精品解析：2025年江苏省常州市溧阳市中考一模数学试题

溧阳市2024~2025学年度下学期九年级模拟测试 数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟，考生应将答案全部填写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，考试时不允许使用计算器 2．答题前，考生务必将自己的姓名、考试证号填写在试卷上，并填写好答题卡上的考生信息． 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题(本大题共有8小题，每小题2分，共16分，在毎小题所给的四个选项中，只有一项是正确的) 1. 下列四个数中，最大的数是（ ） A. B. 0 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了有理数大小的比较，解题的关键是熟练掌握比较有理数大小的方法． 根据比较有理数大小的方法求解即可． 【详解】解：∵正数＞0＞负数，两个负数绝对值大的负数反而小， ∴ ∴最大的数是， 故选：C． 2. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3. 九位评委对参加演讲比赛的选手评分，比赛规则规定要去掉一个最高分和一个最低分，然后计算剩下的7个分数的平均分作为选手的比赛得分，规则“去掉一个最高分和一个最低分”一定不会影响这组数据的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 极差 D. 众数 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查平均数、中位数、众数、极差的意义，正确理解各意义并用于解题是关键.根据平均数、中位数、众数、极差的意义分别判断即可得到答案. 【详解】解：去掉一个最高分和一个最低分后一定会影响平均分、极差，有可能影响众数，但是这组数据的中间两个数没有变化故一定不会影响中位数， 故选：B. 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项的法则把各选项系数相加即可． 【详解】解：A、不是同类项不能合并，错误； B、不是同类项不能合并，错误； C、合并同类项只对系数进行加减法，字母不变，错误； D、是同类项，把系数相加，字母不变结果为，故D正确； 故答案选：D． 【点睛】本题主要考查了合并同类项法则的应用，注意：合并同类项时，把同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数不变，熟记合并同类项法则是解决本题的关键． 5. 如图，在中，，，，则点 到的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是掌握解直角三角形和点到直线的距离定义． 过点A作，通过三角形内角和定理求出的度数，再在直角三角形中利用正弦求出点A到 的距离． 【详解】解：过点作，垂足为D， 在 中，， ， 在中，， ， ∴点A到 的距离为． 故选：A． 6. 如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若，该正多边形的边数是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据，得到，根据正多边形，得 ，，设，于是得到，求出 ，根据，解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， 又点A、B、C、D为一个正多边形的顶点， 故 ，， 设， 则， 解得：， 故， 设多边形是 边形， 则， 解得 ． 故选：D． 【点睛】本题考查了正多边形的定义，内角和定理，等腰三角形的性质，解方程，熟练掌握定义和解方程是解题的关键． 7. 若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据得到且a，b同号，结合得到，整理后，解方程即可． 本题考查了非负性，解方程，求代数式的值，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：由得到且a，b同号， ∵ ∴ ∴， ∴， 又， ∴， 解得， 故或， 当时，； 当时，； 故选：A． 8. 如图，在平面直角坐标系中，的边落在x轴上，边落在y轴上，点C是的中点，将沿的中垂线翻折，得到，反比例函数经过点D，且，则k的值是（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，相似三角形的判定与性质及折叠的性质，设的中垂线与x轴交点为H，连接，易得，再根据点C是的中点，得到，求出，再证明，推出，由，求出，即可求出，得到，再结合折叠的性质可得，求出，进而求出，即得到，最后结合反比例函数位于第二象限，即可求解． 【详解】解：设的中垂线与x轴交点为H，连接， 则， ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴，即， ∴， ∵反比例函数位于第二象限， ∴． 故选：D． 二．填空题(本大题共有10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上) 9. 计算:_____________________． 【答案】2025 【解析】 【分析】根据二次根式的性质解答即可． 本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：2025． 10. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键，提公因式，分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 11. 如图，直线，若，则_____________________． 【答案】40度## 【解析】 【分析】构造辅助线，利用平行线的性质理解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，，熟练掌握性质和判定是解题的关键． 