精品解析：甘肃省酒泉市四校联考2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题

2024—2025学年高二下学期 数学期中考试试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知点，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面的一个法向量为，点在外，点在内，且，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 在空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在处有极大值，则（ ） A. B. C. 2 D. 6 8. 设函数若函数的图象与直线有两个交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在平行六面体中，，，与交于点．设，，，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 与的夹角为 10. 已知函数的导函数为，且函数的图象如图，则以下结论正确的有（ ） A. 函数在区间上单调递减 B. 函数在区间上单调递减 C. 当时，函数有极大值 D. 当时，函数有极小值 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若曲线在点处的切线方程为，则 B. 若，则函数在上单调递增 C. 若，则函数在上的最小值为 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则______． 13. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为______． 14. 已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），则以AB，AC为边的平行四边形的面积是____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）如图，已知分别为四面体的棱的中点，用空间向量法证明四点共面． （2）在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱长为，．求异面直线与所成角的余弦值． 16. 已知，曲线在点处的切线方程为. （1）求实数的值； （2）若，求曲线过点的切线方程. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，、分别为、的中点. （1）证明：平面； （2）求平面和平面的夹角的余弦值. 18. 已知函数 （1）当时，求的极值； （2）若，求在区间的最小值． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）已知在上的最小值为2，求的值； （3）若，且，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年高二下学期 数学期中考试试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由导数的四则运算即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：B． 2. 已知点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的坐标，再利用空间向量模长的坐标表示求解即可. 【详解】因为，，所以，所以， 故选：C. 3. 已知空间向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量垂直的坐标形式可取参数的值. 【详解】因为，所以，可得， 故选：C. 4. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对函数求导，再利用导数的几何意义求切线方程 【详解】因为，，所以， 所以．又， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 故选：D． 5. 已知平面的一个法向量为，点在外，点在内，且，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由点到平面的距离的向量法公式直接计算求解即可. 【详解】由题意得，点到平面的距离． 故选：B． 6. 在空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，计算、的坐标，利用数量积的坐标运算化简即可. 【详解】由点在直线上运动，故可设，， 则， ， 所以 ， 故当时，取得最小值. 故选：C． 7. 已知函数在处有极大值，则（ ） A. B. C. 2 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由求得或．并验证即可. 【详解】因为，所以． 因为在处有极大值， 所以，解得或． 当时，，解，得或， 当，，当，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 在处有极小值，不符合题意； 当时，，解，得或， 当，，当，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在处有极大值， 符合题意．故， 故选：A． 8. 设函数若函数的图象与直线有两个交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，先画的图像，求导得到其单调性以及极值，然后再画的图像，结合函数的图像，即可得到结果. 【详解】当时，，则． 由得，所以在上单调递减； 由得，所以在上单调递增． 当时，， 当时，， 当时，， 当时，取得极小值，． 又当时，所以函数的大致图象， 如图． 由图可知，当或时，函数的图象与直线有两个交点， 所以实数的取值范围是， 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在平行六面体中，，，与交于点．设，，，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 与的夹角为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用空间向量的基本定理可判断AB选项；利用空间向量数量积的运算性质可判断CD选项. 【详解】由题知，． 对于A选项，，故A正确； 对于B选项，，故B错误； 对于C选项，，故C正确； 对于D， ， 所以与的夹角为，故D正确． 故选：ACD． 10. 已知函数的导函数为，且函数的图象如图，则以下结论正确的有（ ） A. 函数在区间上单调递减 B. 函数在区间上单调递减 C. 当时，函数有极大值 D. 当时，函数有极小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据导函数的图象分析原函数的单调性，再结合单调性得到极值点. 【详解】由函数的图象可知，当时，，所以函数在区间上单调递减，故A正确； 当时，，所以函数在区间上单调递增，当时，，所以函数在区间上单调递减，故B错误； 当时，单调递增，当时，单调递减，所以函数在处有极大值，故C正确； ，当时，，所以函数在区间上单调递减， 当时，，所以函数在区间上单调递增，所以函数在处有极小值，故D正确． 故选：ACD． 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若曲线在点处的切线方程为，则 B. 若，则函数在上单调递增 C. 若，则函数在上的最小值为 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的导数性质，如切线斜率与导数的关系、利用导数判断函数单调性、求函数最值等知识，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】首先对函数求导，可得，所以. 已知切线方程为，其斜率为，所以，解得，故选项错误. 当时，，. 当时，，则，即. 所以函数在上单调递增，故选项正确. 当时，. ，令，即，解得. 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增. 所以在处取得最小值，，故C选项正确. 当时，，，不满足； 当时，，则，在上单调递增. 当时，，，不满足. 当时，令，得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以在处取得最小值. 令，对其求导得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以在处取得最大值. 要使，则，所以，故选项正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】求出导函数，令即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 解得． 故答案为： 13. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数在区间上单调递增，得在上恒成立，由，计算即可求解. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 因为函数，，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即实数的取值范围为． 故答案为：. 14. 已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），则以AB，AC为边的平行四边形的面积是____． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析:求出向量的坐标，进而可得模长及向量的夹角，由此可计算以AB，AC为边的平行四边形的面积． 解：∵A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）， ∴=（﹣2，﹣1，3），=（1，﹣3，2），||=，||= ∴cos∠BAC==， ∴∠BAC=60° ∴S=×sin60°= 故答案为 考点：向量在几何中的应用． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）如图，已知分别为四面体的棱的中点，用空间向量法证明四点共面． （2）在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱长为，．求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】 （1）证明：以为空间的一组基． 分别为棱的中点， ， ，． ，． 平面，平面，，四点共面． （2） 【解析】 【分析】（1）以为空间的一组基．推证即可； （2）以为空间的一组基，得到，，再结合向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：以为空间的一组基， ，． ，，，， ，． ， ． ， ． 设异面直线与所成角为，则． 16. 已知，曲线在点处的切线方程为. （1）求实数的值； （2）若，求曲线过点的切线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求得，根据题意，得到，且 ，列出方程组，即可求得的值，得到答案； （2）由（1）得到，求得，设切点为，得到切线方程为，将点代入切线方程，求得的值，进而求得切线方程. 【小问1详解】 解：由函数，其中，可得， 因为曲线在点处的切线方程为， 可得，且，即， 解得. 【小问2详解】 解：由（1）知，，可得， 设切点为，则切线的斜率，故切线方程为， 因为切线过点，所以，整理得， 解得或，所以切点为或， 此时，曲线过点的切线方程为或. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，、分别为、的中点. （1）证明：平面； （2）求平面和平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：因为四棱锥的底面为正方形，平面， 所以、、两两相互垂直. 以点为坐标原点，分别以直线、、为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，， 所以，，，. 因为，所以，即， 因为，所以，即. 又因为、平面，，所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积可证得，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论； （2）利用空间向量法可求得平面和平面的夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易知平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则， 令，得，， 所以为平面的一个法向量， 因为， 所以平面和平面的夹角的余弦值为. 18. 已知函数 （1）当时，求的极值； （2）若，求在区间的最小值． 【答案】（1）极大值，极小值； （2）时，最小值为；时，最小值为. 【解析】 【分析】（1）利用导函数求函数的单调性和极值； （2）利用导函数，分类讨论求函数的单调性和最小值. 【小问1详解】 当时，的定义域为，且， 所以，当或时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以，在处取得极大值，在处取得极小值. 【小问2详解】 由题意，， 令，解得或. 因为，所以当或时，；当时，，单调递减. 所以，当即时，在上单调递减，在上单调递增， 则在区间的最小值为. 当即时，在上单调递减，则在区间的最小值为. 综上所述，时，在区间的最小值为； 时，则在区间的最小值为. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）已知在上的最小值为2，求的值； （3）若，且，求的取值范围． 【答案】（1） 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2） 2 （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，分类讨论，根据导数的正负求出函数的单调区间； （2）利用（1）中函数的单调性求出函数的最值即可得解； （3）分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最小值即可得解. 【小问1详解】 因为，，所以． 当时，恒成立，所以在上单调递减． 当时，解，得， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增． 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 由（1）可知， 当时，在上单调递减，所以在上的最小值为． 由题意，得，解得，则． 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的最小值为． 由题意，得，解得，则． 当时，在上单调递增，所以在上的最小值为． 由题意，得，解得，则． 综上，的值为2． 【小问3详解】 由已知，得． 设，， 则． 因为，所以，所以的零点即函数在上的零点． 因为在上恒成立，所以函数在上单调递增． 因为，，所以存在，使得， 即，则，所以． 当时，，，所以在上单调递减， 当时，，，所以在上单调递增． 所以． 由恒成立，得， 所以，即的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $