精品解析：重庆市长寿实验中学校2024-2025学年八年级下学期5月期中考试数学试题

实验中学初2023级八年级下期半期考试 总分：150分 时间：120分钟 一、选择题．（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列根式中是最简二次根式是　　 A. B. C. D. 2. 下列各组数中，能构成直角三角形是（ ） A. 4，5，6 B. 1，1， C. 6，8，11 D. 5，12，23 3. 下列根式有意义的范围为x≥5的是（　　） A. B. C. D. 4. 若一次函数的图象上有两点，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 平行四边形的对角线，相交于点，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法中错误的是（ ） A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 两条对角线相等的四边形是矩形 C. 两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 两条对角线相等的菱形是正方形 8. 李大伯在承包的果园里种植了100棵樱桃树，今年已经进入收获期，收获时，从中任意采摘了6棵树上的樱桃，分别称得每棵树的产量(单位：千克)如下表： 序号 1 2 3 4 5 6 产量 17 21 19 18 20 19 这组数据的中位数为m，樱桃的总产量约为n，则m，n分别是（ ） A. 18，2000 B. 19，1900 C. 1900，18.5 D. 19，1850 9. 如图，在矩形中，，点M、N分别在边、上，连接、，若四边形是菱形，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 有两个依次排列的代数式：，用第二个代数式减去第一个代数式得到，将加8得到，将第2个代数式与相加得到第3个代数式，将加8得到，将第3个代数式与相加得到第四个代数式，……依此类推.则以下结论： ①； ②当第个代数式的值为时，或； ③ (n为正整数) ．其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题．（本大题共8小题，共32分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 将直线向上平移6个单位后的函数表达式是________． 12. 与最简二次根式是同类二次根式，则m＝_____． 13. 如图，在菱形中，对角线交于点O，点G是的中点，若，，则菱形的面积是____________． 14. 已知，则代数式的值是________． 15. 一次函数y=kx+b的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是_____． 16. 如图，矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连接AM，CN，MN，若AB=2，BC=2，则图中阴影部分的面积为_______． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点，在轴上，，点的坐标为，点的坐标为，则的最小值为____________． 18. 对于任意一个四位数m，若它的千位数字与百位数字的和等于十位数字与个位数字的和，则称这个四位数m为“天平数”，为m的各个数位上的数字之和．例如：，∵，；，，∴6397不是“天平数”．求出 ______；已知M，N均为“天平数”，其中，(，，，x，b，y是整数)，，(，，，，a，b，c，d是整数)，若，求出满足条件的N的最大值______． 三、解答题．（本大题共8小题，19题8分，20−26每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19 计算 （1）； （2） 20. 某市为了了解高峰时段16路车从总站乘该路车出行人数，随机抽查了10个班次乘该路车人数，结果如下：14，23，16，25，23，28，26，27，23，25． （1）这组数据的众数为____，中位数为____； （2）计算这10个班次乘车人数的平均数． 21. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5，求： （1）△ABC的周长； （2）△ABC是否是直角三角形？为什么？ 22. 如图，在中，是对角线． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点、、，连接和（用尺规作图，并在图中标明相应的字母，保留作图痕迹）； （2）在（1）条件下，求证四边形是菱形（请补全下面的证明过程，将答案写在答题卡对应的番号后）． 证明：∵垂直平分， ∴． 又∵四边形是平行四边形， ∴①________ ∴． 在和中， ②________ ∴， ∴③________ ∵垂直平分， ∴，④________ ∴， ∴四边形是菱形． 23. 为大力推动学生广泛深入开展阳光体育运动，促进学生身心健康、体魄强健、全面发展，丰富全体师生课余体育生活，某中学准备购买乒乓球拍和羽毛球拍共200副，通过市场调研发现：买1副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需160元，买5副乒乓球拍的费用和买3副羽毛球拍的费用相同． （1）购买每副乒乓球拍和羽毛球拍分别需要多少元？ （2）若学校购买的羽毛球拍不低于80副，求购买乒乓球拍和羽毛球拍共200副的总费用w元与购买的羽毛球拍的数量a之间的函数关系式，并求出总费用至少为多少元． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴交点为 A（-3，0），与y轴交点为B，且与正比例函数的图象的交于点 C（m，4）． （1）求m的值及一次函数 y=kx+b的表达式； （2）若点P是y轴上一点，且△BPC的面积为6，请直接写出点P的坐标． 25. 如图1，在正方形中，，动点P从点A出发，沿折线运动，当点P到达点C时停止运动．连结，若点P运动的路程为，的面积为y，当点P与点B重合时的值为0 （1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）在图2的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数图象的一条性质； （3）根据图象，直接写出当时，x的取值范围． 26. 四边形是菱形，，点是边上一点，连接，． （1）如图1，若菱形边长为4，当时，求线段的长； （2）线段绕点逆时针旋转得到线段，如图2，连接，点是中点，连接．求证：； （3）如图3，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点在射线上运动的过程中，当取最小值时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 实验中学初2023级八年级下期半期考试 总分：150分 时间：120分钟 一、选择题．（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列根式中是最简二次根式的是　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】A．=，故此选项错误； B．是最简二次根式，故此选项正确； C．=3，故此选项错误； D．=，故此选项错误； 故选B． 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 1，1， C. 6，8，11 D. 5，12，23 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握，熟练掌握这个逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理：，将各个选项逐一代数计算即可得出答案． 【详解】解：A、∵， ∴4，5，6不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵， ∴1，1，能构成直角三角形，故本选项符合题意； C、∵， ∴6，8，11不能构成直角三角形，故本选项符合题意； D、∵， ∴5，12，23不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列根式有意义的范围为x≥5的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案． 【详解】A.x+5⩾0，∴x⩾−5，故A不满足题意； B． ，∴x>5，故B不满足题意； C． ，∴x>−5，故C不满足题意； D．x−5⩾0，∴x⩾5，故D满足题意； 故选D． 【点睛】此题考查二次根式有意义的条件，解题关键在于掌握其定义. 4. 若一次函数的图象上有两点，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，分别求出、，再比较大小即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象上有两点，， ∴，， ∵， ∴， 故选：C． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的减法、二次根式的乘法、二次根式的除法，根据二次根式的减法、二次根式的乘法、二次根式的除法的运算法则逐项分析即可得解． 【详解】解：A、和表示同类二次根式，不能直接相减，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 6. 平行四边形的对角线，相交于点，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质分别判断得出答案即可． 【详解】A．∵平行四边形ABCD的对角线，相交于点， ∴AO=CO，BO=DO， ∴， ∴， 故A正确； B．无法得到AC=BD，故B错误； C．无法得到，故C错误； D．平行四边形邻边不相等，故D错误； 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，准确进行分析是解题的关键． 7. 下列说法中错误的是（ ） A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 两条对角线相等的四边形是矩形 C. 两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 两条对角线相等的菱形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的对角线相等且平分，和正方形的对角线互相垂直、相等平分进行判定即可得出结论． 【详解】解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A选项正确； B、两条对角线相等的平行四边形才是矩形，故B选项错误； C、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C选项正确； D、两条对角线相等的菱形是正方形，故D选项正确； 故选B． 【点睛】平行四边形的判定方法共有五种，在四边形中如果有：①四边形的两组对边分别平行；②一组对边平行且相等；③两组对边分别相等；④对角线互相平分；⑤两组对角分别相等．则四边形是平行四边形． 8. 李大伯在承包的果园里种植了100棵樱桃树，今年已经进入收获期，收获时，从中任意采摘了6棵树上的樱桃，分别称得每棵树的产量(单位：千克)如下表： 序号 1 2 3 4 5 6 产量 17 21 19 18 20 19 这组数据的中位数为m，樱桃的总产量约为n，则m，n分别是（ ） A. 18，2000 B. 19，1900 C. 1900，18.5 D. 19，1850 【答案】B 【解析】 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；根据已知数据利用平均数的计算公式求出6棵树上的樱桃的平均产量，然后利用样本估计总体的思想即可求出樱桃的总产量． 【详解】先对这组数据按从小到大的顺序重新排序：17，18，19，19，20，21． 位于最中间的数是19，19， 所以这组数的中位数是m=（19+19）÷2=19； 从100棵樱桃中抽样6棵， 每颗的平均产量为（17+18+19+19+20+21）=19（千克）， 所以估计樱桃的总产量n=19×100=1900（千克）； 故答案选：B． 【点睛】本题考查的知识点是中位数、用样本估计总体以及加权平均数，解题的关键是熟练的掌握中位数、用样本估计总体以及加权平均数. 9. 如图，在矩形中，，点M、N分别在边、上，连接、，若四边形是菱形，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，由四边形是菱形知，设，则，在中，由勾股定理即可求得值，即可得出答案． 【详解】∵，设，则． ∵四边形是菱形， ∴． 又∵四边形是矩形， ∴． 设，则， 由勾股定理得：，即， 解得：． ∴． ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，根据勾股定理求得的值是解决本题的关键． 10. 有两个依次排列的代数式：，用第二个代数式减去第一个代数式得到，将加8得到，将第2个代数式与相加得到第3个代数式，将加8得到，将第3个代数式与相加得到第四个代数式，……依此类推.则以下结论： ①； ②当第个代数式的值为时，或； ③ (n为正整数) ．其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可推导一般性规律为，；第个代数式为；则，可判断①的正误；当第个代数式的值为时，，可求或，可判断②的正误；，可判断③的正误． 【详解】解：由题意知，， ， 第3个代数式为， ， 第四个代数式为， ， 第5个代数式为， …… ∴可推导一般性规律为，； 第个代数式为； ∴，正确，故①符合要求； 当第个代数式的值为时， ，整理得，， ∴， 解得，或，错误，故②不符合要求； ，正确，故③符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的加减混合运算，整式的规律探究，完全平方公式，直接开平方法解一元二次方程等知识．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 二、填空题．（本大题共8小题，共32分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 将直线向上平移6个单位后的函数表达式是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，直接根据“上加下减”的原则进行解答即可．一次函数（k、b为常数，）的图象为直线，当直线平移时k不变，当向下平移个单位，则平移后直线的解析式为，理解“上加下减”是解题的关键． 【详解】解：由“上加下减”的原则可知， 把一次函数的图象向上平移6个单位后的函数表达式是： ． 故答案为：． 12. 与最简二次根式是同类二次根式，则m＝_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义得到m＋1＝3，然后解方程即可． 【详解】∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式． 13. 如图，在菱形中，对角线交于点O，点G是的中点，若，，则菱形的面积是____________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上中线的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的两条对角线互相垂直平分是解题的关键．根据菱形的性质和已知条件可得是斜边上的中线，由此可求出的长，再根据勾股定理可求出的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可． 【详解】解：∵菱形， ∴，，， ∵，，点G是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴菱形的面积是． 故答案为：24． 14. 已知，则代数式的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值、完全平方公式的应用，将所求式子利用完全平方公式变形为，代入计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 15. 一次函数y=kx+b的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】解：根据图象和数据可知，当y>0即图象在x轴的上方，． 故答案为． 16. 如图，矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连接AM，CN，MN，若AB=2，BC=2，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】 【解析】 分析】利用等面积转换求解即可. 【详解】解：如图，经过等面积转换： 平行四边形BNME与平行四边形NFDM等积；△AHM与△CGN等积， ∴阴影部分的面积其实就是原矩形ABCD面积的一半． ∴阴影部分的面积=， 故答案为：. 【点睛】本题考查矩形的性质，熟练掌握等面积法求解是解答的关键. 17. 如图，在平面直角坐标系中，点，在轴上，，点的坐标为，点的坐标为，则的最小值为____________． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，勾股定理，坐标与图形，两点之间线段最短等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 将向左平移2个单位，使点B和点A重合，连接，，根据题意得到当点C，A，E三点共线时，有最小值，即的长度，然后利用勾股定理求出，进而求出，即可求解． 【详解】如图所示，将向左平移2个单位，使点B和点A重合，并得到线段，连接 ∴， ∴ ∴当点C，A，E三点共线时，有最小值，即的长度 ∵点的坐标为， ∴ ∴ ∴的最小值为7． 故答案为：2． 18. 对于任意一个四位数m，若它的千位数字与百位数字的和等于十位数字与个位数字的和，则称这个四位数m为“天平数”，为m的各个数位上的数字之和．例如：，∵，；，，∴6397不是“天平数”．求出 ______；已知M，N均为“天平数”，其中，(，，，x，b，y是整数)，，(，，，，a，b，c，d是整数)，若，求出满足条件的N的最大值______． 【答案】 ①. 14 ②. 8190 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，各个位数上字母的取值范围是解答本题的关键．根据天平数的定义计算即可，利用天平数和题意列出，根据取值范围确定最大值即可． 【详解】解：根据题意天平数5234各数字之和为：； ∵M是“天平数”，，(，，，x，b，y是整数)， ， ， ∵N是“天平数”，，(，，，，a，b，c，d是整数) ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 根据和， 只存在这一情况， ①或者②， 对于方程组①，，要使得越大需要使得越大， ∵，， ∴，此时， 由得， ∴(符合题意)， ，， ∵，， ∴当， ，时，． 对于方程组②，由得即， ∴此时不能取得比更大得数， 综上所述：． 故答案为：14；8190． 三、解答题．（本大题共8小题，19题8分，20−26每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算 （1）； （2） 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，乘法运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）分别进行二次根式的乘法计算以及利用平方差公式进行运算，再进行加减计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 某市为了了解高峰时段16路车从总站乘该路车出行的人数，随机抽查了10个班次乘该路车人数，结果如下：14，23，16，25，23，28，26，27，23，25． （1）这组数据的众数为____，中位数为____； （2）计算这10个班次乘车人数的平均数． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数，熟练掌握相关定义是解此题的关键． （1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）根据平均数的定义列式计算即可． 【小问1详解】 解：将这组数据从小到大排列为：14，16，23，23，23，25，25，26，27，28， 故中位数为， 由于出现的次数最多，故众数为； 【小问2详解】 解：， 即这10个班次乘车人数的平均数为． 21. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5，求： （1）△ABC的周长； （2）△ABC是否是直角三角形？为什么？ 【答案】（1）54；（2）△ABC不是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）运用勾股定理求得AB、AC的长，然后根据三角形周长的定义解答即可； （2）运用勾股定理逆定理判定即可． 【详解】解：（1）∵AD⊥BC，AD＝12，BD＝16 ∴AB= 同理：AC= ∴△ABC的周长为AC+BC+AB=AC+BD+DC+AB=13+16+5+20=54； （2）∵BC2=（BD+DC）2=212=441, AB2=202=400,AC2=132=169 ∴BC2≠AB2+ AC2 ∴△ABC不是直角三角形． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，灵活运用勾股定理成为解答本题的关键． 22. 如图，在中，是对角线． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点、、，连接和（用尺规作图，并在图中标明相应的字母，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，求证四边形是菱形（请补全下面的证明过程，将答案写在答题卡对应的番号后）． 证明：∵垂直平分， ∴． 又∵四边形是平行四边形， ∴①________ ∴． 在和中， ②________ ∴， ∴③________ ∵垂直平分， ∴，④________ ∴， ∴四边形是菱形． 【答案】（1）作图见解析 （2），，， 【解析】 【分析】（1）分别以点B，D为圆心，以大于为半径画弧，分别交于两点，在过两点作直线，交于点O，交于点E，交于点F，连接，； （2）先确定，再根据平行四边形的性质得，进而得出，根据“”得出，可得，然后根据线段垂直平分线的性质得，，最后根据“四条边相等的四边形是菱形”得出答案． 【小问1详解】 如图所示． 【小问2详解】 ∵垂直平分， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形． 故答案为：，，，． 【点睛】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，菱形的判定，灵活选择判定定理是解题的关键． 23. 为大力推动学生广泛深入开展阳光体育运动，促进学生身心健康、体魄强健、全面发展，丰富全体师生课余体育生活，某中学准备购买乒乓球拍和羽毛球拍共200副，通过市场调研发现：买1副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需160元，买5副乒乓球拍的费用和买3副羽毛球拍的费用相同． （1）购买每副乒乓球拍和羽毛球拍分别需要多少元？ （2）若学校购买的羽毛球拍不低于80副，求购买乒乓球拍和羽毛球拍共200副的总费用w元与购买的羽毛球拍的数量a之间的函数关系式，并求出总费用至少为多少元． 【答案】（1）乒乓球拍每副元，羽毛球拍每副元 （2）总费用元与购买的羽毛球拍的数量之间的函数关系式为，总费用至少为元 【解析】 【分析】（1）设乒乓球拍每副元，羽毛球拍每副元，根据题意得到 ，得到乒乓球拍每副元，羽毛球拍每副元． （2）由题意得到，根据，得到随的增大而增大，根据，得到当时，有最小值，代入求值即可． 【小问1详解】 解：设乒乓球拍每副元，羽毛球拍每副元， 由题意得： ， 解得 ． 答：乒乓球拍每副元，羽毛球拍每副元． 【小问2详解】 由题意得：． ∵， ∴随的增大而增大． ∵， ∴当时，有最小值，． 答：总费用元与购买的羽毛球拍的数量之间的函数关系式为，总费用至少为元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组应用和一次函数引用，解决问题的关键是熟悉题意，熟练运用总价与单价和数量之间的关系列方程组和函数表达式，熟练掌握一次函数性质和自变量的取值范围求一次函数的最值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴交点为 A（-3，0），与y轴交点为B，且与正比例函数的图象的交于点 C（m，4）． （1）求m的值及一次函数 y=kx+b的表达式； （2）若点P是y轴上一点，且△BPC的面积为6，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）m的值为3，一次函数的表达式为；（2） 点P 的坐标为（0， 6）或（0，－2） 【解析】 【分析】（1）首先利用待定系数法把C（m，4）代入正比例函数y=x中，计算出m的值，进而得到C点坐标，再利用待定系数法A、C两点坐标代入一次函数y=kx+b中，计算出k、b的值进而得到一次函数解析式； （2）利用△BPC的面积为6，即可得出点P的坐标． 【详解】解：（1）∵ 点C（m，4）在正比例函数的图象上， ∴ m，，即点C坐标为（3，4）． ∵ 一次函数 经过A（－3，0）、点C（3，4）， ∴ 解得： ， ∴ 一次函数的表达式为 ； （2）∵△BPC的面积为6， ∴， 解得：BP=4， 对于，当x=0时，y=2， ∴点B（0，2）， ∴点P 的坐标为（0， 6）或（0，－2）． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式知识，根据待定系数法把A、C两点坐标代入函数y=kx+b中，计算出k、b的值是解题关键． 25. 如图1，在正方形中，，动点P从点A出发，沿折线运动，当点P到达点C时停止运动．连结，若点P运动的路程为，的面积为y，当点P与点B重合时的值为0 （1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）在图2的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数图象的一条性质； （3）根据图象，直接写出当时，x的取值范围． 【答案】（1） （2）函数图象见解析；该函数图象是轴对称图形，对称轴是直线（答案不唯一） （3）或 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，根据三角形面积公式写出函数解析式，即可得到答案； （2）根据（1）中的函数解析式和自变量取值范围画出函数图象，根据图象写出一条性质即可； （3）根据图象，当时，或，即可得到当时，x的取值范围． 【小问1详解】 解：当时，的面积为， 当时，的面积为， 即y与x之间的函数解析式为， 【小问2详解】 函数的图象如图所示，该函数图象是轴对称图形，对称轴是直线； 【小问3详解】 根据图象，当时，或， ∴当时，x的取值范围为或． 【点睛】此题是一次函数和几何综合题，考查了一次函数的图象和性质、求一次函数解析式等知识，读懂题意，正确写出y与x之间的函数解析式是解题的关键． 26. 四边形是菱形，，点是边上一点，连接，． （1）如图1，若菱形边长为4，当时，求线段的长； （2）线段绕点逆时针旋转得到线段，如图2，连接，点是中点，连接．求证：； （3）如图3，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点在射线上运动的过程中，当取最小值时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质可推出为等腰直角三角形，，从而得到，最后利用勾股定理即可求得答案 （2）延长至，使得，连接，根据菱形的性质和旋转的性质可知，，，，从而推出，进而得到，最后利用中位线的性质得到，得证； （3）过点作于点，过点作垂线，垂足为，设，同（1）易证为等腰直角三角形，从而得到，然后可证，得到，根据点的运动轨迹在直线上，当点与点重合时，取最小值，过点作，交的延长线于点，此时，然后利用 得到，先计算出，然后易证为等腰直角三角形，推出，再计算出，即可得到答案． 【小问1详解】 解：四边形是菱形，菱形边长为4 ，， ， 为等腰直角三角形 在中， 小问2详解】 证明：如下图，延长至，使得，连接 ， 线段绕点逆时针旋转得到线段 ， 又 点是中点， 为的中位线 【小问3详解】 解：如下图，过点作于点，过点作垂线，垂足为 设 ， 为等腰直角三角形 将线段绕点逆时针旋转得到线段 ， ，即 点的运动轨迹在直线上，当点与点重合时，取最小值 如下图，过点作，交的延长线于点 此时， ， ， 为等腰直角三角形 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形中位线的判定与性质等，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$