精品解析：广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学2024-2025学年八年级下学期期中数学试题

2024-2025学年第二学期八年级期中学业质量监测 数学 说明： 1．答题前，考生务必在在答题卡指定位置用黑色字迹的钢笔或签字笔填写考试信息，并用2B铅笔填涂考号． 2．用黑色字迹的钢笔或签字笔在指定区域内作答．如需改动，先划掉原来的答案，再写新答案；作答选择题时，用2B铅笔把对应题目答案的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．不按照以上要求作答，视为无效． 第一部分选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 公元2025年是我国农历乙已年，属蛇年，春节期间，大小媒体会呈现大量以蛇为主题的文案，金蛇献瑞、蛇舞新春!下列年画图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，熟练掌握把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解决此题的关键．根据中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； B、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； C、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； D、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 若分式的值为0，则x的值为（　　） A. 3 B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，若分式的值为零，须同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 3. 下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键； 多项式的因式分解是将多项式变形为几个整式的乘积形式，由此解答即可． 【详解】A．右边不是整式积的形式，故此选项不符合题意； B．，右边括号内不是整式，是分式，不符合因式分解的定义，故本选项不合题意； C．是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； D．是因式分解，故此选项符合题意； 故选：D． 4. 若，且，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的性质得到，在，0，1，2中，即可得到答案． 【详解】解：，且， ， 在，0，1，2中， 故选：A． 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 有一个角是的三角形是等边三角形 B. 若，则 C. 在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上 D. 用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查真假命题，掌握等边三角形的判定、有理数的乘方、角平分线的判定、反证法的应用是解题的关键． 【详解】解：A、有一个角是的三角形是等边三角形，是假命题，例如三个角分别为、、的三角形不是等边三角形，故本选项说法错误，不符合题意； B、若，则，是假命题，例如，而，故本选项说法错误，不符合题意； C、在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，本选项说法正确，符合题意； D、用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 6. 如图1，这是一种太阳能热水器，它是一种环保、经济的家庭热水供应设备，备受大众喜爱．该太阳能安装后，我们可以将其看作（如图2）．为了使其更加牢固，安装工人增加了，两根支架．若支架与地面呈，支架，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，角平分线的性质，先求解，再利用角平分线的性质可得答案． 【详解】解：， ． 又， ， ， ∵， ∴，， ∵，， ∴， 故选C 7. 已知，则的值是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，分解因式，根据平方差公式把所求式子变形为，代入可得所求式子，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：C． 8. 如图，在中，点D为边AB的延长线上一点，，与的平分线相交于点E，连接CD，CE，过点E作，交BC于点G，交AB于点F，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④⑤ D. ①②③④⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的性质，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键． 根据角平分线的定义和三角形内角和可判断①正确；根据角平分线的性质和面积法可判断②正确；根据等腰三角形的性质、角平分线的定义、三角形内角和可判断③正确；根据面积法证明可判断④正确；证明，结合④可判断⑤正确． 【详解】①∵与的平分线相交于点E， ∴， ∴ ，即，故①正确； 作于点H，作于点M，作交的延长线于点N， ∵与的平分线相交于点E， ∴． ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴，故④正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，故⑤正确． 故选D． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 等腰三角形的一个内角为，则顶角的度数为 _____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理．解题的关键是要注意分类讨论，不要漏解．等腰三角形的一个内角是，则该角可能是底角，也可能是顶角，注意分开计算． 【详解】解：若等腰三角形一个底角为，则顶角为； 若等腰三角形的顶角为． 因此这个等腰三角形的顶角的度数为或． 故选答案为：或． 10. 如图，直线 与 相交于点，则关于x的不等式 的解集是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，根据两函数图象的交点坐标可得答案． 【详解】解：当时，函数的图象在函数的图象上方， ∵直线 与 相交于点， ∴不等式 的解集为， 故答案为：． 11. 如果是的一个因式，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式的定义，熟练掌握因式的定义是解题的关键，根据是的一个因式，可得当时，代数式，代入求解即可得到答案． 【详解】解：∵是的一个因式， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 已知平面直角坐标系中存在一点，现将平面直角坐标系向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，此时点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角坐标系中点的平移规律，根据直角坐标系中点的平移规律求解即可． 【详解】解：将平面直角坐标系向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，相当于将点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 点的坐标为， 故答案为：． 13. 如图，为的高，点E为的垂直平分线与的交点，的平分线与的相交于点F，若，且．则的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，由线段垂直平分线的性质可得，则，进而可证明，则可推出，再由，可根据线段的和差关系证明． 【详解】解：如图，连接， ∵点E为的垂直平分线与的交点， ∴， ， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵为的高， ∴， ∵， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. （1）因式分解：． （2）解方程： （3）解不等式：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，解分式方程，解一元一次不等式，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）提取公因式即可分解因式； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可得到答案； （3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ， ， ， 检验，时，． 是原分式方程的解． （3）解：， ， ， ， ． 15. 先化简，再从，，，中选取一个适合的数代入求值． 【答案】，时，原式，时，原式. 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内分式的加减运算，再计算分式的除法运算，再结合分式有意义的条件代入计算即可. 【详解】解： 且 ∴当时，原式； 当时，原式. 16. 解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】， 在数轴上表示为： 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 故原不等式组的解集为：， 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点， （1）画出绕点顺时针旋转的图形，并直接写出点的坐标． （2）画出先向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度的图形 （3）若与关于某点中心对称，则该点的坐标为______． 【答案】（1） 如图所示，点； （2） 如图所示； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了作中心对称图形，平移作图， （1），将三个顶点绕点O顺时针旋转得到点，再依次连接得到三角形，然后得出坐标即可； （2），按照要求平移，作出图形即可； （3），连接三对对应点，对应点连线的交点即为答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，点D为对称中心，其坐标为． 故答案为：． 18. 如图，在中，，平分，交于点D． （1）求作：射线，使得，垂足为点E；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，与相交于点F， ①若，求的度数； ②证明：． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求． （2）①； ②证明：平分， ， ， ， ， 【解析】 【分析】本题主要考查基本作图---作垂线，角平分线的定义，正确作图是解答本题的关键． （1）根据“过直线外一点作已知直线的垂线”作图即可； （2）①先求出，得，根据直角三角形两锐角互余可得结论； ②证出，由可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①， ， ， ， ， 平分， ， ； ②略 19. 据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． （1）求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ （2）因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？ 【答案】（1）购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元 （2）最少要花3210元钱 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设设购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，再依题意列出，进行计算，即可作答． （2）先设该玩具店购进种哪吒玩偶个，则该玩具店购进种哪吒玩偶个，根据种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，得，解得，再设购进、两种哪吒玩偶所需元，得，运用一次函数的性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍， ∴设购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元， ∵某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．购进两种玩偶的数量共15个． ∴， 解得， 经检验：是原分式方程的解， 则（元） ∴购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元， 【小问2详解】 解：∵该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个， ∴设该玩具店购进种哪吒玩偶个，则该玩具店购进种哪吒玩偶个， ∵种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍， ∴， 解得， 设购进、两种哪吒玩偶所需元， ∵、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元， ∴， ∵， ∴随着的增大而减小， ∵，且为正整数， ∴当时，有最小值，且． 20. 已知：中，，点为上一点，连接并延长至点，连接，使． （1）【初步探究】如图，当时，求证：．为了解决这一问题，八年级班数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：“在上截取，连接，如图，通过证明可推出，再证出为等边三角形，从而顺利得到这一结论”，请你按照该思路写全证明过程； （2）【深入领会】如图，当时，（）中结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出结论： ； （3）【问题解决】如图，在（）的条件下，在上截取，连接，点在上，连接，且，，，求的长． 【答案】（1） 证明：在上截取，连接，如图所示， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 即； （2）结论不成立， （3） 【解析】 【分析】（）在上截取，连接，可证，可得，，进而可得为等边三角形，即得，即得到，即可求证； （）在上截取，连接，同理（）可得为等腰直角三角形，即得，进而即可求证； （）连接，过点作于点，同理（）可得为等腰直角三角形，即得，即可得，进而得到，，再根据直角三角形的性质得，由勾股定理得，利用等腰直角三角形性质得，又得，最后根据勾股定理得，据此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：（）中结论不成立，，理由如下： 在上截取，连接，如图所示， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：连接，过点作于点，如图所示， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ∵， ， 即， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形，， ， ，， ， ， ， ， 解得， 的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期八年级期中学业质量监测 数学 说明： 1．答题前，考生务必在在答题卡指定位置用黑色字迹的钢笔或签字笔填写考试信息，并用2B铅笔填涂考号． 2．用黑色字迹的钢笔或签字笔在指定区域内作答．如需改动，先划掉原来的答案，再写新答案；作答选择题时，用2B铅笔把对应题目答案的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．不按照以上要求作答，视为无效． 第一部分选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 公元2025年是我国农历乙已年，属蛇年，春节期间，大小媒体会呈现大量以蛇为主题的文案，金蛇献瑞、蛇舞新春!下列年画图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若分式的值为0，则x的值为（　　） A. 3 B. C. D. 0 3. 下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，且，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 有一个角是的三角形是等边三角形 B. 若，则 C. 在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上 D. 用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设 6. 如图1，这是一种太阳能热水器，它是一种环保、经济的家庭热水供应设备，备受大众喜爱．该太阳能安装后，我们可以将其看作（如图2）．为了使其更加牢固，安装工人增加了，两根支架．若支架与地面呈，支架，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的值是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8. 如图，在中，点D为边AB的延长线上一点，，与的平分线相交于点E，连接CD，CE，过点E作，交BC于点G，交AB于点F，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④⑤ D. ①②③④⑤ 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 等腰三角形的一个内角为，则顶角的度数为 _____________． 10. 如图，直线 与 相交于点，则关于x的不等式 的解集是____． 11. 如果是的一个因式，则的值为_______． 12. 已知平面直角坐标系中存在一点，现将平面直角坐标系向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，此时点的坐标为________． 13. 如图，为的高，点E为的垂直平分线与的交点，的平分线与的相交于点F，若，且．则的值为_______． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. （1）因式分解：． （2）解方程： （3）解不等式：． 15. 先化简，再从，，，中选取一个适合的数代入求值． 16. 解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点， （1）画出绕点顺时针旋转的图形，并直接写出点的坐标． （2）画出先向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度的图形 （3）若与关于某点中心对称，则该点的坐标为______． 18. 如图，在中，，平分，交于点D． （1）求作：射线，使得，垂足为点E；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，与相交于点F， ①若，求的度数； ②证明：． 19. 据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． （1）求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ （2）因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？ 20. 已知：中，，点为上一点，连接并延长至点，连接，使． （1）【初步探究】如图，当时，求证：．为了解决这一问题，八年级班数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：“在上截取，连接，如图，通过证明可推出，再证出为等边三角形，从而顺利得到这一结论”，请你按照该思路写全证明过程； （2）【深入领会】如图，当时，（）中结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出结论： ； （3）【问题解决】如图，在（）的条件下，在上截取，连接，点在上，连接，且，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $