四川省资阳天立学校2024-2025学年高一下学期第九周数学周练试题

天之骄子 立己达人 第九周数学周练 一、单选题 1．如图，在四面体中，平面平面，侧面是等边三角形，底面是等腰直角三角形，，则四面体的外接球的体积是（   ） A． B． C． D． 2．一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥形封闭容器，放入一个小球后，还可以放入一个半径为1的小球，则小球的体积与容器体积之比的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为 4．用斜二测画法画出水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知，则的面积为（ ） A． B． C．8 D． 5．已知在三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，若二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 7．已知平行六面体的体积为4，若将其截去三棱锥，则剩余几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 8．半径为2的球内切于正三棱柱，则正三棱柱的体积为（     ） A． B． C． D． 9．棱长为的正四面体，下列说法错误的是（ ） A．正四面体的体积是 B．正四面体外接球半径是 C．正四面体内切球的半径是 D．正四面体表面积是 10．已知水平放置的四边形的斜二测直观图为菱形，已知，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 11．如图，两个相同的正四棱台密闭容器内各装有某种溶液，，，图1中液面高度恰好为棱台高度的一半，图2中液面高度为棱台高度的，若图1中溶液体积为456，则图2中溶液体积为（   ） A．342 B．351 C．456 D．608 12．已知正三棱锥的棱长均为，则该正三棱锥的外接球体积为（   ） A． B． C． D． 13．已知圆台的上、下底面的半径分别为1和3，球与该圆台的上、下底面及其侧面都相切，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 14．正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的面积是（    ）    A． B．4 C． D． 15．在长方体中，为线段的中点，是棱的中点，若点为线段上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 16．在三棱锥中，，，，点P在平面上投影为A，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 17．在正四棱锥中，，球与四棱锥的所有侧棱相切，并与底面也相切，则球的半径为（   ） A． B．1 C． D． 18．一个圆锥被平行于底面的平面所截，上下两个几何体的侧面积之比为，则上下两个几何体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 19．如图，一个正三棱柱形容器中盛有水，侧棱，底面边长，若侧面水平放置时，水面恰好经过的中点，现将底面水平放置，若打开上底面的盖子，从上底面放入半径为2的小铁球，当水从上底面溢出时，则需放入的小铁球个数的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 20．已知，，为球的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 21．如图所示，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，沿棱柱表面，从到的最短路径长为（    ）    A． B． C．3 D． 22．一个体积为的球在一个正三棱柱的内部，且球面与该正三棱柱的所有面都相切，则此正三棱柱的表面积为（   ） A． B．54 C． D．27 23．如图，在正三棱柱中，，若存在一个可以在三棱柱内任意转动的正方体，则该正方体棱长的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 24．底面半径为3的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为1、高为1的圆锥，所得圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 25．在四面体中，，，则下列结论正确的有（） A．四面体的表面积为40 B．四面体的体积为 C．四面体外接球的表面积为 D．记四面体内切球的球心为，则 26．如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥的侧面积为 B．三棱锥体积的最大值为 C．圆锥外接球体积为 D．若，为线段上的动点，则的最小值为 27．已知球的半径为，，，为球面上三点，且，，若球心到平面的距离等于，则下列结论正确的是（    ） A． B．若圆柱的外接球为球，则圆柱侧面积的最大值为 C．若正三棱柱的内切球为球，则正三棱柱的体积为 D．若正四面体的各棱与球相切，则正四面体的表面积为 28．如图，为圆锥底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥的侧面积为 B．三棱锥体积的最大值为9 C．的取值范围是 D．若，E为线段上的动点，则的最小值为 29．如图，四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，其中，，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．四边形的面积为 D． 30．已知圆锥母线长为6，是底面一条直径.则（    ） A．若是等边三角形，则圆锥外接球表面积为 B．若，则过圆锥顶点S的截面面积的最大值是 C．若，则从A点出发沿着侧面再回到A点的最短路程是 D．若是等边三角形，则圆锥内切球体积为 31．如图，一圆锥的侧面展开图中，，弧长为，则下列说法正确的是（    ） A．该圆锥的侧面积为 B．该圆锥的体积为 C．该圆锥可以整体放入半径为的球内 D．该圆锥可以整体放入边长为的正方体中 32．已知圆锥的顶点为P，底面半径为，高为1，A，B是底面圆周上两个动点，下列说法正确的是（    ） A．圆锥的侧面积是 B．圆锥侧面展开图的圆心角是 C．△PAB面积的最大值是 D．该圆锥内接圆柱侧面积的最大值是 三、填空题 33．在正四面体ABCD中，分别为的中点，，截面EFG将四面体分成两部分，则体积较大部分与体积较小部分的体积之比是 . 34．已知圆柱的下底面圆的内接正三角形的边长为3，为圆柱上底面圆上任意一点，若三棱锥的体积为，则圆柱的外接球的体积 ． 35．已知正四棱台的上、下底面边长分别为1和2，且与所在直线互相垂直，则该棱台的体积为 ． 36．将一个底面边长为2cm，高为的正四棱锥铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为 . 四、解答题 37．祖暅是南北朝时期伟大的数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.“意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等，现有以下三个几何体：半径为R的半球，底面半径和高均为R的圆锥与圆柱，体积分别记为，，. (1)写出，，三者之间的关系； (2)过半径上一点A，且平行于半球大圆的平面将半球分割成两部分，位于上方的部分称为“球缺”.根据祖暅原理，其体积为一个圆柱的体积减去一个圆台的体积.当点A为半径中点时，求解下面两个问题： （i）求截得的“球缺”的体积； （ii）求截得的“球缺”的表面积. 38．正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点构成一个如图所示多面体． (1)求该多面体的表面积和体积． (2)若将该多面体内接于球内，求该球体的表面积与体积． 39．伊丽莎白圈是小动物戴在颈上防止它们抓挠伤口和患处或咬伤他人的一种保护器具，其可看作圆台的侧面围成的物体.某个伊丽莎白圈的母线长为3分米，所缺失的上、下底面的半径分别为2分米、4分米，（结果均用含的最简式表示） (1)若要在该伊丽莎白圈与宠物接触的内侧表而全部涂层（不含外侧表面），每平方分米需要消耗5克涂层材料，不考虑伊丽莎白圈的厚度与连接处的误差，则该伊丽莎白圈需要消耗多少克涂层材料？ (2)若将该伊丽莎白圈缺失的上、下底面完全密封形成圆台，求所形成的圆台的体积. 40．如图，在直径为4的半圆O内有一个直角三角形ABC，其中，，将图中阴影部分，以所在直线为旋转轴旋转形成一个几何体，求该几何体的表面积及体积． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 《2025年5月13日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D D B A C A A D 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 B D A D C A C D C C 题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 C A D A ACD BCD BCD ABD BCD ACD 题号 31 32 答案 ABD AD 1．C 【分析】由外接球球心的定义即可确定其位置，然后由勾股定理可得外接球的半径，再由球的体积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 因为是等腰直角三角形，，， 则的外接圆半径， 因为侧面是等边三角形，设其外接圆半径为， 由正弦定理可得，解得， 设外接圆圆心为，外接圆的圆心为， 因为平面平面， 过作平面的垂线，过作平面的垂线， 两垂线的交点即为四面体外接球的球心， 设球心到平面的距离为，则等于的外接圆的圆心到的距离， 在等边三角形中，到的距离为，即， 所以外接球的半径， 所以. 故选：C 2．A 【分析】要使小球的体积与容器体积之比最大，则小球的半径最大，结合圆锥轴截面及内切球列式分别得出即可得出最大值. 【详解】由题意，得圆锥形容器的底面半径，高. 因为边长为的正三角形的内切圆半径，所以轴截面是边长为的正三角形的圆锥的内切球半径为1， 所以小球与容器的侧面，底面均相切. 要使小球的体积与容器体积之比最大，则小球的半径最大，所以只需小球与小球， 圆锥形容器的侧面都相切，其轴截面如图.此时， 所以小球的体积与容器体积之比的最大值为. 故选：A. 3．D 【分析】根据斜二测画法求出原四边形各边的长度，并确定四边形为直角梯形，进而得到其周长和面积，即可得. 【详解】由题设，A错； 由斜二测画法知，，，， 易知原四边形为直角梯形，， 所以， 四边形的周长为，面积为，B、C错，D对. 故选：D 4．D 【分析】根据直观图和原图的面积关系，即可求解. 【详解】因为， 所以是直角三角形且，可得， 所以的面积， 则的面积． 故选：D 5．B 【分析】过作平面于，连接，由题意可知球心在上，求得球的半径，可求球的表面积. 【详解】过作平面于，连接， 因为，可得， 所以为的外心，所以三棱锥的外心在上， 因为，由正弦定理可得， 所以， 设外接球的半径为，则可得，所以， 所以该三棱锥的外接球表面积为. 故选：B. 6．A 【分析】取中点为E，以及的外心为，的外心为，依据平面平面可知为正方形，然后计算外接球半径，最后根据球表面积公式计算. 【详解】设是中点，连接，设的外心为，的外心为， 是四面体外接球球心， 由于和都是边长为的正三角形， 所以， 且分别在靠近E的三等分点处. 根据二面角的大小为及球的性质可知： 平面，平面，所以， 由于，所以四边形是正方形， ，， 设四面体外接球的半径为，则. 所以外接球的表面积为. 故选：A 7．C 【分析】根据锥体和柱体的面积公式，结合平行六面体的性质进行求解即可. 【详解】设点到平面的距离为，四边形的面积为， 显然有，所以， 因此剩余部分几何体的体积为， 故选：C 8．A 【分析】先根据球内切于正三棱柱求出高，然后内切球的性质求得底面正三角形的边长，最后利用柱体体积公式求解即可. 【详解】因为半径为2的球内切于正三棱柱， 所以正三棱柱的高，且该组合体过球心且平行于平面的截面为球的大圆内切于与全等的正三角形，如图. 由正三角形及其内切圆的性质，得， 所以的面积为， 所以正三棱柱的体积为. 故选：A 9．A 【分析】C选项，由体积法求内切球半径；D选项，正四面体的表面积等于其四个面的面积之和，且每一个面都是正三角形，利用正三角形的面积公式求解即可；A选项，由底面积和高求四面体的体积；B选项、将正四面体，补成正方体，则正四面体的棱为正方体的面上对角线，根据正四面体外接球求出外接球的半径的即可． 【详解】正四面体的各棱长为，表面积等于其四个面的面积之和，且每一个面都是正三角形， 所以正四面体的表面积．故D选项正确； 如图，为中点，设在底面的投影为，为的中心， 正四面体各棱长为，则，，， 四面体的体积为，故A选项错误； 正四面体的表面积为，体积为，设正四面体的内切球半径为r， 则有，即，解可得，C选项正确； 将正四面体，补成正方体，则正四面体的棱为正方体的面上对角线， ∵正四面体的棱长为，正方体的棱长为， 正四面体的外接球，就是以正四面体的棱为面对角线的正方体的外接球，球的直径就是正方体的对角线的长， 所以正方体的对角线为，，．故B选项正确． 故选：A． 10．D 【分析】根据斜二测画法的原图与直观图面积公式，即可求解. 【详解】因为，，则菱形的面积为 ， 那么四边形的面积为. 故选：D. 11．B 【分析】根据题意，设棱台的高为，结合棱台的体积公式即可得到的值，再由棱台的体积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设四棱台的高度为，记图1、图2液体体积分别为、， 图1中间液面四边形的边长为8，图2中间液面四边形的边长为10， 则， 即，所以． 故选：B 12．D 【分析】该正三棱锥的外接球即为棱长为的正方体的外接球，求得外接球的半径，根据球的体积公式即可求解． 【详解】该正三棱锥的外接球即为棱长为的正方体的外接球， 则外接球的半径为， 所以该正三棱锥的外接球体积为， 故选：D． 13．A 【分析】画出圆台的轴截面，则轴截面是等腰梯形，内切圆是过球心的大圆，结合题意，分别求出圆台的母线长和内切球的半径即可计算判断． 【详解】画出圆台的轴截面，如图所示： 则四边形是等腰梯形，且，，内切圆圆心即球心； 所以圆台的母线长为， 连接、和， 所以是直角三角形，且， 所以球的半径为， 球O的表面积为． 故选：A． 14．D 【分析】利用直观图还原原图形，再求出面积即可. 【详解】    如图所示，根据斜二测画法可知原图形为平行四边形，其中 所以原图形的面积为. 故选：D. 15．C 【分析】连接，得出点、、在平面中，问题转化为在直线上取一点，求点到定点的距离与到定直线的距离的和的最小值问题，建立平面直角坐标系，求出点关于直线的对称点的坐标，则答案可求． 【详解】连接，则，点、、在平面中，    且，，， 在中，以为轴，为轴，建立平面直角坐标系，    则，，，； 设点关于直线的对称点为， 的方程为，① ，直线的方程为，② 由①②组成方程组，解得，， 直线与的交点,． 对称点， ． 则的最小值为2． 故选：C． 16．A 【分析】在中由余弦定理求得，由题意平面，进而确定外接球球心，由球心与相关点的位置关系求球的半径，最后求表面积即可. 【详解】如图，在中，由余弦定理，， ，， 设的外接圆半径为，由正弦定理，，则， 设外接球的球心为，半径为，的外接圆的圆心为， 由题可得平面，而平面， 过点作，交于点，连接， 则，易得矩形，则， 在直角三角形中，，解得， 所以三棱锥外接球的表面积为. 故选：A.    17．C 【分析】连接、，设，连接，求出内切圆的半径，即为球的半径. 【详解】连接、，设，连接，则平面， 又，则，， 所以， 设内切圆的半径为，则，即，解得， 所以球的半径为. 故选：C 18．D 【分析】由圆锥侧面积公式以及体积公式计算即可求得. 【详解】根据题意可知上、下两部分几何体分别为小圆锥和圆台， 设小圆锥的高为，底面半径为，所以母线长为， 原来的大圆锥的高为，底面半径为，所以母线长为， 因此小圆锥的侧面积为，大圆锥的侧面积为； 又上下两个几何体的侧面积之比为， 所以，由相似比可得， 即可得，即， 所以小圆锥和原圆锥的体积比为； 因此小圆锥和圆台的体积比为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用已知侧面积之比为得出小圆锥与大圆锥的表面积比值，进而计算出半径和高的比值，代入体积公式计算可得结果. 19．C 【分析】根据题意可知只需满足放入小铁球的总体积大于三棱柱中除去水的空余体积即可，再由柱体体积公式以及球的体积公式计算可得结果. 【详解】依题意只需放入小铁球的总体积大于即可， 而小铁球的体积， 若放入个小铁球水从上底面溢出，所以， 则，而，故最小为3. 故选：C. 20．C 【分析】首先求出的半径，再由正弦定理求出，设球的半径为，所以，最后由球的表面积公式计算可得. 【详解】因为的面积为，设的半径为，则，解得， 又，所以为等边三角形，则，所以， 设球的半径为，所以， 所以球的表面积. 故选：C 21．C 【分析】分析可得沿棱柱的表面从E到F可能经过棱，，，再分别展开直观图求解即可. 【详解】若从到经过棱则沿棱展开如图， 过作于，则，， 故.      若从到经过棱，则沿棱展开如图，，， 则.      若从到经过棱，则沿棱展开如图，因为，， 所以， ，，则.      若从到经过棱，则沿棱展开如图，由题意，为等腰直角三角形， 四边形为正方形，故为等腰直角三角形，故四边形为直角梯形. 又，，故.      故沿棱柱的表面从到的最短路径长度为. 故选：C 22．A 【分析】先根据内切球得出三棱柱的高，再计算得出底面边长，进而计算得出表面积即可. 【详解】设球的半径为，因为，所以， 因为球面与该正三棱柱的所有面都相切， 所以正三棱柱的高为，设正三棱柱底面边长为， 因为球的半径等于底面正三角形的内切圆半径， 所以，所以， 则正三棱柱的表面积为. 故选：A. 23．D 【分析】先求出底面内切圆半径，再结合题意得到正方体外接球直径等于该内切圆直径时，棱长最大可得. 【详解】在正三棱柱中，，所以底面三角形内切圆半径为， 因为存在一个可以在三棱柱内任意转动的正方体，所以正方体的外接球要在该正三棱柱中， 若正方体棱长最大，可知该球体直径应为底面内切圆直径，即，即， 此时三棱柱的高大于球的直径，符合要求. 故选：D 24．A 【分析】根据相似可得原圆锥的高，进而利用圆锥的体积公式即可求解. 【详解】由已知，设原圆锥的高为，则，所以， 因为， ， 所以． 故选：A． 25．ACD 【分析】利用该四面体的几何特征，将四面体补形成长方体，再利用长方体的几何特征求解表面积、体积以及外接球表面积和内切球的问题. 【详解】因为四面体的对棱相等，所以四面体可嵌入长方体，设长方体的长宽高分别为, ,解得，，. 每个面为等腰三角形，面积均为10，表面积为.选项A正确. 体积计算:长方体体积为,减去四个三棱锥体积(每个为), 得四面体体积为.选项B错误. 四面体的外接球即长方体的外接球，半径,表面积为.选项C正确. 因为四面体内切球球心到各个面的距离相等，且四面体各个面是全等的，所以可以得到内切球球心到四面体各个顶点的距离也相等，即四面体的内切球球心和外接球球心重合，则长度即为外接球的半径.选项D正确. 故选：ACD. 26．BCD 【分析】代入圆锥的侧面积公式，判断A，根据点的位置，确定三棱锥体积的最大值，判断B，根据题中的条件，确定圆锥的外接球的球心和半径，判断C，翻折，使四点共面，即可确定的最小值. 【详解】由条件可知，，圆锥的侧面积为，故A错误； B.当是的高时，此时的面积和三棱锥的体积最大，体积的最大值是，故B正确； C.因为，所以圆锥外接球的球心即为点，半径为，所以外接球的体积为，故C正确； D. 若，则是等腰直角三角形，，， 所以是等边三角形，如图，将沿翻折，使四点共面， 此时三点共线时，的最小值是， 中，， 由余弦定理可知，，故D正确. 故选：BCD 27．BCD 【分析】对于A选项，先由余弦定理求，再用正弦定理得外接圆半径.根据球心到平面距离与球半径关系列方程求球半径，判断对错. 对于B选项，设圆柱高和底面半径，根据条件列等式.利用均值不等式求圆柱侧面积的最大值，判断是否正确. 对于C选项，球内切正三棱柱时，球直径是三棱柱的高，球半径是底面正三角形内切圆半径，由此求底面边长，进而算正三棱柱体积判断. 对于D选项，正四面体棱切球对应正方体的内切球，根据两者关系求出正四面体棱长，再算其表面积判断. 【详解】在中，，. 由余弦定理可得，而为三角形内角，. 对于A，设的外接圆圆心为，半径为，由正弦定理得， 因为球心到平面的距离等于球半径的， 所以，，，故A错误； 对于B，设圆柱的高为，底面半径为，则， 圆柱的侧面积为， 当且仅当，即时“=”成立.故B正确； 对于C，因为球内切于正三棱柱，那么三棱柱的高为4，底面正三角形的内切圆半径为2， 故底面边长为，那么正三棱柱的体积为，故C正确； 对于D，设正四面体的棱长为，则正四面体的棱切球即为棱长为的正方体的内切球， 即，，所以正四面体的表面积为，故D正确. 故选：BCD. 28．ABD 【分析】利用圆锥的侧面积公式计算判断A项，结合图形判断当时，的面积最大，从而三棱锥体积，计算判断B项；结合图形题意，可得，利用三角形内角和推得判断C项，通过把以为轴旋转到与共面，利用三点共线时线段和最短即可计算判断D项. 【详解】由题意，易得，. 对于A：圆锥的侧面积为，故A正确； 对于B：由图知，当时，的面积最大，此时， 则三棱锥体积的最大值为：，故B正确； 对于C：当点B与点A重合时，为最小角； 当点B与点C重合时，，达到最大值，又因为点B与A，C不重合， 则. 又，可得，故C错误； 对于D：因为，，，所以. 又，所以为等边三角形，∴. 将以为轴旋转到与共面， 得到，则为等边三角形，. 如图：. 因为，， 由余弦定理，， 则，故D正确. 故选：ABD. 29．BCD 【分析】根据斜二测画法，分析直观图、及直观图与原图形关系，逐项分析即可得解. 【详解】由余弦定理，可得， 即，解得，（舍去），故A错误； 在直角梯形中，，， 由斜二测画法知，，故B正确； 因为直角梯形的面积为， 所以四边形的面积为，故C正确； 由斜二测画法可知，原图为直角梯形，其中， 所以， 所以，故D正确. 故选：BCD 30．ACD 【分析】根据等边三角形外接圆和内切圆的圆心都是三角形的中心可以求得圆锥外接球和内切球的半径，再代入球的表面积及体积公式即可确定A，D是否正确，当圆锥轴截面顶角大于90°时，过顶点的截面面积的最大值是母线平方的一半而不是轴截面面积可得C正确，曲面上最短路径问题通常转化为平面上最短距离解决，再由余弦定理和圆心角的计算可得D正确. 【详解】对于A、D，边长为6的等边三角形中线长为，其外接圆和内切圆半径分别为中线的三分之二和中线的三分之一， 故此时圆锥的外接球半径为，内切球半径为，代入球面面积公式及球体体积公式，故A、D正确； 对于B，因为轴截面顶角为钝角，此时经过两条垂直母线的截面面积最大， 最大面积为18，故B错误； 对于C，因为圆锥侧面展开图是半径为6，圆心角为的扇形， 利用三角形余弦定理可以求得，故C正确. 故选：ACD 31．ABD 【分析】对于A由扇形面积公式即可判断，对于B计算圆锥的半径和高，利用圆锥曲线的体积公式即可求解，对于C设圆锥外接球的半径为，即得求出与比较即可，对于D正方体一边的中点作与体对角线垂直的平面，如图2，此平面到顶点的距离为体对角线的一半，计算平面截正方体得的正六边形的边长和点到该正六边形的高即可判断. 【详解】对于A：因为圆锥的侧面展开图中，，弧长为，所以圆锥的侧面积为，故A正确； 对于B：设圆锥底面半径为，则，解得， 圆锥的高，母线长，圆锥体积，故B正确； 对于C：因为圆锥的底面半径为，高为，所以圆锥的外接球球心在圆锥内部，设圆锥外接球的半径为， 过点的轴截面如图1，为外接球球心，则，解得，故C错误； 对于D：过正方体一边的中点作与体对角线垂直的平面，如图2，此平面到顶点的距离为体对角线的一半，即为， 平面截正方体得到边长为2的正六边形，该正六边形的内切圆的半径为， 以该圆作为圆锥的底面，点为顶点即可得到圆锥.故D正确. 故选：ABD. 32．AD 【分析】对于A，由圆锥侧面积公式可判断选项正误；对于B，由母线长及底面圆周长可判断选项正误；对于C，计算圆锥轴截面顶角，当时，的面积最大，据此可判断选项正误；对于D，设圆锥内接圆柱的底面半径为，高为，由题可得圆柱侧面积表达式，然后利用函数知识可判断选项正误. 【详解】根据题意，作出该圆锥的轴截面，圆锥的底面圆心为，依次分析选项：    对于A，轴截面中，，底面半径，所以母线长， 故圆锥的侧面积是，A正确； 对于B，圆锥母线长为2，展开图的弧长为，则圆心角弧度为，B错误； 对于C，由题意可知, 故圆锥轴截面的顶角为，则当时，的面积最大，其最大值为， C错误； 对于D，设圆锥内接圆柱的底面半径为，高为，则有， 化简可得，则圆柱的侧面积， 由二次函数的性质可知，当时，有最大值，D正确. 故选：AD 33． 【分析】根据平面的公理，将平面进行延拓，利用分割法，结合棱锥的体积公式，可得答案. 【详解】由题意，取，使得，连接，如下图：    由分别为的中点，则，， 由，则，所以共面， 所以截面将正四面体分为多面体与多面体， 设正四面体的棱长为，易知高， 则体积， 由图可知多面体可分为四棱锥与三棱锥， 在四棱锥中，由到底面的距离为，且， 则到底面的距离，即在底面上的高， 底面的面积 ， 所以四棱锥的体积， 在三棱锥中，由到底面的距离为，且， 则到底面的距离，即底面上的高， 易知为等边三角形且边长为， 所以三棱锥的体积， 故多面体的体积， 多面体的体积， 所以体积较大部分与体积较小部分的体积之比是. 故答案为：. 34．/ 【分析】根据给定条件，由正三角形性质求出圆柱底面圆半径，利用锥体体积公式求出圆柱的高，再利用圆柱及外接球的结构特征求出球半径即可. 【详解】由圆的内接正的边长为3，得圆的半径， ，三棱锥的高即圆柱的高， 由，解得，圆柱的两底面圆是其外接球的两个截面小圆， 由这两个截面小圆平行且全等，得该球球心到截面小圆距离，则球半径， 所以圆柱的外接球的体积为. 故答案为： 35．/ 【分析】由图及题意可得棱台的高，后由体积公式可得答案. 【详解】如图，连接，过D作平行线，交于点，连接DE. 又，则四边形为平行四边形. 又由题，，则 又，则 ，则等腰直角三角形斜边上的高，即棱台的高为 则由棱台体积公式，棱台体积为： 故答案为： 36．/ 【分析】根据给定条件，求出正四棱锥内切球半径即可求得球的表面积. 【详解】底面边长为2cm，高为的正四棱锥的斜高， 因此该四棱锥的表面积， 依题意，制作的球体零件表面积最大时，该球为正四棱锥的内切球，设其半径为， 则，解得，该球的表面积为. 故答案为： 37．(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由圆柱、圆锥和球的体积公式，分别求得圆柱、圆锥和半球的体积，即可得出结论；可得，，，所以，即圆柱的体积等于圆锥和半球的体积和. （2）（i）根据祖暅原理，由小球缺的体积等于图（2）中截面上方的圆柱挖去其中圆台后剩余的几何体的体积，所以小球缺的体积为，令，代入计算，即可求解；（ii）将球缺底部的圆与球心连线，组成一几何体，连接球心O和每个小网格的顶点，整个几何体就被分割成n个“小锥体”，求得球缺曲面部分的面积为，进而得到球缺的表面积. 【详解】（1）解：根据题意，利用圆柱、圆锥和球的体积公式， 可得，，， 所以，即圆柱的体积等于圆锥和半球的体积和. （2）解：（i）图（1）中，截面圆的半径为，所以截面圆的面积为， 图（2）中，截面为圆环，其中小圆的半径为，大圆的半径为， 所以截面圆环的面积为， 根据祖暅原理，由小球缺的体积等于图（2）中截面上方的圆柱挖去其中圆台后剩余的几何体的体积， 所以小球缺的体积为， 令，可得. （ii）类比球的表面积和体积的求法，将球缺底部的圆与球心连线，组成一几何体， 把球缺的曲面部分分成n个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点， 整个几何体就被分割成n个“小锥体”，记球缺曲面部分的面积为S， 则，可得，， 所以该球缺的表面积为. 38．(1)该多面体的表面积为，体积为 (2)该球体的表面积为，体积为 【分析】（1）先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用公式求结果； （2）由题意知，该多面体内接于球内，其半径为1，利用公式即可求. 【详解】（1）由题意知，该多面体是由两个四棱锥构成，并且这两个四棱锥完全一致. 每个四棱锥的侧面是四个边长为的等边三角形，设三角形的面积为， 则该多面体的表面积， 四棱锥的底面是边长为的正方形，故四棱锥的底面积， 四棱锥的高为1，故四棱锥的体积， 则该多面体的体积； （2）将该多面体内接于球内， 则球的直径为，球的半径为1， 故该球体的表面积为， 该球体的体积为. 39．(1)克 (2)（立方分米） 【分析】（1）求出圆台的侧面积即可得解； （2）求出圆台的高，代入圆台体积公式求解即可. 【详解】（1）由题意得，该伊丽莎白圈需要涂层的面积等价于圆台的侧面积， 圆台的侧面积（平方分米）， 因为每平方分米需要消耗5克涂层材料，所以， 即该伊丽莎白圈需要消耗克涂层材料； （2）该伊丽莎白圈的高为（分米）， 则， 所以所形成的圆台的体积为（立方分米）. 40．， 【分析】由球、圆锥的体积、表面积、侧面积公式即可求解； 【详解】如图，设点对应的直径的另一端点为，连接． 该平面图形旋转后形成的几何体是半个球挖掉半个圆锥． 由题知，半圆半径， ， ，． ． ，， ， ． 故答案为：， 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$