精品解析：湖南省长沙市湖南师大附中教育集团联考2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题

2024—2025下学期七年级期中考试 数学试题 注意事项： 1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 在这四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，掌握负数小于零、负数的绝对值越大、自身反而越小成为解题的关键． 直接比较各数的大小即可解答． 【详解】解：∵， ∴最小的是，D选项符合题意． 故选D． 2. 下列四幅图中，和是同旁内角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角，对顶角，理解对顶角，同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． 根据同位角、内错角、同旁内角的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A. 和是对顶角，不合题意， B. 和是内错角，不合题意， C. 和是同旁内角，符合题意， D. 和不是同旁内角，不合题意， 故选：C 3. 如图所示的图案分别是奔驰、奥迪、大众、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．根据平移不改变图形的形状和大小，将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是B． 【详解】解：A、图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意； B、图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，故符合题意； C、图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意； D、图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意． 故选：B． 4. 如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ） A. （5，2） B. （-6，3） C. （-4，-6） D. （3，-4） 【答案】C 【解析】 【分析】根据点在第三象限点的坐标特点，即可解答． 【详解】解：根据题意得：小手盖住的点位于第三象限， A.（5，2）在第一象限，故本选项不符合题意； B.（-6，3）在第二象限，故本选项不符合题意； C.（-4，-6）在第三象限，故本选项符合题意； D.（3，-4）在第四象限，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了点在第三象限时点的坐标特征，比较简单．注意四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 5. 古代有一首歌谣是这样说的：栖树一群鸦，鸦树不知数．三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？若设鸦有只，树有棵，则由题意可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：由题意可得：， 故选C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 6. 下列命题中假命题是（ ） A. 平移不改变图形的形状和大小 B. 负数的平方根是负数 C. 对顶角相等 D. 在同一平面内，若，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查真假命题、平移、平方根、对顶角及平行线的性质，正确理解这些概念是解题的关键；根据平方根、平移、对顶角和平行线的性质判断各命题的真假即可． 【详解】解：∵负数没有平方根，∴ “负数的平方根是负数”是假命题；故B选项是假命题； A选项：平移不改变图形的形状和大小，是真命题； C选项：对顶角相等，是真命题； D选项：在同一平面内，若，则，是真命题； 故选B． 7. 在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．已知某微观粒子的能量E可以用公式表示，当，时，该微观粒子的能量E的值在（ ） A. 3和4之间 B. 5和6之间 C. 4和5之间 D. 6和7之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了估算无理数大小．首先根据题意可知该微观粒子的能量，结合，易得，即可获得答案． 【详解】解：当，时， ， ∵， ∴， ∴该微观粒子的能量的值在5和6之间． 故选：B． 8. 红军长征的胜利，使中国革命转危为安．如图是红军长征路线图，若表示吴起镇会师的点的坐标为，表示湘江战役的点的坐标为，则表示会宁会师的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．由已知点建立平面直角坐标系，得出原点位置，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示： 表示会宁会师的点的坐标为； 故选：B 9. 如图，直线分别与直线，相交于、，已知，平分交直线于点．则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．先求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据平行线的判定得出，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 10. 已知关于x，y的方程组，a为常数，下列结论：①若，则方程组的解x与y互为相反数；②若方程组的解也是方程的解，则；③方程组的解可能是；④无论a为何值，代数式的值为定值．