精品解析：北京市第八十中学2024—2025学年下学期八年级期中数学试题

北京市第八十中学2024-2025年度八年级第二学期期中检测 数学试卷 一、选择题（本题共24分，每小题3分） 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组线段中，能构成直角三角形的一组是（　　） A. 1，2，3 B. 2，4，5 C. 1，1， D. 6，8，10 3. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线平分一组对角 D. 对角线互相垂直 4. 下列图象中，表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 点在下列函数图象上的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，阴影部分是一个正方形，该正方形的面积为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，的周长为，且，、相交于点，交于，则的周长为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在边长为的正方形中，为边上一点，且，点在边上以的速度由点向点运动；同时，点在边上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为，连接．当与全等时，的值为（　　） A 1 B. 2 C. 2或4 D. 1或1.5 二、填空题（本题共24分，每小题3分） 9. 公式中，变量___________． 10. 已知，则当时，___________． 11. 比较两数的大小：______3．（填“<”或“>”） 12. 如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在外选一点C，连接，，并分别找出它们的中点D，E，连接．现测得，，，则___________m． 13. 最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成A，两点间的距离，则机器狗在正常状态下的高度为_____． 14. 如图，矩形的对角线，相交于点，过点的直线分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为______． 15. 我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道题，（如图）题目是：“今有立木，系所其末，委地三尺．去本八尺而索尽．问索长几何？”题意是：今有一竖立的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面部分还有3尺．牵着绳索退行，在木柱根部八尺处时，绳索用完，问绳索长是多少？如果设绳索长为尺，根据题意列方程为___________． 16. 正方形的边长为4，点在对角线上（可与点重合），，点在正方形的边上．下面四个结论中， ①存在无数个四边形平行四边形； ②存在无数个四边形是菱形； ③存在无数个四边形是矩形； ④至少存在一个四边形正方形． 所有正确结论的序号是_______． 三、解答题（本题共52分，第17题每小题3分；第18、19、20、21题每题4分；第22、23题每题5分，24题每题6分，25，26每题7分） 17. 计算 （1） （2） 18. 已知，，求代数式的值． 19. 如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为______． 20. 如图，平行四边形，、分别为、延长线上的点，连接，，当时，证明：四边形是平行四边形． 21. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 22. 八年级开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第①②步骤是： ①先裁下了一张长，宽的长方形纸片； ②将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处． 请你根据①②步骤解答下列问题：求，的长． 23. 小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程． （1）下表是y与x几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … m … 写出表中m的值：___________． （2）如图，在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； （3）小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①对于图象上两点，，若，则___________（填“”，“”或“”）； ②对于函数，当时，y的取值范围是___________； ③写出由函数的图象得到的图象的平移方式． 24. 在正方形中，点E在射线上，点M在的延长线上，为的角平分线，点F为射线上一点，且． （1）如图，当点E在线段上时， ①补全图形； ②求证：； ③用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． （2）若，，直接写出线段的长． 25. 在平面直角坐标系中，对于线段和点，给出如下定义：若在直线上存在点，使得四边形为平行四边形，则称点为线段的“相随点”． （1）已知，点，． ①在点，，，中，线段的“相随点”是______； ②若点为线段的“相随点”，连接，直接写出的最小值：______． （2）已知点，点，正方形边长为2，且以点为中心，各边与坐标轴垂直或平行，若对于正方形上的任意一点，都存在线段上的两点，使得该点为线段的“相随点”，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第八十中学2024-2025年度八年级第二学期期中检测 数学试卷 一、选择题（本题共24分，每小题3分） 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义，根据二次根式有意义的条件，根号内的式子必需大于等于0，即可求出答案． 【详解】解：式子在实数范围内有意义，则， 解得， 故选：C． 2. 下列各组线段中，能构成直角三角形的一组是（　　） A. 1，2，3 B. 2，4，5 C. 1，1， D. 6，8，10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．根据勾股定理的逆定理，可以判断各个选项中的三条线段是否能构成直角三角形，本题得以解决． 详解】解：，故选项A中三条线段不能组成直角三角形，不符合题意； ，故选项B中三条线段不能组成直角三角形，不符合题意； ，故选项C中三条线段不能组成直角三角形，不符合题意； ，故选项D中三条线段能组成直角三角形，符合题意； 故选：D． 3. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线平分一组对角 D. 对角线互相垂直 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质一一判断即可． 【详解】解：A、只有正方形和矩形的对角线相等，菱形和平行四边形的对角线不一定相等，不符合题意； B、平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线都互相平分，符合题意； C、只有菱形和正方形的对角线平分一组对角，矩形和平行四边形的对角线不一定平分一组对角，不符合题意； D、只有菱形和正方形的对角线互相垂直，矩形和平行四边形的对角线不一定互相垂直，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的相关性质，解决本题的关键是结合平行四边形、矩形、菱形、正方形的相关性质进行分析． 4. 下列图象中，表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的定义，函数的定义是：对于每一个的值，都有唯一确定的值与之对应． 【详解】解：选项A：在这个图象中，对于的某些值，有多个值与之对应，这不符合函数的定义，所以选项A不表示是的函数． 选项B：在这个图象中，对于每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，这符合函数的定义，所以选项B表示是的函数． 选项C：在这个图象中，对于的某些值，有多个值与之对应，这不符合函数的定义，所以选项C不表示是的函数． 选项D：在这个图象中，对于的某些值，有多个值与之对应，这不符合函数的定义，所以选项D不表示是的函数． 故答案为：B． 5. 点在下列函数图象上的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，把分别代入各个选项，看求得的函数值是否等于2即可． 【详解】解：A．当时，，∴点不在函数图象上； B．当时，，∴点不在函数图象上；        C．当时，，∴点在函数图象上；        D．当时， ，∴点不在函数图象上； 故选：C． 6. 如图，阴影部分是一个正方形，该正方形的面积为（　　） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 先求出正方形的边长，再根据勾股定理求出该直角三角形另一直角边的长度，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由图可知正方形的边长为， ∴正方形的面积为：， 故选：B． 7. 如图，的周长为，且，、相交于点，交于，则的周长为（　　） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质，属于常考题型，熟练掌握平行四边形和线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质和已知条件可得垂直平分，然后根据线段垂直平分线的性质可知，再结合平行四边形的性质即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴为的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴． ∴的周长． 故选：C． 8. 如图，在边长为的正方形中，为边上一点，且，点在边上以的速度由点向点运动；同时，点在边上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为，连接．当与全等时，的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 2或4 D. 1或1.5 【答案】C 【解析】 【分析】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的性质．由正方形的性质得，，而，则，再分两种情况讨论，一是当，时，，此时，求得；二是当，时，，由，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是边长为的正方形， ∴，， ∵E为边上一点，且， ∴， 由题意得，则， 当，时，， ∴， ∴； 当，时，， ∴， ∴， 综上，的值为2或4． 故选：C． 二、填空题（本题共24分，每小题3分） 9. 公式中，变量是___________． 【答案】S、t 【解析】 【分析】在一个变化过程中，变化的量称为变量．根据定义可得答案． 本题考查常量与变量的定义，掌握“变量的含义”是解本题的关键． 【详解】解：中，变量是：S、t， 故答案案为：S、t 10. 已知，则当时，___________． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】本题考查求函数的值，把代入函数表达式即可求解 【详解】解：当时，， 故答案为： 11. 比较两数的大小：______3．（填“<”或“>”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 由题意知，，由，可得，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，， ， ， 故答案为：． 12. 如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在外选一点C，连接，，并分别找出它们的中点D，E，连接．现测得，，，则___________m． 【答案】52 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定和性质定理，解题的关键是熟练掌握中位线的判定和性质． 利用三角形中位线的判定定理和性质定理得出，进而可求出结果． 【详解】解：∵和的中点分别是点D，E， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：52 13. 最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成A，两点间的距离，则机器狗在正常状态下的高度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用直角三角形相关性质求出对应边的长度． 连接，过B作于D，根据等边对等角和三角形的内角和定理求出，，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接，过B作于D， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即机器狗正常状态下的高度为， 故答案为：． 14. 如图，矩形的对角线，相交于点，过点的直线分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】6 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，首先结合矩形的性质证明，得、的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 又∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 15. 我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道题，（如图）题目是：“今有立木，系所其末，委地三尺．去本八尺而索尽．问索长几何？”题意是：今有一竖立的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面部分还有3尺．牵着绳索退行，在木柱根部八尺处时，绳索用完，问绳索长是多少？如果设绳索长为尺，根据题意列方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用．设绳索长为x尺，根据勾股定理即可列出方程． 【详解】解：设绳索长为x尺，则木柱长为尺， 根据勾股定理可列方程：， 故答案为：． 16. 正方形的边长为4，点在对角线上（可与点重合），，点在正方形的边上．下面四个结论中， ①存在无数个四边形是平行四边形； ②存在无数个四边形是菱形； ③存在无数个四边形是矩形； ④至少存在一个四边形是正方形． 所有正确结论的序号是_______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定和性质，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：①设正方形的对角线相交于点O，若MN的中点恰好是点O，则经过点O任意一直线PQ，分别与正方形的边AD,BC交于点P,G，通过正方形的性质对称性易得OP=OG，则四边形PMQN是平行四边形，由于PQ的任意性，则存在无数个四边形是平行四边形，故①正确； ②过MN的中点E作垂线，分别与正方形的相邻两边交于P,Q，根据正方形的对称性可得，PE=GE，则四边形是菱形，由于MN的任意性，则存在四边形是菱形；③由①存在由无数个平行四边边形，要是的四边形为正方形则PQ=MN=2=CD，故此时PQ经过正方形对角线的交点，且与正方形的边BC垂直，是唯一的，故不存在无数个四边形是矩形；④由②知存在菱形，故只需满足∠PMQ=90°时，则四边形PMQN时正方形，此时M与点A重合即可，故存在至少存在一个四边形是正方形； 故正确的结论序号是①②④. 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟记各定理是解题的关键． 三、解答题（本题共52分，第17题每小题3分；第18、19、20、21题每题4分；第22、23题每题5分，24题每题6分，25，26每题7分） 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先算乘除法，再化简二次根式，进而即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 已知，，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据，，即可求得x＋y与x−y的值，然后根据平方差公式对所求式子因式分解，再将x＋y与x−y的值代入即可解答本题． 【详解】解：∵，， ∴x＋y＝4，x−y＝， ∴． 【点睛】本题考查因式分解和二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法． 19. 如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，牢记勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 先由勾股定理求出，再通过勾股定理逆定理得，最后由即可求解． 【详解】解：连接， ，，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 20. 如图，平行四边形，、分别为、延长线上的点，连接，，当时，证明：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定、平行四边形的性质等知识点，掌握对角线相互平分的四边形是平行四边形成为解题的关键． 如图：连接交于O，由平行四边形的性质可得，再结合已知条件可得，最后根据对角线相互平分的四边形是平行四边形即可证明结论． 【详解】证明：如图：连接交于O， ∵平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 21. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）OE=2． 【解析】 【分析】（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可． （2）根据菱形的性质和勾股定理求出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）证明：∵AB//CD， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵∥， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴是菱形． （2）解：∵四边形菱形，对角线、交于点， ∴，，， ∴， 在Rt△AOB中，， ∴， ∵， ∴， 在Rt△AEC中，，为中点， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 22. 八年级开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第①②步骤是： ①先裁下了一张长，宽的长方形纸片； ②将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处． 请你根据①②步骤解答下列问题：求，长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理．熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 由折叠的性质可知，， ，由勾股定理得，则，设，由勾股定理得，即，计算求解然后作答即可． 【详解】解：∵长方形， ∴，， 由折叠的性质可知，， ， 由勾股定理得，， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， ∴． 23. 小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程． （1）下表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … m … 写出表中m的值：___________． （2）如图，在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； （3）小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①对于图象上两点，，若，则___________（填“”，“”或“”）； ②对于函数，当时，y的取值范围是___________； ③写出由函数的图象得到的图象的平移方式． 【答案】（1）0 （2）见解析 （3）①；②；③向左平移1个单位，向下平移个单位 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键． （1）把代入即可求得； （2）根据坐标系中的点，用平滑的曲线连接即可； （3）观察图象即可解决问题． 【小问1详解】 解：当时，， ∴； 故答案为：0； 【小问2详解】 解：函数图象如图所示； ； 【小问3详解】 解：观察该函数图象： ①对于图象上两点，若，则； ②对于函数，当时，y的取值范围是； ③当时，，当时，， ∴函数的图象得到的图象的平移方式是向左平移1个单位，向下平移个单位． 故答案为：①；②；③向左平移1个单位，向下平移个单位． 24. 在正方形中，点E在射线上，点M在的延长线上，为的角平分线，点F为射线上一点，且． （1）如图，当点E在线段上时， ①补全图形； ②求证：； ③用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． （2）若，，直接写出线段的长． 【答案】（1）①见解析；②见解析；③，证明见解析 （2）或． 【解析】 【分析】（1）①先根据题意补全图形即可； ②由正方形的性质可得，再由角平分线的定义可得，由此证明得到，再由三角形内角和定理和等边对等角得到，则； ③如图所示，在上截取，连接，证明，得到，，再证明，得到，即可得到； （2）分两种情况，通过证明，，之间的数量关系进行求解即可． 【小问1详解】 解：①如图所示，即为所求； ②∵四边形是正方形， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ③，证明如下： 如图所示，在上截取，连接， ∵为的角平分线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，当点E在上时， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（2）的结论可知， ∴； 如图所示，当点E在延长线上时， 在射线上截取，连接， 同理可证明， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等边对等角，平行线的性质与判定，三角形内角和定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，对于线段和点，给出如下定义：若在直线上存在点，使得四边形为平行四边形，则称点为线段的“相随点”． （1）已知，点，． ①在点，，，中，线段的“相随点”是______； ②若点为线段的“相随点”，连接，直接写出的最小值：______． （2）已知点，点，正方形边长为2，且以点为中心，各边与坐标轴垂直或平行，若对于正方形上的任意一点，都存在线段上的两点，使得该点为线段的“相随点”，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）①，；②； （2）或 【解析】 【分析】（1）①首先求出，然后根据平行四边形的性质得到，，然后设，然后分别验证求解即可； ②首先判断出点Q在直线上运动，连接，，作点O关于直线的对称点，连接，，得到，当点，Q，B三点共线时，有最小值，即的长度，然后求出，最后利用勾股定理求解即可； （2）首先得出正方形左上角的顶点坐标为，右下角的顶点坐标为，设，然后分情况讨论，分别根据平行四边形的性质求解即可． 【小问1详解】 ①∵点，． ∴ ∵四边形为平行四边形 ∴， ∵点P在直线上 ∴设 ∴若，且 ∴， ∴ ∴符合题意， ∴是线段的“相随点”； ∴若，且 ∴， ∴ ∴，此时点P，Q和点A，B共线，围不成平行四边形，不符合题意； ∴若，且 ∴， ∴ ∴符合题意， ∴是线段的“相随点”； ∴若，且 ∴， ∴，，矛盾，不符合题意； 综上所述，线段的“相随点”是，； ②∵点Q为线段的“相随点”， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴设， ∴ ∴ ∴点Q在直线上运动 如图所示，连接，，作点O关于直线的对称点，连接， ∴ ∴ ∴当点，Q，B三点共线时，有最小值，即的长度 ∵点O和点关于直线对称 ∴ ∵ ∴ ∴的最小值为； 【小问2详解】 ∵正方形边长为2，且以点为中心，各边与坐标轴垂直或平行， ∴正方形左上角的顶点坐标，右上角的顶点坐标，左下角的顶点坐标，右下角的顶点坐标， ∵点，点，设 设所在直线表达式为， ∴，解得 ∴所在直线表达式为， 若与等长，如图所示，当正方形左上角的顶点为线段的“相随点”时， ∴， ∴，解得 当点F在上时，不存在线段上的两点M，N，使得该点为线段的“相随点”， ∴点在上 ∴ 解得 ∴； 若与等长，如图所示，当正方形右下角的顶点为线段的“相随点”时， ∴，解得 当点C在上时，不存在线段上的两点M，N，使得该点为线段的“相随点”， ∴点在上 ∴ 解得 ∴； 综上所述，t的取值范围或． 【点睛】此题考查了一次函数与四边形综合题，新定义问题，平行四边形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确分析题目，掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $