专题02：不等式 （六大易错点通关训练）——2025届高三数学满分冲刺【基础提升练+易错题型练+综合热点练】 上海专用

2025年上海高考数学满分冲刺易错题型专项训练（二） 不等式 易错点01　忽略不等式性质成立的前提条件 【避错攻略】 1 不等式的性质及推论 2 判断不等关系成立的常用方法： （1） 直接利用不等式的性质进行推理判断.； （2） 比较法：一是作差比较：即作差、变形、判断差式与0的大小、下结论；二是作商法：即作商、变形、判断商式与1的大小、下结论. （3） 构造函数利用函数的单调性； （4） 特殊值排除法. 【例1】（24-25高三上·上海浦东新·期末）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式的性质举反例可得ABD错误；作差由完全平方可得C正确； 【详解】对于A，令，满足，但，故A错误； 对于B，令，满足，但，故B错误； 对于C，因为实数、满足，所以，故C正确； 对于D，令，满足，但，故D错误； 故选：C. 【例2】（2024·上海杨浦·二模）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举例说明判断ABD；利用不等式的性质推理判断C. 【详解】对于ABD，取，满足， 显然，，，ABD错误； 对于C，，则，C正确. 故选：C 【例3】（24-25高三上·上海浦东新·期末）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式的性质举反例可得ABD错误；作差由完全平方可得C正确； 【详解】对于A，令，满足，但，故A错误； 对于B，令，满足，但，故B错误； 对于C，因为实数、满足，所以，故C正确； 对于D，令，满足，但，故D错误； 故选：C. 【跟踪训练】 1．（24-25高三上·上海·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质判断，错误的可举例说明． 【详解】，例如，此时，，，ABC均错； 时，，，即，D正确． 故选：D． 2．已知，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，令，显然有，，而，A错误； 对于B，由，知，令，显然有，而，B错误； 对于C，由，，得，因此，C正确； 对于D，若，令，有，而，D错误. 故选：C 3．若​，则下列不等式中正确的是（    ） A．​B．​C．​D．​ 【答案】D 【详解】因为，所以，则. 所以即，AB错误. 因为，所以，则，​C错误. 因为，所以 则，​D正确. 故选：D 4．已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对A，举反例；对B，举反例；对C，根据不等式性质推理可得；对D，举反例说明. 【详解】对于A，当时，不满足，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，因为，所以，所以，则，故C正确； 对于D，当时，不满足，故D错误. 故选：C. 5．若实数，则下列不等式一定不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质判断A，根据对数函数的性质判断B，利用特殊值判断C，根据幂函数的性质判断D. 【详解】因为在定义域上单调递减且，所以，故A正确； 因为在定义域上单调递增且，所以，故B正确； 当时，，故C不正确； 因为在定义域上单调递增且，所以，故D正确. 故选：C. 6．已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，分别举出反例即可判断ABD，由指数函数的单调性，即可判断C. 【详解】取，满足，但是，故A错误； 取，满足，但是，故B错误； 因为在上单调递减，由可得，故C正确； 取，满足，但是，故D错误； 故选：C 易错点02　解分式不等式时变形不等价 【例4】（2024·上海崇明·一模）不等式的解为 ． 【答案】 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式后可求原不等式的解. 【详解】不等式的解即为， 故原不等式的解为， 故答案为： 【例5】（24-25高一上·上海·期中）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由得或，进而根据概念直接求解即可. 【详解】解：解不等式得：或， 因为是或的真子集， 所以，是或的充分不必要条件， 即“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【跟踪训练】 1.解不等式; ． 【错解】原不等式可化为：，因为， 所以，所以，故原不等式的解集为：． 【错因】错误是由于随意消项造成的，事实上，当时，原不等式亦成立． 【正解】原不等式可化为：或，解得或或． 所以原不等式的解集为： 2.解不等式; ． 【错解】不等式两边同乘以得：，解得， 所以原不等式的解集为．[来源:学*科*网Z*X*X*K] 【错因】两边同乘以，导致错误 【正解】原不等式可化为：，解得或， 所以原不等式的解集为．[来源:学科网ZXXK] 3．不等式的解集为（    ） A．R B． C． D． 【答案】C 【分析】判断分母的正负，再去分母求解即得. 【详解】由，得. 故选：C 4．不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据条件，利用分式不等式的解法即可求出结果. 【详解】由，得到， 等价于，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 5．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知不等式的解集为，若，则实数的取值范围为 【答案】或 【分析】根据条件，利用分式不等式的解法，得到，再结合，从而得到，即可求解. 【详解】由，得到，等价于， 因为，则有，即，解得或， 故答案为：或. 易错点03　一元二次型不等式恒成立问题混淆范围 注意：在区间D上恒成立不适用，应使用分离参数 【例6】（2025上海高三阶段练习）若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是(　 ) A．(－2,2) B．(2，＋∞) C．(－2,2] D．[－2,2] 【错解】原不等式可整理为(2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0. 由题意知必须满足解得－2＜m＜2 .综上知实数m的取值范围是(－2,2）．选A 【错因】没有对二次项系数2－m讨论。 【正解】 【答案】C 【解析】原不等式可整理为(2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0. 当m＝2时，不等式为4＞0，该不等式恒成立； 当m≠2时，必须满足解得－2＜m＜2 .综上知实数m的取值范围是(－2,2]． 【例7】（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考开学考试）对任意的，不等式都成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分离参数得对任意的恒成立，则求出即可. 【详解】因为对任意的，都有恒成立， ∴对任意的恒成立． 设， ，， 当，即时，， ∴实数a的取值范围是. 故选：D. 【例8】（24-25上海高三阶段练习）若函数的定义域为，则实数取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知，在上恒成立，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，可得出，综合可解得实数的取值范围. 【详解】由题意，函数的定义域为， 等价于在上恒成立， 若，则在上恒成立，满足条件； 若，则，解得. 综上，实数的取值范围是， 故选：A． 【跟踪训练】 1.若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（    ） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】由不等式恒成立，确定，且，再由基本不等式即可求解. 【详解】当时，不可能对任意的恒成立，不满足要求， 当时，开口向下，不满足题意， 所以， 令，得， 当时，不等式对任意的恒成立， 所以，即，且， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4. 故选：B. 2.已知关于x的不等式在上有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离参数，转化为不等式的存在问题进行求解，构造均值不等式求得最值，从而得到结果. 【详解】当时，由可得， 因为，由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立，故. 故选：B. 3.若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将命题是假命题转化为其否定是真命题进行分析，通过换元转化为一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题，通过分离参数求最值得到最终结果. 【详解】由题意，命题“”是假命题， 等价于其否定“”是真命题， 令，则对恒成立， 即，需满足， 而，，当且仅当，即时取等号. 所以，即. 故选：A. 易错点04　解含参不等式讨论不全 【例9】已知集合，集合，命题：， 命题：，若是的充分条件，求实数的取值范围. 【错解】因为，，若是的充分条件，则． 因为 则，，，解得． 实数的取值范围是． 【错因】因为参数a的范围不定，所以a与2a-1的大小关系不定，故需对两根大小分类讨论。 【正解】 【答案】. 【详解】，，若是的充分条件，则． 因为 当时，，显然成立； 当时，，，，解得； 当时，，，，解得． 实数的取值范围是． 【例10】解关于的不等式：（其中）． 【答案】答案见解析 【分析】因式分解，结合分类讨论，根据一元二次不等式的解的性质即可求解. 【详解】因为，不等式可化为，下面分类讨论： ①当，即时，不等式化为，此时不等式无解； ②当，即时，解得； ③当，即时，解得； 综上：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 【跟踪训练】 1.若关于x的不等式的解集中恰有3个正整数，则实数m的取值范围为（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求原不等式解集，按m与3的大小分类讨论，使得m的取值满足题意即可. 【详解】原不等式等价于 有两根 当时，原不等式解集为， 其中最多只有2个正整数1和2，故不满足题意. 当时，原不等式解集为， 其中恰有3个正整数只能为4、5、6， 故. 故选：A. 2.不等式的解集为，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】由题意可得恒成立，分别对，，讨论， 结合二次不等式、二次函数图像与性质即可求出答案. 【详解】由不等式的解集为等价于恒成立， 当时，成立，符合条件； 当时，根据二次函数图像开口向上，肯定会有函数值大于0，故不符合； 当时，只需让，解得， 综上所述，a的取值范围为， 故答案为： 3.已知关于的一元二次不等式的解集为 (1)求和的值 (2)求不等式的解集 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解、根与系数关系列方程组来求得. （2）先因式分解，进而求得不等式的解集. 【详解】（1）依题意，关于的一元二次不等式的解集为 所以，解得. （2）由于，所以不等式， 即，由于， 所以不等式的解集为， 所以不等式的解集. 易错点05　多变量不等式问题混淆主元 【例11】已知对任意，恒成立，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对任意，不等式恒成立， 即对任意，恒成立， 所以对任意，恒成立， 所以对任意，， 所以，解得， 故实数x的取值范围是． 故选：D． 【跟踪训练】 1．已知二次函数，对任意都有，且． (1)求函数的解析式； (2)若对于，不等式恒成立，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以函数关于对称， 则，解得， 所以； （2）不等式即为， 当时，则恒成立， 而， 所以，即， 因为， 所以； 当时，恒成立，此时； 当时，则恒成立， 而， 所以，解得， 综上所述，的取值范围为． 2．已知时，不等式恒成立，则x的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题意，因为当，不等式恒成立， 可转化为关于a的函数， 则对任意恒成立， 则满足， 解得， 即x的取值范围为． 故答案为： 3．设二次函数. (1)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围； (2)若存在，使得函数值成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）对任意实数恒成立， 即对任意实数恒成立， 因为是关于的一次函数， 所以 所以实数的取值范围是； （2）存在，使得成立，即， 只需成立，即需成立， 因为 所以（当且仅当时等号成立）， 则， 所以， 综上得实数的取值范围是：. 易错点06　基本不等式求最值忽略前提条件 忽视基本不等式成立的前提“正数”、忽视基本不等式取等的条件、多次使用基本不等式，忽视等号是否同时成立 【例12】（2024·上海松江·一模）已知，以下四个数中最大的是（    ） A．b B． C． D． 【答案】D 【分析】首先得，而、都是正数，故只需让它们的平方作差与0比较大小即可. 【详解】由题意，所以， 由基本不等式可得，同时注意到，所以， ， 而、都是正数，所以. 故选：D. 【例13】（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知，则下列结论不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用作差法即可判断A；根据基本不等式即可判断BD；根据绝对值的三角不等式即可判断C. 【详解】对于A，，当且仅当时取等号， 所以，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，， 当且仅当，即时，取等号， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以，故D正确. 故选：B. 【例】已知两个正实数，满足，求的最小值． 【错解】由已知得，，所以最小值是2．[来源:学*科*网Z*X*X*K][来源:学科网] 【错因】两次使用基本不等式，其中等号成立必须满足，而的等号成立时，必须有，因为均为正数，所以两个等号不会同时成立，所以上述解法是错误的． 【正解】，当且仅当且， 即时取等号，，即最小值为． 【例14】（24-25高三上·上海嘉定·期中）已知，则下列结论不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用特殊值、绝对值不等式、基本不等式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，当时，，所以A选项错误. B选项，， 所以，所以B选项正确. C选项，， 当且仅当时等号成立，所以C选项正确. D选项， ， 当且仅当时等号成立，所以D选项正确. 故选：A 【例15】（2023秋·四川泸州·高三统考期末）函数在时有最大值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式求出，得出函数的最大值为，从而求出和的值． 【详解】解：因为时，，当且仅当，即时取“”， 所以函数，解得，， 所以． 故选：C． 【例16】当时，不等式恒成立，则的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【错解】当时，由得. ，.，故选B。 【错因】令，即，而，所以不成立，即使用基本不等式求最值时，没有考虑等号问题。 【正解】 【答案】A 【解析】 当时，由得.令， 则易知在上是减函数，所以时， 则∴. 【跟踪训练】 1.已知递增等差数列中，，则的（ ） A．最大值为 B．最小值为4 C．最小值为 D．最大值为4或 【错解】因为，由等差数列通项公式,设公差为,可得，变形可得，而由等差数列通项公式可知， 当且仅当时取得等号，所以的最大值为4，选A。 【错因】因为数列为递增数列,所以，由已知得，则，而错解中把当成正值。 【正解】 【答案】B 【解析】因为，由等差数列通项公式,设公差为,可得，变形可得，因为数列为递增数列,所以，即，而由等差数列通项公式可知，由,结合基本不等式可得，当且仅当时取得等号，所以的最小值为4。 2.的值可以为（    ） A． B． C．8 D．9 【答案】B 【分析】分，两种情况求得的取值范围，可得结论. 【详解】当时， ， 当且仅当，即时取等号， 当时， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的取值范围为. 故选：B. 3.已知，则的最小值为（   ） A．2 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】将目标式化为，利用基本不等式求和的最小值，注意等号成立条件. 【详解】由，则、， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为6. 故选：C 4.函数在区间上的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由于，所以， 故， 当且仅当，即时取等号，故函数的最小值为5. 故选：D. 5.已知且，则的最小值为（    ） A． B．7 C．15 D． 【答案】C 【分析】依题意可得，对变形可得原式，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】，且，， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 即的最小值为. 故选：C． 6.已知正数满足，则的最小值是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【分析】利用“1”的妙用和代入消元思想，借助于基本不等式即可求得所求式的最小值. 【详解】由可得，因，则， 于是， 因，当且仅当时等号成立， 即，时，的最小值为. 故选：D. 一、选择题 1．已知，则下列关系式正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】A 【详解】A选项，因为，故在上单调递增， 因为，所以，A正确； B选项，因为，所以，因为，所以，B错误； C选项，若，则在R上单调递减， 因为，所以，C错误； D选项，因为，所以， 因为，则，故，D错误. 故选：A 2．对于实数，，，下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】D 【详解】解：对于A：时，不成立，A错误； 对于B：若，则，B错误； 对于C：令，代入不成立，C错误； 对于D：若，，则，，则，D正确； 故选：D． 3．已知实数a，b满足，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】选项A，由得，∴，故A正确； 选项B，取，，可得，，不满足，故B错误； 选项C，， ∵，所以，故， ∴，故C正确； 选项D，设函数，，则， 当时，，单调递减， 故时，，即，故，故D错误. 故选：AC 4.使不等式成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分式不等式化简可得或，即可根据真子集关系求解. 【详解】由可得，解得或， 设不等式成立的一个必要不充分条件构成的集合是, 则是的一个真子集，结合选项可知可以为， 故选：D 5．已知函数，若不等式在上恒成立，则满足要求的有序数对有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】B 【详解】由题意若不等式在上恒成立， 则必须满足，即， 由，两式相加得， 再由，两式相加得， 结合（4），（5）两式可知，代入不等式组得， 解得， 经检验，当，时，， 有，，满足在上恒成立， 综上所述：满足要求的有序数对为：，共一个. 故选：B. 6．“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，恒成立， 当时，则，解得， 综上所述，不等式恒成立时，， 所以选项中“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是. 故选：D. 7．已知当时，不等式：恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，由得， 因，故，当且仅当即时等号成立， 因当时，恒成立，得， 故选：C 8．已知集合中恰有两个元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由集合中恰有两个元素，得， 解得． 故选：B． 9．关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，若，则原不等式可化为，显然恒成立；若，则原不等式可化为，不恒成立，所以舍去；当时，因为的解集为，所以只需且，解得.综上，实数a的取值范围为. 10.已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合、，利用并集的定义可求得集合. 【详解】因为， 由可得，解得，则， 因此，. 故选：D. 11.已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式求得集合，利用集合交集的定义求得结果． 【详解】由等价于，即， 则，解得，故， 所以. 故选：C. 12.关于的不等式的解集为空集，则实数k的取值范围是（       ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解集规律列式计算作答. 【详解】因不等式的解集为空集，则当时，不成立，因此，满足题意， 当时，必有，解得， 综上得， 所以实数k的取值范围是：. 故选：A 二、填空题 13.不等式的解集为 . 【答案】 【分析】把分式不等式转化为整式不等式求解． 【详解】, 故答案为：． 14.若，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】解法1：利用参变分离结合对勾函数的单调性分析运算；解法2：根据恒成立问题结合二次函数的性质分析运算. 【详解】解法1： 时，，则，即， 故在上恒成立， 令，则，故， ∵在上单调递减，在上单调递增，且， ∴当时，，则， 故，即的取值范围为． 解法2： 令开口向上， 若，则，解得， 故的取值范围为． 故答案为：. 15.设集合，若，则实数的取值范围是____________； 【答案】 【解析】，因为， 当时，，，此时，，满足题设； 当时，，，要使，需满足，即； 综上所述， 16.若，，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 ，（前一个等号成立条件是，后一个等号成立的条件是，两个等号可以同时取得，则当且仅当时取等号）. 17.函数f（x）＝＋1的最小值为________． 【答案】＋1 【分析】先对函数进行化简，然后利用对勾函数的单调性可求出有最小值. 【详解】f（x）＝＋1＝＋1＝＋＋1， 令，t∈[，＋∞）， 则函数f（x）可转化为g（t）＝t＋＋1，t∈[，＋∞）．令u（t）＝t＋（t≥）， 则由u（t）在[，＋∞）上单调递增可知，u（t）≥＋＝， 则g（t）≥， 所以函数f（x）的最小值为； 故答案为：. 18．（2021秋·上海静安·高三校考期中）已知，则函数的最大值是__. 【答案】 【分析】利用基本不等式求最值，注意“一正二定三相等”，要对式子变形后再使用. 【详解】因为，所以，， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 所以时，的最大值是. 故答案为：. 19．（2023春·上海嘉定·高三统考阶段练习）不等式的解集为______. 【答案】 【分析】根据分式不等式的解法，即可得到结果. 【详解】因为，即，解得， 所以不等式的解集为 故答案为: 20．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】先移项，根据不等式是否为二次不等式分类讨论，当是一次不等式，若对恒成立，只需是恒等式，若是二次不等式，只需开口向上且判别式小于零，建立不等式解出即可. 【详解】解：原不等式可化为对恒成立． （1）当时，若不等式对恒成立， 只需，解得； （2）当时，若该二次不等式恒成立， 只需，解得， 所以； 综上：. 故答案为： 21．（2023·全国·高三专题练习）函数，若恒成立，则实数x的取值范围是___________． 【答案】 【分析】采用变换主元的策略，看作关于的一次函数，利用端点函数值不小于0建立不等式组求解即可. 【详解】令，当时，恒成立， 只需 即 解得或． 所以实数x的取值范围是． 故答案为： 22.若对任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】变形给定的不等式，构造二次函数，利用二次函数在闭区间上的最大值不大于0求解作答. 【详解】，， 令，，依题意，，， 而函数是二次项系数为正的二次函数，因此有，即，解得， 所以实数m的取值范围是. 故答案为： 三、解答题 23．已知函数. （1）若，，求函数的最小值； （2）若，解关于的不等式. 【答案】（1）8；（2）当时， ；当时，；当时，；当时，；当时，. 【解析】（1）若，，则，∵， ∴，当且仅当，即时取得最小值8； （2）若，则. 1、若，化为，即； 2、若，的两根为1，. 若，则，则不等式的解集为； 若，则，则不等式的解集为； 若，化为，； 若，则，则不等式的解集为. 综上，当时， ；当时，；当时，；当时，；当时，. 24．已知二次函数（，为实数） (1)若时，且对，恒成立，求实数的取值范围； (2)若时，且对，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）将，代入得 ∴对恒成立， 即对恒成立， 当时，由于在上单调递增，故， ∴，， 令， 则， 当且仅当，即时等号成立， ∴； （2）由题意， 变更主元：令为主元，视为参数， 令，对，恒成立， 故只需，即， 解得. 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海高考数学满分冲刺易错题型专项训练（二） 不等式 易错点01　忽略不等式性质成立的前提条件 【避错攻略】 1 不等式的性质及推论 2 判断不等关系成立的常用方法： （1） 直接利用不等式的性质进行推理判断.； （2） 比较法：一是作差比较：即作差、变形、判断差式与0的大小、下结论；二是作商法：即作商、变形、判断商式与1的大小、下结论. （3） 构造函数利用函数的单调性； （4） 特殊值排除法. 【例1】（24-25高三上·上海浦东新·期末）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2024·上海杨浦·二模）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25高三上·上海浦东新·期末）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（24-25高三上·上海·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．若​，则下列不等式中正确的是（    ） A．​B．​C．​D．​ 4．已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．若实数，则下列不等式一定不成立的是（   ） A． B． C． D． 6．已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 易错点02　解分式不等式时变形不等价 【例4】（2024·上海崇明·一模）不等式的解为 ． 【例5】（24-25高一上·上海·期中）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【跟踪训练】 1.解不等式; ． 2.解不等式; ． 3．不等式的解集为（    ） A．R B． C． D． 4．不等式的解集为 ． 5．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知不等式的解集为，若，则实数的取值范围为 易错点03　一元二次型不等式恒成立问题混淆范围 注意：在区间D上恒成立不适用，应使用分离参数 【例6】（2025上海高三阶段练习）若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是(　 ) A．(－2,2) B．(2，＋∞) C．(－2,2] D．[－2,2] 【例7】（2023七宝中学春开学考试）对任意的，不等式都成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例8】（24-25上海高三阶段练习）若函数的定义域为，则实数取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（    ） A． B．4 C．5 D． 2.已知关于x的不等式在上有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 易错点04　解含参不等式讨论不全 【例9】已知集合，集合，命题：， 命题：，若是的充分条件，求实数的取值范围. 【例10】解关于的不等式：（其中）． 【跟踪训练】 1.若关于x的不等式的解集中恰有3个正整数，则实数m的取值范围为（        ） A． B． C． D． 2.不等式的解集为，则实数a的取值范围是______． 3.已知关于的一元二次不等式的解集为 (1)求和的值 (2)求不等式的解集 易错点05　多变量不等式问题混淆主元 【例11】已知对任意，恒成立，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．已知二次函数，对任意都有，且． (1)求函数的解析式； (2)若对于，不等式恒成立，求x的取值范围． 2．已知时，不等式恒成立，则x的取值范围为 ． 3．设二次函数. (1)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围； (2)若存在，使得函数值成立，求实数的取值范围. 易错点06　基本不等式求最值忽略前提条件 忽视基本不等式成立的前提“正数”、忽视基本不等式取等的条件、多次使用基本不等式，忽视等号是否同时成立 【例12】（2024·上海松江·一模）已知，以下四个数中最大的是（    ） A．b B． C． D． 【例13】（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知，则下列结论不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【例】已知两个正实数，满足，求的最小值． 【例14】（24-25高三上·上海嘉定·期中）已知，则下列结论不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【例15】（2023秋·四川泸州·高三统考期末）函数在时有最大值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例16】当时，不等式恒成立，则的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【跟踪训练】 1.已知递增等差数列中，，则的（ ） A．最大值为 B．最小值为4 C．最小值为 D．最大值为4或 2.的值可以为（    ） A． B． C．8 D．9 3.已知，则的最小值为（   ） A．2 B． C．6 D． 4.函数在区间上的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5.已知且，则的最小值为（    ） A． B．7 C．15 D． 6.已知正数满足，则的最小值是（    ） A． B．6 C． D． 一、选择题 1．已知，则下列关系式正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 2．对于实数，，，下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 3．已知实数a，b满足，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4.使不等式成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，若不等式在上恒成立，则满足要求的有序数对有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 6．“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 7．已知当时，不等式：恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知集合中恰有两个元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 10.已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 11.已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 12.关于的不等式的解集为空集，则实数k的取值范围是（       ） A． B． C．或 D． 二、填空题 13.不等式的解集为 . 14.若，则的取值范围为__________． 15.设集合，若，则实数的取值范围是____________； 16.若，，则的最小值为___________. 17.函数f（x）＝＋1的最小值为________． 18．（2021秋·上海静安·高三校考期中）已知，则函数的最大值是__. 19．（2023春·上海嘉定·高三统考阶段练习）不等式的解集为______. 20．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是________． 21．（2023·全国·高三专题练习）函数，若恒成立，则实数x的取值范围是___________． 22.若对任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围是_________． 三、解答题 23．已知函数. （1）若，，求函数的最小值； （2）若，解关于的不等式. 24．已知二次函数（，为实数） (1)若时，且对，恒成立，求实数的取值范围； (2)若时，且对，恒成立，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$