【详解】解：作 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 某校为了解学生对A，B，C，D四类运动的参与情况，随机调查了本校80名学生，让他们从中选择参与最多的一类，得到对应的人数分别是30，20，18，12．若该校有800名学生，则估计有___________人参与A类运动最多． 【答案】300 【解析】 【分析】利用样本估计总体即可求解． 【详解】解：（人）． 估计有300人参与A类运动最多． 故答案为：300． 【点睛】本题考查了样本估计总体，掌握用样本估计总体是本题的关键． 13. 如图，在 中， 是直径，，则_____________________°． 【答案】35 【解析】 【分析】根据圆周角定理，得 ，，结合解答即可． 本题考查了圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握定理是解题关键． 【详解】解：∵在 中， 是直径， ∴ ，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：35． 14. 已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15π，则这个圆锥的底面圆半径为_____cm. 【答案】3 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积和圆锥的母线长求得圆锥的弧长，利用圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径即可． 【详解】∵圆锥的母线长是5cm，侧面积是15πcm2， ∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：， ∵锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长， ∴r==3cm， 故答案为3． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是正确地进行圆锥与扇形的转化． 15. 如图，平行四边形 的周长为， 平分 ，若，则 的长度为_____cm． 【答案】8 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质证明，结合已知解答即可． 【详解】解：∵平行四边形 的周长为， ∴,，， ∴， ∵ 平分 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，角的平分线，平行线的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 16. 在平面直角坐标系中，函数，其中a为常数，且 ，点和在函数的图象上，且，则a的取值范围为___________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数，其中a为常数，且 ，点和在函数的图象上，且，得到，解不等式即可． 本题考查了图象与点的关系，函数的增减性，解不等式，熟练掌握增减性，解不等式是解题的关键． 【详解】解：∵函数，其中a为常数，且 ，点和在函数的图象上，且， ∴， 整理，得， 解得， 故答案为：． 17. 如图，在矩形 中，以顶点A为圆心的与对角线 相切于点E，过点C作的切线，切点为G，且于点F，则的正切值为____________________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，设，根据题意，得， 根据切线的性质，得，，分别表示出，根据，解答即可． 【详解】解：连接，设， ∵矩形 中，以顶点A为圆心的与对角线 相切于点E，过点C作的切线，切点为G，且于点F， ∴，，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可证，， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， 整理，得． 解得或（舍去）． ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，切线的性质，切线长定理，勾股定理，三角形相似的判定和性质，一元二次方程的应用，正切函数的定义，熟练掌握性质和解方程，三角函数的应用是解题的关键． 18. 如图，菱形 中，，顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，且 经过点O．若，则菱形 面积的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】先构造出COM∽△OBN，得出，再判断出△BCD是等边三角形，得出OC=OB，进而得出OM=BN，CM=ON，设点B的坐标为（m，），求出C（，m），进而得出k1=-3k2，进而求出k1=12，k2=-4，进而求出OB，OC，最后得出S菱形ABCD=2(m-)2+16，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点C作CM⊥y轴于M，过点B作BN⊥y轴于N，连接OC， ∴∠OMC=∠BNO=90°， ∴∠COM+∠OCM=90°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OC⊥BD， ∴∠BOC=90°， ∴∠COM+∠BON=90°， ∴∠OCM=∠OBN， ∴△COM∽△OBN， ∴， ∵四边形ABCD是菱形， ∴CD=CB，AB∥CD， ∴∠BCD=180°-∠ABC=60°， ∴△BCD是等边三角形， ∵OC⊥BD， ∴OC=OB， ∴， ∴OM=BN，CM=ON， 设点B的坐标为（m，）， ∴BN=m，ON=， ∴OM=m，CM=×(-)=， ∴C（，m）， ∵点C在反比例函数y=图象上， ∴×m=k1， ∴k1= k2， ∵k1+k2=8， ∴k1=12，k2=-4， ∴，， ∴， ∴S菱形ABCD=2×BD•OC=2OB•OC ， ∴当m=时，S菱形ABCD最小=16， 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，待定系数法，构造出相似三角形是解本题的关键． 三、解答题(本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 19. 计算：____________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用负指数幂的运算，二次根式、零指数幂的运算分别化简即可． 【详解】解：原式， 故答案是：． 【点睛】本题考查了负指数幂的运算，二次根式、零指数幂的运算法则，解题的关键是：掌握相关的运算法则． 20. 解方程 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键，特别是注意验根． 根据解分式方程的基本步骤解答即可． 【详解】解：， 方程两边同乘，去分母得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得 ， 检验：当 时，， ∴ 是原分式方程的根． 21. 为了了解中学生周末参加体育锻炼的情况，某中学随机抽取100名学生，统计他们双休日两天体育锻炼的时间，将统计的锻炼时间(单位:分钟)分成5组：，，，，，给制成频数分布直方图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题: （1）补全下列频数分布直方图： （2）小组的数值为35、40、55、45、50，该组数据的 中位数、平均数和方差分别为_______，_________，________； （3）该中学共有2000名学生，估计双休日两天有多少学生体育锻炼的时间不少于90分钟? 【答案】（1）补全频数分布直方图为30人 （2）45，45,50 （3）估计双休日两天有1500学生体育锻炼的时间不少于90分钟 【解析】 【分析】（1）根据频数和为100，计算（人），解答即可． （2）根据中位数、平均数和方差的定义计算解答即可． （3）利用样本估计总体思想计算即可． 【小问1详解】 解：根据频数和为100，计算（人）， 补图如下： ． 【小问2详解】 解：小组的数值为35、40、55、45、50， 排序后为35、40、45、50、55， 该组数据的中位数为45； 平均数为， 方差为， 故答案为：45，45，50． 【小问3详解】 解：根据题意，得数大约是 (人)， 答：估计双休日两天有1500名学生体育锻炼的时间不少于90分钟． 【点睛】本题考查了频数分布直方图，中位数，平均数，方差，样本估计总体，熟练掌握中位数，方差，样本估计总体是解题的关键． 22. 学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程． （1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； （2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】（1） （2） 解：画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有6种（和为4的不符合题意）等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4有3种， ∴小明获胜的概率为，小红获胜的概率为， ∴小明和小红获胜的概率相同， ∴该游戏对双方公平． 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）根据概率计算公式求解即可； （2）画出树状图得到所有符合题意的等可能性的结果数，再分别找到两次数字之和大于4和小于4的结果，再依据概率计算公式计算出两人获胜的概率即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同， ∴小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 略 23. 江苏省是中国重要的粮食生产基地，其大米产量在全国占据重要地位．经销商老杨购进了一批南粳1号大米和南粳2号大米进行销售，两种米的进价和价如下： 进价(元/公斤) 售价(元/公斤) 南粳1号 a 6 南粳2号 b 8 已知老杨购进400公斤南粳1号大米和100公斤南粳2号大米共需2000元；购进300公斤南粳1号大米和 200公斤南粳2号大米共需2250元． （1）求a，b的值； （2）若老杨购进两种粳米共320公斤，其中南粳2号大米的进货量不超过南粳1号大米进货量的3倍，且不低于南粳1号大米进货量的，设购进南粳1号大米x公斤，则老杨应该如何进货才能使全部售完后的销售利润y(元)最大?最大利润为多少元? 【答案】（1） （2）购进南粳1号大米200公斤，南粳2号大米120公斤时，全部售完后的销售利润最大，最大为740元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准不等量关系，正确列出一元一次不等式组；（3）灵活运用一次函数的性质求最值． 设南粳1号大米的进价是a元，南粳2号大米价是b元，根据购进400公斤南粳1号大米和100公斤南粳2号大米共需2000元；购进300公斤南粳1号大米和 200公斤南粳2号大米共需2250元，列出二元一次方程组，解方程组即可； 设购进南粳1号大米x公斤，则购进南粳2号大米价公斤，根据题意，得，，设销售的总利润为W元，则，根据一次函数的增减性求最值即可． 【小问1详解】 解：设南粳1号大米的进价是a元，南粳2号大米价是b元， 由题意得：， 解得：， 答：南粳1号大米的进价是元，南粳2号大米价是6元． 【小问2详解】 解：设购进南粳1号大米x公斤，则购进南粳2号大米价公斤， 根据题意，得：， 解得， 设销售的总利润为W元，则， 由y随x的增大而增大，得当时，利润最大，最大为740元．  购进南粳1号大米200公斤，南粳2号大米120公斤时，全部售完后的销售利润最大，最大为740元． 答：购进南粳1号大米200公斤，南粳2号大米120公斤时，全部售完后的销售利润最大，最大为740元． 24. 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是什么四边形？证明你的结论． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C， ∵E、F分别为边AB、CD的中点， ∴AE=AB，CF=CD， ∴AE=CF， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF； （2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是菱形， 理由如下： 由（1）可得BE=DF， 又∵AB∥CD， ∴BE∥DF，BE=DF， ∴四边形BEDF是平行四边形， 连接EF， 在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点， ∴DF∥AE，DF=AE， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∴EF∥AD， ∵∠ADB是直角， ∴AD⊥BD， ∴EF⊥BD， 又∵四边形BFDE是平行四边形， ∴四边形BFDE是菱形． 【解析】 【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，即可得AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，又由E、F分别为边AB、CD的中点，可证得AE=CF，然后由SAS，即可判定△ADE≌△CBF； （2）先证明BE与DF平行且相等，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形BEDF是平行四边形，再连接EF，可以证明四边形AEFD是平行四边形，所以AD∥EF，又AD⊥BD，所以BD⊥EF，根据菱形的判定可以得到四边形是菱形． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定等知识，灵活运用以上知识是解题的关键． 25. 【实验操作】 在如图所示的串联电路中，用一固定电压为的电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡 （灯丝的阻值）亮度．已知电流 与电阻 ，之间关系为，通过实验得出如下数据： R/Ω … 1 2 3 4 n 6 … I/A … 5 m … （1）填写： ， ； 【探究观察】 （2）根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，①在平面直角坐标系中画出对应函数的大致图象；②观察图象，写出该函数的一条性质； 【拓展应用】 （3）结合函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】 （1）3，5；（2）①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象如下： ②函数值随 的增大而减小或函数有最大值，没有最小值等； （3） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用： （1）由已知列出方程，即可解得m，n的值； （2）①描点画出图象即可；②观察图象可得答案； （3）同一坐标系内画出图象，观察即可得到答案． 【详解】解：（1）根据题意， ，解得， 故答案为：3， 5； （2）①根据表格数据描点：， ②由图象可知，随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是不断减小，或函数有最大值，没有最小值等； （3）如图： 由函数图象知，当时，函数的图象在函数在上方， 所以，的解集为 26. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径长为1，点B的坐标为，点C是上一点，连接 ，将 绕点C逆时针旋转 ，得到线段 ，连接 ． （1）若 最大，则点D坐标为________； （2）若点D刚好落在y轴上，请求出点C的坐标(原点除外)； （3）若直线 经过的圆心，请直接写出直线 的函数表达式． 【答案】（1） （2） （3）和 【解析】 【分析】（1）当 经过圆心A时，与圆的较远交点构成线段最大，此时点C，，结合已知，确定点D坐标为，解答即可； （2）过C作轴于T，过D作于K，设，可得，证明，得到，据此求解即可； （3）根据直线 经过的圆心，结合，判定直线 是的切线，利用勾股定理，三角函数，确定点C的坐标，再利用待定系数法确定解析式，利用圆的对称性，确定另一切线的解析式即可． 【小问1详解】 解：当 经过圆心A时，与圆的较远交点构成线段最大，此时点C，， 又， 故点D坐标为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：过C作轴于T，过D作于K，如图； 设， ∵，， ∴， ∴， 由图可知，点C在 轴上方， ∴， ∵将 绕点C逆时针旋转 ，得到线段 ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得 （舍去）或， 经检验，是原方程的解， ∴点C的坐标为； 【小问3详解】 解：∵直线 经过的圆心， ， ∴直线 是的切线， ∴以为直径作圆与交于C，两点，连接 ，， 则, ∴，， ∴，， 过点C作于点E， ∴，， ∴， ∴， 设直线 的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故直线 的解析式为， 根据圆的对称性，得 ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为， 故直线的解析式为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，切线的判定和性质，勾股定理，三角函数的应用，待定系数法求解析式，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质和三角函数的应用是解题的关键． 27. 对于平面直角坐标系中的点，若x，y满足，则点就称为“平衡点”．例如：，因为，所以是“平衡点”． （1）下列是平衡点的是______；(填序号) ①， ② ③ ④ （2）已知一次函数 (k为常数)图像上有一个“平衡点”的坐标是，求出一次函数 (k为常数)图像上另一个“平衡点”的坐标； （3）已知二次函数的图像上有且仅有两个“平衡点”，请直接写出a的取值范围． 【答案】（1）①④ （2）另一个平衡点为 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了定义新运算，求一次函数关系式，二次函数与一元二次方程， 对于（1），根据平衡点的定义逐个判断即可； 对于（2），将点代入关系式，求出k，再根据平衡点的定义得出方程，求出解即可； 对于（3），根据平衡点的定义得，再分两种情况求出解即可. 【小问1详解】 解：点，因为，所以点是“平衡点”； 点，因为，所以点不是“平衡点”； 点，因为，所以点不是“平衡点”； 点，因为，所以点是“平衡点”． 故答案为：①④； 【小问2详解】 解：将点代入关系式， 得， 解得， ∴一次函数的关系式为. ∵一次函数的图象上有另一个“平衡点”， ∴， 即或， 解得或， 则， 所以另一个“平衡点”的坐标是； 【小问3详解】 解：或． ∵二次函数的图象上有且仅有两个“平衡点”， ∴， ∴或， 即或 当，且时， 解得； 当，且时， 解得． 所以a的取值范围是或． 28. 已知：如图，抛物线与x轴交于点A、B，它的对称轴交x轴于点Q．点P是对称轴上的一动点(不与点Q重合)，过点P作轴，交抛物线于点C、D．(点C在点D的右侧)． （1）如图1，连接，若四边形是平行四边形，则_____； （2）如图2，连接 ，交对称轴于点T，连接，当时，求直线 的函数表达式； （3）在(2)的条件下，在该抛物线上取一点M，使得是以 为斜边的直角三角形，请直接写出点M的坐标． 【答案】（1）24 （2）或 （3）、、、 【解析】 【分析】（1）根据抛物线可求得，故抛物线的对称轴为直线，可以求得，从而得到，，根据题意可证C，D两点是一对对称点，得到，，求得，继而得到，根据平行四边形的面积得． （2）当点P在x轴的上方时，C，D两点是一对对称点，得到，，轴，得，，于是 点恰好是抛物线与y轴正半轴的交点，设直线 的解析式为，由直线经过点，故，解得，故直线 的解析式为，同理可求点P在x轴的下方情况，解答即可． （3）根据题意，当点P在x轴的上方时，以 为直径作圆交抛物线于点M和，连接，过点M作轴于点H，交 于点G，，不妨设，，得到，解得，；；根据题意，当点P在x轴的下方时，以 为直径作圆交抛物线于点和，连接，过点作轴于点N，交 于点 ，根据（2）的直线 的解析式为，得，求得；得到，不妨设，则，， 解得，此时；；解答即可． 【小问1详解】 解：由，得， 解得， 故， 故抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点P是对称轴上的一动点(不与点Q重合)，过点P作轴，交抛物线于点C、D． ∴C，D两点是一对对称点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：24． 【小问2详解】 解：当点P在x轴的上方时， ∵点P是对称轴上的一动点(不与点Q重合)，过点P作轴，交抛物线于点C、D． ∴C，D两点是一对对称点， ∴，，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 点恰好是抛物线与y轴正半轴的交点， 设直线 的解析式为， 由直线经过点， 故， 解得， 故直线 的解析式为， 当点P在x轴的下方时， ∵点P是对称轴上的一动点(不与点Q重合)，过点P作轴，交抛物线于点C、D． ∴C，D两点是一对对称点， ∴，，轴， ∴， ∵， ∴， 设直线 与y轴交于点N， ∴， 则， 设直线 的解析式为， 由直线经过点 故， 解得， 故直线 的解析式为， 综上所述，直线 的解析式为或． 【小问3详解】 解：根据题意， 当点P在x轴的上方时，以 为直径作圆交抛物线于点M和，连接，过点M作轴于点H，交 于点G， ∵轴， ∴， 故四边形是矩形， ∴， ∵ 为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵M在抛物线上， 不妨设， ①当点M在 上方时： ， ∵， ∴， 整理，得， 解得（舍去）， 当时，，此时； ②同理可得，当点在 下方时： ， 整理，得， 解得（舍去），， 当时，，此时； 根据题意，当点P在x轴的下方时，以 为直径作圆交抛物线于点和，连接，过点作轴于点N，交 于点 ， ∵轴， ∴， 故， 根据（2）的直线 的解析式为， 根据题意，得， 解得或， 故； ∴， ∵ 为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在抛物线上， 不妨设， ①当点M在x轴上方时： ， ∴， ∴， 整理，得， 解得（舍去），， 当时，，此时； ②同理可得：当点M在x轴下方时， ， 整理，得， 解得，（舍去）， 当时，，此时； 综上所述，符合题意的点有点或或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，抛物线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，圆的性质，三角函数的综合应用，解一元二次方程，待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握性质，待定系数法，三角函数的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 溧阳市2024~2025学年度下学期九年级模拟测试 数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟，考生应将答案全部填写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，考试时不允许使用计算器 2．答题前，考生务必将自己的姓名、考试证号填写在试卷上，并填写好答题卡上的考生信息． 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题(本大题共有8小题，每小题2分，共16分，在毎小题所给的四个选项中，只有一项是正确的) 1. 下列四个数中，最大的数是（ ） A. B. 0 C. 5 D. 2. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 九位评委对参加演讲比赛的选手评分，比赛规则规定要去掉一个最高分和一个最低分，然后计算剩下的7个分数的平均分作为选手的比赛得分，规则“去掉一个最高分和一个最低分”一定不会影响这组数据的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 极差 D. 众数 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在 中，，，，则点 到 的距离是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若，该正多边形的边数是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 7. 若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，的边落在x轴上，边落在y轴上，点C是的中点，将沿 的中垂线翻折，得到，反比例函数经过点D，且，则k的值是（ ） A. 6 B. C. D. 二．填空题(本大题共有10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上) 9. 计算:_____________________． 10. 因式分解：______． 11. 如图，直线，若，则_____________________． 12. 某校为了解学生对A，B，C，D四类运动的参与情况，随机调查了本校80名学生，让他们从中选择参与最多的一类，得到对应的人数分别是30，20，18，12．若该校有800名学生，则估计有___________人参与A类运动最多． 13. 如图，在 中， 是直径，，则_____________________°． 14. 已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15π，则这个圆锥的底面圆半径为_____cm. 15. 如图，平行四边形 的周长为， 平分 ，若，则 的长度为_____cm． 16. 在平面直角坐标系中，函数，其中a为常数，且 ，点和在函数的图象上，且，则a的取值范围为___________________． 17. 如图，在矩形 中，以顶点A为圆心的与对角线 相切于点E，过点C作的切线 ，切点为G，且于点F，则的正切值为____________________． 18. 如图，菱形 中，，顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，且 经过点O．若，则菱形 面积的最小值是______． 三、解答题(本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 19. 计算：____________． 20. 解方程 21. 为了了解中学生周末参加体育锻炼的情况，某中学随机抽取100名学生，统计他们双休日两天体育锻炼的时间，将统计的锻炼时间(单位:分钟)分成5组：，，，，，给制成频数分布直方图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题: （1）补全下列频数分布直方图： （2）小组的数值为35、40、55、45、50，该组数据的 中位数、平均数和方差分别为_______，_________，________； （3）该中学共有2000名学生，估计双休日两天有多少学生体育锻炼的时间不少于90分钟? 22. 学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程． （1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； （2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 23. 江苏省是中国重要的粮食生产基地，其大米产量在全国占据重要地位．经销商老杨购进了一批南粳1号大米和南粳2号大米进行销售，两种米的进价和价如下： 进价(元/公斤) 售价(元/公斤) 南粳1号 a 6 南粳2号 b 8 已知老杨购进400公斤南粳1号大米和100公斤南粳2号大米共需2000元；购进300公斤南粳1号大米和 200公斤南粳2号大米共需2250元． （1）求a，b的值； （2）若老杨购进两种粳米共320公斤，其中南粳2号大米的进货量不超过南粳1号大米进货量的3倍，且不低于南粳1号大米进货量的，设购进南粳1号大米x公斤，则老杨应该如何进货才能使全部售完后的销售利润y(元)最大?最大利润为多少元? 24. 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是什么四边形？证明你的结论． 25. 【实验操作】 在如图所示的串联电路中，用一固定电压为的电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡 （灯丝的阻值）亮度．已知电流 与电阻，之间关系为，通过实验得出如下数据： R/Ω … 1 2 3 4 n 6 … I/A … 5 m … （1）填写： ， ； 【探究观察】 （2）根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，①在平面直角坐标系中画出对应函数的大致图象；②观察图象，写出该函数的一条性质； 【拓展应用】 （3）结合函数图象，直接写出不等式的解集． 26. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径长为1，点B的坐标为，点C是上一点，连接 ，将 绕点C逆时针旋转 ，得到线段 ，连接 ． （1）若 最大，则点D坐标为________； （2）若点D刚好落在y轴上，请求出点C的坐标(原点除外)； （3）若直线 经过的圆心，请直接写出直线 的函数表达式． 27. 对于平面直角坐标系中的点，若x，y满足，则点就称为“平衡点”．例如：，因为，所以是“平衡点”． （1）下列是平衡点的是______；(填序号) ①， ② ③ ④ （2）已知一次函数 (k为常数)图像上有一个“平衡点”的坐标是，求出一次函数 (k为常数)图像上另一个“平衡点”的坐标； （3）已知二次函数的图像上有且仅有两个“平衡点”，请直接写出a的取值范围． 28. 已知：如图，抛物线与x轴交于点A、B，它的对称轴交x轴于点Q．点P是对称轴上的一动点(不与点Q重合)，过点P作轴，交抛物线于点C、D．(点C在点D的右侧)． （1）如图1，连接，若四边形是平行四边形，则_____； （2）如图2，连接 ，交对称轴于点T，连接，当时，求直线 的函数表达式； （3）在(2)的条件下，在该抛物线上取一点M，使得是以 为斜边的直角三角形，请直接写出点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $