福建省莆田市莆田第十中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

2024-2025学年莆田第十中学高二年级下学期期中考试卷

数学试题

一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知函数，则（    ）

A．    B．    C．     D．

2．设向量不共面，已知，若三点共线，则（   ）

A．-3    B．1    C．2     D．3

3．甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（    ）

A．24种    B．48种    C．72种                                            D．96种

4．定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是（    ）

A．函数在区间上单调递增     B．函数在区间上单调递减

C．函数在处取得极大值      D．函数在处取得极小值

5．数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是（    ）

A．  B．  C．   D．

6．的展开式中含项的系数为（    ）

A．8    B．12    C．     D．

7．已知，，且，则下列选项中不正确的是（   ）

A．   B．   C．    D．

8．已知，对任意，且时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A．   B．   C．    D．

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9．下列运算错误的是（   ）

A．        B．

C．         D．

10．若，则下列结论中正确的是（    ）

A．          B．

C．          D．

11．已知正四棱台，棱台的高为分别为，的中点，则（    ）

A．平面         B．异面直线与所成角的余弦值为

C．点到平面的距离为     D．平面与平面所成角的余弦值为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12．已知函数，则曲线在处的切线方程为__________．

13．数列中，且，是等比数列，则____________．

14．已知事件满足：，则____________．

四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（13分）已知函数．

(1)求的单调区间；

(2)求在区间上的最大值和最小值．

 

 

 

 

 

 

 

16．（15分）已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，，，，成等差数列．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和．

17．（15分）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，

，，，为中点，点在上，且．

  

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值；

 

 

 

18．（17分）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中．某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球､2个白球，乙箱中有4个红球､1个白球．

(1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率；

(2)抛一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球．求抽到的球是红球的概率；

(3)在(2)的条件下，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率．

 

 

 

 

 

 

19．（17分）对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．

(1)若函数，，，求函数和的“分界线”；

(2)已知函数满足对任意的，恒成立．

①求实数的值；

②设函数，试探究函数与是否存在“分界线”?若存在，请加以证明，并求出，的值；若不存在，请说明理由．