精品解析：广东省中山市中山纪念中学2024-2025学年高一下学期第一次段考（4月）数学试题

中山纪念中学2024-2025学年高一下学期第一次段考试题 数学 命题人：熊齐文 审题人：吴双双 校对人：谢明德 本试卷共4页，19题，满分150分，考试用时120分钟. 一、单进题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积的定义结合充分条件、必要条件的概念可得结果. 【详解】由可得，故，所以. 由可得，故，而方向不一定相同，故.不能得到. 综上得，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2. 已知，则（ ） A. B. 3 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【详解】. 故选：D 3. 若一个扇形的弧长为4，面积为16，则这个扇形圆心角的弧度数是（ ） A 4 B. 3 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据弧长和扇形面积公式即可求解. 【详解】令该扇形圆心角的弧度为，半径为， 则，解得， 故选:D. 4. 已知，，是锐角，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用同角三角函数基本关系求得cos和cos（α﹣β），进而根据利用两角和公式求得答案． 【详解】因为是锐角，，所以 cos，cos（α﹣β）. ∴ ∵β为锐角 ∴β 故选C． 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系的应用和正弦的两角和公式．属基础题． 5. 已知向量，满足，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用，计算可得在上的投影向量. 【详解】在上的投影向量为：. 故选：D. 6. 计算的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化切为弦，结合辅助角公式，诱导公式求出答案. 【详解】 . 故选：D 7. 在中，，是的中点，与交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的线性运算及三点共线求得，由此求得的值，即可得到结果. 【详解】 ∵，∴， ∴. ∵A，P，D三点共线，∴. ∵，∴. ∵E是边AB中点，∴. ∵E，P，F三点共线，∴， ∴，解得，， ∴，即，，故. 故选：A. 8. 已知函数，满足，且函数在单调递增，设函数在区间的最大值为，最小值为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，利用单调性确定的范围，结合范围可求答案. 【详解】，，, 又时，单调递增, ，，且， ，， 或， 或， 时，， 时，， ∴和在其范围内，即取得最大值和最小值，. 又时，， 的最小值始终在处取得，且最大值， ，综上的取值范围为. 故选：B 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】分别由两角差的正弦公式，两角和的正切公式和倍角公式即可依次判断． 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误． 故选：AB． 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 当时，的值域为 C. 将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 D. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据中，，的几何意义，求得的解析式，再结合正弦函数的图象与性质，函数图象的变换，逐一分析选项即可． 【详解】由图可知，，函数的最小正周期，故A正确； 由，知， 因为，所以，所以，，即，， 又，所以，所以， 对于B，当时，，所以， 所以的值域为，故B错误； 对于C，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，故C正确； 对于D，将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象， 因为当时，，所以得到函数图象关于点对称，故D正确． 故选：ACD． 11. 出生在美索不达米亚的天文学家阿尔·巴塔尼大约公元920左右给出了一个关于垂直高度为h的日晷及其投影长度s的公式：，即等价于现在的，我们称为余切函数，余切函数与正切函数关系密切.已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 图象的对称中心为 C. 的单调递减区间为 D. 与的图象关于直线对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】先证明，由此可得，再结合正切函数的定义域求函数的定义域，判断A，根据正切函数的对称性求函数的对称中心判断B，根据正切函数的单调性求函数的单调递减区间判断C，求函数的图象关于直线对称的图象的函数解析式，判断D. 【详解】A选项，因为， 所以， 由有意义可得，， 所以，， 所以函数的定义域为，A错误； B选项，因， 令，，可得，， 所以图象的对称中心为，B正确； C选项，令，， 可得，， 所以的单调递减区间为，C正确； D选项，设函数的图象关于直线对称的图象经过点， 则点关于直线的对称点在函数的图象上， 所以，所以， 所以与的图象关于直线对称，D正确； 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知平面向量，的夹角为，且，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的模长与向量的数量积之间的关系即可求解. 【详解】因为平面向量，的夹角为，且，， 所以， 则. 故答案为： 13. 若函数是奇函数，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】由条件根据正弦函数性质列方程求，确定函数的解析式，再结合诱导公式，特殊角三角函数值可求结论. 【详解】因为函数是奇函数， 所以，， 又，所以， 所以， 所以， 所以， 故答案为：. 14. 科技的发展改变了世界，造福了人类，我们生活中处处享受着科技带来的“红利”．例如主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示），已知某噪声声波曲线为，且经过点，降噪芯片生成的降噪反向声波曲线为．下述四个结论： ①函数是奇函数； ②函数在区间上单调递减； ③对于，都有； ④都有． 其中所有正确结论的编号是________． 【答案】③④ 【解析】 【分析】由经过可求出的解析式，利用图象平移得到解析式，进而可以得到的解析式，就可判断①；求出相位的取值范围，再结合正弦曲线即可判断②；求的值，可判断③，利用，分、、三种情况求的化简式可判断④. 【详解】因为经过，则， 故，，解得，， 又，所以，则. 对于①，令函数的周期为，则 由图可知，将噪声声波曲线向左平移，即可得到降噪反向声波曲线， 故； 所以， 因为，所以函数不是奇函数，故①错误； 对于②，因为， 当时，， 所以在时单调递增，故②错误； 对于③，因 ， 即恒为，故③正确； 对于④，由③可得当时，， 则当时， 因为 ， 当时， 因为 ， ，故④正确. 故答案为：③④. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知角的终边与单位圆交于点. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）,,； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用三角函数的定义计算作答. （2）化简给定表达式，再由（1）的结论计算作答． 【小问1详解】 已知角的终边与单位圆交于点， 所以，，. 【小问2详解】 由（1）得，. 16. 已知向量，. （1）若，求； （2）若向量，，求与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据求得，从而可得，于是； （2）由，可得，再由夹角公式计算即可. 【小问1详解】 因为，， 所以，. 由，可得，即， 解得，所以，故. 【小问2详解】 因为向量，，所以，所以. 则，， 所以， 所以与夹角的余弦值为. 17. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）若方程在区间上有两个解，求实数a的取值范围． 【答案】（1）最小正周期为，单调递减区间为， （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，故利用求出最小正周期，并利用整体法求出单调递减区间； （2）求出，画出在上的图象，数形结合得到答案. 【小问1详解】 由题设， 所以其最小正周期为， 令，，可得，， 所以函数的单调递减区间为，； 【小问2详解】 若，则， 画出在上的图象，如下： 若方程在区间上有两个解，则函数与的图象有两个交点， 所以方程区间上有两个解，只需． 18. 如图，某公园有一块扇形人工湖OMN，其中圆心角，半径为1千米，为了增加观赏性，公园在人工湖中划分出一片荷花池，荷花池的形状为矩形(四个顶点都落在扇形边界上)；再建造一个观景台，形状为，记 （1）当角取何值时，荷花池的面积最大？并求出最大面积. （2）若在OA的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元不计桥的宽度；且建造观景台的费用为每平方千米16万元，求建造总费用的范围. 【答案】（1），最大值为(平方千米)； （2）万元 【解析】 【分析】(1)三角函数相关知识，利用角来表示矩形边长，进而表示出面积和角的函数关系式，求函数最值即可； (2)由题意可求得建造总费用，利用换元法及二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 由题意可得，其中， 在中，，则 所以 因为，所以， 所以当，即时，矩形的面积取最大值， 所以当时，荷花池的面积最大，最大面积(平方千米)； 【小问2详解】 由(1)可知，则 ， 设建造总费用为y万元， 则 令， 因为，所以，所以， 则， 所以 所以建造总费用的范围为万元． 19. 对于定义在R上的连续函数，若存在常数t（），使得对任意的实数x都成立，则称是阶数为t的回旋函数． （1）试判断函数是否是一个阶数为的回旋函数，并说明理由； （2）若是回旋函数，求实数ω的值； （3）若回旋函数（）在[0，1]上恰有2024个零点，求ω的值． 【答案】（1）不是，理由见解析 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）代入题目给的定义求解即可， （2）求解分讨论即可， （3）求解讨论得 【小问1详解】 因为， 所以， 所以不恒成立， 所以函数不是一个阶数为的回旋函数． 【小问2详解】 设是阶数为t的回旋函数，则， 若，上式对任意实数x均成立； 若，， 因为的值域为，所以， 当时，对任意实数x有， 则，， 所以，； 当时，对任意实数x有， 则，，所以，． 综上所述，，． 【小问3详解】 因为对任意的x都成立， 由（2）可知，，， 所以． 令，解得（）． 因为函数在[0，1]上恰有2024个零点，所以，所以． 又因为，所以，所以． 【点睛】新结构问题利用题目给的定义，结合已经掌握的知识求解，合理推理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 中山纪念中学2024-2025学年高一下学期第一次段考试题 数学 命题人：熊齐文 审题人：吴双双 校对人：谢明德 本试卷共4页，19题，满分150分，考试用时120分钟. 一、单进题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知，则（ ） A B. 3 C. 6 D. 7 3. 若一个扇形的弧长为4，面积为16，则这个扇形圆心角的弧度数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 4. 已知，，是锐角，则=（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，满足，，，则在上的投影向量为（ ） A B. C. D. 6. 计算的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 7. 在中，，是的中点，与交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 1 8. 已知函数，满足，且函数在单调递增，设函数在区间的最大值为，最小值为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 当时，的值域为 C. 将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 D. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 11. 出生在美索不达米亚的天文学家阿尔·巴塔尼大约公元920左右给出了一个关于垂直高度为h的日晷及其投影长度s的公式：，即等价于现在的，我们称为余切函数，余切函数与正切函数关系密切.已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 图象的对称中心为 C. 的单调递减区间为 D. 与的图象关于直线对称 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知平面向量，的夹角为，且，，则________． 13. 若函数是奇函数，则________． 14. 科技的发展改变了世界，造福了人类，我们生活中处处享受着科技带来的“红利”．例如主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示），已知某噪声声波曲线为，且经过点，降噪芯片生成的降噪反向声波曲线为．下述四个结论： ①函数是奇函数； ②函数在区间上单调递减； ③对于，都有； ④都有． 其中所有正确结论的编号是________． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知角的终边与单位圆交于点. （1）求的值； （2）求值. 16. 已知向量，. （1）若，求； （2）若向量，，求与夹角的余弦值. 17. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）若方程在区间上有两个解，求实数a的取值范围． 18. 如图，某公园有一块扇形人工湖OMN，其中圆心角，半径为1千米，为了增加观赏性，公园在人工湖中划分出一片荷花池，荷花池的形状为矩形(四个顶点都落在扇形边界上)；再建造一个观景台，形状为，记 （1）当角取何值时，荷花池的面积最大？并求出最大面积. （2）若在OA的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元不计桥的宽度；且建造观景台的费用为每平方千米16万元，求建造总费用的范围. 19. 对于定义在R上的连续函数，若存在常数t（），使得对任意的实数x都成立，则称是阶数为t的回旋函数． （1）试判断函数是否是一个阶数为的回旋函数，并说明理由； （2）若是回旋函数，求实数ω值； （3）若回旋函数（）在[0，1]上恰有2024个零点，求ω的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$