精品解析：湖南省长沙市湖南师大附中教育集团联考2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024—2025下学期八年级期中考试 数学试题 注意事项： 1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4．请注意卷面，保持字体工整，笔迹清晰、卷面清洁； 5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，不能作为直角三角形的三边的是（ ） A. 1，，2 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 5，12，13 3. 如图，平行四边形对角线交于点，点为的中点，若，则的长度为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 一次函数y＝kx﹣b，当k＜0，b＜0时的图象大致位置是(　　) A. B. C. D. 5. 下列命题是假命题的是（ ） A. 两组对边分别相等四边形是平行四边形 B. 一组邻边相等的四边形是菱形 C. 三个内角为直角的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 6. 为增长学生自然科学知识，培养学生的劳动技能与责任感，学校分给各班级一块地，让学生学习种菜．八年级三班分得一块三角形菜地，测得三角形菜地的三边长分别为，，，则三角形菜地的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一次函数的图象经过坐标轴上，两点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，这是古诗《村居》中的诗句，大意是孩子们放学了急忙跑回家，趁着东风把风筝放上蓝天．星期天，小华同学在公园放风筝，如图所示，小华为测量风筝能飞多高，根据手中风筝线的长测得，身高，，，则风筝离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点是正方形的对角线上一点，于点，．则点到直线的距离为（ ） A 2 B. C. 3 D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边与轴的夹角为，且，点的坐标为，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 函数 中，自变量x取值范围是__________． 12. 若正比例函数的图象经过点，则的值为______． 13. 当时，______． 14. 如图，在中，，是边上的中线，且，则的长为______． 15. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为点，且平分，则的长为______． 16. 在学习物理《浮力》一章后，小明为测量一长方体铁块所受浮力大小的情况，在一个高的水杯里装一些水，然后将铁块从杯口高度由上而下缓慢浸入水里，在这过程中，弹簧测力计的示数与铁块下降的高度之间的关系如图所示．则当弹簧测力计的示数为时，此时铁块底面距离杯底______． 三、解答题（本大题共9个小题，17，18，19题每小题6分，20，21题每小题8分，22，23题每小题9分，24，25题每小题10分，共72分） 17. 计算： 18. 先化简，再求值．，其中． 19. 如图，四边形是平行四边形，点，是上两点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，且点的横坐标为4，点的纵坐标为2． （1）求一次函数的表达式； （2）坐标平面内有一点，将一次函数图象向下平移个单位长度恰好经过点，求的值． 21. 如图，在中，，，，为上一点．将沿折叠，点的对应点落在边上． （1）求的长； （2）求的周长． 22. 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）求证：四边形ADCF是菱形； （2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积． 23. 2024年，国家卫健委启动“体重管理年”活动，全民体重管理意识和技能正逐步提高，具有较高营养价值和多种功效的蔬菜羽衣甘蓝吸引了众多消费者尝试和喜爱．某农业基地在今年3月份收获了6000千克羽衣甘蓝，栽培成本为10000元．经市场调查，决定采用批发、零售、晒干磨粉后销售这三种方式出售，其中以零售方式出售还需包装成本元/千克；羽衣甘蓝晒干磨粉的出粉率为，采用这种方式销售还另需加工费元/千克，计划每千克的平均售价如下表： 销售方式 批发 零售 晒干磨粉后销售 售价 元/千克（批发量超过2000千克则按3元/千克出售） 元/千克 元/千克 若经过一段时间，按计划全部售出获得的总利润为（元），其中零售（千克），且零售量是批发量的一半． （1）当批发量超过2000千克时，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）由于受条件限制，最多对600千克羽衣甘蓝进行晒干磨粉处理，求该农业基地按计划全部售完这批羽衣甘蓝获得的最大利润． 24. 在平面直角坐标系中，给出如下定义： a．当一个点的横坐标、纵坐标均为整数时，称这个点为整点； b．直线，直线与轴围成的三角形区域（不含边界点）称为域 根据阅读材料，解决下列问题： （1）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，直线与轴交于点，两直线交于点． ①在这个域中有______个整点； ②求域的面积． （2）过（1）中纵坐标最大的整点作直线分别交域两边，于点，，使的面积是域面积的，求直线的表达式； （3）若直线，直线与轴围成的域内恰好有3个整点，请直接写出的取值范围． 25. 在菱形中，，，点是的中点，连接． （1）如图1，连接，求线段的长； （2）如图2，点是线段上一动点，点是线段的中点，连接． ①求最小值； ②如图3，当点，，在同一直线上，取线段的中点，连接，判断与的数量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025下学期八年级期中考试 数学试题 注意事项： 1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4．请注意卷面，保持字体工整，笔迹清晰、卷面清洁； 5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义即二次根式化简后，被开方数不含分母，并且被开方数不含开的尽方的因式或因数，判断即可．本题考查了最简二次根式，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意；        B、，故该选项不符合题意；        C、，故该选项不符合题意；              D、是最简二次根式，故该选项符合题意； 故选：D． 2. 下列各组数中，不能作为直角三角形的三边的是（ ） A. 1，，2 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 5，12，13 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．验证两条较小边的平方和是否等于最长边的平方，即可得出答案． 【详解】解：A．因为，所以能作为直角三角形的三边长，不符合题意； B．因为，所以不能作为直角三角形的三边长，符合题意； C．因为，所以能作为直角三角形的三边长，不符合题意； D．因为，所以能作为直角三角形的三边长，不符合题意． 故选：B． 3. 如图，平行四边形的对角线交于点，点为的中点，若，则的长度为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形，三角形中位线的知识，根据四边形是平行四边形，得到，再根据点E是的中点，得出是的中位线，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴根据三角形的中位线定理可得：． 故选：C． 4. 一次函数y＝kx﹣b，当k＜0，b＜0时的图象大致位置是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据k＜0，b＜0判断出一次函数y=kx-b的图象经过的象限，进而可得出结论． 详解】解：∵一次函数y=kx-b，k＜0，b＜0， ∴-b＞0， ∴函数图象经过一二四象限， 故选A． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＞0时的图象在一、二、四象限是解答此题的关键． 5. 下列命题是假命题的是（ ） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 一组邻边相等的四边形是菱形 C. 三个内角为直角的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形、菱形、矩形以及正方形判定，解题的关键是直接利用平行四边形、菱形、矩形以及正方形的判定方法分别分析得出答案． 【详解】解：A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形，是真命题，故此选项不符合题意； B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形，原命题是假命题，故此选项符合题意； C．三个内角为直角的四边形是矩形，是真命题，故此选项不符合题意； D．对角线互相垂直且相等平行四边形是正方形，是真命题，故此选项不符合题意． 故选：B． 6. 为增长学生自然科学知识，培养学生的劳动技能与责任感，学校分给各班级一块地，让学生学习种菜．八年级三班分得一块三角形菜地，测得三角形菜地的三边长分别为，，，则三角形菜地的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．先根据勾股定理的逆定理证明三角形菜地为直角三角形，然后根据三角形面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴三角形菜地为直角三角形， ∴三角形菜地的面积为． 故选：A． 7. 如图，一次函数的图象经过坐标轴上，两点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．根据一次函数与一元一次不等式的关系，利用函数图象找出函数值为负数时，对应的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过坐标轴上，两点， ∴当时，，即 ∴由图象可知，关于x的不等式的解集是． 故选：C． 8. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，这是古诗《村居》中的诗句，大意是孩子们放学了急忙跑回家，趁着东风把风筝放上蓝天．星期天，小华同学在公园放风筝，如图所示，小华为测量风筝能飞多高，根据手中风筝线的长测得，身高，，，则风筝离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．根据勾股定理求出，然后求出结果即可． 【详解】解：根据题意得：，， 根据勾股定理得：， ∴风筝离地面的高度为： ， 故选：C． 9. 如图，点是正方形的对角线上一点，于点，．则点到直线的距离为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．过点作，垂足为，根据正方形的性质及角平分线的性质可知，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， ∵是正方形的对角线， ∴， ∵，， ∴， 即点到直线的距离为， 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边与轴的夹角为，且，点的坐标为，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，坐标与图形，直角三角形的性质，勾股定理，掌握以上知识是解答本题的关键； 过点作轴，根据点的坐标为，得出，求出，求出，根据直角三角形性质得出，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：过点作轴，如图所示： ， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵与轴的夹角为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，可得，解不等式即可，熟知根号下需要大于等于0，是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式的意义，有， 解得， 故自变量x的取值范围是， 故答案为：． 12. 若正比例函数的图象经过点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求正比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．将点代入计算即可得． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 当时，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的运算法则可得：，再根据绝对值的定义去掉绝对值符号即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 14. 如图，在中，，是边上的中线，且，则的长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，掌握直角三角形的性质是解题的关键，根据直角三角形的性质可知，再根据已知条件即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴是直角三角形， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的长为， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为点，且平分，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，由矩形的性质可得，可证，可得，由勾股定理可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴， ∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，负值舍去， 故答案为：． 16. 在学习物理《浮力》一章后，小明为测量一长方体铁块所受浮力大小的情况，在一个高的水杯里装一些水，然后将铁块从杯口高度由上而下缓慢浸入水里，在这过程中，弹簧测力计的示数与铁块下降的高度之间的关系如图所示．则当弹簧测力计的示数为时，此时铁块底面距离杯底______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，先利用待定系数法求出的解析式，然后把代入函数解析式，求出此时铁块下降的高度，再求出铁块底面距离杯底的距离即可． 【详解】解：设所在直线的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴所在直线的函数解析式为， 把代入得：， 解得：， ． 三、解答题（本大题共9个小题，17，18，19题每小题6分，20，21题每小题8分，22，23题每小题9分，24，25题每小题10分，共72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式混合运算以及零次幂，熟记二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式性质以及零次幂化简，再计算即可． 【详解】解：原式． 18. 先化简，再求值．，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据乘法公式先去括号，再合并同类项，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．本题考查了整式的混合运算-化简求值，准确熟练掌握乘法公式是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 19. 如图，四边形是平行四边形，点，是上两点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理“”证明，得； （2）根据勾股定理求出，根据平行四边形的性质得出结果即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ， ． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，且点的横坐标为4，点的纵坐标为2． （1）求一次函数的表达式； （2）坐标平面内有一点，将一次函数图象向下平移个单位长度恰好经过点，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了求一次函数的图象及图象平移，解题的关键是熟练掌握待定系数法和图象“左加右减，上加下减”的平移规律． （1）先确定A、B两点的坐标，然后用待定系数法求出一次函数表达式即可； （2）根据题意求得平移后的直线的解析式，把M的坐标代入平移后的直线的解析式，即可求得的值． 【小问1详解】 解：∵点的横坐标为4，点的纵坐标为2， ∴，， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴一次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：一次函数图象向下平移个单位长度后的一次函数解析式为： ， 把代入可得：， 解得：． 21. 如图，在中，，，，为上一点．将沿折叠，点的对应点落在边上． （1）求的长； （2）求的周长． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题考查了轴对称性质，直角三角形的性质，勾股定理定理，利用勾股定理求出线段是解题的关键． （1）先根据勾股定理求出线段，根据轴对称的性质，最后求得的长； （2）由翻折知，在中，利用勾股定理求出，在中，求出，即可求得的周长． 【小问1详解】 解：在中，，，， ， 由折叠得： ， 的长为4； 【小问2详解】 由翻折得， ， 在中，， 设，则， ， 解得， ， 在中，， 的周长． 22. 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）求证：四边形ADCF是菱形； （2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）由E是AD的中点，AF∥BC，易证得△AFE≌△DBE，即可得AF＝BD，又由在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，可得AD＝BD＝CD＝AF，证得四边形ADCF是平行四边形，继而判定四边形ADCF是菱形； （2）首先连接DF，易得四边形ABDF是平行四边形，即可求得DF的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，求得答案． 【详解】（1）证明：如图，∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE， ∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线， ∴AE＝DE，BD＝CD， 在△AFE和△DBE中， ， ∴△AFE≌△DBE（AAS）； ∴AF＝DB． ∵DB＝DC， ∴AF＝CD， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，D是BC的中点， ∴AD＝DC＝BC， ∴四边形ADCF是菱形； （2）解：连接DF， ∵AF∥BC，AF＝BD， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∴DF＝AB＝5， ∵四边形ADCF是菱形， ∴S＝AC•DF＝10． 【点睛】此题考查了菱形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键． 23. 2024年，国家卫健委启动“体重管理年”活动，全民体重管理意识和技能正逐步提高，具有较高营养价值和多种功效的蔬菜羽衣甘蓝吸引了众多消费者尝试和喜爱．某农业基地在今年3月份收获了6000千克羽衣甘蓝，栽培成本为10000元．经市场调查，决定采用批发、零售、晒干磨粉后销售这三种方式出售，其中以零售方式出售还需包装成本元/千克；羽衣甘蓝晒干磨粉的出粉率为，采用这种方式销售还另需加工费元/千克，计划每千克的平均售价如下表： 销售方式 批发 零售 晒干磨粉后销售 售价 元/千克（批发量超过2000千克则按3元/千克出售） 元/千克 元/千克 若经过一段时间，按计划全部售出获得的总利润为（元），其中零售（千克），且零售量是批发量的一半． （1）当批发量超过2000千克时，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）由于受条件限制，最多对600千克羽衣甘蓝进行晒干磨粉处理，求该农业基地按计划全部售完这批羽衣甘蓝获得的最大利润． 【答案】（1） （2）该农业基地按计划全部售完这批羽衣甘蓝获得的最大利润为78800元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． （1）根据利润售价进价，列出函数解析式即可； （2）先根据最多对600千克羽衣甘蓝进行晒干磨粉处理求出，再根据一次函数的最值求出结果即可． 【小问1详解】 解：当批发量超过2000千克时， ； 【小问2详解】 解：∵最多对600千克羽衣甘蓝进行晒干磨粉处理， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∵， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，w最大，且最大值为： （元）， 即该农业基地按计划全部售完这批羽衣甘蓝获得的最大利润为78800元． 24. 在平面直角坐标系中，给出如下定义： a．当一个点的横坐标、纵坐标均为整数时，称这个点为整点； b．直线，直线与轴围成的三角形区域（不含边界点）称为域 根据阅读材料，解决下列问题： （1）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，直线与轴交于点，两直线交于点． ①在这个域中有______个整点； ②求域的面积． （2）过（1）中纵坐标最大的整点作直线分别交域两边，于点，，使的面积是域面积的，求直线的表达式； （3）若直线，直线与轴围成的域内恰好有3个整点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）①2；②6 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，两条直线的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）①先求出点A、B、C的坐标，然后根据整点的定义，求出结果即可； ②根据三角形面积公式求出结果即可； （2）设直线l解析式为：，把代入得：，求出，得出，求出，得出，根据的面积是域面积的，得出，求出k即可； （3）根据直线，直线与轴围成的域内恰好有3个整点，得出整点为：，，或，，，分别求出n的取值范围即可． 【小问1详解】 解：①把代入得：， 把代入得：，把代入得：， 解得：， ∴点A的坐标为，点，点， 联立， 解得：， ∴点C的坐标为， 把代入得：， ∴在这个域中有整点，共2个． ②； 【小问2详解】 解：根据解析（1）可知：纵坐标最大的整点为， 设直线l的解析式为：， ∵直线分别交域两边，于点，，且经过， ∴， 把代入得：， ∴， ∴直线l的解析式为：， 联立， 解得：， 当时，， ∴， ∴， ∵的面积是域面积的， ∴， ∴， 解得：， ∴直线l的解析式为：； 【小问3详解】 解：若直线，直线与轴围成的域内恰好有3个整点，则整点为：，，或，，， 当整点为，，时， 把代入得：， 把代入得：， ∴； 当整点为，，时， 把代入得：， 把代入得：， ∴； 综上分析可知：当或时，域内恰好有3个整点． 25. 在菱形中，，，点是的中点，连接． （1）如图1，连接，求线段的长； （2）如图2，点是线段上一动点，点是线段中点，连接． ①求的最小值； ②如图3，当点，，在同一直线上，取线段的中点，连接，判断与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1） （2）①；②；证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接，先证明为等边三角形，得出，，根据勾股定理先求出，再求出即可； （2）①连接，取的中点G，过点M作于点K，连接，，过点G作于点H，交于点N，先说明点G与点F关于对称，说明，根据直角三角形的性质求出，得出，根据两点之间线段最短，垂线段最短，得出点M在点N处时，最小，即最小，根据勾股定理求出结果即可； ②连接，延长，交于点H，证明为等边三角形，，得出，，根据，得出，即可得出结论． 【小问1详解】 解：连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①连接，取的中点G，过点M作于点K，连接，，过点G作于点H，交于点N，如图所示： 根据解析（1）可知：为等边三角形，，， ∴，， ∴与关于对称， ∵点是线段的中点，点G为线段的中点， ∴点G与点F关于对称，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短，垂线段最短， ∴点M在点N处时，最小，即最小， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即最小值为； ②，理由如下： 连接，延长，交于点H，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴为等边三角形，，， ∵G为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， 根据解析（1）可知：， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，轴对称的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $