精品解析：天津市第二十一中学2024—2025学年下学期八年级数学期中试卷

八年级数学 一、选择题：本大题共12小题，共36分． 1. 下列根式中不是最简二次根式的是（ 　） A. B. C. D. 2. 依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 3. 正方形面积为，则对角线的长为（ ） A. 6 B. C. 9 D. 4. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，以直角三角形的三边为边，分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1＋S2＝S3的图形有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 以下列各组线段为边作三角形，不能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，对角线 相交于点为 的中点，且，则菱形 的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，若AB＝12，则CD的长是（　　） A. 12 B. 6 C. 4 D. 3 9. 如图所示，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，一个梯子 斜靠在一竖直的墙上，测得米，若梯子的顶端沿墙下滑1米，这时梯子底端也恰好外移1米，则梯子 的长度为（ ） A. 5米 B. 6米 C. 7米 D. 8米 11. 如图，点分别是四边形边的中点．则下列说法： ①若，则四边形为矩形； ②若，则四边形为菱形； ③若四边形是平行四边形，则与互相平分； ④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 如图所示，在中，， 是的中点，作，垂足在线段 上，连接，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：本大题共6小题，共18分． 13. 已知菱形的对角长，，则菱形的面积为________． 14. 在中，，． （1）若，则________，________； （2）若，则________． 15. 如图，中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线交于点D，则线段的长为________． 16. 如图，正方形的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且，则四边形的面积为__________． 17. （1）如下图，在的网格中，________． （2）点、 、、、是如下图所示的正方形网格中网格线的交点，则________． （3）如下图，在正方形网格中，、 、、、均为格点，则________． 18. 如图，在矩形ABCD中，，，点P在边AD上，点Q在边BC上，且，连接CP，QD，则的最小值为__________． 三、解答题：本大题共7小题，共46分． 19. 计算： （1）； （2）． （3） 20. 已知a、b满足等式 ． （1）求出a、b的值分别是多少？ （2）试求 的值． 21. 如图，在四边形中，点为的中点，连接，并延长交的延长线于点 ，已知． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 通过对《勾股定理》的学习，我们知道，如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果我们新定义一种三角形——两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做和谐三角形． （1）根据“和谐三角形”的定义，请你判断：等边三角形 和谐三角形．（填写“是”或“不是”） （2）已知某三角形的三边的长分别为，3，，请你判断该三角形是否为和谐三角形？并说明理由． （3）在，三边长分别为a，b，c，且，，请你判断该三角形是否为和谐三角形？并说明理由． 23. 如图所示，在中，点D、E分别为的中点，点H在线段上，连接，点G、F分别为的中点． （1）求证：四边形为平行四边形 （2），求线段 的长度． 24. 如图1，在菱形中，， 为边上一点，为延长线上一点，． （1）求证：； （2）连接，若，，则________； （3）如图2，交于点 ，延长，交的延长线于点，探究，与的数量关系．并说明理由． 25. 已知：四边形ABCD是正方形，，点E，F，G，H分别在边A，DC上. （1）如图1，若，，求的度数； （2）如图2，若，点E，F分别是上的动点，求证： 的周长是定值； （3）如图3，若，和交于点O，且，求请直接写出线段的长度. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 一、选择题：本大题共12小题，共36分． 1. 下列根式中不是最简二次根式的是（ 　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数中不含能开的尽方的因数或因式． =2，故不是最简二次根式． 故选C． 2. 依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定及性质定理判断即可； 【详解】解：平行四边形对角相等，故A错误； 一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B错误； 三边相等不能判断四边形是平行四边形，故C错误； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键． 3. 正方形面积为，则对角线的长为（ ） A. 6 B. C. 9 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半，且正方形对角线相等，列方程解答即可． 【详解】设对角线长是x．则有 x2=36， 解得：x=6． 故选B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，注意结论：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．此题也可首先根据面积求得正方形的边长，再根据勾股定理进行求解． 4. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得出b＜0＜1＜a，进而化简求出即可． 【详解】解：由数轴可得： b＜0＜1＜a， 则原式=a-b． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的符号是解题关键． 5. 如图，以直角三角形的三边为边，分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1＋S2＝S3的图形有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【详解】解：（1）S1=，S2=，S3=，∵，∴，∴S1+S2=S3． （2）S1=，S2=，S3=，∵，∴，∴S1+S2=S3． （3）S1=，S2=，S3=，∵，∴，∴S1+S2=S3． （4）S1=，S2=，S3=，∵，∴S1+S2=S3． 综上，可得：面积关系满足S1+S2=S3图形有4个． 故选D． 6. 以下列各组线段为边作三角形，不能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】A． ，故可以构成直角三角形，不符合题意； B． ，故无法构成直角三角形，符合题意； C． ，故可以构成直角三角形，不符合题意； D． ，故可以构成直角三角形，不符合题意． 故选：B 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 7. 如图，在菱形中，对角线 相交于点为 的中点，且，则菱形 的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：因为菱形的对角线互相垂直平分，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得AB=2a，则菱形ABCD的周长为8a．故选C． 8. 如图，在中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，若AB＝12，则CD的长是（　　） A. 12 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：在中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，AB＝12， 则CDAB12＝6， 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是直角三角形斜边中线的性质，掌握其性质是解题的关键． 9. 如图所示，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，过点作 轴的垂线交于点，连接．根据矩形的性质，的长度即为的长度，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作 轴的垂线交于点，连接． 点的坐标是， ， ， 矩形， ∴， 故选：C． 10. 如图，一个梯子 斜靠在一竖直的墙上，测得米，若梯子的顶端沿墙下滑1米，这时梯子底端也恰好外移1米，则梯子 的长度为（ ） A. 5米 B. 6米 C. 7米 D. 8米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，设，则：，巧用梯子的长不变，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∵， ∴，即：， 解得：， ∴， ∴． 故选A． 11. 如图，点分别是四边形边的中点．则下列说法： ①若，则四边形为矩形； ②若，则四边形为菱形； ③若四边形是平行四边形，则与互相平分； ④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先根据三角形的中位线性质证明四边形为平行四边形，然后根据矩形、菱形的判定与性质逐项即可解答． 【详解】解：∵点分别是四边形边的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ①若，则， ∴四边形为菱形，即①错误； ②若，则，即， ∴四边形为矩形，即②错误； ③与是否互相平分均能得到四边形是平行四边形，即③错误； ④若四边形是正方形，则，， ∴，，即与互相垂直且相等，故④正确， 故正确的个数是1个． 故选：A． 12. 如图所示，在中，， 是的中点，作，垂足在线段 上，连接，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上定理与性质是解题关键．由在平行四边形中，， 是的中点，易得，继而证得，可判断①；然后延长，交延长线于，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出，可得，再证明，可判断②；由，可得，结合，则，可判断③；设，则，再分别表示：，，从而可判断④． 【详解】解：①∵ 是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故①正确； ②如图，延长，交延长线于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵ 为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， 故③错误； ④设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确． 综上可知：一定成立的是①②④， 故选：C． 二、填空题：本大题共6小题，共18分． 13. 已知菱形的对角长，，则菱形的面积为________． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，解题的关键是记住菱形的面积等于对角线乘积的一半，属于中考常考题型． 根据菱形的面积等于对角线长乘积的一半即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴菱形的面积． 故答案为：36． 14. 在中，，． （1）若，则________，________； （2）若，则________． 【答案】 ①. 2 ②. ③. 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形中特殊角的性质及勾股定理，解题的关键是熟练掌握含角的直角三角形性质以及勾股定理的应用． （1）利用含角的直角三角形性质求出，再用勾股定理求． （2）利用等腰直角三角形性质及勾股定理求出和． 【详解】在中，． ，即． 将代入， ， 故答案为：2；； （2）在中，，则， ． ． 由勾股定理， 又 ， 则， 解得． 故答案为：． 15. 如图，中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线交于点D，则线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用角平分线的性质构造辅助线，将的面积分解成的面积和面积和，转化成以为未知数的方程求出． 【详解】如图：过点作于点 ， ， 由题意得：平分， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、直角三角形面积，重点掌握勾股定理的运用，直角三角形的面积转换是解题的关键． 16. 如图，正方形的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且，则四边形的面积为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，再利用ASA证明△AOE≌△BOF，从而可得△AOE的面积＝△BOF的面积，进而可得四边形AFOE的面积＝正方形ABCD的面积，问题即得解决． 【详解】解：∵四边形ABD是正方形， ∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°， ∴∠AOE＝∠BOF， ∴△AOE≌△BOF（ASA）， ∴△AOE的面积＝△BOF的面积， ∴四边形AFOE的面积＝正方形ABCD的面积＝×22＝1； 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 17. （1）如下图，在的网格中，________． （2）点、 、、、是如下图所示的正方形网格中网格线的交点，则________． （3）如下图，在正方形网格中，、 、、、均为格点，则________． 【答案】 ①. 45 ②. 45 ③. 45 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等，正确作出辅助线是解题的关键； （1）证明，得到，再利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，，则，据此可得答案； （2）连接．设图中每个小正方形的边长为 ，由勾股定理的逆定理和勾股定理证明，是等腰直角三角形，则可得到．再由平行线的性质可得，据此可得答案； （3）证明，得到．则．同理可得，即。 【详解】解：（1）如图，连接， ，，， ， ， ，，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 故答案为：． （2）如图，连接．设图中每个小正方形的边长为 ， ∴，，，，， ， 是等腰直角三角形， ． 由题意得，， ， ，， 故答案为：． （3）如图，连接、， ∵， ∴， ∴． ， ． 设图中每个小正方形的边长为 ， 由勾股定理得，，， ， 是等腰直角三角形，， ，即， 故答案为：． 18. 如图，在矩形ABCD中，，，点P在边AD上，点Q在边BC上，且，连接CP，QD，则的最小值为__________． 【答案】13 【解析】 【分析】连接BP，在BA的延长线上截取AE=AB=6，连接PE，CE，PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE=AB=6，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，根据勾股定理可得结果． 【详解】解：如图，连接BP， 在矩形ABCD中，ADBC，AD=BC， ∵AP=CQ， ∴AD-AP=BC-CQ， ∴DP=QB，DPBQ， ∴四边形DPBQ是平行四边形， ∴PBDQ，PB=DQ， 则PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值， 在BA的延长线上截取AE=AB=6，连接PE， ∵PA⊥BE， ∴PA是BE的垂直平分线， ∴PB=PE， ∴PC+PB=PC+PE， 连接CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE， ∵BE=2AB=12，BC=AD=5， ∴CE==13． ∴PC+PB的最小值为13． 故答案为：13． 【点睛】本题考查的是最短线路问题，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键． 三、解答题：本大题共7小题，共46分． 19. 计算： （1）； （2）． （3） 【答案】（1） （2） （3）7 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的混合运算即可． （1）把二次根式化为最简二次根式后合并即可； （2）先根据二次根式的乘法计算，再化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （3）前半部分利用平方差公式计算，后半部分根据二次根式的除法法则计算，最后进行加减运算。 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 【小问3详解】 解：原式 ． 20. 已知a、b满足等式 ． （1）求出a、b的值分别是多少？ （2）试求 的值． 【答案】（1）a=3，b=﹣9；（2）﹣6． 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的定义得2a﹣6≥0且9﹣3a≥0；（2）根据二次根式的性质，先化简，再加减. 【详解】（1）由题意得，2a﹣6≥0且9﹣3a≥0， 解得a≥3且a≤3， 所以，a=3， b=﹣9 （2）， = ， =6﹣9﹣3， =﹣6． 【点睛】熟记二次根式的意义和加减法则. 21. 如图，在四边形中，点为的中点，连接，并延长交的延长线于点 ，已知． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明： 点为的中点， ， ， ， 在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，平行四边形的性质和判定，熟练掌握全等三角形、平行四边形的判定方法是解题的关键． （1）由点为的中点可得，由两直线平行，内错角相等，得出，利用即可证明； （2）由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，从而得到，由点为的中点可得，即可求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ，， 四边形是平行四边形， ， 点为的中点，， ， ． 22. 通过对《勾股定理》的学习，我们知道，如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果我们新定义一种三角形——两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做和谐三角形． （1）根据“和谐三角形”的定义，请你判断：等边三角形 和谐三角形．（填写“是”或“不是”） （2）已知某三角形的三边的长分别为，3，，请你判断该三角形是否为和谐三角形？并说明理由． （3）在，三边长分别为a，b，c，且，，请你判断该三角形是否为和谐三角形？并说明理由． 【答案】（1）是 （2）该三角形是和谐三角形，理由见解析 （3）当c为斜边时，该三角形不是和谐三角形，当b为斜边时，该三角形是和谐三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）直接利用和谐三角形的定义进行判断即可； （2）根据及和谐三角形的定义即判断； （3）需要进行分类讨论，当c为斜边，b为斜边时进行分类讨论． 【小问1详解】 解：是，理由如下： 不妨设等边三角形的边长为，则， 则， 所以等边三角形是和谐三角形， 故答案为：是． 【小问2详解】 解：该三角形是和谐三角形． 理由：∵， ∴该三角形是和谐三角形． 【小问3详解】 解：①当c为斜边时，， 而，，，不满足两边的平方和等于第三边平方的2倍， ∴该三角形不是和谐三角形． ②当b为斜边时，， ∵， ∴， ∴该三角形是和谐三角形， 答：当c为斜边时，该三角形不是和谐三角形，当b为斜边时，该三角形是和谐三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，理解和谐三角形的定义是解题的关键． 23. 如图所示，在中，点D、E分别为的中点，点H在线段上，连接，点G、F分别为的中点． （1）求证：四边形为平行四边形 （2），求线段 的长度． 【答案】（1） 解：∵点D、E分别为的中点， ∴， ∵点G、F分别为、的中点． ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线定理得到，，得到，即可证明四边形为平行四边形； （2）由四边形为平行四边形得到，由得到，由勾股定理即可得到线段 的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了中位线定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，证明四边形为平行四边形和利用勾股定理计算是解题的关键． 24. 如图1，在菱形中，，为边上一点，为延长线上一点，． （1）求证：； （2）连接，若，，则________； （3）如图2，交于点 ，延长，交的延长线于点，探究，与的数量关系．并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3），见解析 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质可得为等边三角形，可证，即可求解； （2）连接交于点，由菱形的性质得到垂直平分，，则，是等腰直角三角形，，由勾股定理的计算得到，则，，，则，由即可求解； （3）在上截取，连接，可得为等边三角形，由（1）可知，，则有，可证，得到，由即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ， ， ，， 为等边三角形， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接交于点， ∵四边形是菱形， ∴，平分， ∴垂直平分，， ， 又， ∴是等腰直角三角形，， ，则，， ∴，即， ∴， ∵， ∴，是等腰直角三角形， ∴，则， ； 【小问3详解】 解：在上截取，连接， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形、等边三角形的判定和性质，勾股定理的计算，掌握菱形的性质，特殊角的三角函数值的计算方法，合理构造辅助线是解题的关键． 25. 已知：四边形ABCD是正方形，，点E，F，G，H分别在边A，DC上. （1）如图1，若，，求的度数； （2）如图2，若，点E，F分别是上的动点，求证： 的周长是定值； （3）如图3，若，和交于点O，且，求请直接写出线段的长度. 【答案】（1） （2）是定值40 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，得°，在中可求出的度数； （2）延长到点K，使，连接，构造全等三角形，证明，即可求得的周长； （3）过点D作，交 于点L，作，交于点M，连接，运用（2）中的结论和勾股定理求出的长，再用勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：如图1， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 如图2，延长到点K，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的周长为40，的周长是定值； 【小问3详解】 如图3，作，交 于点L，交 于点P，作，交于点M，交于点Q，连接， ∵，， ∴四边形、四边形、四边形都是平行四边形， ∴，，， ∴； 由（2）得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等，解题关键是正确地作出辅助线构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $