精品解析：辽宁省沈阳市第一二六中学2024-2025学年 八年级下学期数学学科作业检测试卷（5月）

沈阳市第一二六中学2024-2025学年度八年级下 数学学科5月份作业检测 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选D． 2. 下列6个式子①－2＜0；②2x－1＞0；③2x－1＝0；④2x－1＜0；⑤m－2；⑥－2≤2ab，其中不等式有( ) A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【解析】 【分析】主要依据不等式的定义：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断． 【详解】根据不等式的定义可得：①－2＜0，②2x－1＞0，④2x－1＜0，⑥－2≤2ab共计4个. 故选B. 【点睛】考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞,＜,≤,≥,≠． 3. 如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】过点D作DH⊥OB于点H，如图，根据角平分线的性质可得DH=DP=4，再根据三角形的面积即可求出结果． 【详解】解：过点D作DH⊥OB于点H，如图， ∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DH⊥OB， ∴DH=DP=4， ∴△ODQ的面积=． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，属于基本题型，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键． 4. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式性质知直接判断即可得到答案. 【详解】解：由题意可得， ∵， ∴，，， 当时，成立，故D选项不一定成立， 故选D． 【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质． 5. 如图，点，在线段上，，于点，于点，要根据“”证明，则还需添加的一个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了“”证明三角形全等，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 已知，得出，由，得出，再添加一组直角边对应相等即可证明，据此即可求解． 【详解】解：∵， ， ， ， 即， 添加， 在和中， ， ∴， 故选：A． 6. 点在第二象限，则的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正进行求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了坐标系中第二象限内的点的坐标特点，解一元一次不等式组，熟知第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正是解题的关键． 7. 下列说法正确的有（ ） A. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形； B. 一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形； C. 有一个角是直角的四边形是矩形； D. 对角线相等且垂直的四边形是菱形． 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形，矩形，菱形的判定定理，掌握并理解这些判定定理是解题的关键．根据平行四边形，矩形，菱形的判定定理，逐一判断每个选项，即可得到答案． 【详解】解：A. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故该选项正确，符合题意； B. 一组对边平行，一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故该选项不正确，不符合题意； C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不正确，不符合题意； D. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故该选项不正确，不符合题意． 故选：A． 8. 顺次连接矩形四边中点所组成的四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 以上图形都不是 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查矩形性质、菱形的判定、三角形全等的判定等，掌握相关知识点是解题关键． 由矩形性质得到、，结合中点得到，用证明，得到，同理可得，四边形是菱形得证． 【详解】解：由题画图，得 如图，四边形是矩形点分别是的中点． 四边形是矩形， ， ， 点分别是的中点， ， 又， ， ∴在和中， ， （）， ， 同理可得， 四边形是菱形， 故选：B． 9. 如图，在中，，点E，F，G分别在边，，上，，，则四边形的周长是（ ） A. 32 B. 24 C. 16 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据，，可得四边形AEFG是平行四边形，从而得到FG=AE，AG=EF，再由，可得∠BFE=∠C，从而得到∠B=∠BFE，进而得到BE=EF，再根据四边形的周长是2（AE+EF），即可求解． 【详解】解∶∵，， ∴四边形AEFG是平行四边形， ∴FG=AE，AG=EF， ∵， ∴∠BFE=∠C， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠B=∠BFE， ∴BE=EF， ∴四边形的周长是2（AE+EF）=2（AE+BE）=2AB=2×8=16． 故选：C 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 10. 如图1是利用四边形不稳定性设计的“千斤顶”，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的长度（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即B，D之间的距离）．在手柄转动过程中，B，D之间的距离y（cm）随的长度x（cm）的变化规律如图2所示，则图2中a的值为（ ） A. 42 B. 46 C. 48 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、函数的图象、勾股定理，从函数的图象获取信息是解题的关键．连接交于点O，由图象可知，当时，，利用菱形的性质计算出菱形的边长，再计算出当时的长，即可得出a的值． 【详解】解：如图，连接交于点O， 四边形是菱形， ，，， 由图象可知，当时，， 此时，， ， 当时，， ， ， ． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 正六边形的一个内角的度数为________°． 【答案】120 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理， 先求出正六边形的内角和，再根据每一个内角都相等得出每个内角的度数． 【详解】解：正六边形的内角和为， 所以每一个内角的度数为． 故答案为：120． 12. 不等式组无解，则m的取值范围_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据已知得出关于m的不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得： 由②式知： ∵不等式组无解 ∴ 故答案为： 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，能够根据不等式的解集和已知得出关于m的不等式是解题的关键． 13. 某校开展了“科技节”课外知识竞赛．一共有20道题，每答对一题加5分，不答不扣分，每答错一题倒扣2分．已知小明答错与不答的题数相同，最后比赛得分超过64分．设小明答错了道题，根据题意，可列出关于的不等式为______ 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式；设小明答错了道题，则答对的题数为道，根据最后比赛得分超过64分列出一元一次不等式即可． 【详解】解：设小明答错了道题，则答对的题数为道， 根据题意，． 故答案为：． 14. 如图，在一块长为7米，宽为4米的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1米就是它的右边线．则这块草地（阴影部分）的面积是________平方米． 【答案】24 【解析】 【分析】根据小路的左边线向右平移1米就是它的右边线，可得路的宽度是1米，根据平移，可得到完整的矩形，再根据矩形的面积公式，可得答案． 【详解】解：小路的左边线向右平移1米就是它的右边线， 将小路左半部分的草地向右平移1米，与小路的右半部分对接，可以得到一个长为（米），宽为4米的长方形， ∴这块草地的面积为（平方米）． 故答案为：24． 【点睛】本题主要考查了生活中的平移现象，属于基础题，平移得到长方形，再利用长方形的面积公式得出是解题关键． 15. 如图，菱形的边长为，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，直线分别交，于，两点，连接，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，作垂直平分线，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，延长交于点，根据作图可得垂直平分，则，，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理分别求得，进而勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， 根据作图可得垂直平分， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴，则，， ∴，， ∴， 在中，， 故答案为：． 三、解答题（共8小题） 16. （1）解不等式组：． （2）关于，的二元一次方程组的解满足不等式，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，求不等式组的解集； （1）分别解两个不等式，求公共部分的解集，即可求解； （2）先求出，再根据列出关于a的不等式求解即可． 【详解】解：（1） 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组解集为： （2）将两方程相加可得， ∴， 由可得， 解得， 所以a的取值范围为：． 17. 如图，将矩形纸片沿对角线对折，点落在点的位置，与相交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键． （1）证明，得出，则结论得证； （2）设，则，，在中，根据勾股定理有，解方程得出的长为，进而根据三角形的面积公式，即可得解． 【小问1详解】 证明：由折叠可知， ， ， ， ， 是等腰三角形． 【小问2详解】 设，则，， 在中，根据勾股定理有． 解得：， 长为， ∴ 18. 如图在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出将向左平移5个单位后得到的图形； （2）画出将绕点按顺时针方向旋转后得到的图形，并直接写出四边形的形状_____________； （3）在平面内有一点，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标______________． 【答案】（1）见解析 （2）图见解析；平行四边形 （3） 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，画旋转图形，平行四边形的性质与判定，熟练掌握平移与旋转的性质以及平行四边形的性质是解题的关键； （1）根据平移的性质找到对应点，顺次连接即可求解； （2）根据旋转的性质，找到对应点，并顺次连接，得出，根据旋转的性质得，即可得出四边形是平行四边形，即可求解； （3）根据平行四边形的性质，分为对角线，结合坐标系找到点，并写出点的坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 根据旋转的性质可得： ∴四边形是平行四边形 故答案为：平行四边形． 【小问3详解】 如图，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，点的坐标为 故答案为： ． 19. 如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以1 的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3 的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为ts． （1）当t为何值时，四边形是矩形？ （2）当t为何值时，？为什么？ 【答案】（1）6.5 （2）6或7，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得，则，计算求解即可； （2）分四边形是平行四边形，四边形是等腰梯形两种情况求解． 【小问1详解】 解：由题意得：，，， ∵四边形是矩形， ∴，即， 解得， ∴当t为时，四边形是矩形； 【小问2详解】 解：当t为6或7时，，理由如下： 由题意知，分四边形是平行四边形，四边形是等腰梯形两种情况求解： ①当四边形是平行四边形时，， ∵，， ∴，解得； ②当四边形是等腰梯形时，如图，过作于，过作于，则四边形，是矩形， 由题意知，，， ∵，即，解得； 综上所述，当t为6或7时，． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰梯形的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 20. 数学项目小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了实地调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸如图1所示，为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列，如图2所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运，为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次性最多能转运2列长度均为2.6米的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题： （1）当辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为米，则与的关系式是_______________； （2）求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量； （3）已知该超市有120辆购物车需要从1楼转运到2楼，若每次使用扶手电梯转运24辆，每次使用直立电梯转运数量为第（2）问所求结果，使用手扶电梯和直立电梯两种方式总次数为6次（两种转运方式必须都使用），则有几种使用电梯次数的分配方案？请说明理由． 【答案】（1） （2）16辆 （3）共有3种运输方案，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一次函数应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是列出函数解析式和不等式． （1）根据“一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加”，列出函数关系式； （2）把代入解析式，求出的值即可； （3）设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次，根据题意得 ，求出的取值范围即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 车身总长与购物车辆数的表达式为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时，， 解得，（辆）， 答：直立电梯一次性最多可以运输16辆购物车； 【小问3详解】 解：设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次， 根据题意得：， 解得， 为正整数，且， ， 共有3种运输方案，即用扶手电梯运输3次，直立电梯运输3次或用扶手电梯运输4次，直立电梯运输2次或用扶手电梯运输5次，直立电梯运输1次． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于、两点，点是线段的中点． （1）点的坐标为________________； （2）点是轴上的一点，且满足，求出点的坐标； （3）连接，求直线的表达式_______________，并直接写出时，自变量的取值范围______________； （4）若点是的内部（不包含边界）的一点，请直接写出的取值范围______________． 【答案】（1）； （2）或 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据解析式，分别令，即可求解； （2）设，根据，列出方程，解方程即可求解； （3）根据中点坐标公式，得出点的坐标为，代入，进而根据函数图象，当时，自变量的取值范围为； （4）将代入，结合图形即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线分别交轴、轴于、两点， ∴当时，，当时，， ∴，； 故答案为：；． 【小问2详解】 解：由（1）知，， 则， ∴， ∵， 设， ∴ 解得：或， ∴或 【小问3详解】 解：∵，，点是线段的中点． 点的坐标为； 设直线的解析式为，将点的坐标代入解析式，求得， 根据函数图象可得，当时，自变量的取值范围为． 故答案为：；． 【小问4详解】 解：点在直线上， 当时，即，即， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，一次函数与结合图形，三角形的面积问题，中点坐标公式，两直线交点坐标与不等式的解集，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 22. 定义：角内部的一点到角两边的距离分别为、，将与的比值叫做点关于这个角的“距离比”，记作，其中；若“距离比”，则称点为这个角的“平衡点”． （1）下列四边形对角线的交点一定是这个四边形内角的“平衡点”的是___________（填序号）； ①平行四边形；②矩形；③菱形． （2）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，，对角线、相交于点，，，垂足分别为、，求点关于的“距离比”的值； （3）在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，对角线、相交于点，若点为的“平衡点”，且，点的纵坐标为，直接写出点的坐标_____________； （4）在（3）的条件下，为直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，且，则最小值为_________________． 【答案】（1）③ （2） （3）或 （4） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形，矩形，菱形以及角平分线的性质求解即可； （2）利用平行四边形的性质得出，利用三角形中线的性质得出，然后利用三角形面积公式可求，即可求点P关于的“距离比”k的值； （3）利用“平衡点”的定义可知，进而得出，结合平行线的性质可得，利用等角对等边可得，从而得出平行四边形是菱形，得出C的纵坐标是，设，利用两点间距离公式列出x的方程，然后求解即可； （4）根据题意画出图形，根据旋转的性质以及菱形的性质，证明得出，则当时，取得最小值，此时最小，根据（3）的条件可得C的纵坐标是，即可求解． 【小问1详解】 解：根据“平衡点”的定义知：，即， ∴点P在这个角的平分线上， 而平行四边形、矩形的对角线不一定平分一组对角，只有菱形的对角线平分每一组对角， ∴菱形对角线的交点一定是菱形内角的“平衡点” 故选：③； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点P关于的“距离比”k的值 【小问3详解】 ∵点P为的“平衡点”， ∴， 又，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∵，B的纵坐标是， ∴C的纵坐标是， 设C的横坐标为x， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴点C的坐标为或． 【小问4详解】 解：如图所示， ∵四边形是菱形， ∴ ∵将线段绕点顺时针旋转得到，且 ∴， ∴ ∴， ∴当时，取得最小值，此时最小， ∵C的纵坐标是， ∴的最小值为，即最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的判定与性质，角平分线的判定，勾股定理等知识，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，明确题意，理解新定义，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 23. 【问题初探】 （1）数学活动课上，老师给出了一个问题：如图1，在和中，，，，，求证：． ①如图2，小林同学从条件入手，发现，结合，以为目标三角形，在上裁取，使得，通过证明三角形全等和等腰三角形，从而得出结论． ②如图3，小强同学从结论入手，分别过点和点向边和边作垂线段，将和转化为两个全等的直角三角形的对应边，从而得出结论． 请你选择其中一名同学的思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）老师发现这两名同学都运用了转化思想，将证明两条线段相等转化为证明两个三角形全等，为了帮助学生更好地感悟转化思想，赵老师又提出下面的问题，请你解答． 如图4，在中，，，点，在边上，且，连接，过点作，垂足为点，交于点，连接，直接写出，，的数量关系________________； 【学以致用】 （3）如图5，已知等边中，为边上一动点，连接，将绕若顺时针旋转120°得到，连接，取中点，连接，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）①小林同学，证明得出，，进而证明得出，等量代换得出； ②小强同学，分别过点和点向边和边作垂线段， （2）过点作交的延长线于点，证明，进而证明得出，结合图形，即可得证； （3）延长至，使得，得出是等边三角形，证明，则，进而根据中位线的性质可得，即可求解． 【详解】（1）①小林同学，如图2，在上截取，使得， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②小强同学，如图3，分别过点和点向边和边作垂线段， ∴， 又∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）； 证明：如图，过点作交的延长线于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （3）如图，延长至，使得， ∵绕若顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 又∵是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵分别是的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，中位线的性质，熟练掌握以上知识，添加合适的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈阳市第一二六中学2024-2025学年度八年级下 数学学科5月份作业检测 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列6个式子①－2＜0；②2x－1＞0；③2x－1＝0；④2x－1＜0；⑤m－2；⑥－2≤2ab，其中不等式有( ) A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 3. 如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 若，则下列不等式不一定成立是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点，在线段上，，于点，于点，要根据“”证明，则还需添加的一个条件是（ ） A. B. C. D. 6. 点在第二象限，则的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 7. 下列说法正确的有（ ） A. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形； B. 一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形； C. 有一个角是直角四边形是矩形； D. 对角线相等且垂直的四边形是菱形． 8. 顺次连接矩形四边中点所组成的四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 以上图形都不是 9. 如图，在中，，点E，F，G分别在边，，上，，，则四边形的周长是（ ） A. 32 B. 24 C. 16 D. 8 10. 如图1是利用四边形不稳定性设计的“千斤顶”，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的长度（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即B，D之间的距离）．在手柄转动过程中，B，D之间的距离y（cm）随的长度x（cm）的变化规律如图2所示，则图2中a的值为（ ） A. 42 B. 46 C. 48 D. 50 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 正六边形的一个内角的度数为________°． 12. 不等式组无解，则m的取值范围_________． 13. 某校开展了“科技节”课外知识竞赛．一共有20道题，每答对一题加5分，不答不扣分，每答错一题倒扣2分．已知小明答错与不答的题数相同，最后比赛得分超过64分．设小明答错了道题，根据题意，可列出关于的不等式为______ 14. 如图，在一块长为7米，宽为4米的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1米就是它的右边线．则这块草地（阴影部分）的面积是________平方米． 15. 如图，菱形的边长为，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，直线分别交，于，两点，连接，则____________． 三、解答题（共8小题） 16. （1）解不等式组：． （2）关于，的二元一次方程组的解满足不等式，求的取值范围． 17. 如图，将矩形纸片沿对角线对折，点落在点的位置，与相交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求． 18. 如图在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出将向左平移5个单位后得到的图形； （2）画出将绕点按顺时针方向旋转后得到的图形，并直接写出四边形的形状_____________； （3）在平面内有一点，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标______________． 19. 如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以1 的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3 的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为ts． （1）当t为何值时，四边形是矩形？ （2）当t为何值时，？为什么？ 20. 数学项目小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了实地调研，获得如下信息： 信息1 购物车尺寸如图1所示，为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列，如图2所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运，为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次性最多能转运2列长度均为2.6米的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题： （1）当辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为米，则与的关系式是_______________； （2）求该超市直立电梯一次最多能转运购物车数量； （3）已知该超市有120辆购物车需要从1楼转运到2楼，若每次使用扶手电梯转运24辆，每次使用直立电梯转运数量为第（2）问所求结果，使用手扶电梯和直立电梯两种方式总次数为6次（两种转运方式必须都使用），则有几种使用电梯次数的分配方案？请说明理由． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于、两点，点是线段的中点． （1）点的坐标为________________； （2）点是轴上的一点，且满足，求出点的坐标； （3）连接，求直线的表达式_______________，并直接写出时，自变量的取值范围______________； （4）若点是的内部（不包含边界）的一点，请直接写出的取值范围______________． 22. 定义：角内部的一点到角两边的距离分别为、，将与的比值叫做点关于这个角的“距离比”，记作，其中；若“距离比”，则称点为这个角的“平衡点”． （1）下列四边形对角线的交点一定是这个四边形内角的“平衡点”的是___________（填序号）； ①平行四边形；②矩形；③菱形． （2）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，，对角线、相交于点，，，垂足分别为、，求点关于的“距离比”的值； （3）在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，对角线、相交于点，若点为的“平衡点”，且，点的纵坐标为，直接写出点的坐标_____________； （4）在（3）的条件下，为直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，且，则最小值为_________________． 23. 【问题初探】 （1）数学活动课上，老师给出了一个问题：如图1，在和中，，，，，求证：． ①如图2，小林同学从条件入手，发现，结合，以目标三角形，在上裁取，使得，通过证明三角形全等和等腰三角形，从而得出结论． ②如图3，小强同学从结论入手，分别过点和点向边和边作垂线段，将和转化为两个全等的直角三角形的对应边，从而得出结论． 请你选择其中一名同学的思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）老师发现这两名同学都运用了转化思想，将证明两条线段相等转化为证明两个三角形全等，为了帮助学生更好地感悟转化思想，赵老师又提出下面的问题，请你解答． 如图4，在中，，，点，在边上，且，连接，过点作，垂足为点，交于点，连接，直接写出，，的数量关系________________； 【学以致用】 （3）如图5，已知等边中，为边上一动点，连接，将绕若顺时针旋转120°得到，连接，取中点，连接，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $