精品解析：江苏省南京航空航天大学苏州附属中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

南航苏州附中2024-2025学年第二学期高一年级期中考试试卷 数学 命题人：顾美玲 审核人：李鑫华 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，且的最小值为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 在△ABC中，若b＝2，A＝120°，三角形面积，则三角形外接圆的半径为 A. B. C. 2 D. 4 4. 已知则等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图， 在△ABC中， P是线段BN上的一点，若 则实数m等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知中，，，，若的平分线交于点，则的长为（ ）. A. B. C. D. 8. 已知，曲线与相邻的三个交点构成一个直角三角形，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 函数是偶函数 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数的图象的对称轴方程为 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 在中，若，则必是等腰直角三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 在中，若，则 D. 在中，若，则必是等边三角形 11. 已知点为所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则在上的投影向量为 B. 若两两的夹角相等，且，则 C. 若，且，则为等边三角形 D. 若，且，则的面积是面积的 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，，，若，则的值为______ 13. 已知，都锐角且，，则________． 14. 已知函数在区间上是严格增函数，则取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知，，与的夹角. （1）求； （2）若与共线，求的值. 16. 在中，，是边上的点，，，. （1）求cos B与的面积； （2）求边AC的长. 17. 设函数，其中，，，其图象的两条对称轴间的最短距离是，若对恒成立，且. （1）求的解析式； （2）在锐角中，，，是三个内角，满足，求证：，并求的取值范围. 18. 已知函数. （1）求函数的对称轴方程； （2）若函数在区间上恰有个零点， （i）求实数的取值范围； （ii）求的值. 19. 定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． （1）若向量为函数伴随向量，求； （2）若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值； （3）若函数为向量的伴随函数，关于x的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南航苏州附中2024-2025学年第二学期高一年级期中考试试卷 数学 命题人：顾美玲 审核人：李鑫华 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，且的最小值为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由的最小值为可得最小正周期，即可得答案. 【详解】因， 则的一个对称中心为，一条对称轴为， 又最小值为，则相邻对称中心与对称轴距离，即最小正周期的为， 则最小正周期为，则. 故选：B 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用向量平行的坐标运算求解即可 【详解】∵，，且， ∴，∴，∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了向量线性运算的坐标运算，以及两个向量平行的坐标表示与运算，属于中低档题型， 3. 在△ABC中，若b＝2，A＝120°，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为 A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】 ，解得c=2. ∴a2=22+22−2×2×2×cos120°=12， 解得 ， ∴ ， 解得R=2. 本题选择C选项. 4. 已知则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦二倍角公式即可求解. 【详解】， 故选：A 5. 如图， 在△ABC中， P是线段BN上的一点，若 则实数m等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得，然后利用三点共线推论即可得出答案. 【详解】， ， 因为P、B、N三点共线，所以， 故选：D. 6. 如图，在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等式变形得出，由已知等式结合平面向量的线性运算可得出关于的表达式，利用平面向量数量积的运算性质可得出的值. 【详解】因为，所以，，化简可得， 因为，即，可得， 故. 故选：C. 7. 已知中，，，，若的平分线交于点，则的长为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合诱导公式及三角恒等变换公式可得，再根据三角形面积公式可得解. 【详解】由已知， 即， 则， 由，即， 可得，解得， 又的平分线交于点， 则， 所以在中，， 即， 即， 解得， 故选：C. 8. 已知，曲线与相邻的三个交点构成一个直角三角形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设曲线与相邻的三个交点为，根据两角差的余弦公式，辅助角公式及正弦函数的性质求解出交点坐标，再根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】设曲线与相邻的三个交点为， ， 解得， 不妨取，则， 所以， 则， 由题意得为直角三角形， 所以，即，解得， 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A B. 函数是偶函数 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数的图象的对称轴方程为 【答案】AC 【解析】 【分析】对选项A，根据函数图象即可得到最小正周期为，即可判断A正确，对选项B，根据为奇函数，即可判断B错误，对选项C，根据即可判断C正确，对选项D，根据函数的对称轴方程为，即可判断D错误. 【详解】对于A，由图可得的最小正周期为，则， 故A正确； 对于B，由A分析，， 则为奇函数，故B错误； 对于C，因，则， 因在上单调递增，则函数在区间上单调递增， 故C正确； 对于D，令，，解得， 所以的对称轴方程为，故D错误， 故选：AC 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 在中，若，则必是等腰直角三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 中，若，则 D. 在中，若，则必是等边三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】A由正弦定理边角关系，结合三角形内角的性质判断内角A、B的数量关系；B由，则，结合正弦函数的单调性可得证；C由正弦定理的边角关系判断；D利用余弦定理，结合已知得，进而判断△的形状. 【详解】A：由题设，可得， 又，则或，故为等腰或直角三角形，错误； B：在锐角中，，则， 又在单调递增，所以，正确； C：若，由大角对大边知，又，可知，正确； D：由题设，，故，即，又， 可知，故必是等边三角形，正确. 故选：BCD 11. 已知点为所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则在上的投影向量为 B. 若两两的夹角相等，且，则 C. 若，且，则为等边三角形 D. 若，且，则的面积是面积的 【答案】BCD 【解析】 【分析】由投影向量的计算可得A错误；由数量积的运算律和定义可得B正确；由向量夹角的计算结合垂直的向量表示可得C正确；先由向量共线的性质确定的位置，再由三角形的面积公式可得. 【详解】对于A，在上的投影向量为 ，故A错误； 对于B，记向量分别为， 它们之间的夹角不可能都为0，故夹角为， 则 ，故B正确； 对于C，因为 ， 所以，又， 在区间上单调递减，则， 又， 为等边三角形，故C正确； 对于D，令， 三点共线， 又是线段上靠近点的三等分点， 即点到边的距离是点到边的距离的 且两三角形的底相同，高之比等于， ，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，，，若，则的值为______ 【答案】或 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算列方程，解方程即可. 【详解】由已知，，且， 则， 解得或， 故答案为：或. 13. 已知，都是锐角且，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知及同角三角函数的平方关系和商数关系求得，和，再根据两角和的余弦定理求出，再结合即可求解． 【详解】因为，，所以，， 又，， 所以，， 所以， 由，设， ，解得， 所以， 所以 ， 又，所以， 故答案为：． 14. 已知函数在区间上是严格增函数，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】问题化为在上单调递增，且，结合正弦函数的图象及相关性质列不等式求参数范围. 【详解】由，则， 由题意在上单调递增，且， 所以，则，故， 综上，，则，故. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知，，与的夹角. （1）求； （2）若与共线，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等式及向量的运算律求解即可； （2）根据共线向量定理列等式求解即可. 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 与共线， ∴存在唯一实数，使得 即， 又与不共线，∴， 解得. 16. 在中，，是边上的点，，，. （1）求cos B与的面积； （2）求边AC的长. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）借助余弦定理与面积公式计算即可得； （2）借助正弦定理计算即可得. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得， ∵，∴， ∴； 【小问2详解】 由（1）知，∵，∴， 在中，由正弦定理得， 即. 17. 设函数，其中，，，其图象的两条对称轴间的最短距离是，若对恒成立，且. （1）求的解析式； （2）在锐角中，，，是的三个内角，满足，求证：，并求的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）根据函数对称轴距离可得最小正周期，进而可得，再根据不等式恒成立可确定函数最小值点，进而可得，代入可得； （2）根据三角恒等变换化简可得证，再由，可得，结合的取值范围可得解. 【小问1详解】 由已知函数图象的两条对称轴间的最短距离是， 则，即， 又，所以， 又对恒成立，且， 则，，且， 解得，， 又，所以， 综上所述； 【小问2详解】 由（1）得， 又， 即，即， 又为锐角三角形， 所以，，则，， 所以， 即， 又在中，， 所以， 又，即，， 则. 18. 已知函数. （1）求函数对称轴方程； （2）若函数在区间上恰有个零点， （i）求实数的取值范围； （ii）求的值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换整理可得，结合正弦函数的对称性运算求解； （2）（i）令，分析可知在区间上恰有个零点等价于与在上恰有个不同的交点，结合图象即可得结果；（ⅱ）根据函数图象结合函数对称性列式求解. 【小问1详解】 由题意可得：， 令，解得：， 所以的对称轴方程为. 【小问2详解】 由（1）得：， 令，可得， 当时，令， 则在区间上恰有个零点等价于与在上恰有个不同的交点， 作出在上的图像如下图所示， 由图像可知：当时，与恰有个不同的交点， 所以实数的取值范围为； （ii）设与的个不同的交点分别为， 则，，则， 即，整理可得：， 所以 19. 定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． （1）若向量为函数的伴随向量，求； （2）若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值； （3）若函数为向量的伴随函数，关于x的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用和角公式与诱导公式化简，依题即得，求其模长即可； （2）利用伴随函数定义和题设条件求得，再由和角公式求得，借助于正弦定理和余弦定理即可求得； （3）利用降幂公式根据将方程化成，根据和余弦值的符号分段化简函数，作出其图象，将方程的根的情况化成函数与函数的图象在上的交点情况，结合图象易得. 【小问1详解】 因， 则，故. 【小问2详解】 依题意，， 由可得， 因，则，故，解得 因，则， 又，代入解得①， 由正弦定理，，可得， 代入①，可得②， 又由余弦定理，， 可得③， 于是， 解得. 【小问3详解】 依题意，， 由可得， 即， 当或时，； 当时，， 作出函数在上的图象. 因方程在上有且仅有四个不相等实数根 等价于函数与函数的图象在上有四个交点. 由图知，当且仅当或时，两者有四个交点. 故实数m的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$