其中正确的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程组，将代入原方程组求出的值可判断①；把代入原方程组求得a可判断②；把代入原方程组求出a可判断③；利用加减消元法将原方程组变形为的形式即可判断④；解题的关键是掌握一元二次方程组的解的定义． 【详解】解：①把代入原方程组得：， 解得：，则①错误； ②把代入原方程组得：， 解得：，则②错误； ③把代入原方程组得：， 即：，则③错误； ④， 得：， 得：，即：，则④正确； 故选D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 实数的相反数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的相反数，的相反数是，据此求解． 【详解】实数的相反数为， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，已知点在y轴上，则a的值是 ______． 【答案】1 【解析】 【详解】根据y轴上点的横坐标为0列方程求解即可． 【解答】解：因为点在y轴上， 所以， 解得． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了点的坐标，熟记y轴上点的横坐标为0是解题的关键. 13. 已知 是关于x，y的方程的一个解，那么的值是__________． 【答案】6 【解析】 【分析】把代入方程计算即可求出m的值． 【详解】解：把代入方程得：2m−6=6， 移项得：2m=6+6， 解得：m=6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，掌握二元一次方程的解的定义是解题关键． 14. 已知，则点在第______象限。 【答案】二 【解析】 【分析】本题考查点所在的象限、平方和算术平方根的非负性，解决本题的关键是熟练性质及点所在象限的特征．根据平方和算术平方根的非负性求出a、b的值，再判断P所在的象限． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， ∴点P在第二象限． 故答案为：二． 15. 如图，直线与相交于点O，，，则等于________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题主要考查角及其计算，解答本题的关键在于熟练掌握直角以及对顶角相等等知识点，本题即可求解． 【详解】解：∵， ， 又∵， ∴， ∴（对顶角相等）， 故答案为：． 16. 中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法，若一个正数的平方根分别是和，则a的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平方根的性质及解一元一次方程，正确理解一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解决本题的关键． 根据平方根的性质列方程求解即可． 【详解】∵一个正数的平方根分别是和， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先端乘法、开方、绝对值，再算加减． 【详解】原式 ． 18. 解方程组：． 【答案】该方程组的解为． 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法求解即可，熟练掌握解二元一次方程组方法是解题的关键． 【详解】解：得，， 得，，解得：， 把代入得，，解得：， ∴该方程组的解为． 19. 按要求完成下列说明过程． 已知：如图，在三角形中，于点是上一点，且．请说明：． 解：（已知），_____（_____）．_____． （已知），_____（_____）．（_____）． 【答案】；垂直的定义；；；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行． 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 根据垂直的定义得到，结合题意得到，由内错角相等，两直线平行即可求解． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴， ∵（已知）， ∴（同角的余角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；垂直的定义；；；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行． 20. 在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是，现将三角形平移，使点平移到点，点，分别是，的对应点． （1）点的坐标_____，的坐标_____；并画出平移后的三角形； （2）求三角形的面积． 【答案】（1），， 如图，三角形即为所求． （2） 【解析】 【分析】此题考查了平移作图，作平移图形时，找关键点的对应点是关键的一步． （1）先根据点A的对应点判断平移的方式，进而可求出点点，的坐标，然后连接，和即可． （2）用割补法求解即可． 【小问1详解】 解：点的对应点， 将三角形先向左平移5个单位，再向下平移2个单位得三角形， ，， ，． 【小问2详解】 解：三角形的面积 21. 在平面直角坐标系中，对于点，若点B的坐标为，则称点B是点A的“a阶开心点”（其中a为常数，且），例如点的“2阶开心点”为，即． （1）若点C的坐标为，求点C的“3阶开心点”D的坐标． （2）若点的“阶开心点”N在第一象限，且到y轴的距离为5，求点N的坐标． 【答案】（1）的坐标为 （2）点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查新定义运算，整式的加减，解一元一次方程等知识点，正确理解题目中“a阶开心点”的定义是解题的关键． （1）根据“阶开心点”的定义求解即可； （2）先根据新定义求出点A的“阶开心点”的坐标，再根据到y轴的距离为5列方程求解即可． 【小问1详解】 解：依题意得， ∴点的“3阶开心点”的坐标为． 【小问2详解】 解：点的“阶开心点”为， 点的坐标为，即． 点在第一象限，且到y轴的距离为5， ， 解得， ， ∴点的坐标为． 22. 如图，点在线段上，点，在线段上，，． （1）求证：； （2）若于点，平分，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）利用平行线的性质，由得到角相等关系，再结合已知，通过等量代换得出内错角相等，从而证明． （2）根据，利用平行线同旁内角互补求出，再由角平分线定义得出相关角的度数，结合，利用直角三角形两锐角互余求出． 【小问1详解】 证明：如图所示， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 平分， ， ， ， ． 23. 截至2025年3月19日，《哪吒2》累计报收票房（含点映、预售及海外票房）超151.80亿元，打破多项票房纪录．由于电影角色深受大家喜爱，某商家用8800元购进了“哪吒”和“敖丙”两款手办共100个，已知“哪吒”款手办每个进价为80元，售价为100元；“敖丙”款手办每个进价为100元，售价为130元． （1）该商家两款手办分别购进多少个？（用二元一次方程组解答） （2）当“敖丙”款手办卖掉20个之后，为了回馈广大国产动漫爱好者，该商家决定对“敖丙”款手办打九折进行销售，“哪吒”款手办按原价销售．两款手办全部销售完毕后该商家可以获利多少元？ 【答案】（1）分别购进了“哪吒”和“敖丙”两款手办60个和40个 （2）两款手办全部销售完毕后该商家可以获利2140元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设分别购进了“哪吒”和“敖丙”两款手办个和个，根据某商家用8800元购进了“哪吒”和“敖丙”两款手办共100个，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据当“敖丙”款手办卖掉20个之后，该商家决定对“敖丙”款手办打九折进行销售，“哪吒”款手办按原价销售，列式计算即可． 【小问1详解】 设分别购进了“哪吒”和“敖丙”两款手办个和个，由题意可列方程组得： 解得： 答：分别购进了“哪吒”和“敖丙”两款手办60个和40个． 【小问2详解】 （元）， 答：两款手办全部销售完毕后该商家可以获利2140元． 24. 【百廿风华，公勤仁勇；湖南师大附中始终以家国情怀为己任，以教育兴邦为使命，历经百廿风雨，培育万千英才！】我们不妨约定：在平面直角坐标系中，已知点，，若点满足则把点称作，两点的“附中点”；且把数值称作，两点的“唯一值”．根据该约定，完成下列各题． （1）若点是，两点的“附中点”，则________，________，，两点的“唯一值”________（将正确的答案填写在相应的横线上）； （2）已知点，且点是，两点的“附中点”，先将点向右平移3个单位，再向上平移11个单位得到点，若直线与坐标系中其中一条坐标轴平行，，两点的“唯一值”，求点的坐标； （3）已知点是，两点的“附中点”，是，两点的“唯一值”， ①请用含有字母的式子表示“唯一值”； ②若无论取何值，等式始终成立（其中，是常数），求代数式的值． 【答案】（1）4；3；1 （2）点的坐标是或 （3）“唯一值”； 【解析】 【分析】（1）先化简立方根和算术平方根，然后根据“附中点”和唯一值”的定义列式求解即可； （2）先根据“附中点”的定义求出点P的坐标，再根据平移的性质求出点Q的坐标，然后分当轴时和两种情况求解； （3）①根据“附中点”列方程组，用含a的代数式表示出m，n，求出，，然后根据“唯一值”得定义求解； ②根据无论取何值，等式始终成立求出t，s的值，再求代数式的值即可． 【小问1详解】 ∵，， ∴，， ∵点是，两点的“附中点”， ∴， ∴； ∴，， ∴． 故答案为：4；3；1； 【小问2详解】 设， ∵点是，两点的“附中点”， ∴， ∴， ∵先将点向右平移3个单位，再向上平移11个单位得到点， ∴，即， 当轴时， ， ∴． ∵，两点的“唯一值”， ∴， ∴， 解得， ∴点的坐标是； 当轴时，同理可求点的坐标是． 综上可知，点的坐标是或； 【小问3详解】 ①∵点是，两点的“附中点”， ∴， ∴， ∴，， ∴， ②∵，， ∴， ∴， ∵无论取何值，等式始终成立， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了新定义，算术平方根和立方根的意义，解方程组，整式的加减，理解“附中点”和“唯一值”的定义是解答本题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，如图1，已知点在轴负半轴上，点在第一象限，其中，满足：，连接线段交轴正半轴于点，连接． （1）若，求三角形的面积； （2）如图2，已知点是轴负半轴上一点，，过点作直线交轴于点．点是射线上一点．若点的纵坐标是，且．求，的值以及点的坐标； （3）在第（2）问的前提下，连接，，若三角形的面积为12，直接写出线段的长度并求点的坐标． 【答案】（1）12 （2）， （3），点的坐标是或 【解析】 【分析】（1）由非负数的性质得，再求出，然后根据三角形面积公式求解即可； （2）根据可求出，结合，可求出，再根据求出点的坐标； （3）连接．由求出，由求出，然后分当时（即点在线段上时）和当时（即点在线段的延长线上时）两种情况求解即可． 【小问1详解】 由题意可得：解得 又，在第一象限， 所以， 于是：，， ∴． 【小问2详解】 ∵点的纵坐标是， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 又， 联立解得： ∴， ， ∴． 【小问3详解】 如图，连接． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，∴， 当时（即点在线段上时）， ∵， ∴， 解得：， 所以：的坐标是． 当时（即点在线段的延长线上时）， 同理可求得：的坐标是， 综上所述：点的坐标是或． 【点睛】本题考查了非负数的性质，坐标与图形的性质，解二元一次方程组，两平行线间的距离，分类讨论是解（3）的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025下学期七年级期中考试 数学试题 注意事项： 1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 在这四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 下列四幅图中，和是同旁内角的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的图案分别是奔驰、奥迪、大众、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ） A. （5，2） B. （-6，3） C. （-4，-6） D. （3，-4） 5. 古代有一首歌谣是这样说的：栖树一群鸦，鸦树不知数．三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？若设鸦有只，树有棵，则由题意可列方程组（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中假命题是（ ） A. 平移不改变图形的形状和大小 B. 负数的平方根是负数 C. 对顶角相等 D. 在同一平面内，若，则 7. 在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．已知某微观粒子的能量E可以用公式表示，当，时，该微观粒子的能量E的值在（ ） A. 3和4之间 B. 5和6之间 C. 4和5之间 D. 6和7之间 8. 红军长征的胜利，使中国革命转危为安．如图是红军长征路线图，若表示吴起镇会师的点的坐标为，表示湘江战役的点的坐标为，则表示会宁会师的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直线分别与直线，相交于、，已知，平分交直线于点．则等于（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于x，y的方程组，a为常数，下列结论：①若，则方程组的解x与y互为相反数；②若方程组的解也是方程的解，则；③方程组的解可能是；④无论a为何值，代数式的值为定值．其中正确的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 实数的相反数为________． 12. 在平面直角坐标系中，已知点在y轴上，则a的值是 ______． 13. 已知 是关于x，y的方程的一个解，那么的值是__________． 14. 已知，则点在第______象限。 15. 如图，直线与相交于点O，，，则等于________． 16. 中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法，若一个正数的平方根分别是和，则a的值是______． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解方程组：． 19. 按要求完成下列说明过程． 已知：如图，在三角形中，于点是上一点，且．请说明：． 解：（已知），_____（_____）．_____． （已知），_____（_____）．（_____）． 20. 在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是，现将三角形平移，使点平移到点，点，分别是，的对应点． （1）点的坐标_____，的坐标_____；并画出平移后的三角形； （2）求三角形的面积． 21. 在平面直角坐标系中，对于点，若点B的坐标为，则称点B是点A的“a阶开心点”（其中a为常数，且），例如点的“2阶开心点”为，即． （1）若点C的坐标为，求点C的“3阶开心点”D的坐标． （2）若点的“阶开心点”N在第一象限，且到y轴的距离为5，求点N的坐标． 22. 如图，点在线段上，点，在线段上，，． （1）求证：； （2）若于点，平分，，求的度数． 23. 截至2025年3月19日，《哪吒2》累计报收票房（含点映、预售及海外票房）超151.80亿元，打破多项票房纪录．由于电影角色深受大家喜爱，某商家用8800元购进了“哪吒”和“敖丙”两款手办共100个，已知“哪吒”款手办每个进价为80元，售价为100元；“敖丙”款手办每个进价为100元，售价为130元． （1）该商家两款手办分别购进多少个？（用二元一次方程组解答） （2）当“敖丙”款手办卖掉20个之后，为了回馈广大国产动漫爱好者，该商家决定对“敖丙”款手办打九折进行销售，“哪吒”款手办按原价销售．两款手办全部销售完毕后该商家可以获利多少元？ 24. 【百廿风华，公勤仁勇；湖南师大附中始终以家国情怀为己任，以教育兴邦为使命，历经百廿风雨，培育万千英才！】我们不妨约定：在平面直角坐标系中，已知点，，若点满足则把点称作，两点的“附中点”；且把数值称作，两点的“唯一值”．根据该约定，完成下列各题． （1）若点是，两点的“附中点”，则________，________，，两点的“唯一值”________（将正确的答案填写在相应的横线上）； （2）已知点，且点是，两点的“附中点”，先将点向右平移3个单位，再向上平移11个单位得到点，若直线与坐标系中其中一条坐标轴平行，，两点的“唯一值”，求点的坐标； （3）已知点是，两点的“附中点”，是，两点的“唯一值”， ①请用含有字母的式子表示“唯一值”； ②若无论取何值，等式始终成立（其中，是常数），求代数式的值． 25. 在平面直角坐标系中，如图1，已知点在轴负半轴上，点在第一象限，其中，满足：，连接线段交轴正半轴于点，连接． （1）若，求三角形的面积； （2）如图2，已知点是轴负半轴上一点，，过点作直线交轴于点．点是射线上一点．若点的纵坐标是，且．求，的值以及点的坐标； （3）在第（2）问的前提下，连接，，若三角形的面积为12，直接写出线段的长度并求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $