精品解析：江西省吉安市泰和中学初中部2025年初中学业水平模拟测试（一）数学

泰和中学初中部2025年初中学业水平模拟测试（一） 数 学 试 题 卷 说明： 1． 本试题卷满分120分，考试时间为120分钟． 2． 请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其他位置无效． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分． 1. 若把气温零上记为，则表示气温为（ ） A. 零上 B. 零下 C. 零上 D. 零下 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正数和负数．正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：若气温为零上记为，则表示气温为零下， 故选：B． 2. 全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，是一家创新型科技公司．数据显示，随着访问量急速上升，2025年2月1日成为史上最快突破3000万日活跃用户量的应用．数据3000万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：3000万． 故选：C． 3. 下列乐谱符号，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，逐一判断即可． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 4. 某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，可以选择（ ） A. 甲、丁 B. 乙、戊 C. 丙、丁 D. 丙、戊 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用中位数做决策，由图像可知，要使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，则需要选择100克以上的一个盲盒和100克以下的盲盒一个，根据选项即可得出正确的答案． 【详解】解：由图像可知，要使选定7个盲盒质量的中位数仍为100， 则需要从第6号盲盒和第7号盲盒里选择100克以上的一个盲盒和100克以下的盲盒一个， 因此可排除甲、丁，乙、戊，丙、戊 故选：C． 5. 如图，在矩形中，分别以点和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算，勾股定理等知识．根据题意可得，由勾股定理得出，用矩形的面积减去2个扇形的面积即可得到结论． 【详解】解：连接， 根据题意可得， ∵矩形，∴，， 在中，， ∴图中阴影部分的面积． 故选：D． 6. 已知二次函数图象与x轴只有一个交点，且图象过和两点，设，则（ ） A. p的最小值为 B. p的最小值为1 C. p的最大值为 D. p的最大值为1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，先求解，，，再建立二次函数，从而可得答案. 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴只有一个交点， ∴，即，对称轴为直线． ∴， ∵二次函数过和两点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当时，的最小值为， 故选：A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 请写出一个比小的正整数______． 【答案】1或2． 【解析】 【分析】先估算出在哪两个整数之间，即可得出结果． 【详解】解：∵ ∴， ∴比小的正整数有1，2， 故答案为：1或2． 【点睛】题目主要考查的是无理数的估算，解答本题的关键是熟练运用用“夹逼法”估算无理数大小范围． 8. 已知为整式，若计算的结果为，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】由可得，故，从而．本题考查分式混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质和等式的性质． 【详解】解：， ， ， ， ， ； 故答案为： 9. 《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题的大意为：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长为x尺，则绳子长尺，则可以列出方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，根据“长木长绳长的一半尺”列方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 10. 2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，神舟十九号航天员乘组顺利进驻中国空间站．如图，某中学科技小组的同学用形状大小相同的基本图形按照一定规律拼接得到火箭模型图，按照此规律，则第n个图案需要基本图形的个数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探索．观察图形发现，第n个图案中需要个基本图形，即可得到答案． 【详解】解：第1个图案中需要个基本图形， 第2个图案中需要个基本图形， 第3个图案中需要个基本图形， …… 观察发现，第n个图案中需要个基本图形， 故答案为：． 11. 如图，与中， ，，，可以绕点C自由转动，连接，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质、勾股定理及两点之间线段最短的性质，取中点F，连接，证明，得出，则，根据勾股定理求出结论即可． 【详解】解：如下图： ， 点D在以C为圆心为半径的圆上运动， 取中点F，连接， ， ， ， ， ， 当共线时，最小， ， 的最小值为， 故答案为：． 12. 如图，平行四边形在平面直角坐标系中， ， ，．若点M在平面直角坐标系内，点F在直线上（不在坐标轴上），且以A，C，F，M为顶点的四边形为菱形，则所有符合条件的点F的坐标为__________． 【答案】或或或 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质、坐标与图形及菱形的判定，分情况：①是邻边，点F在射线上时；②是邻边，点F在射线上时；③是对角线时，作垂直平分线交射线于点；④是对角线时，的垂直平分线经过点，分别求出即可． 【详解】解：连接， 在中，， ， ，， ， ， 设直线的解析式为，把， 代入， ， 解得：， 直线的解析式为， ①是邻边，点F在射线上时，， 所以点F与B重合， 即，由题意舍去 ②是邻边，点F在射线上时， ∴M在射线上，且垂直平分， ∴， ∴； ③是对角线时，作垂直平分线交射线于点， 设 的中点 在中， ， 解得：， ④是对角线时，的垂直平分线经过点， 设 的中点 在中， ， 解得：或（不合题意舍去） 综上所述，所有符合条件的点F的坐标为或或或． 故答案为：或或或 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）0；（2），． 【解析】 【分析】本题考查的是实数的运算及一元二次方程的解法． （1）分别根据立方根、零指数幂、特殊角的三角函数值计算出各数即可求解； （2）用因式分解法求出方程的解即可． 【详解】解：（1） ； （2）整理得， 因式分解得， ∴，， ∴，． 14. 小宇同学在做练习时，有一道不等式组题是这样的：解不等式组，小宇仿照用解方程组所使用的加减消元法，做了如下的解答： 第一步：由，得； 第二步：化简，得； 第三步：原不等式组的解集为． （1）小宇的解法是从第______步开始出现错误的； （2）请写出正确的解答过程，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）一 （2）解：， 解①得， 解②得， 故该不等式组的解集为， 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式的解法和步骤是解题的关键； （1）按照解一元一次不等式组的步骤，即可判断； （2）先求出两个不等式的解集，再求出公共解，进而可表示在数轴上； 【小问1详解】 解：小宇的解法是从第一步开始出现错误的， 故答案为：一； 【小问2详解】 略 15. 某校组织学生开展以“讲好红色故事，传承红色基因"为主题的研学活动，策划了四条研学线路供学生选择：A．中央红军长征出发地纪念园，B．南昌八一起义纪念馆，C．秋收起义修水纪念馆，D．井冈山革命博物馆，小佳、小文、小雨三位同学各自随机选择一条研学线路． （1）小佳同学选择线路D的概率为 ； （2）请用画树状图法或列表法，求小文、小雨两位同学选择不同线路的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了简单概率公式的计算，列表或树状图求概率，熟悉概率公式和列表或树状图求概率是解题的关键，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数． （1）根据简单概率的公式计算即可，概率=所求情况数与总情况数之比； （2）根据列表法即可求得概率． 【小问1详解】 解：依题意，共四条研学线路，每条线路被选择的可能性相同． 小佳选择线路D的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：依题意，列表可得 小文\小雨 A B C D A B C D 由列表可得，共有16种等可能性结果，其中不同线路的可能结果有12种， 小文、小雨选择不同线路的概率为． 16. 如图，在的正方形网格中，点A，B，C，E均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，过点E作的平行线，交于点F； （2）如图2，在（1）的条件下，作点A关于的对称点． 【答案】（1） 如图1， 线段即为所作； （2） 如图2，点即为所作； 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行的判定与轴对称的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到线段，其与线段相交于点F，此时； （2）由轴对称的性质作出点即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于B，C两点，与x轴，y轴分别交于D，A两点． （1）与的数量关系为 ； （2）若的面积为4，求k的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积． （1）作轴于点，作轴于点，证明是等腰直角三角形，和都是等腰直角三角形，联立得，整理得，由根与系数的关系得，由正弦函数的定义求得，，即可得到； （2）由（1）得，，，根据，列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：， 作轴于点，作轴于点， 令，则，令，则， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴和都是等腰直角三角形， 联立得，整理得， ∴，， 则， 不妨设点的横坐标为，点的横坐标为， ∴，， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵，，，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下． 实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验说明 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，，，；当摆球运动至点C时，，．（点O，A，B，C，D，E在同一平面内） 实验图示 解决问题：根据以上信息，求的长．（结果精确到） 参考数据：，． 【答案】的长为 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，先求解，再求解，从而可得答案； 【详解】解：∵，，； ∴， ， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∴的长为； 19. 如图，在中，是直径，是弦，点F是上一点，，交于点C，点D为延长线上一点，且． （1）求证：是的切线． （2）若，求的半径长． 【答案】（1）证明： ． ， ． 即 ． 又∵为半径， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）圆周角定理推出，根据，结合三角形的内角和定理，推出，即即可得证； （2）连接，易得，直径得到在中，勾股定理求出的长，三角函数求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接． ∴． 是直径， ． 在中，． ． 又是直径 的半径长为． 20. 【课本再现】 我们知道三条边分别相等的两个三角形全等，由此可推出：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等． 【性质证明】 请你根据下面的“已知”和“求证”证明该结论； 已知：如图1，在与中，． 求证：． 【知识应用】 如图2，在梯形中，，点E是边的中点，且平分．若，，求的长． 【答案】【性质证明】 证明：∵和中，， （勾股定理）． ∴． ∵． ∴． 在与中， ． ∴． 【知识应用】7 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证出，由证明即可； （2）根据角平分线这个条件添加辅助线即可． 【详解】解：【性质证明】略 【知识应用】解：作垂足为M，如图所示： ∵平分， ∴， ∵点E为的中点， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试，考虑多种因素影响，需将测试的原始成绩x（分）换算为报告成绩y（分）．已知原始成绩满分150分，报告成绩满分100分、换算规则如下： 当时，； 当时，． （其中p是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线） 公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为p及p以上）为合格． （1）甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若，求甲、乙的报告成绩； （2）丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请推算p的值： （3）下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表： 原始成绩（分） 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 人数 1 2 2 5 8 10 7 16 20 15 9 5 ①直接写出这100名员工原始成绩的中位数； ②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率． 【答案】（1）甲、乙的报告成绩分别为76，92分 （2）125 （3）①130；② 【解析】 【分析】（1）当时，甲的报告成绩为：分，乙的报告成绩为：分； （2）设丙的原始成绩为分，则丁的原始成绩为分，依题意可知，丙的原始成绩合格，则丁的原始成绩不合格，从而列出方程组，解得； （3）①共计100名员工，且成绩已经排列好，则中位数是第50，51名员工成绩的平均数，由表格得第50，51名员工成绩都是130分，故中位数为130；②原始成绩分，报告成绩分合格，得到方程，解得，而由表格得到原始成绩为110及110以上的人数为，故合格率为：． 【小问1详解】 解：当时，甲的报告成绩为：分， 乙的报告成绩为：分； 【小问2详解】 解：设丙的原始成绩为分，则丁的原始成绩为分， ∵丙、丁的报告成绩分别为92分和64分， ∴丙的原始成绩合格，则丁的原始成绩不合格，即， ∴ 解得：，且符合题意， ∴的值为； 【小问3详解】 解：①共计100名员工，且成绩已经排列好， ∴中位数是第50，51名员工成绩的平均数， 由表格得第50，51名员工成绩都是130分， ∴中位数为130； ②∵①中的中位数换算成报告成绩为90分， ∴原始成绩分，报告成绩分合格， ∴，解得， ∴ 由表格得到原始成绩为110及110以上的人数为， ∴合格率为：． 【点睛】本题考查了函数关系式，自变量与函数值，中位数的定义，合格率，解分式方程，熟练知识点，正确理解题意是解决本题的关键． 22. 在平面直角坐标系中，点A，B的横坐标分别为a，，二次函数的图象经过点A，B，且a，m满足（d为常数）． （1）若一次函数的图象经过A，B两点． ①当，时， ； ②若y随x的增大而减小，求d的取值范围． （2）点A，B的位置随着a的变化而变化，设点A，B运动的路线与y轴分别相交于点C，D，线段的长度会发生变化吗？如果不变，求出的长；如果变化，请说明理由． 【答案】（1）①；② （2）不变， 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合运用，正确利用函数的性质进行分析是解决本题的关键． （1）①当时，点的横坐标分别是，把的值代入中可得，然后代入二次函数可得解析式，把横坐标代入二次函数解析式中可得两个点的坐标，代入一次函数解析式可得的值；②把和代入二次函数中，可得两个点的坐标，然后代入一次函数联立可得方程组，解得的值，利用一次函数的性质可得关于的不等式，解不等式即可； （2）先求得点和点的坐标，于是得到点和点运动的路线与字母的函数关系式，则点，于是可得到的长度． 【小问1详解】 解：①当时，点的横坐标分别是， ∴当时，， 解得， ∴二次函数解析式为， ∴把代入二次函数可得， ∴点的坐标是， 把代入二次函数可得， ∴点的坐标是， ∵一次函数的图象经过点和， ， 解得：； ②∵当时，， 当时，， 则， 由得， ， ， ， ∵随着的增大而减小， ， 即， 解得：； 【小问2详解】 解：线段的长度不变． 经过A，B两点，， ， ， 把代入得， ， ∵点在轴上，即， ， 把代入得， ， ， ∴线段的长度不变且． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 【数学思考】（1）如图1，已知和都是等边三角形，点D在上，连接．请探究，和之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】（2）如图2，在四边形中，，垂足为点E，，，，（k为常数），求的长（用含k的式子表示）； 【拓展运用】（3）如图3，等边三角形中，，点E在上， ．点D是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】（1）． 理由如下， ∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）； （3）的长为或 【解析】 【分析】本题主要考查三角形综合题，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键． （1）根据条件易证，再进行线段转化易得答案； （2）由，，推出，将绕点A逆时针旋转得到，连接．则，只要证明，可得，由此即可解决问题． （3）由为直角三角形可知，需要分类讨论确定哪个角是直角三角形，再根据点D的位置关系去讨论即可，因为点D是动点，所以按照前面两问带给我们的思路，去构造类似的全等三角形，进而讨论求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）连接， ∵， ∴， 将绕点A逆时针旋转得到，连接．则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）过E作，则为等边三角形． ①当点D在H左侧时，如图1， ∵， ∴， ∴， 此时不可能为直角三角形． ②当点D在H右侧，且在线段上时，如图2， 同理可得∴， ∴， 此时只有有可能为， 当时，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． ③当点D在H右侧，且延长线上时，如图3，此时只有， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上：的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泰和中学初中部2025年初中学业水平模拟测试（一） 数 学 试 题 卷 说明： 1． 本试题卷满分120分，考试时间为120分钟． 2． 请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其他位置无效． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分． 1. 若把气温零上记为，则表示气温为（ ） A. 零上 B. 零下 C. 零上 D. 零下 2. 全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，是一家创新型科技公司．数据显示，随着访问量急速上升，2025年2月1日成为史上最快突破3000万日活跃用户量的应用．数据3000万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列乐谱符号，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，可以选择（ ） A. 甲、丁 B. 乙、戊 C. 丙、丁 D. 丙、戊 5. 如图，在矩形中，分别以点和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数图象与x轴只有一个交点，且图象过和两点，设，则（ ） A. p的最小值为 B. p的最小值为1 C. p的最大值为 D. p的最大值为1 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 请写出一个比小的正整数______． 8. 已知为整式，若计算的结果为，则_____． 9. 《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题的大意为：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长为x尺，则绳子长尺，则可以列出方程为__________． 10. 2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，神舟十九号航天员乘组顺利进驻中国空间站．如图，某中学科技小组的同学用形状大小相同的基本图形按照一定规律拼接得到火箭模型图，按照此规律，则第n个图案需要基本图形的个数为__________． 11. 如图，与中， ，，，可以绕点C自由转动，连接，则的最小值为__________． 12. 如图，平行四边形在平面直角坐标系中， ， ，．若点M在平面直角坐标系内，点F在直线上（不在坐标轴上），且以A，C，F，M为顶点的四边形为菱形，则所有符合条件的点F的坐标为__________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）解方程：． 14. 小宇同学在做练习时，有一道不等式组题是这样的：解不等式组，小宇仿照用解方程组所使用的加减消元法，做了如下的解答： 第一步：由，得； 第二步：化简，得； 第三步：原不等式组的解集为． （1）小宇的解法是从第______步开始出现错误的； （2）请写出正确的解答过程，并将解集在数轴上表示出来． 15. 某校组织学生开展以“讲好红色故事，传承红色基因"为主题的研学活动，策划了四条研学线路供学生选择：A．中央红军长征出发地纪念园，B．南昌八一起义纪念馆，C．秋收起义修水纪念馆，D．井冈山革命博物馆，小佳、小文、小雨三位同学各自随机选择一条研学线路． （1）小佳同学选择线路D的概率为 ； （2）请用画树状图法或列表法，求小文、小雨两位同学选择不同线路的概率． 16. 如图，在的正方形网格中，点A，B，C，E均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，过点E作的平行线，交于点F； （2）如图2，在（1）的条件下，作点A关于的对称点． 17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于B，C两点，与x轴，y轴分别交于D，A两点． （1）与的数量关系为 ； （2）若的面积为4，求k的值． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下． 实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验说明 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，，，；当摆球运动至点C时，，．（点O，A，B，C，D，E在同一平面内） 实验图示 解决问题：根据以上信息，求的长．（结果精确到） 参考数据：，． 19. 如图，在中，是直径，是弦，点F是上一点，，交于点C，点D为延长线上一点，且． （1）求证：是的切线． （2）若，求的半径长． 20. 【课本再现】 我们知道三条边分别相等的两个三角形全等，由此可推出：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等． 【性质证明】 请你根据下面的“已知”和“求证”证明该结论； 已知：如图1，在与中，． 求证：． 【知识应用】 如图2，在梯形中，，点E是边的中点，且平分．若，，求的长． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试，考虑多种因素影响，需将测试的原始成绩x（分）换算为报告成绩y（分）．已知原始成绩满分150分，报告成绩满分100分、换算规则如下： 当时，； 当时，． （其中p是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线） 公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为p及p以上）为合格． （1）甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若，求甲、乙的报告成绩； （2）丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请推算p的值： （3）下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表： 原始成绩（分） 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 人数 1 2 2 5 8 10 7 16 20 15 9 5 ①直接写出这100名员工原始成绩的中位数； ②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率． 22. 在平面直角坐标系中，点A，B的横坐标分别为a，，二次函数的图象经过点A，B，且a，m满足（d为常数）． （1）若一次函数的图象经过A，B两点． ①当，时， ； ②若y随x的增大而减小，求d的取值范围． （2）点A，B的位置随着a的变化而变化，设点A，B运动的路线与y轴分别相交于点C，D，线段的长度会发生变化吗？如果不变，求出的长；如果变化，请说明理由． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 【数学思考】（1）如图1，已知和都是等边三角形，点D在上，连接．请探究，和之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】（2）如图2，在四边形中，，垂足为点E，，，，（k为常数），求的长（用含k的式子表示）； 【拓展运用】（3）如图3，等边三角形中，，点E在上， ．点D是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $