坐标为或． 1．（2026·山东济宁·一模）如图，线段的两端点分别在轴正半轴和轴负半轴上，且的面积为，若双曲线恰好经过线段的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，，从而得到线段的中点，根据点在双曲线上得到，再结合的面积为求出的值即可得解． 【详解】解：线段的两端点分别在轴正半轴和轴负半轴上， 可设点，， 则线段的中点， 双曲线恰好经过点， ， 的面积为， ，即， ， ，选项符合题意． 2．（2026·山东临沂·一模）如图，在平面直角坐标系中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点M，与边BC交于点N（M，N不重合）．给出下面五个结论：①与的面积一定相等；②；③与的面积不可能相等；④可能是钝角三角形；⑤可能是等边三角形．上述结论中，所有正确结论的个数有（  ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】根据矩形的性质可判断①；设点C的坐标为，则，可得到，可证明，可判断②；矩形的性质结合反比例函数的意义，可判断③，根据等边三角形和反比例函数的对称性，可判断⑤，根据是反比例函数图象上的动点，可得或为钝角，可判断④，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，即与的面积一定相等，故①正确； 设点C的坐标为，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 当与的面积相等时，如图，连接， ∴ ∴在直线上，则重合， ∴与的面积不可能相等，故③正确， ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故⑤正确， 如图 当在的同侧时，可能是钝角三角形，故④正确； 综上，正确的有①②③④⑤． 3．（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于A、B两点，点C在x轴上，且，若，则k的值为（   ） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】作，根据对称性可知，为的中点，三角形的中线平分面积，得到，三线合一结合三角形的中线平分面积，求出，根据值的几何意义，即可得出结果． 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两点关于原点对称， ∴为的中点， ∴， 作， ∵， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在二，四象限， ∴， ∴． 4．（2026·山东日照·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在x轴的负半轴，y轴的正半轴上，点B在第二象限．将矩形绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形与相交于点M．若经过点M的反比例函数的图象交于点N，矩形的面积为18，，则k的值为______． 【答案】 【分析】由，设，则，，推出，再根据矩形的面积求出a，即可解决问题； 【详解】解：∵将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形 ∴， ∵， 设，则，， ∴， ∵矩形的面积为18， ， ∴（负值舍去）， ∴， ∴． 5．（2026·山东东营·一模）如图，反比例函数和正比例函数的图象交于，两点，若，则x的取值范围是_____． 【答案】或 【分析】所求不等式的解集即为反比例函数值小于正比例函数值时x的范围，根据正比例函数与反比例函数的交点坐标，即可确定出x的范围． 【详解】解：∵反比例函数和正比例函数的图象交于，两点， ∴由函数图象可知，当或时，反比例函数图象在正比例函数图象的下方， ∴若，则的取值范围是或． 6．（2026·山东济南·二模）正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于点． (1)求m和k的值； (2)点B为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m，过点B作x轴的垂线，交直线于点C，交x轴于点D． ①如图1，连接，当平分时，求的面积； ②如图2，连接，当是以为底的等腰三角形时，求点B的坐标． 【答案】(1)， (2)①10；② 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①过点作于点，根据角平分线的性质定理得到，设点，，其中，求出长，利用两点间距离公式求出长，最后利用求解即可； ②根据等腰三角形的性质的得到，设，则，求出、和长，利用列出等式，求解即可． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得：， ， 将代入得：， 解得：； （2）①解：由题意得：轴， 如图，过点作于点， 平分， ， 由（1）知，， 设点，，其中， 、， ； ②解：由（1）知，， 是以为底的等腰三角形， ， 设，则，其中， 、、， ， ， 解得：或（舍去）， ． 7．（2026·山东烟台·一模）如图，直线与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点B． (1)根据所给条件，请直接写出不等式的解集______； (2)求反比例函数的表达式； (3)轴于点C，点P为反比例函数图象上的一点，且位于点A的右侧，连接、、，当时，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察函数图象特点，即可得出解集； （2）运用待定系数法，将点代入直线表达式，求出n，再将点A坐标，代入反比例函数，即可求出反比例函数表达式； （3）过点P作，垂足为点D，根据条件，得出点P的纵坐标，代入反比例函数表达式，得到横坐标；根据直线方程特点，求出B点坐标，最后根据，即可得到所求． 【详解】（1）解：观察函数图象，点A左侧，反比例函数的图象在直线上方，再结合题目给出的条件，所以不等式成立的解集为：； （2）解：过点， 代入直线解析式，得：，即点， 反比例函数也过点A， 代入得：， 所以反比例函数的表达式为：． （3）解：如图所示，过点P作，垂足为点D， 轴于点C，点A的坐标为， ， ， ， 点P的纵坐标为2， 把代入，解得． ， ． 在中，当，解得， ， ， ， ． 8．（2026·山东济南·二模）如图，反比例函数与一次函数的图象相交于和两点． (1)求这两个函数的解析式： (2)如图，直线与反比例函数的图象的另一个交点为点，点是第四象限反比例函数图象上的一点，当的面积为6时，求点的坐标； (3)在第（2）问的条件下，若点为轴上的点，则在反比例函数的图象上是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在，或 【分析】（1）将点代入，可求函数解析式，从而求出，将点A、B代入,可求一次函数解析式； （2）连接，由O是AC的中点，可得的面积，设，根据的面积，求出t的值即可求M点坐标； （3）设，，根据平行四边形对角线情况分三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：将点代入，得， ， 将代入，得， ， ， 将点、代入，得 ， 解得， ； （2）解：连接，过作轴的平行线交直线于点 直线与反比例函数交于点， 、关于原点对称， ， 是的中点， 的面积为6， 的面积为3， ，， 直线的表达式为：， 设，则， ， ， ， 当时，解得：（舍去）或， ， 当时解得：（舍去）或， ， 综上所述：点的坐标为或； （3）解：存在点，理由如下： 设，， 当为对角线时， 解得， ； 当为对角线时，， 解得， ； 综上所述：点坐标为：或． 9．（2026·山东淄博·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数的图象上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】（1）将点，坐标代入反比例函数解析式中，即可求出，，再利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）根据图像结合，，即可作答； （3）先求出，，设，根据，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：将，代入中得， ，，， 则点，坐标为，，将其代入得, ， 解得， 则一次函数解析式为； （2）解：观察函数图像可知，当时，或； （3）解：对于，当时，，当时，， 则，， 设， 则，， ， ， ， 则点的坐标为． 10．（2026·山东临沂·二模）在平面直角坐标系中，已知一次函数与反比例函数满足以下条件： ①一次函数的图象经过点； ②一次函数与反比例函数图象的一个交点坐标为； ③在反比例函数中，当时，随的增大而减小． 请解答下列问题： (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)设一次函数与反比例函数图象的另一个交点为，求的面积． 【答案】(1)一次函数表达式为，反比例函数表达式为 (2) 【分析】（1）根据反比例函数图象与性质，由待定系数法及解一元二次方程求解得到反比例函数表达式，进而求出点坐标，即可得到一次函数表达式； （2）先求出一次函数与反比例函数图象的另一个交点的坐标，再作出图象，数形结合表示出的面积计算即可． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数图象的一个交点坐标为， ， 则， 解得或； 在反比例函数中，当时，随的增大而减小， ， 即， 反比例函数表达式为； ， 一次函数的图象经过点， ， 解得， 一次函数表达式为； （2）解：联立， 消去得，即， ， 解得或， 则一次函数与反比例函数图象的另一个交点坐标为，如图所示： 一次函数与轴的交点为，、， ． 11．（2026·山东德州·一模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，且与y轴交于点B，第二象限内的点C在反比例函数图象上，且以点C为圆心的圆与轴、y轴分别相切于点D、B． (1)求和的值； (2)根据图象，当时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出B点坐标，再利用切线的性质结合正方形的判定与性质得出C点坐标，进而利用待定系数法求出反比例函数和一次函数解析式，即可得答案； （2）利用E点坐标结合函数图象得出x的取值范围． 【详解】（1）解：如下图：连接， 与x轴，y轴相交于点D，B， ， 四边形是正方形， 当时，， 点B的坐标是， ， 的坐标是， 把代入得到，则， ， 把代入得到，则， ， ， ， 综上所述：，； （2）解：如（1）图，直线于x轴相交于E点， ， ，解得：， ， 由图像可知，当时，， 的取值范围为． 12．（2026·山东济南·一模）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，；与x轴交于点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点P在y轴上，且满足，求点P的坐标； (3)我们将有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．反比例函数在第四象限的图象上是否存在点Q，使得是不以为“半直角边”的“半直角三角形”？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点P的坐标为或； (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】（1）待定系数法进行求解即可； （2）设，根据，结合，列出方程进行求解即可； （3）分和两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，； ∴，， ∴，， ∴，， ∴，解得：， ∴； （2）解：设直线交轴于点， ∵， ∴当时，，时，， ∴，， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴点P的坐标为或； （3）解：存在； ①当时，将绕点旋转90度得到，连接，交的延长线于点，如图，则：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为：，则：， ∴， ∴， 联立，解得：或（舍去）； ∴； ②当时，将绕点旋转90度得到，连接交于点，则，， ∴， ∴， 同法可得：的解析式为：， 联立，解得：或（舍去）， ∴； 综上：点Q的坐标为或． 13．（25-26九年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点和点． (1)求的值； (2)如图1，若点为线段上一点，过点作轴交反比例函数的图象于点，连接，若的面积为，求点的坐标； (3)如图2，连接，并延长至点，使，作的角平分线交轴于点，过点作于点，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）利用一次函数解析式求出点的坐标，然后利用待定系数法求函数解析式即可； （2）联立解析式求出交点坐标，假设，则，根据三角形的面积求出的值即可； （3）延长交直线于点，证明，得出相等的边，假设，利用勾股定理求出相关线段的长度和列出方程求解，然后利用线段中点坐标公式求解即可． 【详解】（1）解：将代入得， ， ∴； 将代入得， ， 解得， ∴； （2）解：联立解析式得， 解得或， ∴， 假设，则，， ∴， ∴ ∴， 解得或，均符合题意， ∴点的坐标为或； （3）解：如图所示，延长交直线于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，且， ∴由勾股定理得，，， 假设， ∴由勾股定理得，， 解得或（舍去）， ∴， ∴点的坐标为， 即点的坐标为． 14．（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，一次函数的图象与该反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)定义：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记该反比例函数图象在点A，B之间的部分与线段围成的区域（不含边界）为． ①当时，区域内的有整点__________个； ②若区域内恰有3个整点，请结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)反比例函数的表达式为 (2)①4；②或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，掌握新定义，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①根据新定义，画出图象进行判断即可； ②分直线在上方和直线在下方，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴； ∴； （2）①当时，如图 有，共4个整点； ②当直线在上方时，如图： 当过点时，此时有2个整点，此时，解得； 当过点时，此时有3个整点，此时，解得； 故当时，满足题意； 当直线在下方时，如图： 当过点时，此时有3个整点，此时，解得； 当过点时，此时有2个整点，此时，解得； 故当时，满足题意； 综上：或． 15．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求、的值； (2)直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，连接． ①求的面积； ②点在反比例函数的图象上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点坐标． 【答案】(1)， (2)①10；②或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，以及平行四边形的性质运用．并利用图像的平移找到点与点之间的关系，从而求解． （1）将点代入一次函数解析式可求出的值，再将坐标代入反比例函数解析式可求出的值； （2）①利用点，点求出直线的函数解析式，从而求出点的坐标，利用割补法即可求解； ②分两种情况：以和为对角线时，由可以看作先向右平移到点与原点重合，再向上平移2个单位得到，可知点的纵坐标为6，从而可得点的坐标；以和为对角线时，由可以看作先向下平移2个单位，再向左平移到点与点重合，可知点的纵坐标为2，从而可得点的坐标． 【详解】（1）解：把代入得，， 解得， ∴点的坐标为， 把代入得，， 解得， ∴，． （2）解：设直线函数解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线函数解析式为， 由得，，， ∴点的坐标为， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴点的坐标为， 如图，过点作轴于点，过点作于点，过点作轴于点，与的延长线交于点， ∴． ②设点，， ∵，，点、、、构成平行四边形， 当和为对角线时，有，如下图： 点可看作是将点先向右平移个单位，再向上平移2个单位得到， 故点也是相应关系，即点是点向右平移个单位，再向上平移2个单位得到， ∴点的纵坐标为6，即， ∴， ∴点的坐标为； 当和为对角线时，有，如下图： 点可看作是将点先向下平移2个单位，再向左平移个单位得到， 故点也是相应关系，即点是点向下平移2个单位，再向左平移个单位得到， ∴点的纵坐标为2，即， ∴， ∴点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $