精品解析：江西省景德镇市2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷

景德镇市2024-2025学年度下学期期中质量检测卷 八年级数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 等腰三角形的顶角是，则它的底角是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的定义、三角形的内角和定理即可得． 【详解】设这个等腰三角形的底角的度数为x 则 解得 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的内角和定理，掌握理解等腰三角形的定义是解题关键． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 3. 下列不等式变形正确的是（ ） A. 若a＋c＜b＋c，则a＞b B. 若a＞b，则ac2＞bc2 C. 若a＞b，c＜0，则ac＜bc D. 若＞，则a＞b 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A、∵a＋c＜b＋c， ∴两边减去c得：a＜b，故本选项不符合题意； B、∵a＞b， ∴ac2≥bc2（当c＝0时，ac2＝bc2），故本选项不符合题意； C、∵a＞b，c＜0， ∴ac＜bc，故本选项符合题意； D、 当c＞0时，a＞b； 当c＜0时，a＜b；故本选项不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键在于能够熟练掌握不等式的性质. 4. 在直角坐标系中，点绕原点O逆时针旋转，得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，解题的关键是正确作出图形解决问题．把点绕原点旋转的问题转化为直角三角形旋转的问题，画出图形可解决问题． 【详解】解：过A点作轴，过B点作轴，垂足分别为D、E， ∵点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点B的坐标为． 故选：B． 5. 如果不等式组恰有4个整数解，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据不等式组整数解的情况确定字母的取值范围．先根据一元一次不等式组解出x的取值，再根据不等式组只有4个整数解，求出实数a的取值范围． 【详解】解：不等式组的解集为， ∵不等式组有且只有4个整数解， ∴这4个整数解为， ∴． 故选：C． 6. 如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，BC＝B′C′，∠C′AB′＝∠CAB＝20°，∠AB′C′＝∠ABC＝30°，再根据旋转角的度数为50°，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可． 【详解】解：①∵△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′， ∴BC＝B′C′．故①正确； ②∵△ABC绕A点逆时针旋转50°， ∴∠BAB′＝50°． ∵∠CAB＝20°， ∴∠B′AC＝∠BAB′﹣∠CAB＝30°． ∵∠AB′C′＝∠ABC＝30°， ∴∠AB′C′＝∠B′AC． ∴AC∥C′B′．故②正确； ③在△BAB′中，AB＝AB′，∠BAB′＝50°， ∴∠AB′B＝∠ABB′＝（180°﹣50°）＝65°． ∴∠BB′C′＝∠AB′B+∠AB′C′＝65°+30°＝95°． ∴CB′与BB′不垂直．故③不正确； ④在△ACC′中， AC＝AC′，∠CAC′＝50°， ∴∠ACC′＝（180°﹣50°）＝65°． ∴∠ABB′＝∠ACC′．故④正确． ∴①②④这三个结论正确． 故选：B． 【点睛】此题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，还考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定等知识．熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 不等式的解集为___________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解不等式的步骤是解题关键.先移项，再系数化为，即可得答案. 【详解】解： 移项得：， 解得：. 故答案为： 8. 用反证法证明“”时，应假设 ． 【答案】a≥b 【解析】 【分析】找出原命题的反面即可得出假设条件. 【详解】用反证法证明“”时，应假设a≥b． 【点睛】本题考查反证法，找到原命题的反面是关键. 9. 若点坐标为，将点向右平移3个单位长度后落在轴上，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，熟练掌握平面直角坐标系中点的平移规律是解题的关键．点向右平移3个单位后的横坐标为，落点恰好在轴上，所以，解方程即得答案． 【详解】解：将点向右平移3个单位长度后落在轴上， ， 解得． 故答案为：5． 10. 如图，在中，，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质．由旋转的性质可证得为等边三角形，则可求得，再利用线段的和差，则可求得答案． 【详解】解：将绕点按顺时针旋转一定角度得到， ， ， 为等边三角形， ， ， 故答案为：2． 11. 如图，平面直角坐标系中，经过点的直线与直线相交于点，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与一元一次不等式．不等式的解集就是图象上两个一次函数的图象都在轴的下方，且的图象在的图象的下边的部分对应的自变量的取值范围． 【详解】解：经过点的直线与直线相交于点， 不等式的解集为． 故答案为：． 12. 已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．如图1，Rt△ABC中，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．在图2的△ABC中，∠ABC＝110°，若直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，则∠CDB的度数是_____． 【答案】40°或90°或140° 【解析】 【分析】分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解． 【详解】解：①如图， 当∠DBC=90°，AD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线， ∵∠ABC=110°，∠DBC=90°， ∴∠ABD=20°， ∵AD=BD， ∴∠A=∠ABD=20°， ∴∠CDB=∠A+∠ABD=40°； ②如图， 当∠BDC=90°，AD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，或当∠BDC=90°，CD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，； ③如图， 当∠ABD=90°，CD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线， ∵∠ABC=110°，∠ABD=90°， ∴∠DBC=20°， ∵CD=BD， ∴∠C=∠DBC=20°， ∴∠BDC=140°． 综上所述：当∠BDC的度数是40°或90°或140°时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解二分割线是本题的关键． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）用不等式表示“的倍与的差大于”； （2）若关于的不等式可化为，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了列一元一次不等式、解一元一次不等式及不等式的性质，能根据不等式的解集得出是解题关键． （1）先表示出的倍，再表示出与的差，最后根据大于可得不等式； （2）根据不等式的性质，不等式的两边都除以，不等号方向发生改变，所以得到，求出即可． 【详解】解：（1）∵的倍与的差表示为， ∴用不等式表示“的倍与的差大于为：． （2）∵关于的不等式可化为， ∴， 解得：． 14. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】．图见解析 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组．先解出每个不等式的解集，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则取公共解集，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集为． 在数轴上表示为： 15. 如图，在中，，，．将沿着点到点的方向平移到的位置，与交于点． （1）求平移的距离； （2）求阴影部分的面积． 【答案】（1）平移的距离为 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查图形平移的性质、含角的直角三角形的性质及勾股定理等知识点，掌握平移的性质以及图形面积的转换是解题的关键． （1）根据含角的直角三角形的性质，结合勾股定理得出，即可求出平移距离； （2）根据含角的直角三角形的性质，结合勾股定理得出，根据平移的性质得出，可得，利用梯形的面积公式即可得答案． 【小问1详解】 解：∵，，，将沿着点到点的方向平移到的位置， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴平移的距离为． 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 16. 如图，在中，，，垂直平分线段分别交，于点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）在图（1）中，作的平分线； （2）如图（2），点是的中点，作的平分线． 【答案】（1） 如图，即为所求，    （2） 如图，即为所求，      【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得，由垂直平分线的性质可得，从而得到，则，即可得到，即平分； （2）连接相交于一点，连接交于，交于，连接交于，即为所求． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， ， ，，， ， 垂直平分， ， ， ， ， 平分； 【小问2详解】 解：如图，即为所求， ， 连接相交于一点，连接交于，交于，连接交于，即为所求， 分别为的中点， 是的中线， 等腰三角形的顶角的角平分线、底边的中线、底边的高线三条线相互重合，三角形的三条中线、三条角平分线均相交于一点， 即为的平分线． 【点睛】本题主要考查了作图—无刻度直尺作图，垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，等腰三角形的顶角的角平分线、底边的中线、底边的高线三条线相互重合，三角形的三条中线、三条角平分线均相交于一点，熟练掌握垂直平分线的性质、等腰三角形的性质是解题的关键． 17. 如图，一次函数的图像与一次函数的图像交于点，一次函数的图像与轴交于点，且经过点． （1）求点的坐标和一次函数的解析式； （2）根据图像，直接写出的解集． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象和性质等知识点，正确求出的值是解题关键． （1）把点代入直线的解析式求出的值，根据点、的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根据图像写出直线在直线上方时对应的自变量的范围即可． 【小问1详解】 解：∵点在一次函数的图像上， ∴， 解得：， ∴， ∵一次函数的图像与一次函数的图像交于点，的图像经过点， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：∵ ∴由图像可知：的解集为：． 四、（本大题3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，是的中点，，，垂足分别是E，F． （1）若，求证：是的角平分线； （2）若是的角平分线，求证：． 【答案】（1） 证明：∵是的中点， ∴， ∵，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴平分，即是的角平分线； （2） 证明：∵是的角平分线，，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是： （1）根据证明，得出，然后根据角平分线的判定即可得证； （2）根据角平分线的性质得出，然后根据证明，再根据全等三角形的性质即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知关于的方程组的解是非负数． （1）求的取值范围； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组、化简绝对值、整式的加减，熟练掌握方程组和不等式组的解法是解题关键． （1）先利用加减消元法求出方程组的解，再根据方程组的解是非负数建立关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得； （2）根据（1）的答案可得，，再根据绝对值的性质化简绝对值，计算整式的加减即可得答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵关于的方程组的解是非负数， ∴， 解得：． 【小问2详解】 解：由（1）可知：， ∴，， ∴ ． 20. 如图，在四边形中，点E是边上一点，且，． （1）求证：； （2）若，时，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由求出，然后利用证明，可得，再由等边对等角得出结论； （2）过点E作于F，根据等腰三角形的性质和含直角三角形的性质求出和，然后利用勾股定理求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，即， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点E作于F， 由（1）知， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含直角三角形的性质以及勾股定理等知识，正确寻找证明三角形全等的条件是解题的关键． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某公交公司有型两种客车，它们的载客量和租金如下表： 载客量（人/辆） 租金（元/辆） 希望中学根据实际情况，计划租用型客车共，同时送八年级师生到基地校参加社会实践活动，设租用型客车辆，根据要求回答下列问题： （1）用含的式子填写下表： 车辆数（辆） 载客量 租金（元） ①___________ ②___________ （2）若要保证租车费用不超过元，求的最大值； （3）在（2）的条件下，若八年级师生共有人，写出最省钱的租车方案． 【答案】（1）， （2）的最大值为 （3）最省钱的租车方案为：型车辆，型车辆 【解析】 【分析】本题考查列代数式及一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出不等式是解题关键． （1）根据型车辆数乘以每辆车载客量即是型车载客量，型车辆数乘以每辆车租金即为型车的租金； （2）型车租金为元，型车租金元，列出不等式即可求解； （3）型、型车载客量不小于，列出不等式即可得到范围，结合（2）中范围，分别在范围内取整数计算每种方案租金，比较即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵型车辆，每辆载客人，每辆租金元，租用型客车辆， ∴型车载客为人，租金是元； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵型车租金为元，型车租金元，租车费用不超过元， ∴， 解得：， ∴的最大值为． 【小问3详解】 ∵型车载客量为人，型车载客量为人，八年级师生共有人， ∴， 解得：， 由（2）可知：， ∵为整数， ∴或， 当时，， 当时，， ∵， ∴最省钱的租车方案为：型车辆，型车辆． 22. 对于任意实数，定义一种关于的运算：．例如：． （1）若，求的取值范围； （2）若关于的不等式组的解集为满足，求的值； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据新定义列出关于x的不等式，求解即可； （2）根据新定义得到，求出，然后根据题意得到，，求出，，然后代入求解即可； （3）根据新定义得到，然后得到求解即可． 【小问1详解】 根据题意得， 解得； 【小问2详解】 根据题意得， 解得 ∵关于的不等式组的解集为满足 ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得． 【点睛】此题考查了新定义运算，解不等式组，根据不等式的解集求参数，解题的关键是掌握以上知识点． 六（本大题共12分） 23. 问题初探：数学课外兴趣小组活动时，数学马老师提出了如下问题：在中，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：延长到，使得；再连接，把，集中在中：利用上述方法求出的取值范围是． （1）问题：请利用图1说明与的位置关系； 感悟：数学马老师给学生们总结解这类问题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，或通过引平行线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （2）类比分析：如图2，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断之间的等量关系； （3）问题解决：如图3，，与交于点，且点是的中点，点在线段上，且，若，，求的值． 【答案】（1）； （2），理由见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）根据三角形全等的判定定理即可得出结论； （2），延长，交于点F，证明推出 再证明即可解决问题； （3）延长交的延长线于点G，证明，求得．作交的延长线于点，证明，再利用直角三角形的性质结合勾股定理可得结论． 【小问1详解】 解：延长到，使得； ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图：延长交于点F， ， ， 在和中， ， ， ， ∵是的平分线， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，延长交的延长线于点G， ∵ E是的中点， ， ， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 作交的延长线于点， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形三边关系、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 景德镇市2024-2025学年度下学期期中质量检测卷 八年级数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 等腰三角形的顶角是，则它的底角是（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列不等式变形正确的是（ ） A. 若a＋c＜b＋c，则a＞b B. 若a＞b，则ac2＞bc2 C. 若a＞b，c＜0，则ac＜bc D. 若＞，则a＞b 4. 在直角坐标系中，点绕原点O逆时针旋转，得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如果不等式组恰有4个整数解，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 不等式的解集为___________. 8. 用反证法证明“”时，应假设 ． 9. 若点坐标为，将点向右平移3个单位长度后落在轴上，则________． 10. 如图，在中，，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为________． 11. 如图，平面直角坐标系中，经过点的直线与直线相交于点，则不等式的解集为________． 12. 已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．如图1，Rt△ABC中，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．在图2的△ABC中，∠ABC＝110°，若直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，则∠CDB的度数是_____． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）用不等式表示“的倍与的差大于”； （2）若关于的不等式可化为，求的取值范围． 14. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 15. 如图，在中，，，．将沿着点到点的方向平移到的位置，与交于点． （1）求平移的距离； （2）求阴影部分的面积． 16. 如图，在中，，，垂直平分线段分别交，于点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）在图（1）中，作的平分线； （2）如图（2），点是的中点，作的平分线． 17. 如图，一次函数的图像与一次函数的图像交于点，一次函数的图像与轴交于点，且经过点． （1）求点的坐标和一次函数的解析式； （2）根据图像，直接写出的解集． 四、（本大题3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，是的中点，，，垂足分别是E，F． （1）若，求证：是的角平分线； （2）若是的角平分线，求证：． 19. 已知关于的方程组的解是非负数． （1）求的取值范围； （2）化简：． 20. 如图，在四边形中，点E是边上一点，且，． （1）求证：； （2）若，时，求的面积． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某公交公司有型两种客车，它们的载客量和租金如下表： 载客量（人/辆） 租金（元/辆） 希望中学根据实际情况，计划租用型客车共，同时送八年级师生到基地校参加社会实践活动，设租用型客车辆，根据要求回答下列问题： （1）用含的式子填写下表： 车辆数（辆） 载客量 租金（元） ①___________ ②___________ （2）若要保证租车费用不超过元，求的最大值； （3）在（2）的条件下，若八年级师生共有人，写出最省钱的租车方案． 22. 对于任意实数，定义一种关于的运算：．例如：． （1）若，求的取值范围； （2）若关于的不等式组的解集为满足，求的值； （3）若，求的取值范围． 六（本大题共12分） 23. 问题初探：数学课外兴趣小组活动时，数学马老师提出了如下问题：在中，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：延长到，使得；再连接，把，集中在中：利用上述方法求出的取值范围是． （1）问题：请利用图1说明与的位置关系； 感悟：数学马老师给学生们总结解这类问题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，或通过引平行线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （2）类比分析：如图2，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断之间的等量关系； （3）问题解决：如图3，，与交于点，且点是的中点，点在线段上，且，若，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $